实数完备性基本定理之间的等价性

学号:20105031106

学院数学与信息科学学院

专业数学与应用数学

年级2010

姓名陈方华

论文题目实数完备性基本定理之间的等价性指导教师陶有德职称副教授成绩

2012 年 5 月18日

目录

摘要 (2)

关键词 (2)

Abstract. (2)

Key words. (2)

1.引言 (2)

2.实数基本定理的陈述 (2)

3.定理1到定理6的循环证明 (3)

4.举例分析 (4)

参考文献 (6)

实数完备性定理之间的等价性

学生姓名:陈方华 学号:20105031106

数学与信息科学学院 数学与应用数学专业

指导教师:陶有德 职称:副教授

摘要:本文给出了实数理论的六个基本定理的循环证明

关键词:实数基本定理;等价性;数列;极限;收敛

Abstract:i n this paper, a cycle of six fundamental theorem of the theory of real numbers prove.

Key words:Real number of the fundamental theorem; equivalence; series; limits; convergence.

1. 引言

实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性,实数基本定理是建立与发展微积分学的基础.因此掌握这部分内容是十分必要的,本文主要给出实数理论的6个基本定理的循环证明.

2. 实数基本定理的陈述

定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集,必有上(下)确界.

定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限.

定理3(区间套定理) 若[]{}n n b a ,是一个区间套, 则存在唯一一点ξ,使

,2,1],,[=∈n b a n n ξ.

定理4(有限覆盖定理) 设],[b a 是一个闭区间,H 为],[b a 上的一个开覆盖,则在H 中存在有限个开区间,它构成],[b a 上的一个覆盖.

定理5（聚点原理） 实轴上的有界无限点集至少有一个聚点.

定理6(柯西收敛准则) 数列}{n a 收敛?对任给的正数ε,总存在某一个自然数N ,使得N n m >?,时,都有ε<-||n m a a .

3. 定理1到定理6的循环证明

(1) 定理1?定理2(确界原理?单调有界原理)

证 不妨设}{n x 为单增有上界数列,即0>?M ,N ∈?n ,有M x n <.

记}|{N ∈=n x U n ,则由确界原理知U 有上确界,不妨记为α,则 R U ∈=sup α,从而0>?ε,N ∈?N 使得αεα≤<-N x 成立.因为}{n x 是单调递增数列,所以N n >?,有 εααεα+<≤≤<-n N x x .故 )(,∞→→n x n α.

(2) 定理2?定理3(单调有界定理?区间套定理)

证 因为[][]11,,++?n n n n b a b a ,所以有1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤

从而可见数列{}n a 单增有上界,数列{}n b 单减有下界故由单调有界定理可知

R a ∈?使得a a n n =∞→lim ,R b ∈?使得b b n n =∞

→lim . 且N n ∈?有N n a a n ∈?≤,有n b b ≤,所以[]n n b a b a ,,∈,于是成立

n n a b a b -≤-≤0.

又因为0)(lim =-∞

→n n n a b ,所以b a =.记b a -=ξ,从而存在性得证. (3) 定理3?定理4(区间套定理?有限覆盖定理)

证(反证法) 假设闭区间[,]a b 有一个开覆盖H 不能用它的任有限个开区间覆盖.

定义性质P:不能用H 中有限个开区间覆盖.

Step(1) 将[]b a ,等分为两个子区间,则至少有一个具有性质P ,不妨记该区间为[]11,b a ,则; [][]b a b a ,1

,1?; Step(2) 将[]11,b a 等分为两个子区间,则至少有一个具有性质P ,不妨记该区间为[]22,b a ,则[][]1122,b a b a ?;

Step(n) 将[]11,--n n b a 等分为两个子区间,则至少有一个具有性质P ,不妨记该区间为[]n n b a ,,则[][]11,,++?n n n n b a b a ;

由此可得一个区间套[]{}n n b a ,且满足

n n n a b b a 2

-=-

利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套]},{[n n b a .故由区间套定理可知,存在唯一的],[n n b a ∈ξ,从而∈??U U ),(εξH ,N n N >?>?,0,有∈??U U b a n n ),(],[εξH ,这与

],[n n b a 具有性质P 矛盾.这就证明了有限复盖定理.

(4) 定理4?定理5(有限覆盖定理?聚点原理)

证(反证法) 假设原命题不成立,则由于S 是直线上的有界无限点集,即存在闭区间],[b a ,使得],[b a S ?, 所以),(),,(],,[δδx U x U b a x ??∈?只含S 中的有限多项.从而得],[b a 的一个开覆盖记为H .由有限覆盖定理可知存在H 的一个有限子覆盖记为1H .所以1H 只含有S 中的有限多个点,这显然与1H S ?是矛盾的,故可知假设错误,原命题成立.

(5) 定理5?定理6(聚点原理?柯西收敛准则)

证 不妨设}{n x 是无穷基本列,即有0,0>?>?N ε,使得N n m >?,有ε<-n m x x .易证}{n x 有界.由聚点原理可知}{n x 至少有一个聚点?∈,R ξ),(,0εξεU >?必含有}{n x 的无限多项.从而N n >?>?,0ε, 任取),(εξU 中满足N m >的某项m x ,即可得到 εξξ2<-+-≤-m m n n x x x x .故)(,∞→→n x n ξ

(6) 定理6?定理1(柯西收敛准则?确界原理)

证 设是S 一个有上界非空数集,则R b ∈?使得S x ∈?有b x <,取S a ∈构造区间],[b a .定义性质P ,区间中至少有一个数属于S ,且区间的右端点为的S 一个上界.仿(9)的证明,利用二等分法容易构造出满足性质P 的区间套]},{[n n b a 则由,0>?εN n N >?>?,0 时,有ε<-n n a b .由于}{n a 单调递增,}{n b 中的每一个元素都为}{n a 的上界.故N n m >>?,则有ε<-<-n n n m a b a a .故由柯西收敛准则可知}{n a 收敛,记其极限为ξ.由(3.1) 易证)(,∞→→n b n ξ.因此,0>?ε11,0N n N >?>?, 有 ),(,εξU b a n n ∈.由于n b 都为S 的上界,所以ξ也为S 的上界.从而可知,?∈?>?,,1S x N n ),(],[εξU b a x n n ?∈.即ξεξ≤<-x ,故ξ为S 的上确界.

4.举例分析

用数列的柯西收敛准则证明确界原理

证:设S 为非空有上界数集,由实数的阿基米德性,对任何正数α,存在整数αk ,使得αλααk =为的S 上界,而()ααλαα1-=-k 不是的S 上界,故存在()ααα1,->k 不是S 的上界,即存在()ααα1,->k

分别取,....2,1,1==n n α,则对每一个正数n,存在相应的n λ,使得n λ为的S 上界,而n

n 1-λ不是的S 上界,故存在S ∈,α,使得 n

n 1,->λα （6） 又对正整数m,m λ是S 的上界,故有,a m ≥λ,结合（6）式得n n m 1<

-λλ;同理有 m

n m 1<-λλ,从而得 ?

?????<-n m n m 1,1max λλ

于是,对任意的0>ε,存在0>N ,使得当N n m >,时有 ελλ<-n m

由柯西收敛准则,数列{}n λ收敛,记

λλ=n lim （7）

现证明λ就是S 的上确界,首先,对任何S a ∈和正整数n 有n a λ≤,由（7）式得λ≤a ,即λ S 的一个上界,其次.对任何0>δ,由()∞→→n n

01及（7）式,对充分大的n 同时有 2

,21δλλδ->

n 1-λ不是S 的一个上界,故存在S ∈,α,使得n n 1,->λα.结合上式得 δλδ

δ

λ-=-->22,a .

这说明λ为S 的上确界,同理可证:若S 为非空有下界数集,则必存在下确界.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.高等教育出版社, 数学分析教材第一册[M].

[2] 钱吉林等主编〖数[M].

[3]张筑生.数学分析新讲[M] .北京:北京大学出版社,1990.

[4]刘玉莲,傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京:高等教育出版社,1996.

[5]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].高等教育出版社,2001.

[6]同济大学数学教研室编.高等数学[M].2000.