dq坐标变换数学原理
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sα Ls sβ 0 rα Lm rβ 0 0 Ls 0 Lm Lm 0 Lr 0 0 isα i Lm sβ 0 irα Lr irβ
在两相 坐标系中，定子和转子的等效绕组落在互相垂 直的两根轴上，它们之间没有耦合关系，互感磁链只在同 轴绕组之间存在，所以式中的每个磁链分量只剩下两项。
Lm p
1 L m
Rr Lr p
s Lr
1 L m i ds i Lm p qs s L r i dr Rr Lr p i qr
（3-46）
dq坐标系相对于转子的旋转角速度为1－＝s，即 转差角速度。式（3-46）的电压方程右边系数矩阵的 每一项都是非零的，这说明异步机在二相同步旋转 坐标系下的数学模型仍是强耦合的。
（1）交流电机绕组的等效物理模型
B iB
B A
F
ω1
iA iC
A
C
C
图a 三相交流绕组
• 旋转磁动势的产生
然而，旋转磁动势并不一定非要三相不 可，除单相以外，二相、三相、四相等任意 对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都
能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。
在这里，不同电机模型彼此等效的原则 是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。
2. 三相--两相变换（3/2变换） 现在先考虑上述的第一种坐标变换 ——在三相静止绕组A、B、C和两相静 止绕组、 之间的变换，或称三相静止 坐标系和两相静止坐标系间的变换，简 称 3/2 变换。
• 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
为方便起见，取 A 轴 B 和 轴重合。设三相绕组 每相有效匝数为N3，两相 N3iB 绕组每相有效匝数为N2， N2i 60o 各相磁动势为有效匝数与 电流的乘积，其空间矢量 60o 均位于有关相的坐标轴上。 N2iβ 由于交流磁动势的大小随 时间在变化着，图中磁动 N3iC 势矢量的长度是随意的。 C
N3iA
设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与 二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在 、
轴上的投影都应相等，
1 1 N 2iα N3iA N3iB cos 60 N3iC cos 60 N3 (iA iB iC ) 2 2
3 N 2iβ N 3iB sin 60 N 3iC sin 60 N 3 (iB iC ) 2
按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压 变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。
3. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换）
从两相静止坐 标系到两相旋转坐 标系 d、q 变换称 作两相—两相旋转 变换，简称 2s/2r 变换，其中 s 表示 静止，r 表示旋转。
图中，两相交流电流 i、i 和两个直流电流 id、 iq 产生同样的以同步转速1旋转的合成磁动势 Fs 。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势
(3-41)
则两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的
变换阵是
C2 r / 2s cos sin sin cos
电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）
旋转变换阵相同。
4.直角坐标/极坐标变换（K/P变换） 它是指由d、q轴电流求定子电流和与d轴的夹角1。 显然，其变换式应为
is i i
2 d
2 q
1 arctan
iq id
此方法也同样适用于电压和磁链的变换。
• 变换过程
3/2变换 C2s/2r
ABC坐标系
坐标系
dq坐标系
三、异步电动机在、静止坐标系上的 数学模型
把异步电机在三相 静 止 ABC 坐 标 系 上 的 数学模型变换到两相 坐标系上，由于两相 坐标轴互相垂直，两 相绕组之间没有磁的 耦合，仅此一点，就 会使数学模型简单了 许多。
（2）等效的两相交流电机绕组
两相静止绕组 和 ，它 们在空间互差90°，通以时间 上互差90°的两相平衡交流电 流，也产生旋转磁动势 F 。 当两个旋转磁动势大小和 转速都相等时，即认为图b的
i
ω1 i
F
两相绕组与图a的三相绕组等 效。
图B 两相交流绕组
（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型
有意思的是：就图c 的 M、T 两个绕组而 言，当观察者站在地面看上去，它们是与三
相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到
旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个 直流电机模型了。这样，通过坐标系的变换， 可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模 型。
现在的问题是，如何求出iA、iB 、iC 与
i、i 和 im、it 之间准确的等效关系，这就是 坐标变换的任务。
写成矩阵形式，得
1 i α N 3 1 2 i 3 β N 2 0 2 1 i A 2 i B 3 iC 2
考虑变换前后总功率不变，在此前提下，可以证 明，匝数比应为
N3 N2 2 3
式中，下标s和r分别表示定子和转子变量；下标和分 别表示轴和轴变量.
3 Lm Lms —— 坐标系定子等效两相绕组的互感； 2 3 3 Lr Lms Llr Lm Llr Ls Lms Lls Lm Lls 2 2
2.磁链方程
ABC三相坐标系的磁链方程经坐标变换简化为以下 坐标系磁链方程：
1
it
T M
F d im
q
图c 旋转的直流绕组
再看图c中的两个匝数相等且互相垂直的绕 组 d 和 q，其中分别通以直流电流 id 和iq，产 生合成磁动势 F ，其位置相对于绕组来说是固 定的。 如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步 转速旋转，则磁动势 F 自然也随之旋转起来， 成为旋转磁动势。
ids
uds udr= idr 0 图3-10 异步电动机在同步旋转dq坐标系的 等效电路
1.电压方程
u ds Rs Ls p u qs 1 Ls u dr L m p u qr s Lm
1 L s R s Ls p s Lm Lm p
现代交流调速系统
第 3 章
高动态性能变频调速系统
3.2 坐标变换和动态数学模型的简化
上节中虽已推导出异步电机的动态数 学模型，但是，要分析和求解这组非线性 方程显然是十分困难的。在实际应用中必 须设法予以简化，简化的基本方法是坐标 变换。
一、 坐标变换的基本思路
直流电机的数学模型比较简单： • 虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换向器电 刷接到端接板上，因此，电枢磁动势的轴线始终被电 刷限定在 q 轴位置上，其效果好象一个在 q 轴上静止 的绕组一样。 • 主磁通的方向沿着与之垂直的 d 轴；直流电机 的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定， 这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根 本原因。
4. 异步电机在两相同步旋转坐标系（dq坐 标系）上的数学模型
q
两相同步旋
转dq坐标系的旋 转速度等于定子 电源的同步角速 度1。用dq坐标
uqr= 0
iq
r
iqs
R L s s Lm
Ψr uqs ω
ω Lm m RL L r r R r
r
L
L Ls R
m s
d
系表示的异步电
动机等效电路如 图3-10所示。
3. 电磁转矩方程
Te np Lm (isβirα isαirβ )
Lm np (Ψ rαisβ Ψ rβisα ) Lr
以上电压方程、磁链方程和电磁转矩方程再加上式 （3-1）运动方程和式（3-2）转角微分方程构成了静 止坐标系上的异步电动机数学模型。这种在两相静止坐 标系上的数学模型又称作Kron异步电机方程式或双轴 原型电机（Two Axis Primitive Machine）基本方程式。
C3 / 2
1 1 2 2 3 3 0 2
1 2 3 2
（3-38）
如果三相绕组是Y形联结不带零线， 则有 iA + iB + iC = 0，或 iC = iA iB 。 代入式（3-37）得
i α i β 3 2 1 2 0 i A iB 2
sin cos
（3-40）
式中
C2s / 2 r
是两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换 阵。
对式（3-40）两边都左乘以变换阵的逆矩阵， 即得
iα cos i sin β sin cos id id i C2 r / 2s i q q
id iα cos iβ sin
iq iβ cos iα sin
• 两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵
写成矩阵形式，得
id cos i sin q sin cos
cos sin
iα iα i C 2 s / 2 r i β β
得
1 1 i α 2 2 i 3 3 β 0 2 1 i A 2 i B 3 iC 2
（3-37）
• 三相—两相坐标系的变换矩阵
令 C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的
变换矩阵，则
β
Rs Ls Lm ω Lm Lm L m L s Rs
Rr Lr
α
Rr
Lr
图3-9 用两相静止坐标系表示的异步机等 效电路
1. 电压方程
0 Lm p 0 isα usα Rs Ls p u i 0 R L p 0 L p s s m sβ sβ urα Lm p Lm Rr Lr p Lr irα u Lm p Lr Rr Lr p rβ Lm irβ
• 交流电机的物理模型
如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类
似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。 坐标变换正是按照这条思路进行的。
众所周知，交流电机三相对称的静止绕组 A 、 B 、C ，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成 磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同 步转速 1 （即电流的角频率）顺着 A-B-C 的相序 旋转。
中的匝数，直接用电流表示，例如 Fs 可以直接
标成 is 。 d，q轴和矢量 Fs（ is ）都以转速 1 旋转， 分量 id、iq的长短不变，相当于d，q绕组的直流 磁动势。
但 、 轴是静止的， 轴与 M 轴的夹角 随时间而变化，因此 is 在 、 轴上的分量的长 短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时 值。由图可见， i、 i 和 id、iq 之间存在下列 关系
把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与 图 a 和图 b 中的磁动势一样，那么这套旋转的直 流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。 当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他 看来，d 和 q 是两个通以直流而相互垂直的静止 绕组。 如果控制磁通的位置在 d 轴上，就和直流电 机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组d 相当于励磁绕组，q 相当于伪静止的电枢绕组。
2.磁链方程
Ψ ds Ls Ψ qs 0 Ψ dr Lm Ψ qr 0 0 Ls 0 Lm Lm 0 Lr 0 0 ids i Lm qs 0 idr Lr iqr
在两相 坐标系中，定子和转子的等效绕组落在互相垂 直的两根轴上，它们之间没有耦合关系，互感磁链只在同 轴绕组之间存在，所以式中的每个磁链分量只剩下两项。
Lm p
1 L m
Rr Lr p
s Lr
1 L m i ds i Lm p qs s L r i dr Rr Lr p i qr
（3-46）
dq坐标系相对于转子的旋转角速度为1－＝s，即 转差角速度。式（3-46）的电压方程右边系数矩阵的 每一项都是非零的，这说明异步机在二相同步旋转 坐标系下的数学模型仍是强耦合的。
（1）交流电机绕组的等效物理模型
B iB
B A
F
ω1
iA iC
A
C
C
图a 三相交流绕组
• 旋转磁动势的产生
然而，旋转磁动势并不一定非要三相不 可，除单相以外，二相、三相、四相等任意 对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都
能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。
在这里，不同电机模型彼此等效的原则 是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。
2. 三相--两相变换（3/2变换） 现在先考虑上述的第一种坐标变换 ——在三相静止绕组A、B、C和两相静 止绕组、 之间的变换，或称三相静止 坐标系和两相静止坐标系间的变换，简 称 3/2 变换。
• 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
为方便起见，取 A 轴 B 和 轴重合。设三相绕组 每相有效匝数为N3，两相 N3iB 绕组每相有效匝数为N2， N2i 60o 各相磁动势为有效匝数与 电流的乘积，其空间矢量 60o 均位于有关相的坐标轴上。 N2iβ 由于交流磁动势的大小随 时间在变化着，图中磁动 N3iC 势矢量的长度是随意的。 C
N3iA
设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与 二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在 、
轴上的投影都应相等，
1 1 N 2iα N3iA N3iB cos 60 N3iC cos 60 N3 (iA iB iC ) 2 2
3 N 2iβ N 3iB sin 60 N 3iC sin 60 N 3 (iB iC ) 2
按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压 变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。
3. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换）
从两相静止坐 标系到两相旋转坐 标系 d、q 变换称 作两相—两相旋转 变换，简称 2s/2r 变换，其中 s 表示 静止，r 表示旋转。
图中，两相交流电流 i、i 和两个直流电流 id、 iq 产生同样的以同步转速1旋转的合成磁动势 Fs 。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势
(3-41)
则两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的
变换阵是
C2 r / 2s cos sin sin cos
电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）
旋转变换阵相同。
4.直角坐标/极坐标变换（K/P变换） 它是指由d、q轴电流求定子电流和与d轴的夹角1。 显然，其变换式应为
is i i
2 d
2 q
1 arctan
iq id
此方法也同样适用于电压和磁链的变换。
• 变换过程
3/2变换 C2s/2r
ABC坐标系
坐标系
dq坐标系
三、异步电动机在、静止坐标系上的 数学模型
把异步电机在三相 静 止 ABC 坐 标 系 上 的 数学模型变换到两相 坐标系上，由于两相 坐标轴互相垂直，两 相绕组之间没有磁的 耦合，仅此一点，就 会使数学模型简单了 许多。
（2）等效的两相交流电机绕组
两相静止绕组 和 ，它 们在空间互差90°，通以时间 上互差90°的两相平衡交流电 流，也产生旋转磁动势 F 。 当两个旋转磁动势大小和 转速都相等时，即认为图b的
i
ω1 i
F
两相绕组与图a的三相绕组等 效。
图B 两相交流绕组
（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型
有意思的是：就图c 的 M、T 两个绕组而 言，当观察者站在地面看上去，它们是与三
相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到
旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个 直流电机模型了。这样，通过坐标系的变换， 可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模 型。
现在的问题是，如何求出iA、iB 、iC 与
i、i 和 im、it 之间准确的等效关系，这就是 坐标变换的任务。
写成矩阵形式，得
1 i α N 3 1 2 i 3 β N 2 0 2 1 i A 2 i B 3 iC 2
考虑变换前后总功率不变，在此前提下，可以证 明，匝数比应为
N3 N2 2 3
式中，下标s和r分别表示定子和转子变量；下标和分 别表示轴和轴变量.
3 Lm Lms —— 坐标系定子等效两相绕组的互感； 2 3 3 Lr Lms Llr Lm Llr Ls Lms Lls Lm Lls 2 2
2.磁链方程
ABC三相坐标系的磁链方程经坐标变换简化为以下 坐标系磁链方程：
1
it
T M
F d im
q
图c 旋转的直流绕组
再看图c中的两个匝数相等且互相垂直的绕 组 d 和 q，其中分别通以直流电流 id 和iq，产 生合成磁动势 F ，其位置相对于绕组来说是固 定的。 如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步 转速旋转，则磁动势 F 自然也随之旋转起来， 成为旋转磁动势。
ids
uds udr= idr 0 图3-10 异步电动机在同步旋转dq坐标系的 等效电路
1.电压方程
u ds Rs Ls p u qs 1 Ls u dr L m p u qr s Lm
1 L s R s Ls p s Lm Lm p
现代交流调速系统
第 3 章
高动态性能变频调速系统
3.2 坐标变换和动态数学模型的简化
上节中虽已推导出异步电机的动态数 学模型，但是，要分析和求解这组非线性 方程显然是十分困难的。在实际应用中必 须设法予以简化，简化的基本方法是坐标 变换。
一、 坐标变换的基本思路
直流电机的数学模型比较简单： • 虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换向器电 刷接到端接板上，因此，电枢磁动势的轴线始终被电 刷限定在 q 轴位置上，其效果好象一个在 q 轴上静止 的绕组一样。 • 主磁通的方向沿着与之垂直的 d 轴；直流电机 的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定， 这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根 本原因。
4. 异步电机在两相同步旋转坐标系（dq坐 标系）上的数学模型
q
两相同步旋
转dq坐标系的旋 转速度等于定子 电源的同步角速 度1。用dq坐标
uqr= 0
iq
r
iqs
R L s s Lm
Ψr uqs ω
ω Lm m RL L r r R r
r
L
L Ls R
m s
d
系表示的异步电
动机等效电路如 图3-10所示。
3. 电磁转矩方程
Te np Lm (isβirα isαirβ )
Lm np (Ψ rαisβ Ψ rβisα ) Lr
以上电压方程、磁链方程和电磁转矩方程再加上式 （3-1）运动方程和式（3-2）转角微分方程构成了静 止坐标系上的异步电动机数学模型。这种在两相静止坐 标系上的数学模型又称作Kron异步电机方程式或双轴 原型电机（Two Axis Primitive Machine）基本方程式。
C3 / 2
1 1 2 2 3 3 0 2
1 2 3 2
（3-38）
如果三相绕组是Y形联结不带零线， 则有 iA + iB + iC = 0，或 iC = iA iB 。 代入式（3-37）得
i α i β 3 2 1 2 0 i A iB 2
sin cos
（3-40）
式中
C2s / 2 r
是两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换 阵。
对式（3-40）两边都左乘以变换阵的逆矩阵， 即得
iα cos i sin β sin cos id id i C2 r / 2s i q q
id iα cos iβ sin
iq iβ cos iα sin
• 两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵
写成矩阵形式，得
id cos i sin q sin cos
cos sin
iα iα i C 2 s / 2 r i β β
得
1 1 i α 2 2 i 3 3 β 0 2 1 i A 2 i B 3 iC 2
（3-37）
• 三相—两相坐标系的变换矩阵
令 C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的
变换矩阵，则
β
Rs Ls Lm ω Lm Lm L m L s Rs
Rr Lr
α
Rr
Lr
图3-9 用两相静止坐标系表示的异步机等 效电路
1. 电压方程
0 Lm p 0 isα usα Rs Ls p u i 0 R L p 0 L p s s m sβ sβ urα Lm p Lm Rr Lr p Lr irα u Lm p Lr Rr Lr p rβ Lm irβ
• 交流电机的物理模型
如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类
似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。 坐标变换正是按照这条思路进行的。
众所周知，交流电机三相对称的静止绕组 A 、 B 、C ，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成 磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同 步转速 1 （即电流的角频率）顺着 A-B-C 的相序 旋转。
中的匝数，直接用电流表示，例如 Fs 可以直接
标成 is 。 d，q轴和矢量 Fs（ is ）都以转速 1 旋转， 分量 id、iq的长短不变，相当于d，q绕组的直流 磁动势。
但 、 轴是静止的， 轴与 M 轴的夹角 随时间而变化，因此 is 在 、 轴上的分量的长 短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时 值。由图可见， i、 i 和 id、iq 之间存在下列 关系
把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与 图 a 和图 b 中的磁动势一样，那么这套旋转的直 流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。 当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他 看来，d 和 q 是两个通以直流而相互垂直的静止 绕组。 如果控制磁通的位置在 d 轴上，就和直流电 机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组d 相当于励磁绕组，q 相当于伪静止的电枢绕组。
2.磁链方程
Ψ ds Ls Ψ qs 0 Ψ dr Lm Ψ qr 0 0 Ls 0 Lm Lm 0 Lr 0 0 ids i Lm qs 0 idr Lr iqr