教案教学设计中职数学拓展模块2.2.2双曲线的几何性质
学案5:2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1．掌握直线与双曲线的位置关系．2．掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．学习重点：直线与双曲线的位置关系．学习难点：直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．课内探究案新课导学：探究点一直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组{y=kx+m,①x2a2-y2b2=1②的解的个数进行判断.①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0,即k=±ba,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于一点.当b2-a2k2≠0,即k≠±ba时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交;Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切;Δ<0⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.注意:直线与双曲线相切时,它们只有一个公共点,但当直线与双曲线只有一个公共点时,它们不一定相切,这时它们还可以相交.例1 若直线y=2x+m与双曲线x2-y2=4相切,则实数m的值为.探究点二根据双曲线标准方程研究几何性质由双曲线的方程,求双曲线的相关性质的步骤为:先将双曲线方程化为标准形式x 2a2−y2b2=1(或y2 a2-x2b2=1),再根据它确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b),进而求出c;再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画近似图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两条邻边的矩形的对角线所在直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形.例2 求双曲线144x2-25y2=-3 600的实轴长和虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线方程.探究点三根据双曲线的几何性质求标准方程1.根据双曲线几何性质求标准方程时,常用方法是先定型(焦点在哪个轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆.2.如果已知双曲线的方程为标准形式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.3.与双曲线x2a2−y2b2=1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0),然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.例3 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线x2-2y2=2有共同渐近线,且过点M(2,-2);(2)过点P(3,-√2),离心率为√52.当堂检测1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．422．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝13．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( ) A.31414 B.324 C.32 D.434．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．四、课后反思课后训练案1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是()A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝12．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x224－y 212＝13．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x5．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.7．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程．答 案新课导学探究点一 直线与双曲线的位置关系例1 【解析】联立方程组{y =2x +m ,x 2-y 2=4,则3x 2+4mx+m 2+4=0,由题意知Δ=(4m )2-12(m 2+4)=0,解得m=±2√3.【答案】±2√3探究点二 根据双曲线标准方程研究几何性质例2 【答案】 解:把双曲线方程化成标准方程为y 2144−x 225=1,则a 2=144,b 2=25,∴c 2=a 2+b 2=169. ∴a=12,b=5,c=13.由此可知,该双曲线的实轴长2a=24,虚轴长2b=10,焦点坐标为(0,-13),(0,13),顶点坐标为(0,-12),(0,12),离心率e=1312,渐近线方程为y=±125x.探究点三 根据双曲线的几何性质求标准方程例3 【答案】 解:(1)设与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程为x 22-y 2=k (k ≠0), 将点(2,-2)代入,得k=222-(-2)2=-2,故双曲线的标准方程为y 22−x 24=1.当堂检测1．【解析】双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C. 【答案】C2．【解析】2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2.【答案】B3．【解析】根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32. 【答案】C4．【解析】∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1.【答案】1课后训练案1．【答案】 C【解析】 ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 2．【答案】 B【解析】 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为y 212－x 224＝1. 3．【答案】 C【解析】 ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.4．【答案】 D【解析】 ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169， ∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a bx ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 5．【答案】 －12<b <0【解析】 ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)， ∴－12<b <0.6．【答案】 62 【解析】 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 7．【答案】解：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)． 8．【答案】解：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2＝43(ⅰ) 又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1.。
2.2.2双曲线的简单几何性质(1) 精品教案
2.2.2双曲线的几何性质（1）一、教材分析本节课选自人教A 版选修1—1第二章圆锥曲线与方程,是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义,渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键.本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，主要应指对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±b y a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222by a x 。
对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离二、学情分析我所任教的班级是文科实验班和文科平行班，学生基础不是特别好，这节课本身也是一个难点，因此，我在引导学生思考的同时，必须适当讲解。
在此之前，学生已经学习了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课，我将继续采用类比、归纳等方法，启发学生推导出双曲线的简单几何性质。
通过双曲线的学习，可以使学生在已有知识结构基础上，拓展延伸，构建新的知识体系，同时对由方程讨论曲线性质（由数到形）的思想方法有更深刻的认识。
三、教学目标分析平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。
教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的基本几何性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。
中职教育二年级下学期数学《双曲线的应用》教学设计
学
重 难 点
【教学重点】探究双曲线几何性质的应用
【教学难点】双曲线的渐近线和离心率
微课过程
场景
解说词
画面要求
技巧
备注
画面一
同学们，大家好！欢迎学习中职数学《拓展模块》一系列课程，今天我们要讲的内容是《双曲线的应用》。
不出镜
有中文配音
引入课题
画面二
A：同学们应该已经听过歌曲《悲伤的双曲线》了，正如歌词所唱：如果我是双曲线，你就是那渐近线，虽然我们有缘，能够生在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点。歌曲描述的就是双曲线的特殊性质：渐近线。我们先一起回顾双曲线的几何性质。
A. B.
C. D.
(4)双曲线与椭圆 有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x，则双曲线方程为（ ）
A. B.
B.C. D.
PPT展示
有中文配音
通过练习强化巩固所学知识
画面六
下面我们来看看第三类题型：利用双曲线的定义求轨迹问题
例3：已知两定点 , ,动点 满足 , 求动点 的轨迹方程。
解：因为 >6 ，
A：由于双曲线的标准方程分为焦点在x轴上和y轴上两种情况，焦点由 、 系数为正的那一项决定，所以两种情况下的几何性质既有联系又有区别，具体请看下面的表格。
范围：不同，x、y的范围刚好交换。
对称性：相同，都关于x轴、y轴成轴对称、关于原点成中心对称。
顶点：都有2个，位置不同。
离心率：定义、公式都相同，
由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线,
焦点为
可设所求方程为: (a>0,b>0).
则2a=6, 2c=10, 即a=3,c=5，所以
所以点P的轨迹方程为 .
教学设计4：2.3.2双曲线的几何性质
2.3.2双曲线的几何性质难教学程序以方程为例研究双曲线的简单几何性质1、范围：， 提问：（1）看图可知其范围是什么？ （2）类比椭圆如何研究其范围？2、对称性：对称轴为轴，对称中心为坐标原点 提问：（1）看图可知其有怎样的对称性？ （2）类比椭圆如何研究其对称性？3、顶点：双曲线与对称轴的交点顶点坐标双曲线的实轴：，长为,半实轴长双曲线的虚轴: ，长为，半虚轴长提问：与椭圆比较，为什么不叫双曲线的顶点？椭圆的短轴与虚轴有什么不同？ 4、渐近线： 提问（1）反比例函数与正切函数的图像都有什么共同的显著特点？你对双曲线的图像有什么发现？ （2）渐近线方程如何求解？利用特征三角形；换“1”为“0” （3）求出焦点在轴的双曲线渐近线方程并比较焦点位置12222=-b y a x ||x a ≥y R ∈y x ,12(,0),(,0)A a A a -12A A 2a a 12B B 2b b ),0(),,0(21b B b B -x aby ±=xy 1=x y tan =y例2求双曲线16x 2-9y 2=144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标及渐近线方程．解：把双曲线的方程化为标准方程由此可知，实半轴长a =3，虚半轴长b =4. 半焦距c = 5 .因此双曲线的实轴长2a =6，虚轴长2b =8 ； 顶点坐标是(3,0)(-3,0); 焦点坐标是(-5,0),(5,0); 渐近线方程为 例3 一双曲线型冷却塔的外型，是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面，它的最小直径为24m ，上口直径为26m ，下口直径为50m ，高为55m.在如图所给的平面直角坐标系中，求此双曲线的近似方程（虚半轴长精确到0.1m ）解：在给定的直角坐标系中，设双曲线的标准方程为221916x y -=43.y x =±2222100-(,),x y a b a b=>>。
人教版高中数学优质教案1：2.2.2 双曲线的简单几何性质(一) 教学设计
2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）一. 教学任务分析1. 学生已有的主要知识结构学生已经经历了根据标准椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程.2.建立新的知识结构类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程通过学生自我思考，得出结论，同学交流回答展示，得出与椭圆相近的几何性质.通过多媒体展示渐近线的发现与论证过程.3. 在整个过程中教师的作用：启发诱导，点拨释疑，补充完善.二. 教学目标1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质.2.了解双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e的关系及其几何意义.3.通过启发诱导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比，分析，归纳，猜想，概括，讨论等逻辑思维能力.三. 教学重点、难点重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间相互依存关系，特别是双曲线的渐近线的性质.难点：有关离心率，渐近线的问题.四. 教学方法启发诱导、类比探究五. 教学手段多媒体六. 教学情境设计教学程序设计意图［情境设置］提问：（1）双曲线的定义（2）双曲线的标准方程（3）前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质［探索研究］1.类比椭圆22221x ya b+=,（a>b>0）的几何性质，借助22221x ya b-=,（a>0,b>0）图象探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；程序是：学生：自主思考→得出结论→小组讨论→回答所得结论（与大家讨论）教师：启发诱导→点拨释疑→补充完善回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决.通过观察类比，形成知识的迁移，明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法，进而培养学生观察问题解决问题的能力.，2. 渐近线的发现与论证：思考：双曲线22194x y -= ① 在位于第一象限内的双曲线上找一点M ，点M 的横坐标x M 与它到直线032x y-=的距离d 有什么关系？ （学生回答） ② d 能否为0？若d =0，则双曲线与直线相交，设交点坐标为M (x 0,y 0) 则00032x y -=，又22000000()()01943232x y x y x y -=+-=≠∴点M 不在双曲线上， ∴d ≠0 .归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线.（引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系） 结论：①双曲线22221x y a b -=，（a >0,b >0）的渐近线方程为0x y a b±= ②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线.3. 离心率的几何意义通过几何画板的演示，让学生直观感受离心率对双曲线开口大小的影响.通过几何画板的演示，让学生直观感受，以完善对双曲线渐近线的正确认识.思考：渐近线、e 、双曲线张口有什么关系？（（学生独立完成焦点在y 轴上的双曲线的几何性质、完善表格）e>1e 越大双曲线张口越大·221(0,0)22x y a b a b-=>>双曲线图形yo F 1F 2··x 范围x ≥a 或x ≤-a对称性关于x 轴、y 轴、原点对称顶点（±a ，0）离心率ce a=渐近线x y a b±=双曲线与渐近线无限接近但永不相交221(0,0)22y x a b a b-=>>双曲线（引导学生找出焦点在x 轴和焦点在y 轴上的双曲线的几何性质的异同.以帮助学生准确记忆.）4. 例题：⑴求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.(2)求双曲线x 2－y 2＝a 2的实轴和虚轴长、渐近线方程. 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的认识.培养学生类比归纳，独立思考的能力，巩固双曲线的几何性质.4.巩固练习：6．总结提练1. 通过类比椭圆学习了双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，并且感悟双曲线与渐近线的关系；2. 渐近线是双曲线特有的性质，其发现与给出过程蕴含了重要的数学方法.3. 渗透了类比、数形结合等重要的数学思想.7．布置作业：1.课本P543,42. 求一个渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点为(4,0)的双曲线方程.3．求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程.学生自主归纳完成，进一步明确本节课所学内容及体现的思想方法。
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)
双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。
若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。
拓展模块数学教案-2.2双曲线的定义和标准方程 (2)
授课班级
授课日期
第 课时
课 型
新授课
教具、资料
黑板、直尺、粉笔
课 题
2.2双曲线的定义和标准方程
教 学
目 标
要 求
知识
与
技能
掌握双曲线定义和标准方程；
能运用双曲线定义解决一些简单的问题。
过程
与
方法
通过双曲线定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
例2在给出的四个选项中选择适当的数填入空格，再解题：已知双曲线的焦点坐标为 , ,双曲线上点P到F1，F2的差的绝对值等于______，求双曲线的标准方程.
A. 16 B. 6 C.10 D.0
例3判断下列各双曲线的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距
① ② ③
提问与引导学生积极思考。课前任务学习单的展示增进学习的兴趣性
学生学习、
操作（主体）活动
时间
分配
（1）复旧引新
圆形成的过程：一个定点（圆心）；一个定长：半径。
（二）创设情境，引入概念
1、动画演示，描绘出双曲线轨迹图形。
2、实验演示。
思考：双曲线是满足什么条件的点的轨迹呢？
2.2双曲线
1.双曲线定义
引导学生概括双曲线定义
双曲线定义：到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹叫双曲线。
图像展示观察特征。
据图总结性质点，学生深入理解数形结合思想的逻辑形象思维能力。
5分
10分
10分
2.标准方程
当焦点在x轴上，中心在原点时，方程形式：
当焦点在y轴上，中心在原点时，方程形式：
（3）运用知识，强化例题
例1已知方程 表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是 ．
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案教案标题：双曲线的几何性质教案目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够应用所学知识解决与双曲线相关的几何问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习椭圆和抛物线的几何性质，引出双曲线的概念。
2. 引导学生思考双曲线与椭圆、抛物线的异同之处。
知识讲解：3. 介绍双曲线的定义，以及与椭圆和抛物线的区别。
4. 解释双曲线的标准方程，并讲解如何根据方程确定双曲线的形状和位置。
性质探究：5. 讲解双曲线的焦点和准线的定义，以及它们与双曲线方程中的参数的关系。
6. 引导学生通过计算实例，理解焦点和准线对双曲线形状的影响。
应用实践：7. 引导学生通过实例，探究双曲线的渐近线的性质和方程。
8. 给学生一些实际问题，要求他们应用所学知识解决问题，如：给定双曲线的焦点和准线，求双曲线的方程。
巩固练习：9. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
总结回顾：10. 总结双曲线的几何性质，强调重点和难点。
11. 鼓励学生提问和解答疑惑。
教学辅助：- 演示板或投影仪，用于展示双曲线的图形和方程。
- 教科书或教学PPT，用于讲解和示范。
- 计算器，用于计算实例。
教学评估：- 在课堂上观察学生的参与度和理解情况。
- 布置作业，检查学生对双曲线几何性质的掌握程度。
- 进行小组或个人演示，让学生展示他们对双曲线的理解和应用能力。
教案扩展：- 引导学生进一步探究双曲线的其他性质，如离心率、直线的切线等。
- 引导学生应用双曲线的性质解决更复杂的几何问题，如求解交点、证明性质等。
注意事项：- 确保讲解清晰，语言简明扼要，避免过于抽象或复杂的表达。
- 鼓励学生思考和提问，激发他们的兴趣和参与度。
- 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和步骤。
《双曲线的标准方程和性质》中职数学拓展模块2.2ppt课件1【语文版】
本 讲 栏 目
解析 椭圆1x62 ＋y92＝1 的焦点在 x 轴上，且 a＝4，b＝3，c＝
开
7，所以焦点为(± 7，0)，顶点为(±4,0).于是双曲线经过点
关
(± 7，0)，焦点为(±4,0)，则 a′＝ 7，c′＝4，所以 b′2
＝9，所以双曲线的标准方程为x72－y92＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
本 讲 栏 目 开
轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)， ∵a＝25,2c＝|AB|
＝ 1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝50 7，
关 ∴c＝25 7，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为6x225－3 y7250＝1.
(D )
本 讲 栏 目 开 关
2．2.1 双曲线及其标准方程
【学习要求】
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.
本 讲
2.掌握双曲线的标准方程.
栏 目
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
开 关
【学法指导】
本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别
中建立双曲线的定义及标准方程.
F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点 P 的轨迹是双曲线的右支.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 双曲线的标准方程
问题 1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线
的标准方程？
答案 (1)建系：以直线 F1F2 为 x 轴，F1F2 的中点为原点建立
填一填·知识要点、记下疑难点
高教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
(下一页)渐近线
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线 x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
例2
已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5 4
，
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
A1
o
(2)利用渐近线可以较准确的画出
双曲线的草图
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
y2 0 则 4
4
y2
2即 x2
y92
1 4
1
，解得
2
94
18 8
例3：求下列双曲线的标准方程：
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且过点 3 2，2 ； 16 4
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课时教学设计首页（试用）
授课时间：年月日
课时教学流程
☆补充设计☆
教师行为*揭示课题
2 . 2双曲线. 学生行为教学意图了解
*创设情境兴趣导入
我们用于研究椭圆的性质相类似的方法来，根据双曲线的标准方程
x2
a2 _b2=1(a .0, b 0)
观看
课件
思考
引导
启发学生
得出结果
来研究双曲线的性质.
*动脑思考探索新知
1 .范围
2
因为y2> 0，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上b2
2
的点的横坐标满足笃》1，即x2> a2 .于是有
a
x<— a 或x > a.
这说明双曲线位于直线x=—a的左侧与直线x= a的右侧
（如图2 —11）
思考
引导学生
发现解决
问题方法
率，记作e.即
c e 二
一
a
因为c a 0，所以双曲线的离心率 e 1.
由
“ e 2 -1
可以看到，e 越大，b 的值越大，即渐近线y=±b
x 的斜率的
a
a
绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大（如图 2- 12）.因
此，离心率e 的值可以刻画出双曲线“张口”的大小. 【想一想】
等轴双曲线的离心率是多少？
*巩固知识典型例题
【说明】
焦点在y 轴的双曲线
a 2 _
b 2
=1（a 0,b 0）的渐近线方程
为% - 5 .离心率
双曲线的焦距与实轴长的比
2c c
——：一叫做双曲线的离心
2a a
图 2 - 12
第7页(总页)
课时教学设计尾页（试用）
☆补充设计☆
板书设计
双曲线的几何性质：例题与练习：
1.范围
2.对称性
3.顶点
4.渐近线
5.离心率
作业设计
必做P44 习题A 1、2、3
选做P4 3 练习B 2、3
教学后记
2 .对称性
在双曲线的标准方程中，将y换成-y,方程依然成立.这说明双曲线关于x轴对称.
同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称.x 轴与y轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称
中心（简称中心）.
3.顶点。