高中数学必修一第四章 2.1 对数的运算性质 2.2 换底公式
北师版高中数学必修第一册精品课件 第4章 对数运算与对数函数 2.1 对数的运算性质
探究二 条件求值问题
【例 2】 已知 lg x+lg y=2lg(x-2y),则 lo
=
解析:由已知,可得lg(xy)=lg(x-2y)2,
从而有xy=(x-2y)2,整理,得x2-5xy+4y2=0,
即(x-y)(x-4y)=0,所以x=y或x=4y.
由x>0,y>0,x-2y>0,可得x>2y>0,所以x=y舍去,
(2)原式=2log552+3log226=4+18=22.
答案:(1)C (2)22
探究一 对数的运算
【例 1】 计算下列各式的值:
(1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18;
2 Байду номын сангаас
(2) lg
− lg +lg ;
(3)lg 5 +lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
2.1
对数的运算性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
对数的运算性质
【问题思考】
1.计算(1)log28与log22+log24;(2)log3243与log39+log327,你发现
了什么?
提示:(1)log28=3,log22+log24=3.
(2)log3243=5,log39+log327=5,发现略.
2
2
− -2=0,
解得=2 或=-1(舍去).
所以 lo =lo 2=lo (
第四章-§1-对数的概念-§2-对数的概念高中数学必修第一册北师大版
例1-4 ［教材改编P106 A组T2］［多选题］(2024·湖南省长沙市期末)下列说法中正
确的是(
AB
)
A.lg lg 10 = 0
B.lg ln e = 0
C.若10 = lg ,则 = 10
【解析】∵ lg 10 = 1,
∴ lg lg 10 = lg 1 = 0,A正确；
∵ ln e = 1,∴ lg ln e = lg 1 = 0,B正确；
∴
4
4
3
4
= 81,即3 = 34 ,
= 4,即 = 16,故log 4 3 81 = 16.
（3）log
2+ 3
2− 3 .
【解析】设 = log
故log
2+ 3
2+ 3
2 − 3 = log
2 − 3 = −1.
2+ 3
2+ 3
−1
,∴ = −1,
例1-3 (2024·山东省聊城一中月考)对数式log
1
⋅
1
log + log −
=
方法2 当 = 1时，左边=右边= 0.
当 ≠ 1时，左边
=
lg
lg +
+
综上，log
lg
lg −
+
=
lg ⋅lg[ + − ]
lg + ⋅lg −
+ log
−
= 2log
=2
lg
⋅
lg +
例15 设,,是直角三角形的三边长，其中为斜边，且 + ≠ 1, − ≠ 1，求证:
对数的运算法则高一上学期数学湘教版(2019)必修一
要点二 对数换底公式
log
logab＝
(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0).
log
1
特别地：logab·logba＝________(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1).
状元随笔 对数换底公式常见的两种变形
1
(1)logab·logba ＝1，即
＝logba ，此公式表示真数与底数互换，
＝log93 ＝ .
log2 9
2
跟踪训练1 求值：
1
1
(1)
+
log4 6
log9 6
(2)(log23＋log43) (log32＋log274)
解析：(1)原式＝log64＋log69＝log636＝2.
1
2
(2)原式＝(log23＋ log23)×(log 3 2 + log 3 2)
3
2
第2课时 对数的运算法则(2)
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
教材要点
要点一 常用对数与自然对数
(1)常用对数：以10为底的对数，叫作常用对数，并且把log10N记为
lg N.
(2)自然对数：以e(e＝2.718 28…)为底的对数，叫作自然对数，并且
把logeN 记为ln N .
例1 计算下列各式的值．
(1)(log43＋log83)log32；
log5 2 × log7 9
(2).
1
3
log5 × log7 4
3
方法归纳
(1)利用对数的换底公式可以将不同底对数的问题化为同底对数的问
题．
(2)换底时要注意与题中条件结合，所取的底数要便于计算．
高中数学(新人教A版)必修第一册：对数的运算【精品课件】
[方法技巧] 对数式化简与求值的基本原则和方法
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进 基本
行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况， 原则
一般本着便于真数化简的原则进行 常用 “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数 方法 “拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)
[ 变式训练]
＝ 3log25＋22lloogg2252＋3lloogg2252 log52＋22lloogg5525＋33lloogg5525
＝
3＋1＋1 3
log25·(3log52)＝13log25·lloogg2225＝13.
法二：原式＝
lg 125＋lg 25＋lg lg 2 lg 4 lg
5 8
lg 2＋ lg 4 ＋ lg 8 lg 5 lg 25 lg 125
＝
3lg 5＋2lg lg 2 2lg
5＋ lg 5 2 3lg 2
lg lg
2＋2lg 5 2lg
2＋3lg 5 3lg
2 5
＝
13lg 5 3lg 2
3lg 2 lg 5 ＝13.
法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
＝ 3log25＋log25＋13log25 (log52＋log52＋log52)
[方法技巧] 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
[ 变式训练]
1．若 logab·logbc·logc3＝2，则 a 的值为________．
解析：法一：由已知可得llgg
b lg a·lg
c lg b·lg
3c＝2，即llgg
3a＝2，
∴lg 3＝2lg a，∴a2＝3，a＝ 3.
高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
=(log23+log23+log23+…+log23)×log9
=n×log23× × log32
= .
探索点三
对数运算的综合应用
【例 3】
(1)已知 2x=3y=a,若 + =2,则 a 的值为(
A.36
B.6
C.2
D.
解析:因为 2x=3y=a,所以 x=log2a,y=log3a,
所以 + =
+
=loga2+loga3=loga6=2,
所以 a2=6,解得 a=±
.
又因为 a>0,所以 a=
,故选 D.
答案:D
)
(2)方程 lgx+lg(x-1)=1-lg5 的根是 (
A.-1
B.2
C.1 或 2
D.-1 或 2
解析:原方程可化为 lg[x(x-1)]=g2,则有
所以
答案:B
所以 log3645=
=
=
=
=
.
方法规律
利用对数换底公式进行化简求值的原则和技巧
【跟踪训练】
3.变式练在本例(2)的条件下,试用 a,b 表示 log310.
+
=
解:log310=
- + -+ -+
① lg 25+
+lg
+lg(2
);
②(lg 5)2+lg 2·lg 50.
解:①原式= ×2×lg 5+3+ lg
+lg
原创精品课件1：3.4 第2课时 对数的运算性质和换底公式(导学式)
典例精讲：题型二：运用 对数的运算性质求值
【例2】计 算： (1); (3) (4) (2)；
[思路分析]运用对数运算性质求值时，当底数相同， 则直接利用对数运算性质求解，若底数不同，则借 助对数运算性质和换底公式，化式子为同底的形式 ，同时尽可能使真数只有一种或少数几种(通常为
典例精讲：题型二：运用 对数的运算性质求值
探究 点2
换底公式
换底公式用途和 本质: (1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常 用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决 对数求值的问题． (2)换底公式的本质是化为同底，这是解决对数 问题的基本方法．
典例精讲：题型一：对 数的运算性质
【例 1】 用 logax ， logay ， logaz 表
第三章 指数函数和对 数函数
§4 对数
第2课时 对数的运算性质和 换底公式
高中数学必修1· 精品课
学习目标
1 ．加深对数的
概念. 2．理解对数运算性质的推导过程，掌握对数的运算 性质、换底公式. 3．能熟练运用对数的运算性质进行 化简求值．
引入 课题
在前面，我们已经知道对数式 logaN ＝ x 是由
探究 点2
换底公式
问题 结合对数的定义，你能推导出对数的 1: 换底公式吗? (a>0,且a≠1; c>0,且 c≠1; b>0)
证明：设， 由对数的定义可得：
两边取以c为底的对数得： ∴
即证得 ∴
探究 点2
换底公 式:
换底公式 (a>0,且a≠1; c>0,且 c≠1; b>0)
即：一个对数可以用同底数的两个对数 的商来表示． 推论 (1)bnlogab； logba＝1)． (2)logab＝ (或logab·
高中数学北师大版(新)必修第一册 第四章 对数运算与对数函数学案 换底公式
2.2 换底公式[情境导入]计算器上，只有常用对数键“log ”和自然对数键“ln ”，要计算log a b 必须将它转换成常用对数或自然对数．[问题] 你知道如何转换吗？[新知初探]知识点 换底公式一般地，若a >0，b >0，c >0，且a ≠1，c ≠1，则log a b ＝ ．这个结论称为对数的换底公式．[点一点] 换底公式的推论[想一想]1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log N n M m ＝mnlog N M 吗？[做一做]1．log 6432的值为( ) A ．12B ．2C ．56D ．652．若log 23＝a ，则log 49＝( ) A ．a B ．a C ．2aD ．a 23．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 计算：(1)log 29·log 34； (2)log 52×log 79log 5 13×log 734.[通性通法]利用换底公式求值的思想与注意点[跟踪训练]1．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值为( )A ．log 26B ．log 36C ．2D ．12．若log 2x ·log 34·log 59＝8，则x ＝( ) A ．8 B ．25 C ．16D ．4题型二 用已知对数式表示求值问题[例2] 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)[母题探究]1．(变设问)若本例条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?2．(变条件)若将本例条件“log 189＝a ，18b ＝5”改为“log 94＝a ，9b ＝5”，则又如何求解呢？[通性通法]求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．[跟踪训练]设a ＝log 36，b ＝log 520，则log 215＝( ) A.a ＋b －3（a －1）（b －1） B.a ＋b －2（a －1）（b －1） C.a ＋2b －3（a －1）（b －1）D.2a ＋b －3（a －1）（b －1）题型三 有附加条件的对数式求值问题[例3] (1)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，则abc 的值为________；(2)已知5x ＝2y ＝(10)z ，且x ，y ，z ≠0，则z x ＋zy的值为________．[通性通法]与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．[跟踪训练]已知实数a ，b ，c ，d 满足5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5，则(abcd )2 022＝________．[随堂检测]1．式子log 32·log 227的值为( ) A ．2 B ．3 C ．13D ．－32．在1log b a ，lg alg b ，log b a ，log a n b n (a ，b 均为不等于1的正数)中，与log a b 一定相等的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．44．若实数a ，b ，c 满足25a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，则下列式子正确的是( ) A ．1a ＋2b ＝2cB ．2a ＋2b ＝1cC ．1a ＋1b ＝2cD ．2a ＋1b ＝2c5．方程log 2x ＋1log （x ＋1）2＝1的解是________．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探]知识点 换底公式 log c blog c a[想一想]1．提示：log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a.2．提示：log N nM m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM .[做一做]1．【答案】C【解析】log 6432＝lg 32lg 64＝lg 25lg 26＝5lg 26lg 2＝56.2．【答案】B【解析】log 49＝lg 9lg 4＝2lg 32lg 2＝log 23＝a .故选B.3．【答案】9【解析】利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，于是m ＝9.——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 解：(1)由换底公式可得， log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝log 132×log 349＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32. [跟踪训练]1．【答案】C【解析】原式＝(log 32)2＋2log 32×log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2log 32×log 23 ＝2×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝2.2．【答案】B【解析】∵log 2x ·log 34×log 59＝lg x lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝lg x lg 2×2lg 2lg 3×2lg 3lg 5＝8，∴lg x ＝2lg 5＝lg 25，∴x ＝25. 题型二 用已知对数式表示求值问题 [例2] 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a. [母题探究]1．解：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．解：因为9b ＝5，所以log 95＝b . 所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. [跟踪训练]【答案】D【解析】∵a ＝log 36＝log 26log 23＝1＋log 23log 23，∴log 23＝1a －1.∵b ＝log 520＝log 220log 25＝2＋log 25log 25，∴log 25＝2b －1.∴log 215＝log 23＋log 25＝1a －1＋2b －1＝2a ＋b －3（a －1）（b －1）.题型三 有附加条件的对数式求值问题 [例3] 【答案】(1)1 (2)2【解析】(1)法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ，∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1. 法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg clg t . ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg(abc )＝0，∴abc ＝1.(2)令5x ＝2y ＝(10)z ＝k ，则x ＝log 5k ，y ＝log 2k ，12z ＝lg k ，z ＝2lg k ，∴z x ＋z y ＝2lg k log 5k ＋2lg k log 2k＝2lg k (log k 5＋log k 2)＝2lg k ·log k 10＝2·log 10k ·log k 10＝2. [跟踪训练]【答案】1【解析】将5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5转化为对数式， 得a ＝log 54＝ln 4ln 5，b ＝ln 3ln 4，c ＝ln 2ln 3，d ＝ln 5ln 2，所以(abcd )2 022＝⎝⎛⎭⎫ln 4ln 5×ln 3ln 4×ln 2ln 3×ln 5ln 22 022＝12 022＝1.[随堂检测]1．【答案】B【解析】log 32·log 227＝lg 2lg 3·lg 27lg 2＝lg 27lg 3＝log 327＝3，故选B.2．【答案】C【解析】1log b a ＝log a b ，lg a lg b ＝log b a ，log b a ＝log b a ，log a n b n ＝log a b ，故选C.3．【答案】B【解析】原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5 lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 4．【答案】A【解析】由已知，得52a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，得2a ＝log 52 019，b ＝log 4042 019， c ＝log 2 0202 019，所以12a ＝log 2 0195，1b ＝log 2 019404，1c ＝log 2 0192 020，而5×404＝2 020，所以12a ＋1b ＝1c ，即1a ＋2b ＝2c ，故选A.5．【答案】1【解析】原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1， ∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1.即x >0，∴x ＝1.。
高中数学 2.2.1对数与对数运算(全课时讲练结合)新人教A版必修1
解 :lg 5 100 1 lg102
5
log2 25 log2 47
2 lg10
log2 25 log2 214
5
2
=5+14=19
5
练习(liànxí)课本P68 2
第三十一页，共47页。
练习(liànxí)P68 3.求下列(xiàliè)各式的值：
（1） log2 6 log2 3
【例 1】 计算下列各式的值： (1)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18；
(3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
• (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2 ＝2＋1
（2） lg xy2 z
（3） lg xy3 z
＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；
＝lgｘ＋３lgｙ－
1 lgｚ； 2
（4）
x lg y 2 z
1 lg x 2 lg y lg z 2
第三十页，共47页。
例4 计算(jìsuàn)
（1） log2 (25 47 ) （2） lg 5 100
解 : log2 (25 47 )
log2
6 3
log2 2 1
（2） lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）
log5 3 log5
1 3
（4） log3 5 log3 15
log
5
(3
1 3
)
log5 1
0
log3
5 15
log3 31 1
第三十二页，共47页。
人教版高中数学必修1：2.2.1《对数》课件【精品课件】
20
例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5
31log3 2
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log 3 2
.
21
例3 计算：
2 log 5 2 log 5 3 1 1 log 5 10 log 5 0.36 log 5 8 2 3
对数与对数运算
第二课时
对数的运算
13
问题提出
1.对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？
2.指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？
14
15
知识探究（一）：积与商的对数
思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之 间有哪些内在联系？ 思考2:将log232＝log24十log28推广到一 般情形有什么结论？
48
思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的 位置关系？由此说明对数函数 y log a x x 的图象与指数函数 y a 的图象有怎样 的位置关系？ y Q P o x
49
思考4:一般地，对数函数的图象可分为 几类？其大致形状如何？ y 0 <a <1 y a >1
1 0 1 x 1 0 1
(5) lg0.01=－２;
化为指数式：
3
(6) ln10＝2.303.
10
2
例2.求下列各式中ｘ的值：
2 (1)log64x＝ ; (2) logx8＝6 ; 3
(3)lg100=x;
(4)－lne2＝ｘ .
北师大版高一数学必修一换底公式说课稿
《换底公式》尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是换底公式。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材从教材的地位和作用来看，本课选自北师大版高中数学必修一第四章第二节。
本课是在学生学习了对数的概念和运算性质的基础上研究换底公式，是解决对数运算的重要基础。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生在学习本节课之前已经学习了对数的概念和运算性质，具有一定的分析、归纳的能力。
三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.理解并掌握换底公式，会用换底公式将一般对数化为常用对数或自然对数，并能进行简单的化简和证明。
2.通过换底公式的学习过程，使学生体会化归与转化的数学思想，培养学生分析、归纳的能力。
3.通过知识的形成过程，使学生体会知识之间的联系，培养学生数学运算的核心素养。
四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为换底公式的应用，我会通过例题来突出重点。
教学难点为换底公式的推导，我会通过详细板书举例论证来突破难点。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节，我会提问学生：“同学们，你能说出计算器里面的对数键有哪些吗？”“我要如何用计算器算出log a b的对数呢？”我这样设计的意图是通过设计问题情境，激发学生的学习兴趣，为后面的学习做铺垫。
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第四章对数运算与对数函数§2对数的运算2.1对数的运算性质2.2换底公式课后篇巩固提升基础达标练1.2log510+log50.25=()A.0B.1C.2D.4=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.2.若log23=a,则log49=()A.√aB.aC.2aD.a249=log29log24=2log232=log23=a,故选B.3.1 log1419+1log1513等于()A.lg 3B.-lg 3C.1 lg3D.-1lg3=lo g1914+lo g1315=log94+log35=log32+log35=log310=1lg3.4.(多选题)(2020山东临沂高三期末)若10a=4,10b=25,则()A.a+b=2B.b-a=1C.ab>8lg22D.b-a>lg 610a=4,10b=25,得a=lg4,b=lg25,∴a+b=lg4+lg25=lg100=2,∴b-a=lg25-lg4=lg254,∵lg10=1>lg254>lg6,∴1>b-a>lg6.∴ab=4lg2lg5>4lg2lg4=8(lg2)2.5.已知log 325=q ,log 43=p ,则lg 2=( ) A.pq p+q B.11+pq C.1+pq p+q D.pq 1+pqpq=log 43·log 325=lg3lg4·lg25lg3 =2lg52lg2=1-lg2lg2=1lg2-1, ∴1+pq=1lg2.∴lg2=11+pq .6.log 35log 46log 57log 68log 79= .35log 46log 57log 68log 79=lg5lg3·lg6lg4·lg7lg5·lg8lg6·lg9lg7=lg8lg9lg3lg4=3lg2·2lg3lg3·2lg2=3.7.若2x =3,log 483=y ,则x+2y= .2x =3,∴x=log 23.∴x+2y=log 23+2log 483=log 23+2×log 283log 24=log 23+log 283=log 28=3.8.计算: (1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40;(2)lg 12-lg 58+lg 54-log 92·log 43;(3)已知log 53=a ,log 54=b ,用a ,b 表示log 25144.原式=lg 2×58lg 5040=lg 54lg 54=1. (2)(方法一)原式=lg 1258+lg 54−lg2lg9×lg3lg4 =lg (45×54)−lg22lg3×lg32lg2=lg1-14=-14.(方法二)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-lg2lg9×lg3lg4=-lg2+lg8-lg4-lg22lg3×lg32lg2=-(lg2+lg4)+lg8-14=-lg(2×4)+lg8-14=-14.(3)∵log 53=a ,log 54=b , ∴log 25144=log 512=log 53+log 54=a+b.9.已知log 2(log 3(log 4x ))=0,且log 4(log 2y )=1.求√x ·y 34的值.log 2(log 3(log 4x ))=0, ∴log 3(log 4x )=1.∴log 4x=3.∴x=43=64.由log 4(log 2y )=1,知log 2y=4,∴y=24=16.因此√x ·y 34=√64×1634=8×8=64. 能力提升练1.若lg x-lg y=a ,则lg (x 2)3-lg (y 2)3=( ) A.3aB.32aC.aD.a 2(x 2)3-lg (y 2)3=3(lg x 2-lg y 2)=3(lg x-lg y )=3a.2.若2log a (P-2Q )=log a P+log a Q (a>0,且a ≠1),则P Q 的值为( )A.14B.4C.1D.4或12log a (P-2Q )=log a P+log a Q ,得log a (P-2Q )2=log a (PQ ).由对数运算法则得(P-2Q )2=PQ ,即P 2-5PQ+4Q 2=0,所以P=Q (舍去)或P=4Q ,解得PQ=4.3.(多选题)(2019山东宁阳高一月考)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么()A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2 c =2a+1bD.1c=2b−1a,设4a=6b=9c=k(k>0,且k≠1), 则a=log4k,b=log6k,c=log9k,由ab+bc=2ac,可得bc +ba=2,因为bc +ba=log6klog9k+log6klog4k=log k9log k6+log k4log k6=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;2 a +1b=2log4k+1log6k=2log k4+log k6=log k96,2c=2log9k=2log k9=log k81,故2c≠2a+1b,故C错误;2 b −1a=2log6k−1log4k=2log k6-log k4=log k9,1c=1log9k=log k9,故1c=2b−1a,故D正确.4.已知0<a<1,x=log a√2+log a√3,y=12log a5,z=log a√21-log a√3,则()A.x>y>zB.z>y>xC.z>x>yD.y>x>zx=log a√2+log a√3=log a√6,y=12log a5=log a√5,z=log a√21-log a√3=log a√7, 因为0<a<1,又√5<√6<√7,所以log a√5>log a√6>log a√7,即y>x>z,故选D.5.某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t,若细菌繁殖到3个,6个,18个所经过的时间分别为t1,t2,t3,则有()A.t1·t2=t3B.t1+t2>t3C.t1+t2=t3D.t1+t2<t3,得2t1=3,2t2=6,2t3=18,则t1=log23,t2=log26,t3=log218,所以t1+t2=log23+log26=log218=t3.6.2x =5y =m (m>0),且1x +1y =2,则m 的值为 .2x =5y =m (m>0,且m ≠1),得x=log 2m ,y=log 5m ,由1x +1y =2,得1log 2m +1log 5m =2, 即log m 2+log m 5=2,log m (2×5)=2.故有m=√10.√107.已知a>b>1,若log a b+log b a=52,a b =b a ,则a= ,b= .log a b+log b a=log a b+1log a b =52, ∴log a b=2或log a b=12.∵a>b>1,∴log a b<log a a=1.∴log a b=12,∴a=b 2.∵a b =b a ,∴(b 2)b =b b 2,∴b 2b =b b 2.∴2b=b 2,∴b=2,∴a=4.28.已知log a (x 2+4)+log a (y 2+1)=log a 5+log a (2xy-1)(a>0,且a ≠1),求log 8y x 的值.,可将等式化为log a [(x 2+4)·(y 2+1)]=log a [5(2xy-1)], ∴(x 2+4)(y 2+1)=5(2xy-1).整理,得x 2y 2+x 2+4y 2-10xy+9=0,配方,得(xy-3)2+(x-2y )2=0,∴{xy =3,x =2y .∴y x =12. ∴log 8y x =log 812=lo g 232-1=-13log 22=-13.素养培优练设正数a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2.求证:log 21+b+c a +log 21+a -c b =1.2(1+b+c a )+log 2(1+a -c b )=log2[(1+b+ca )(1+a-cb)]=log2(a+b+c)(a+b-c)ab=log2(a+b)2-c2ab=log22=1.。