高中数学常考知识要点(平面解析几何和立体几何) (2)

四、平面解析几何

26.直线系方程：

1）平行直线系：与直线平行的直线可以表示为

（），其中为待定系数。

2）垂直直线系：与直线垂直的直线可以表示为，其中为待定系数。

3）过两条直线：和：交点的直线系为：

（其中不包括直线）。

27.圆的相关方程：

1）圆的标准方程：

2）圆的一般方程：

3）圆的参数方程：

4）为圆的充要条件是：，且，且，且该圆圆心为（），半径为（）。5）点点（）为直径端点的圆的方程是：

6）等圆方程：（为常数，）

7）同心圆方程：（为常数，）

8）过圆上一点（）的圆的切线方程为：

9）过圆外一点（）向圆所引的切线的切线长为

。

10）直线被圆所截得的弦长为：

11）设两圆和，

则圆系方程是：+①若令=-1，则②其中：1）若和相交，①表示过两圆交点的圆，但不包括；②表示两圆的公共弦所在的直线方程。2）若和相切，②表示两圆的公切线方程。3）若和相离，则②上的点到两圆的切线长相等。

12）若以点（），点（）为直径端点的圆过原点，则有（）。

28.椭圆相关性质：

1）椭圆的第一定义：

2）椭圆的第二定义：

3）椭圆的参数方程：

4）共同焦点的椭圆系方程：（0，0）或（为常数，）。

5）设椭圆方程为（）。其中椭圆的顶点坐标为（），

椭圆的对称轴为（），长轴长为（），短轴长为（），焦点坐标为（），准线方程为（），焦半径为（），焦距为（），离心率为（），焦点到相应准线的距离是（），中心到准线的距离是（），两准线间的距离是（），焦点到顶点的最短距离是（），焦点到顶点的最长距离是（），过焦点垂直于长轴

的通径长为（），焦点弦长为2。

6）已知（）为椭圆（）上的两点。

为线段的中点，则，直线的方程为

（），过点做线段的垂直平分线所得的直线方程为（）。

7）设点在椭圆（）上，为椭圆的两个焦点，为

其对应的两条焦半径，则在焦点三角形之中，==。当时，=。

=，当=（）时，有

最大值为（）。

8）若点在椭圆（）上，则过点的椭圆的切线方程是。

29.双曲线的相关性质：

1）双曲线的第一定义：

2）双曲线的第二定义：

3）若在双曲线的右支上（双曲线的焦点在轴上），则

（），显然（）；若在双曲线的左支上（双曲线的焦点在轴上），则（），这时有（）。当

=时，的轨迹为以或为端点的射线。当

时，没有轨迹。

4）“双曲线的渐近线互相垂直”是“双曲线是等轴双曲线”的（）条件。等轴双曲线的离心率为（），渐近线方程为（）。

5）具有相同渐近线的双曲线系方程为：（）具有相同焦点的双曲线系方程为：（，为常数）。

6）设双曲线方程为（）。其中双曲线的顶点坐标为

（），双曲线的对称轴为（），实轴长为（），虚轴长为（），焦点坐标为（），准线方程为（），焦半径为（），焦距为（），离心率为（），焦

点到相应准线的距离是（），中心到准线的距离是（），两准线间的距离是（），渐近线方程是（），焦点到顶点的最短距离是（），焦点到顶点的最长距离是（），过通径长为（），焦点到渐近线的

距离为虚半轴长，焦点弦长为2。

7）双曲线的共轭双曲线：

双曲线的共轭双曲线是，即两组双曲线有共同的渐近线，有相等的焦距。它们的离心率满足关系式：和。8）已知（）为双曲线（）上的两点。

为线段的中点，则，直线的方程为

（），过点做线段的垂直平分线所得的直线方程为（）。

9）设点在双曲线（）上，为双曲线的两个焦点，

为其对应的两条焦半径，则在焦点三角形之中，==。当时，=。

=，当=（）时，有最小值为（）。

10）若点在双曲线（）上，则过点的双曲线的切线方程是。

30.抛物线的相关性质：

1）抛物线的定义：

2）抛物线的参数方程：

（为参数）（其中为焦点到准线的距离，）

3）对于抛物线（），其焦点为（），准线为（），对称轴为（）。

4）已知为抛物线（）的焦点弦，且（），点是抛物线的焦点，为原点，直线的倾斜角，为抛物线的准线，且，轴于点，与分别交轴于点，。则=（），=（），=（）。，，=（）。以为直径的圆与抛物线的准线相切，以（或）为直径的圆与轴相切，==（）。以切于点。点，，四点共圆，为直径。若轴，则抛物线的通径，长为。

5）已知（）为抛物线（）上的两点。

为线段的中点，则，直线的方程为（），过点做线段的垂直平分线所得的直线方程为（）。6）若点在抛物线（）上，则过点的抛物线的切线是。

31.直线（（），斜率为）与圆锥曲线相交所得的弦长公式

为=。

五、空间几何

32.线线平行的判定方法：

1）定义法：

2），，

3），，，

4），，

5），

6），，

7），，，，，8）平行公理4：

33.线面平行的判定方法：

1）定义法：

2），，

3），

4），，

34.面面平行的判定方法：

1）定义法

2），，，，

3），

4），

35.线面垂直的判定方法：

1）定义法：

2），，，，，3），，，

4），，，

5），

6），，

36.面面垂直的判定：

1）定义法：

2），

3），

37.立体几何空间向量解法：

如图，在棱长为2的正方体

中，点为面的中

心。

如图，以点为原点，建立空间直角坐标系

。得（0，0，0），（2，0，0），（2，

2，0），（0，2，0），（0，0，2），（2，

0，2），（2，2，1），（0，2，2），（1，1，0）。

=（1，1，-2），=（-2，2，0），因为·=0，所以，所以。（线线垂直）

2）=（1，1，0），=（2，2，0），因为=2，所以，所以，所以平面。（线线平行、线面平行）

3）线面垂直，只用证直线的向量和平面内任意两条相交直线的向量的乘积为0即可。

4）=（1，1，-2），=（-1，1，2），==，所以和

的夹角为，所以=。（注意找准向量的顶点）（线线夹角）

5）因为=（1，1，-2），=（-1，1，2），所以面的法向量（即垂直

于平面的向量）·=0，·=0，所以=（2，0，1）。易证为面

的法向量，=（0，0，1）。所以=，所以=。（面面夹角，转换为法向量求夹角）

6）因为面的法向量=（2，0，1），=（-2，2，0），所以==，所以，所以和面的夹角为

（线面夹角，转换为法向量和直线的夹角，但要注意线面夹角是

所求出角的余角）

7）线面垂直，可以转换为直线和平面的法向量平行。面面平行，可以转换为法向量平行。面面垂直，可以转换为法向量垂直。

8）=（-1，1，0），面的法向量=（2，0，1），所以点到面的

距离==。

9）=（1，1，-2），=（-2，2，0），设与和都垂直，得（1，1，1），所以异面直线和间的距离==。

10）面面距离和线面距离都可以转换为点线距离求解。

38.二面角的几种求法：

1）定义法：

2）垂面法：

3）三垂线法：

4）射影面积法：

5）空间向量：

39.点面距离的求法：

1）转换成线面距离或面面距离，求公垂线段；2）等体积法；3）空间向量。

六、排列组合

40.=（）

=（）

41.二项式定理的相关性质：

1）内容：

2）在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数（），即（）。

3）如果是偶数，则二项式系数最大的项是（）；若是奇数，则二项式系

数最大的项是（）。

3）所有二项式系数的和等于（）。

4）奇数项的二项式系数和偶数项的二项式系数的关系是（）。