2018-2019学年北师版八年级数学下册 1.2直角三角形
北师大版八年级数学(下)第一章 直角三角形
1.2直角三角形一、知识点梳理1.直角三角形的性质定理：①直角三角形的两个锐角互余②直角三角形两条直角边的平方等于斜边的平方2.直角三角形的判定定理：①有两个角互余的三角形是直角三角形②如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形3.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题成为另一个命题的逆命题。
4.逆定理：如果一个定力的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理成为另一个定理的逆定理。
5.直角三角形全等的证明：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
二、经典题型总结题型一：利用直角三角形的性质求角的度数题型二：利用直角三角形的性质求线段长题型三：利用互逆命题的关系写逆命题题型四：利用“斜边、直角边”（HL）证明两直角三角形全等题型五：与直角三角形有关的动点、最值问题题型六：与直角三角形有关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在直角三角形中求斜边上的高的时候可以考虑使用面积相等的方法（等积法）2.在等腰直角三角形（或等腰等边三角形）内部出现三角形的题型中，有时可以考虑用旋转的方法构造全等三角形解题3.灵活运用勾股定理的逆定理，若题干中未明确直角三角形，而是给定了几条边的长度，那么就可以考虑一下是否需要逆定理4.灵活运用①直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半 ②直角三角形中斜边的中线长等于斜边的一半四、易错点分析原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.五、典型例题分析题型一：利用直角三角形的性质求角的度数例题：如图，在△ABC 中，∠C=70°,∠B=30°,AD ⊥BC 于点D,AE 为∠BAC 的平分线，求∠DAE 的度数。
北师大版数学八年级下册1.2直角三角形第1课时教学设计
（一）教学重难点
1.理解并掌握直角三角形的定义、性质和判定方法。
-这是本章节的基础知识，学生需要深刻理解直角三角形的内涵，为后续学习勾股定理和相似性质打下基础。
2.熟练运用勾股定理解决直角三角形相关问题。
-勾股定理是直角三角形学习的核心，学生需要通过多种类型的练习题，掌握定理的运用，并能解决实际问题。
（二）讲授新知
1.教师引导学生复习已学的三角形知识，如三角形的内角和、分类等，为新课的学习打下基础。
2.教师介绍直角三角形的定义和性质，如直角、斜边、锐角等，并通过实例进行讲解。
3.讲解勾股定理的发现过程，引导学生了解定理的背景和意义。通过数学史的引入，激发学生的学习兴趣。
4.教师以图形和实际例题相结合的方式，详细讲解勾股定理的推导和应用，使学生深入理解定理的内涵。
3.强调数学在实际生活中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
-通过讲解实际生活中的例子，让学生了解数学知识在现实生活中的运用，提高其解决实际问题的能力。
二、学情分析
八年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，对几何图形有初步的认识，掌握了基本的三角形知识。在此基础上，他们对直角三角形的学习将更具挑战性。学生对勾股定理已有初步了解，但可能对定理的推导和应用还不够熟练。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏将数学知识应用于生活场景的意识。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组图片，包括建筑物的直角三角形结构、斜拉桥等，引导学生观察并提问：“这些图片中有什么共同的特点？它们在几何学中属于哪种图形？”
2.学生回答后，教师总结：“这些图片中都包含了一种特殊的三角形——直角三角形。今天我们将学习直角三角形的性质和判定方法。”
北师大版八年级数学下册课件.1直角三角形的性质与判定课件
1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
教学目标
1.了解直角三角形两锐角互余及互逆命题的转化 2.运用勾股定理逆定理判定直角三角形
重难点
1.熟练掌握勾股定理逆定理的证明方法 2.互逆命题的真假性判定
提出问题，导入新课
问题1 直角三角形的定义是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形.
归纳新知
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方．
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
条件和结论互换
上面两个定理的条件和结论有什么关系吗？ 与同伴交流.
探求新知
再视察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角.
知识回顾
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理.
a
c
b
勾
弦
股
提出问题 探求新知
勾股定理是一个真命题，那么把这个命题的条件和结论颠 倒过来，形成一个新的命题：
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这 个三角形是直角三角形．
解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆 命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原 命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0， b = 0，那么 ab = 0.原命题是假，逆命题是真.
课堂小结
角的性质
直角三 角形
边的性质
定理1：直角三角形的两 个锐角互余 定理2：有两个角互余的 三角形是直角三角形
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.2.2 直角三角形课件下册数学课件
第六页，共十八页。
诱思探究，获取新知 ☞
已知：如图，线段(xiàuàn)a，c（a<c），直角α．
求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．
（1）作∠MCN＝∠α=90°；
（2）在射线(shèxiàn)CM截取CB＝a；
（3）以点B为圆心，线段(xiànduàn)c为 （4）连接AB，得到Rt△ABC. 半径作弧，交射线CN于点A；
2．已知：如图，D是△ABC的BC边的中点(zhōnɡ diǎn)，DE⊥AB， DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE=DF。求证：△ABC是等腰
三角形。
C
D
A
12/2/2021
第1题
B
第十三页，共十八页。
第2题
小结感悟，知识沉淀 ☞
这节课大家通过自学和小组合作，相信每个同学(tóng xué)都 有所收获
北师大版八年级数学(shùxué)下册
第一章 三角形的证明
(zhèngmíng)
1.2 直角三角形(2)
12/2/2021
第一页，共十八页。
回顾与思考 ☞
1. 判断(pànduàn)两个三角形全等的方法，你还记的有哪几种吗？
三边(sān biān)对应相等的两个三角形全等（SSS）． 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）． 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）． 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．
第十七页，共十八页。
内容 总结 (nèiróng)
第一章 三角形的证明。☞。1. 判断两个三角形全等的方法，你还记的有哪几种吗。这两 边的夹角(jiā jiǎo)也对应相等时，这两个三角形全等．。3.如果附加的条件是其中一边的对角对
北师大版数学八年级下册第一章1.2.2直角三角形课件
三、重难点精讲：
2、用三角尺可以作角平分线：在已知∠AOB的两边上分别取点 M,N,使OM=ON, 用三角板分别靠在OA，OB上如图，MP,NP交 于点P，连接OP就是∠AOB的平分线，试说明理由.
O
1 2
MA P
●
N
B
理由：依题意： ∠OMP= ∠ONP=90°
又∵OM=ON, OP=OP
*(2)2延、长AE已交B知D于F△, ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB,BC=15,AC=20,
（1）求 CD 求证：AE=CF , AB∥CD. 、 AD、BD的值
真，先利用HL定理得到另一条直角边相等，再根据SAS公理判定两个三角形全等。
*（2）找出CD 、 AD、BD之间的关系 (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． 解：（1）：由勾股定理得：AB=25 （1）求 CD 、 AD、BD的值
AD BD 916 144
CD2 AD BD
称为射影定理
角形全等。（4）有两条边相等的两个直角三角形全等。
（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等
。A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、基础知识全面检测与过关：
∵ AF=CE
∴ ∴
A∠FD3-FEBF、＝=C∠E已D-EECF知＝90：° 如图，PA⊥OA，PB⊥OB，
求证且：AOE=CAF ,=AOB∥BCD。. 则△AOP≌△BOP的理由
通过探索总结直角三角形全等的判定定理（HL）： (1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
AD=16
A、HL B、SAS ∵ CE=CD
C、AAS
D、ASA
*（2）： CD2 1212 144
新北师大版 八年级下册数学 第一章 三角形的证明 1.2.1 直角三角形
巩固练习： 说出下列命题的逆命题，并判断每对 命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0，那么a=0,b=0.
提问：一个命题是真命题，它的逆命题一 定是真命题吗？
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是 真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命 题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆 定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 你还能举出一些例子吗?
想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?
互逆定理：如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它也是个定理，这 两个定理称为互逆定理，其中一个定理称 为另一个定理的逆定理.
判断正误： （1）互逆命题一定是互逆定理； （2）互逆定理一定是互逆命题. 我们已经学习了一些互逆定理，如勾 股定理及其逆定理、“两直线平行，内错 角相等与“内错角相等，两直线平行”等 . 请你再举出一些互逆定理的例子.
2 、 在 △ ABC 中 ， 已 知 AB=13cm,BC=10cm,BC 边上的中线 AD=12cm.求证：AB=AC.
知识拓展
已知：△ABC中，∠ C=600，AB=14，AC=10， AD是BC边上的高，求BC的长 A 解后反思： 在直角三角形中，利用勾股定理 计算线段的长，是勾股定理的一 C 个重要应用，在有直角三角形时， 可直接应用，在没有直角三角形 时，常作垂线构造直角三角形， 为能应用勾股定理创造条件。
D
B
独立作业
3
3.如图,正四棱柱的底面边长为 5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正 四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面 到点C1处吃食物,那么它需要爬行的 D C 最短路径是多少？ C
1 1
习题1.4
北师大版八年级数学下册1.2直角三角形优秀教学案例
（一）导入新课
1.利用生活情境导入：以测量房屋面积为背景，引导学生思考和探索直角三角形的性质和判定方法。通过提出问题：“在测量房屋面积时，如何判断一个四边形是否为直角三角形？”引发学生的思考和兴趣。
2.利用问题情境导入：提出具有挑战性的问题，引导学生思考直角三角形的性质。例如：“已知一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，求第三边的最长长度。”让学生尝试运用已学的知识解决问题。
2.通过问题引导学生进行观察、分析和推理，帮助他们逐步建立直角三角形的知识体系。例如，提出问题：如何判断一个三角形是否为直角三角形？学生可以通过观察、分析和推理，得出直角三角形的判定方法。
3.鼓励学生提出问题，培养他们的质疑精神和探究能力。例如，学生在学习过程中可能会提出问题：为什么直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方？引导学生进行思考和探索，培养他们的分析能力和推理能力。
3.利用探究情境导入：让学生自主探究直角三角形的性质，鼓励他们提出自己的观点和猜想。例如，提出问题：“直角三角形的哪个角是直角？直角三角形的判定方法有哪些？”激发学生的探究欲望。
（二）讲授新知
1.通过讲解直角三角形的定义和性质，让学生理解和掌握直角三角形的特殊性质。例如，讲解直角三角形有一个角为直角，另外两个角的和为90度，以及直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
北师大版八年级数学下册1.2直角三角形优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容为北师大版八年级数学下册第一章第二节“直角三角形”。在上一节课中，学生已经学习了勾股定理的运用，对本节课的直角三角形有了初步的认识。然而，由于直角三角形特殊的性质，学生对于如何快速判断一个三角形是否为直角三角形仍然存在困难。因此，在本节课的教学设计中，我将以直角三角形的性质和判定为主线，通过一系列具有针对性的教学活动，帮助学生深化对直角三角形的认识，提高他们的判断能力。
北师大版八年级下册数学1.2.1直角三角形(教案)
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的理解与应用、直角三角形的判定方法。
-难点举例与解释：
-勾股定理的理解：学生需要理解定理背后的几何意义，即直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
-勾股定理的应用：在解决具体问题时，学生可能会难以确定哪个边是斜边，以及如何根据给定的信息求解未知的边长。
其次，在新课讲授环节，我注重了理论介绍与案例分析的结合，尽量让抽象的数学概念变得具体易懂。但是，我也发现有些学生对勾股定理的理解还不够深入，可能需要我在课堂上提供更多的例子和解释，或者通过课后辅导来帮助他们更好地掌握这个定理。
在实践活动方面，分组讨论和实验操作是让学生们动手动脑的好方法。我观察到，学生们在讨论和操作过程中积极思考，相互交流，这有助于他们巩固所学知识。不过，我也意识到，在实践活动的设计上，可以更加多样化，比如引入一些竞赛或游戏元素，提高学生们的参与度和积极性。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、性质、勾股定理及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级下册数学1.2《2直角三角形》教案
在本次《直角三角形》的教学中，我发现学生们对勾股定理的理解和应用存在一些问题。首先，部分学生在理解定理的证明过程中感到困惑，尤其是对于“平方”的概念和数形结合的推导方法。在今后的教学中，我需要更加耐心地引导学生，通过直观的几何图形和实际操作，帮助他们理解这一概念。
其次，在新课讲授环节，我注意到学生们在案例分析时表现得比较被动。这可能是因为我对案例的引入和讲解不够生动有趣，导致学生们兴趣不足。在以后的教学中，我会尝试使用更多贴近生活的例子，激发学生们的学习兴趣。
2.直角三角形的应用：结合实际例子，运用直角三角形的性质解决问题，如计算直角三角形的面积、斜边长度等。同时，引入勾股定理，让学生理解并掌握直角三角形中三边关系的特殊性质。
二、核心素养目标
1.理解与运用：使学生理解直角三角形的定义及性质，掌握勾股定理及其应用，能够在实际问题中运用直角三角形的性质解决问题，提高学生的数学运用能力。
（2）通过数形结合的方法，引导学生推导出勾股定理的表达式：a² + b² = c²。
（3）组织学生进行小组讨论，互相交流证明过程，加深对勾股定理的理解。
3.勾股定理的应用
（1）设计一些实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、判断一个三角形是否为直角三角形等，让学生运用勾股定理解决问题。
（2）鼓励学生分享解题过程和心得，提高学生的表达能力和合作意识。
4.总结与拓展
（1）对本节课的学习内容进行总结，强调勾股定理的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ要性。
（2）布置一些拓展练习，让学生在课后继续巩固所学知识。
四、作业布置
1.完成教材课后练习题。
2.设计一道关于勾股定理的实际问题，与同学交流解决方法。
五、课后反思
教师应在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对学生的疑问和困难进行针对性的辅导，以提高教学效果。
北师大版八年级数学下册《1.2直角三角形》同步练习题-带含答案
北师大版八年级数学下册《1.2直角三角形》同步练习题-带含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知锐角三角形的两边长分别3、4，则第三边长x的取值范围是（）A．1＜x＜7 B．1＜x＜5 C．√7＜x＜5 D．1＜x＜√72．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（）A．β＋γ－α＝90°B．α＋β＋γ＝180°C．α＋β－γ＝90°D．β＝α＋γ3．如图，△ABC中AB=AC，AD⊥BC，以下结论中不一定正确的是（）A．△ABD≌△ACD B．AD是△ABC的角平分线C．D为BC的中点D．∠B=∠BAD4．如图，直线DE∥FG，三角尺ABC的顶点B，C分别在DE，FG上.若∠BCF=25°，则∠ABE的度数为（）A．25°B．55°C．65°D．75°5．如图△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点H，若CE＝4，BD＝5，则DH的HB值（）A．12B．25C．14D．276．如图，△ABC是一张三角形纸片，∠C＝90°，∠A＝36°，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，连接BD，则∠CBD的度数为（）A．16°B．18°C．15°D．17°7．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的三边上，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在△ABC内的点O处，且BD与CD重合于线段OD，若∠AEO+∠AFO=58°，则∠A的度数为（）A．58°B．59°C．60°D．61°8．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ABC交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A．B．C．4√3D．二、填空题9．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么它的顶角等于．10．三角形的三边长a，b，c满足2ab=(a+b)2-c2，则此三角形的形状是三角形.x＋b交x轴于点A，交y轴于点B，OA＝2，点C是x轴上一点，且△ABC是直角三11．如图，直线y＝12角形，满足这样条件的点C的坐标是．12．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．13．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是.三、解答题14．如图，在四边形ABCD中AB=AD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，BE= DF．求证：点A在∠BCD的平分线上．15．如图，有一张四边形纸片ABCD，∠ABC=90°．经测得AB=9cm，BC=12cm，CD=8cm，AD= 17cm．（1）求A、C两点之间的距离．（2）求这张纸片的面积．16．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）证明：BE=CF；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长.17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高．（1）尺规作图：作∠ABC的平分线l（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且BE=AC，BD=AD，求证：∠ABE=∠DAC．18．如图①，在ΔABC中，AE平分∠BAC（∠C>∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D .（1）当∠B=45°，∠C=75°时，求∠EFD的度数；（2）若∠B=α，∠C=β请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不说明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD）（3）如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么.答案1．C2．C3．D4．C5．C6．B7．D8．B9．120°10．直角11．（0，0）或（1，0）212．2.413．①②14．证明：在Rt△AEB和Rt△AFD中{AB=ADBE=DF∴Rt△AEB≌Rt△AFD（HL）∴AE=AF．∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F∴点A在∠BCD的平分线上．15．（1）解：连结AC．在RtΔABC中∠ABC=90，AB=9cm，BC=12cm∴AC=√AB2+BC2=√92+122=15．即A、C两点之间的距离为15cm（2）解：∵CD2+AC2=82+152=289AD2=172=289∴CD2+AC2=AD2∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴四边形纸片ABCD的面积=SΔABC+SΔACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×9×12+12×15×8=54+60（7分）=114(cm2)．16．（1）证明：如图，连接BD、CD∵DG⊥BC且平分BC∴BD=CD∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°在Rt△BED与Rt△CFD中{BD=CDDE=DF ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）∴BE=CF；（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F ∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°在Rt△AED与Rt△AFD中{AD=ADDE=DF ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）∴AE=AF∴CF=AF-AC=AE-AC由（1）知：BE=CF∴AB-AE=AE-AC即5-AE=AE-3∴AE=4∴BE=AB-AE=5-4=117．（1）解：如图所示l即为所求：（2）证明：∵AD为△ABC的高∴∠ADB=∠ADC=90°∴在Rt△BDE和Rt△ADC中{BE=ACBD=AD∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)∴∠DAC=∠EBD又∵BE平分∠ABD∴∠ABE=∠EBD∴∠ABE=∠DAC18．（1）解：∵∠B=45°，∠C=75°（已知）∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）∴∠BAC=180°−∠B−∠C（等量代换）=180°−45°−75°=60°∵AE平分∠BAC（已知）∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12×60°=30°（角平分线的定义）∴∠AED=∠BAE+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）=30°+45°=75°，即∠FED=75° .∵FD⊥BC于点D（已知）∴∠EDF=90°（垂直的定义）∴∠FED+∠EFD=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠EFD=90°−∠FED（等量代换）=90°−75°=15°（2）∠EFD=12(β−α)（3）成立. ∠EFD=12(β−α)理由：∵∠B=α，∠C=β（已知）∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）∴∠BAC=180°−α−β（等量代换）∵AE平分∠BAC（已知）∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12×(180°−α−β)（角平分线的定义）∴∠AEC=∠BAE+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）=12×(180°−α−β)+α=90°+12α−12β∴∠FED=∠AEC=90°+12α−12β（对顶角相等）∵FD⊥BC于点D（已知）∴∠EDF=90°（垂直的定义）∴∠FED+∠EFD=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠EFD=90°−∠FED（等量代换）=90°−(90°+12α−12β)=12(β−α)。