几何概型(一1112)学案

几何概型（一、11、12）学案
学习目标
1．初步体会几何概型及其基本特点；
2．会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；
3．让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型；
学习重点：
初步体会几何概型，将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题
学习难点：
将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题，准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d ，并求出它们的长度、面积、体积。

学习过程：
一、复习引入
1、计算随机事件概率的方法有哪些?
2、古典概型的特征是什么？
3、如何计算古典概型的概率？
二、创设情景，引入新课
问题1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。

金色靶心叫“黄心”。

奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm 。

假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？ 问题2：取一根长度为m 3的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于m
1的概率有多大？
总结上述试验的共同特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件有____________
(2)每个基本事件出现的___________________
三．建构教学
１．几何概型的概念：
２．几何概型的基本特点：
３．几何概型的概率： 一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
4．说明：
（1）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分
的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．
（2）D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的测度分别是长度．．，面积．．和体．积．
． (3) 事件A 可以理解为区域Ω的某一子区域，事件A 的概率只与区域A 的度量（长度、
面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关．
5．古典概型与几何概型的联系和区别
相同：
不同：
四．数学运用
题型一：基本概念
例1． 判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型，还是几何概型。

（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）地铁列车每3 分钟一班，在车站停1分钟.求乘客到达站台立即上车的概率 ． 3m
（3）奥运会射击比赛中箭靶的直径为122cm ，而靶心的直径只有12.2cm ，运动员在70米外
射箭，假设每箭都能射中靶面任意一点，求射中靶心的概率为多少？
（4）随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率
题型二：模型应用
一.与长度有关的几何概型
例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于
10分钟的概率。

练习 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯
C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？
例2、取一根长度为m 3的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于m 1的
概率有多大？
变式1：在本例中，求两段中一段小于m 1,另一段大
于m 2概率。

练习：设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍
的概率。

例3、如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升
水，求小杯水中含有这个细菌的概率。

例4 (1)在[0,10]中任取一个整数,求它与4的和大于6的概率;
(2)在[0,10]中任取一个数,求它与4的和大于6的概率;
(3)(3)从[0,10]中随机地取两个数,求这两数之和大于12的概率;(4)在[0,10]上分别取三个数,求使得任意两数之和大于第三个数的概率.
例5、在等腰ABC Rt ∆中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率.
判断下面两种解法的正误：
解法1：在AB 上截取AC AC ='
，于是 22')'()(===<=<AB AC AB AC AC AM P AC AM P 答：AM 小于AC 的概率为22.
解法2：在AB 上截取AC AC ='，连接'CC ，则︒=︒-︒=∠5.67245180'ACC ,
设A={ 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AC AM <}，
则所有等可能基本事件所在区域是∠ACB=90°,
事件A 所在区域为'ACC ∠ ∴AM 小于AC 的概率为43905.67=︒︒.答：AM 小于AC 的概率为43. 收获与体会: 用几何概型解决实际问题的方法.
(1)选择适当的观察角度，转化为几何概型.
(2)把基本事件转化为与之对应区域的长度（面积、体积）
(3)把随机事件A 转化为与之对应区域的长度（面积、体积）
(4)利用几何概率公式计算
3m
(5)如果事件A对应的区域不好处理，可以利用对立事件来处理。

一.与长度有关的几何概型
二.与面积有关的几何概型
三.与体积有关的几何概型
四.求会面问题中的概率
五．求与角度有关的几何概型
五．回顾小结：
1．本节课我们首先从游戏中提出问题，然后由特殊到一般去分析问题，再解决问题。

我们还学习了几何概型的定义及关于几何概型问题的概率计算公式：一般地,在几何区域D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率
为:()A
P A=
构成事件的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
2．运用几何概型进行解决问题的步骤
关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．3.用几何概型解简单试验问题的方法
(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解．
(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D.
(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d.
(4)利用几何概型概率公式计算．
几何概型——第二课时
教学目标：
1．会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题（面积类）；
2．让学生进一步学会把一些实际问题化为几何概型；
教学重点：
进一步体会几何概型，将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题
教学难点：
将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题，准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d，并求出它们的测度。

教学过程：
一、回顾性练习
1、某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客
到达车站后候车时间大于10分钟的概率
2、在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在xOT
∠内的概率是____
3、边长为a 2的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在圆及正方形
夹的部分的概率是__________________________。

二、典例剖析
例1、假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲
离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
变式：甲、乙两人约定在下午4；00——5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定
要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。

例2、两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机只有离基地25km 范
围内才能收到，下午3：00张三在基地正东30km 内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。

例3、将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过2
1的概率。

变式：一条直线型街道的A 、B 两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再
随意安
装两盏路灯C 、D ，顺序为A 、C 、D 、B. 问A 与C 、B 与D 之间的距离都不小于40米的概率是多少？
在等腰RtABC 中过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM
与线段AB 交于点M 求AM<AC 的概率.
三、课堂练习
1、随机的向半圆)0(202>-<<a x ax y 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该
区域的面积成正比，求该点与原点的连线与x 轴的夹角小于
4π的概率。

2、设关于x 的一元二次方程0222=++b ax x ，若a 是从区间]3,0[任取的一个实数，b 是
从区间]2,0[任取的一个实数，求上述方程有实根的概率。