二次型配方法技巧

二次型配方法技巧
二次型配方法是求解二次型优化问题的一种常用方法。

它通过将二次型问题转化为一系列线性约束问题，然后应用线性规划的方法求解。

二次型可以表示为：
\[
\min_{x} x^T Ax + b^T x
\]
其中，$A$是一个$n \times n$的对称矩阵，$b$是一个$n$维向量。

二次型的配方法可以分为两类：完整配方法和斜配方法。

完整配方法的基本思想是，在二次型的约束条件下引入新的变量，将二次型问题转化为一个等价的线性规划问题。

设$x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$为原始优化问题的解，引入新的变量$y=(y_1,y_2,...,y_n)^T$，并定义新的变量$z=[x^T,y^T]^T$。

则原始优化问题可以表示为：
\[
\min_{z} z^T Q z
\]
其中，
\[
Q=
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}_{(n+m) \times (n+m)}
\]
其最优解$z^*=[x^{*T},y^{*T}]^T$满足以下约束条件：
\[
\begin{cases}
Ax^*+b=y^* \\
y^*\geq 0
\end{cases}
\]
斜配方法的基本思想是，在二次型的约束条件下引入新的变量，将二次型问题转化为一个等价的线性规划问题。

设$x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$为原始优化问题的解，引入新的变量$y=(y_1,y_2,...,y_n)^T$，并定义新的变量$z=[x^T,y^T]^T$。

则原始优化问题可以表示为：
\[
\min_{z} z^T Q z
\]
其中，
\[
Q=
\begin{bmatrix}
A &
B \\
B^T & 0 \\
\end{bmatrix}_{(n+m) \times (n+m)}
\]
其中$B$是一个$m \times n$的矩阵，其最优解
$z^*=[x^{*T},y^{*T}]^T$满足以下约束条件：
\[
\begin{cases}
Ax^*+By^*=0 \\
y^*\geq 0
\end{cases}
\]
在具体求解过程中，可以使用线性规划的方法来求解上述等价的线性规划问题。

常用的线性规划求解算法有单纯形法、内点法等。

其中，内点法常用于求解大规模的线性规划问题，其核心思想是通过迭代逐步靠近最优解。

在求解过程中，还可以通过引入松弛变量、增加约束条件等方法来加强问题的可行性。

松弛变量可以用来处理原始约束条件的不等式形式，将其转化为等式形式。

增加约束条件可以用来限制解的范围，进一步缩小问题的求解空间。

此外，对于一些特殊的二次型问题，还可以通过问题的性质进行变量变换，从而简化问题的表达形式。

常见的变量变换方法有正交变换、对称变换、对偶变换等。

总之，二次型配方法是求解二次型优化问题的一种常用方法。

它将二次型问题转化为一系列线性约束问题，并利用线性规划的方法进行求解。

在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的配方法，并结合合适的线性规划求解算法进行求解，从而获得问题的最优解。