2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．若集合{}2120A x x x =--≤，10

1x B x x +?

?

=

，{}C x x A x B =∈?且，则集合C =（ ）

A ．[)(]3114--?，，

B ．[](]3114--?，，

C ．[)[]3114--?，，

D ．[][]3114--?，， 【答案】 D

【解答】 依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B x x +??

=<=-??-??，。

由x A ∈，知34x -≤≤；x B ?，知1x ≤-或1x ≥。 所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--?，，。

2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ）

A

． B ．2 C

D

【答案】 D

【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +?-++?=，结合0m >，得230m m -+

=，1

2

m =。 ∴ 1l 方程为

531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：35

4022

x y -+-=，即3580x y -+=。

由53203580x y x y ++=??-+=?，得1

1x y =-??=?

。因此，(11)P -，

，线段OP

3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。则二面角A PC B --的余弦值为（ ）

A

．

3 B

．3 C

．3

D ．13

【答案】 B

【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，

DB 。

不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==

，AC =

A

B C

P

（第3题）

∴ P A P C ⊥

，1

2

OP AC OC =

==。 ∴ O D P C ⊥。又B

D P C ⊥，故B

D O ∠是二面角A PC B --的平面角。

在BOD △

中，由OB =，1OD =

，BD =， 得90BOD ∠=?

，cos OD BDO BD ∠=

==

。 ∴ 二面角A PC B --

的余弦值为

3

。 4．若函数2243()2log 3a x x x f x x x ?-+≤=?+>?，，

，，（0a >，且1a ≠）的值域为[)3+∞，，则实数a 的

取值范围为（ ）

A ．(]13，

B ．(13)，

C ．(3)+∞，

D ．[)3+∞，

【答案】 A

【解答】 ∵ 3x ≤时，函数22()24(1)3f x x x x =-+=-+的值域为[)3+∞，， ∴ 3x >时，2log 3a x +≥，即3x >时，log 1log a a x a ≥=。 ∴ 1a >，且3x >时，x a ≥恒成立。 ∴ 13a <≤，a 的取值范围为(]13，。

5．如图，在四面体P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且3PA PB PC ===。则在该四面体表面上与点A

距离为 ）

A

． B

． C

D

【答案】 D

【解答】

如图，设AE AF AG ===E 在AB 上，F 在

PB 上，G 在PC 上）。

由PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC ⊥，3PA PB PC ===

，知

PF PG ==6

PAF π

∠=

，4

6

12

EAF π

π

π

∠=

-

=

。

∴ 在面PAB 内与点A

距离为弧EF

）长为

12

6

π

?=

。 同理，在面PAC 内与点A

距离为

。 A

B

C

P

O

D

A

C

B

P

（第5题）

又在面ABC 内与点A 距离为3

π

?=

。

在面PBC 内与点A 距离为FG ）长为2

π

=

。

∴ 四面体表面上与点A 距离为

66322

+++=。 6．()f x 是定义在R 上的函数，若(0)1f =，且对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，

(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =（ ）

A ．2013

B ．2015

C ．2017

D ．2019 【答案】 C

【解答】 ∵ 对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，

∴ [][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤。 又(6)()6f x f x +-≥。因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+。 ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈。

∴ (2016)(06336)(0)6336120162017f f f =+?=+?=+=。

二、填空题（每小题6分，共36分）

7．已知实数x ，y 满足226440x y x y +-++=，记2224x y x y μ=++-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 。

【答案】 72

【解答】设()P x y ，

，由226440x y x y +-++=知，22(3)(2)9x y -++=。因此，点P 在以1(32)C -，为圆心，3为半径的圆上。

又222224(1)(2)5x y x y x y μ=++-=++--，设2(12)C -，，则2

25C P μ=-。

∵ 2max

2133C P

C C =+=，2min

2133C P

C C =-=。

∴ 23)5M =-，23)5m =-，72M m +=。

注：本题也可以三角换元法。由22(3)(2)9x y -++=，设33cos x α=+，23sin y α=-+，代入μ后求最值。

8．过直线2y x =上一点P 作圆C ：225

(3)(1)4

x y -+-=

的切线PA 、PB ，A 、B 为切点。若直线PA 、PB 关于直线2y x =对称，则线段CP 的长为 。

【答案】

【解答】由切线PA 、PB 关于直线PC 关于对称，以及切线PA 、PB 关于直线2y x =对

称知，直线2y x =与直线PC 与重合或垂直。

由点C 不在直线2y x =上知，PC 与直线2y x =垂直。 设(2)P t t ，，则

211

32

t t -=--，1t =。 ∴ (12)P ，

，CP =。 9．已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为6，侧棱长为5，I 为侧面PCD △的内心，则四棱锥I ABCD -的体积为 。

【答案】

2

【解答】如图，取BC 中点E ，连结PE ，由条件知在

PCD △中，5PC PD ==，6CD =。

∴ I 在线段PE 上，且

53

PI PC IE CE ==。 ∴

38

IE PE =。 ∴

233168832

I ABCD P ABCD V V --==??=

10．已知()f x 是偶函数，0x ≤时，[]()f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若关于x 的方程()f x kx k =+（0k >）恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 。

【答案】 1132??

????

，

【解答】作出函数()y f x =与y kx k =+的草图（如图所示）。 易知直线y k x k =+恒过点

(10)-，，

1

x =-是方程

()f x kx k =+的一个根。

从图像可知， 当

1010

2(1)1(1)

k --≤<----，即

11

32

k ≤<时，两个函数的图像恰有三个不同的交点。

∴ k 的取值范围为1132??

????

，。

O

E C

A

D B

P

I

11．方程2(1)(1)1x y xyz ++-=（x y <）的正整数解()x y z ，，为 。（写出所有可能的情况）

【答案】 (135)，，，

(373)，， 【解答】依题意，2221xy x y xyz +++=。

∴ (2221)x y x y x y +++，(221)xy x y ++，221xy x y ≤++。 由x y <，知1x y +≤，因此，2214x y y ++<。 ∴ 4x <，1x =，2，3。

若1x =，则(23)y y +，3y ，3y =。将1x =，3y =代入题中方程，得153z =，5z =。 若2x =，则2(25)y y +，25y 。由2y >知，y 不存在。

若3x =，则3(27)y y +。所以，327y y ≤+，又3y >，因此，4y =，5，6，7。经验证只有7y =符合3(27)y y +。将3x =，7y =代入题中方程，得6321z =，3z =。

∴ 符合条件的正整数解有()(135)x y z =，

，，，或(373)，，。 12．已知0a >，0b >，0c >，则5823232b c a c b c

a b b c c a

++++++++的最小值为 。 【答案】 6

【解答】 设a b x +=，23b c y +=，2c a z +=，则0x >，0y >，0z >。 且4237x y z a -+=

，3237x y z b +-=，227

x y z

c -++=。 ∴ 5b c x y z +=-++，82424a c x y z +=-+，3b c x y z +=+-。 ∴ 5823424232b c a c b c x y z x y z x y z

m a b b c c a x y z

+++-++-++-=

++=+++++ 4444(1)(2)(1)()()()442446y z x z x y y x z x z y

x x y y z z x y x z y z

=+-++-++-=+++++-≥++-= 当且仅当

4y x

x y =，z x x z =，4z y y z

=，即2y x =，z x =，2y z =，即2y x =，z x =时等号

成立。（如7x z ==，14y =，即3a =，4b =，2c =时等号成立）。

∴ 5823232b c a c b c

a b b c c a

++++++++的最小值为6。

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．已知()ln f x x =，2()241g x x ax a =-+-。

（1）若函数(())f g x 在区间[]13，上为单调函数，求实数a 的取值范围；

（2）若函数(())g f x 在区间3

1e ????，上的最小值为2-，求实数a 的值。

【答案】（1）依题意，2(())ln(241)f g x x ax a =-+-。

由(())f g x 在区间[]13，上为单调函数，知()g x 在区间[]13，上是单调函数，且()0g x >。

∴ 1(1)124120a g a a a ≤??=-+-=>?或3

(3)9641820a g a a a ≥??=-+-=->?。 ………… 4分

∴ 01a <≤或34a ≤<。

∴ 实数a 的取值范围是(][)0134?，，。 ……………………… 8分 （2）2(())ln 2ln 41g f x x a x a =-+-。

设ln x t =，则03t ≤≤，222(())241()41g f x t at a t a a a =-+-=--+-。

设 22()()41h t t a a a =--+-，03t ≤≤ ……………………… 12分

则0a <时，()h t 的最小值为(0)41h a =-。由412a -=-，得1

4a =-，符合要求。

03a ≤≤时，()h t 的最小值为2()41h a a a =-+-。由2412a a -+-=-，得2a =符合要求，舍去。

3a >时，()h t 的最小值为(3)964182h a a a =-+-=-。由822a -=-，得5a =，符合要

求。

综合，得1

4

a =-或5a =。 …………………………… 16分

14．已知2()(2)f x x a x a =---（a R ∈）。

（1）若()0f x =在区间(31)-，

内有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围； （2）若1x >时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围。

【答案】（1）依题意，有22(2)440

2312

(3)93(2)230(1)1(2)320

a a a a f a a a f a a a ?=-+=+>?

-?-<

?=---=->??△。 …………… 4分 解得33

22

a -<<。

∴ a 的取值范围为33

()22

-，。 ……………………… 8分

（2）∵ 1x >时，()0f x >恒成立，

∴ 1x >时，2(2)0x a x a --->，即2(1)2x a x x +<+恒成立。

∴ 1x >时，221x x

a x +<+恒成立。 ……………………… 12分

设1t x =+，则2t >，

22211

1x x t t x t t

+-==-+。 由1y t t =-在(2)+∞，

上为增函数，知1y t t =-的值域为3

()2

+∞，。 ∴ 32a ≤

，即a 的取值范围为32?

?-∞ ??

?，。 ……………………… 16分 另解：由（1）知，22(2)440a a a =-+=+>△ ，()0f x =总有两个不相等的实根。设方程()0f x =的两根为1x ，2x （12x x <）。

∴ 1x >时，()0f x >恒成立

?21x =≤。 ………………… 12分

∴

4a ≤-，22

404(4)a a a -≥??+≤-?

。解得，3

2a ≤。 ∴ a 的取值范围为32?

?-∞ ???，。 ………………………… 16分

15．如图，圆O 的圆心在坐标原点，过点(01)P ，的动直线l 与圆O 相交于A ，B 两点。当直线l 平行于x 轴时，直线l 被圆O

截得的线段长为

（1）求圆O 的方程；

（2）在平面直角坐标系xOy 内，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得

QA PA QB

PB

=

恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；

若不存在，请说明理由。

【答案】（1）设圆O 半径为r

，依题意有2221r +=。 ∴ 24r =，圆O 方程为224x y +=。…………… 4分 （2）设符合条件的点Q 存在。

当直线l 平行于x 轴时，PA PB =，由此可得QA QB =。又此时A 、B 关于y 轴对

称，因此，点Q 在y 轴上。设(0)Q t ，

。 当l x ⊥轴时，(02)A ，

，(02)B -，。由QA PA QB

PB

=

，得

2

1

23

t t -=+，4t =或1t =（舍去）

。（当(02)A -，

，(02)B ，时，同理可得4t =） 因此，若点Q 存在，则点Q 只能为(04)Q ，。……… 8分 下面证明点(04)Q ，

符合要求。 当直线AB 斜率不存在或为0时，由前面讨论可知点

(04)Q ，符合要求。

当直线AB 斜率存在且不为0时，设AB 方程为1y kx =+。

由22

14y kx x y =+??+=?，得22

(1)230k x kx ++-=。 设11()A x y ，，22()B x y ，，则12221k x x k -+=+，122

3

1

x x k -=+。 ∴ 12121212

441414

QA QB y y kx kx k k x x x x --+-+-+=

+=+

2121212

2211

123()232322031

k

x x k k k k k k x x x x k -++=-+=-?=-?=-=-+。

∴ AQO BQO ∠=∠。 …………………………… 12分 ∴ QP 平分AQB ∠，由角平分线性质定理知，

QA PA QB

PB

=

。

综上可知，符合条件的点Q 存在，其坐标为(04)Q ，

。 ……………………… 16分

（第15题）

16．如图，O、I分别为ABC

△的外心、内心，连结CI并延长交ABC

△的外接圆O

⊙于点H。D、E分别在ABC

△的边AB、AC上，且满足

D B B C C E

==。

（1）求证：HB HI

=；

（2）求证：IHO EBD

△∽△。

【证明】（1）依题意，H为弧AB的中点，HCB HBA

∠=∠。

连结BI，由I为ABC

△的内心知，IBC ABI

∠=∠，

∴H I B H C B I B C H B A A B I

∠=∠+∠=∠+∠=∠。

∴H B H I

=。……………… 4分

（2）设BE与CH的交点为F，则由CE CB

=以及CF平

分BCA

∠，知F为BE中点，且HF FB

⊥。

设OH与AB的交点为G，则G为AB中点，且HG GB

⊥。

∴H、G、F、B四点共圆，IHO EBD

∠=∠。………………… 8分连结OB，由H为弧AB的中点知，ECB HOB

∠=∠。

又OH OB

=，CE CB

=。

∴H O B E C B

△∽△。………………… 12分

∴H B E B H O E C

=。

结合HB HI

=，EC BD

=。

因此，IH EB HO BD

=。

∴I H O E B D

△∽△。……………… 16分

（第16题）

C H

E

D

I

O

B

A

C

F

G

H

E

D

I

O

B

A

17．已知集合{}1232016M =L ，，，，，求最大的正整数k ，使得存在集合M 的k 元子集

A ，满足集合A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。

【解答】设A 为集合M 的一个k 元子集。

考虑集合M 的下列43个子集（每个子集中恰有3个数）：

{}

2287287M =?，，，

{}3386386M =?，，，{}

4485485M =?，，，…，

{}4343464346M =?，，，{}4444454445M =?，，。

若1973k >，则由201643k -<知，集合A 一定包含上述43个子集中的某一个。由此可知，集合A 中存在互不相同的三个数a ，b ，c （a b c <<），使得c ab =。

因此，集合A 不满足：集合A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。 所以，当集合A 元素个数多于1973，即1973k >时，集合A 不满足题意要求。 所以，1973k ≤。 …………………………… 5分 另一方面，令{}145462016A =L ，，，，（从集合M 删去2，3，4，…，44这43个数）。设a ，b （a b <）是A 中任意两个不同的数。

若1a =，则ab b =，ab 不可能等于A 中第3个不同于1和b 的数。…………… 10分 若1a >，则45a ≥，45462070ab ≥?=，显然它不在集合A 中。

因此，集合A 满足：集合A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。 可见，存在集合M 的一个1973元子集A ，满足集合A 中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。

所以，正整数k 的最大值为1973。 ……………………………… 14分