微分中值定理的证明及其应用毕业论文

【标题】微分中值定理的证明及其应用

【作者】蒋雯亦

【关键词】Lagrange中值定理Cauchy中值定理辅助函数

【指导老师】吴先兵

【专业】数学教育

【正文】

1 引言

在一元函数微积分中，微分中值定理是应用函数局部性质研究函数整体性质的重要工具。Lagrange中值定理、Cauchy中值定理是微分学中的两个重要定理，它们揭示了函数值与导数值之间的内在联系，为微分学的应用和对函数的进一步研究提供了理论依据，对两个微分中值定理的证明一般都划归为Rolle中值定理来证明。因此，Rolle中值定理是基础，Lagrange中值定理及Cauchy中值定理是Rolle中值定理的推广，熟练运用Rolle中值定理，正确掌握函数证明的各种技巧，对解决实际问题非常重要。 2001年，鲁凤菊[5]给出了证明微分中值定理时构造辅助函数的两种方法及微分中值定理在一元函数、多元向量值函数及抽象函数方面的推广。2007年，贾计荣[6]用行列式证明Cauchy中值定理及Lagrange中值定理，并对微分中值定理加以推广。2008年，孙彩贤[7]从不同方面对微分中值定理加以证明，使得抽象的定理灵活化，从而更易理解。李建杰[8]着重探讨Cauchy中值定理的几种新证法，比较详细地叙述了求证的思路、方法和具体步骤，简述了求证过程对微积分教学的意义。陈鱼昆[9]分别研究Lagrange中值定理、Cauchy中值定理及Rolle中值定理的某些重要应用。2009年，杨洪秀[10]列出了证明Lagrange中值定理的几种不同方法。宋振云[11]通过复数乘法运算构造出一系列Lagrange中值定理证明中满足Rolle中值定理条件的辅助函数，并明确指出了Cauchy中值定理证明中辅助函数的构造方法。

微分中值定理的证明和应用，通常以Rolle中值定理作为它的预备定理，证明的关键在于方法的掌握，而教材通常都只用一种方法来证明微分中值定理，因而不能提高学生的思维能力，本文试用多种方法来证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理，再将Rolle中值定理、Lagrange中值定理及Cauchy中值定理分别应用到不同的问题中，让学生能够更加容易掌握和应用微分中值定理。为此，我将在微分中值定理的证明和应用的方法中去进一步拓展和推广。

2 预备知识

定义2.1：设函数在某内有定义，若，则称在点连续。

定义2.2：设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函

数在点处可导，并称该极限为函数在点出的导数。

定理2.1 [12] （Rolle中值定理）：若函数满足如下条件：

（i）在闭区间上连续；

（ii）在开区间内可导；

（iii）；

则在内至少存在一点，使得

。

定理2.2 [12] （Lagrange中值定理）若函数满足如下条件:

（i）在闭区间上连续；

（ii）在开区间内可导；

则在内至少存在一点，使得

。

定理2.3 [12] （Cauchy中值定理）设函数和满足：

（i）在上都连续；

（ii）在内都可导；

（iii）和不同时为零；

（iv），则存在，使得

。

定理2.4 [8]（达布中值定理）若函数在闭区间内可导，并且，不妨设

，则对于任何满足的常数，必存在一点，使得。

引理1[10]：若S是闭区间的一个完全覆盖，则S包含的一个划分,即存在< <…

< ，使每个闭区间( 1,2,…)都属于S。

引理2[10]：若函数在开区间内可微，且对任意，，则存在，

使得且函数在上严格单调。

3 微分中值定理定理的几种不同证明方法

3.1 Lagrange中值定理的几种证明方法

3.1.1 反证法

证明：假设对任意，有

，

令，则对任意，，

但

设，则，令，于是，并由假设知：对任意的。令：

，则是的一个完全覆盖，即对任意的，存在，使得，由引理2知在严格单调，设是含有且长度小于的的任一闭子区间，则，于是在上严格单调，即。由引理1知，在中必存在的一个划分…，不妨设这些小区间是按序号排列的，于是对任意的(1,2,…，)函数在上严格单调，不妨假设在上严格单调递增，若的右端点为，则的左端点为，而对于，必存在，使得都不空，于是由函数在上的严格单调递增，可得在上严格单调递增，依次类推可得在每个上都严格单调递增，于是在严格单调递增。所以对任意的，有。

另一方面，在右连续及在左连续，且,知，即，这与式矛盾，故有，即存在，使得

，证毕。

3.1.2 构造行列式型辅助函数

证明：设，

因在上连续，在内可导，且，故由Rolle定理知，至少存在一点，使得，所以

，证毕。

3.1.3 用复数乘法运算构造辅助函数

图3-1

证明：如图3-1所示，设曲线弦的倾斜角为，则，取曲线上任意一点，对复数作复数乘法运算：。

作辅助函数，注意到，即，则，由Lagrange中值定理的条件知，在上满足Rolle 中值定理的条件，因此至少存在一点，使，即所以

，证毕。

3.1.4 构造和差型辅助函数

证明：由移项得

。

由此可以看出它是函数在点的导数，于是可构造函数

。

容易验证满足Rolle中值定理的三个条件，故，即

，

故

，证毕。

3.1.5 引入旋转变换

证明：Lagrange中值定理与Rolle中值定理的区别仅仅在于区间端点函数值相等与不相等，自然想到能否通过旋转变换使之满足Rolle中值定理条件，从而证明Lagrange中值定理，为此引入坐标系的旋转变换，即

，，

同时有逆变换，即

。

我们选取合适的，使得，只须，

即

，

变形可得，

也就是，

同时可知在上连续，在内可微，故知满足Rolle中值定理条件，则存在一点

，使得，

即：

亦即：

，证毕。

3.1.6 区间套证明法

图3-2

证明：有定理条件，在上连续，在可导，采用如下方法制作区间套：记，将二等分，设分点为，易知为上一点，把该点记为，过作直线，使其斜率等于，此时可能出现两种情况：

（1）与只有一个交点，则即为所求；

（2）与不只有一个交点，取和相邻的交点对应的横坐标，与作成区间，且。（如图3-2）

由以上作法，显然可以知道：，

若出现（2），则将二等分，设分点为，记，是上的点，过作直线，使其斜率