初中数学观察、归纳和猜想

第 1 页 共 6 页 观察、归纳和猜想 知识清单： 观察、归纳和猜想类试题一般以探究性试题形式出现，需要从数的特征和形的结构两方面寻求规律，同时可设参数建函数模型解决。常涉及以下内容： ①数字关系或规律；②运算规律或关系；③图形关系或规律；④操作规律。

第一类：数字关系或规律 1.（2010河南）一组按规律排列的式子：1，3，6，10，„，其中第7个数是 ，第n个数是 （n为正整数）．

2．（2010广东肇庆）观察下列单项式：a，－2a2，4a3，－8a4，16a5，„，按此规律第n个单项式是______．(n是正整数)

3.（2009怀柔一模12）一组按规律排列的式子：25ba，48ba，811ba，1614ba，„„（0ab），其中第6个式子是 ，第n个式子是 （n为正整数）． 4.（2010广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出20102的末位数字是（ ） 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，„ A．2 B．4 C．6 D．8

第二类：运算规律或关系 1.（09重庆）观察下列等式：224135；225237；226339；2274311；„„则第n（n是正整数）个等式为_____ ___.

2.（2010 浙江）已知a≠0，12Sa，212SS，322SS，„，201020092SS，则2010S (用

含a的代数式表示)． 3.（2010 山东）已知：3212323C，1032134535C，154321345646C，„，观察上面的计算过程，寻找规律并计算610C ．

4.（2010广州）在数学中，为了简便，记1nkk＝1+2+3+„+(n－1)+ n.1！＝1，2！＝2×1，3！＝3×2×1，„，n！＝n×(n－1)×(n－2)ׄ×3×2×1.则20061kk－20071kk+2007!2006!＝______. 5.(2009聊城)符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： 第 2 页 共 6 页

（1）0)1(f，1)2(f，2)3(f，3)4(f，„（2）2)21(f，3)31(f，4)41(f，5)51(f，„ 利用以上规律计算：)2008()20081(ff___________。

6.（2010湖北）观察下列计算：211211，3121321， 4131431，5141541，„„，从计算结果中找规律，利用规律计算541431321211„201020091 。

第三类：图形关系或规律 （一）每增加一组图形所增加的基础图形数相同 1.（09益阳）图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，„„，第n(n是正整数)个图案中由 个基础图形组成．

2.（2010年贵州毕节）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．

3.（2010吉林）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形；„；如此下去．则图⑨中共有 个正方形．

（二）每增加一组图形所增加的基础图形数不同，但有规律可循。

图6 (1) (2) (3) „„ 第 3 页 共 6 页 „„

n=1 n=2 n=3

1.（09济宁）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．

2．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由_______个圆组成．

3．为庆祝“五·一”国际劳动节，市政府决定在人民广场上增设一排灯花，其设计由以下图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯花中的灯泡，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯泡的个数．仔细观察下列演变过程，当n＝6时，s＝_________．

（三）点阵规律 1.（09广西）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s＝ ．

2.（09铁岭）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．

3.观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：请你在④和⑤后面的横线上分别写出

第1个第2个第3个第 4 页 共 6 页 相对应的等式：

第四类：操作规律（题目设定规律） 1．(2010山东)数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拔琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够成整数的比则发生的声音就比较和谐，如三根弦长之比为15：12：10把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声，do、mi、so研究15，12，10这三个数的倒数

发现：121101151121，我们称15，12，10为一组调和数，现有一组调和数：x，5，3（x>5），则x的值为________．

2．（2010江苏宿迁）直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有 个点.

3.（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是 A．38 B．52 C．66 D．74 4.（2010北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→„的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，„，当数到12时，对应

的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）．

巩固练习：

0 2 8 4 2 4 6 22 4 6 8 44 m 6

① 401413；

② 411423；

421433；

③

④

⑤ _________________；

_________________；   第 5 页 共 6 页 1.（2009东城一模12）按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第９个数是 ．

2.（2010辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，点A1（1,1），A2（2,4），A3（3,9），A4（4,16），…,用你发现的规律确定点A9的坐标为 。

3.观察下列一串单项式的特点：xy ，yx22 ，yx34 ，yx48 ，yx516 ，„ 按此规律第9个单项式是______，第n个单项式是______，它的系数是_____，次数是_ _.

4.（2010浙江）一组按规律排列的多项式：ab，23ab，35ab，47ab，„，其中第10个式子是( ) A．1019ab B．1019ab C．1017ab D．1021ab

5.（2010内蒙赤峰）观察式子：),7151(21751),5131(21531),311(21311……．

由此计算：751531311…20112009

1

_____________.

6.（2010江苏淮安）观察下列各式： 1121230123，1232341233，1343452343，„„

计算：3×(1×2+2×3+3×4+„+99×100)= __________ A．97×98×99 B．98×99×100 C．99×100×101 D．100×101×102

7.(09梅州)如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个．

8. 如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n个“广”字中的棋子个数是________

„ „ 第1幅 第2幅 第3幅 第n幅 第 6 页 共 6 页

9.（2010 四川绵阳）如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，„，2n，„，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n =（ ）． A．29 B．30 C．31 D．32

10.(2010江西)如图所示，是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案．

第1个 第2个 第3个 （1）完成下表的填空：

（2）某同学用若干根火柴棒按如上图列的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，„，当他摆完第n个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第n＋1个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？

11.( 2010山东)如图,在街道的两边各有1排房子,每排都有5间.如果标号为G的房子被涂成灰色,要求每一排中相邻的房子不能同色,两排中直接相对的房子也不能是同种颜色,则剩下的7间房子中有 间的颜色不能被除数涂成灰色.

12.表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a、b、c 的值分别为（ ）

表一 A．20、29、30 B．18、30、26 C．18、20、26 D．18、30、28

正方形个数 1 2 3 4 5 6 n 火柴棒根数 4 7 10 13

1 2 3 4 „ 2 4 6 8 „ 3 6 9 12 „ 4 8 12 16 „ „ „ „ „ „

18 c 32

12 15 a 20 24

25 b

表二 表三 表四