13-3圆孔衍射 光学仪器分辨率
《大学物理》衍射
若AB 可分成 奇数个半波带, 如三个半波带：
A C
AC a sin 3 a
2 亮纹
B
x
P
f
若AB 可分成偶数个半波带,如四个半波带：
AC a sin 4
2
暗纹
A
. .
.
.
.
.C
a
.
.
B.
x
P
f
结论：分成偶数个半波带时为暗纹。 分成奇数个半波带时为明纹。
（二）、光学仪器的分辨率 点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射
的影响，所成的像不是一个点，而是一个明暗相 间的衍射图样，中央为爱里斑。
爱里斑
ss12**
D
瑞利判据：当一个点光源的衍射图样的中央最亮处 刚好与另一个点光源的衍射图样的第一级暗纹相重 合时，这两个点光源恰好能被分辨。
恰
能
不
能
分
能
分
辨
分
辨
辨
1
s1 s2
* *
1
D
1
在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度1 ， 称为最小分辨角。该角实际为爱里斑的半角宽度。
最小分辨角为：
1
1.22
D
最小分辨角的倒数称为光学仪器的分辨率:
1D
1 1.22
光学仪器的 透光孔径
例1 在通常情况下，人眼瞳孔的直径约为3.0mm， 问人眼的最小分辨角多大？如果纱窗上相邻两根细 丝之间的距离为2.0mm，问人离开纱窗多远处恰能 分辨清楚？设光波波长为 = 550nm。
光源和显示屏 光源 离障碍物的距离
为无限远。
A
B
第19章 光的衍射
第19章光的衍射◆本章学习目标1．了解惠更斯-菲涅尔原理；2．掌握半波带法，会分析单缝夫琅禾费衍射条纹的分布规律；3．掌握衍射光栅公式；4．了解夫琅禾费圆孔衍射条纹的分布特点，理解光学仪器的分辨率，并能进行相关计算；5．了解X射线的衍射现象。
◆本章教学内容1．光的衍射现象；2．单缝衍射圆孔衍射；3．光学仪器的分辨本领；4．衍射光栅衍射光谱；5．伦琴射线衍射布拉赫公式；6．全息照相原理。
◆本章教学重点1．夫琅和费单缝衍射；2．光栅衍射。
◆本章教学难点1．慧更斯-菲涅尔原理；2．夫琅和费单缝衍射；3．光学仪器的分辨本领；4．衍射光栅公式。
◆本章学习方法建议及参考资料1．注意讲练结合；2．要注意依据学生具体情况安排本章进度。
参考教材易明编，《光学》，高等教育出版社，1999年10月第一版§19.1 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理一、光的衍射现象光波遇到障碍物而偏离直线传播，使光的强度重新分布，这种现象称为光的衍射现象.光的衍射现象可分为两种类型.一种是障碍物距光源及接收屏为有限远的衍射成为菲涅耳衍射；另一种是障碍物距光源及接收屏为无限远的衍射为夫琅和费衍射，此时入射光和衍射光是平行光. 二、惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理是拨动光学的一个基本原理，应用该原理可较好地解决光的衍射问题.惠更斯(C.Huygens)原理可以解释光经过障碍物边缘是所发生的现象，但它不能解释为什么会出现明暗相间（或彩色）的条纹.菲涅耳（A.J.Fresnel ）在波的叠加原理与干涉现象的基础上，发展了惠更斯原理.他不仅和惠更斯一样，认为波阵面（波前）上每一点都要发射子波，而且还进一步提出：从同一波阵面上各点发出的子波，在传播过程中相遇于空间某点时，可以互相叠加而产生干涉现象.此即惠更斯-菲涅耳原理.根据这个原理，衍射现象中出现的亮暗条纹，是由于同一波阵面上发出的子波产生干涉的结果.如果已知波动在某时刻的波阵面为S ，就可以计算波动传到S 面前方给定点P 时振动的振幅和周相.（1）波阵面S 上任意一面元dS 发出的子波在空间一点P 所产生振动的振幅，正比于此面元的面积dS ，反比于该面元到P 点的距离r ，并且与面元dS 对P 点的倾角θ有关(如图1)；dS 发出的子波到达P 点的位相，取决于面元dS 的位相和面元到P 点的距离r .所以dS 在P 点产生的振动可表示为dS rT t r k Cdy )(2sin )(λπθ-= （19-1） 其中)(θk 为随θ角增大而缓慢减小的函数，C 为比例常数.图 1 惠更斯-菲涅耳原理（2）整个波阵面S 在P 点所产生的振动，等于此波阵面上所有面元dS 发出的子波在该点所产生的振动总和，即 ⎰⎰-==SSdS rT t r k Cdy y )(2sin )(λπθ （19-2） 一般来说，上式积分相当复杂，但在波阵面已通过P 的波面法线为轴而有回转对称的情况下，可以用代数加法和矢量加法来代替积分.§19.2 单缝衍射 圆孔衍射一、夫琅和费衍射当平行光垂直照射在单缝上，衍射后经透镜会聚后在焦平面处的屏幕上呈现出衍射条纹.刺即夫琅和费衍单缝衍射，简称为单缝衍射.单缝衍射条纹的形成及光强分布可以用菲涅耳波带法定性研究和积分法定量研究，而我们仅用菲涅耳波带法进行定性研究.单缝衍射图样的形成及特点，如图 2所示，设单缝的宽度为a （实际的单缝是一个长度比宽度大的多的长方形孔），入射光波长为λ.在平行单色光的垂直照射下，单缝所在处的平面AB 是一个波阵面，根据惠更斯原理，波阵面AB 上各点发射的初相位相同的子波即衍射光线向各个方向传播，方向相同的一组衍射光线经透射镜2L 会聚与屏幕E 上同一点，不同方向的衍射光线分别会聚在屏幕E 上不同位置.衍射光线的方向用衍射光线与缝平面发线的夹角φ表示，叫做衍射角.当衍射光纤1与入射光线方向相同，即衍射角0=φ时，从波阵面AB （同位相面）到达0P 点的光程相等，即光程差等于零，故各衍射光线到达0P 点时同相位.因此，他们在0P 点的波振动相互加强，在屏幕E 上0P 点处就形成平行于缝的明条纹，称为中央明纹.当衍射光线与入射光线方向不同，即衍射角φ为任意值时，相同衍射角的光线2经透镜2L 汇聚于屏幕E 上某点P ，由缝AB 上各点发出的衍射光线到达P 点的光程不相等.过A 点作AC 线垂直于衍射光线2，由透镜的等光程性可知，从AC 面上，各点到达P 点的光程相等，所以各衍射线间的光程差就由它们从缝上的相应位置到AC 面的距离之差来确定，而单缝两端点A 和B 点衍射线间的光程图 2 单缝衍射图样的形成差为φsinaBC=显然，这是沿衍射角φ方向的最大光程差.费涅耳采用将波阵面分割成许多面积相等的波带的方法，即菲涅耳波带法，定性地解决了上述问题.菲涅耳波带法：用一组间距为半波长的平行于AC的平面把BC分成若干相等的部分，同时，这些平面也把单缝AB处的波面分成数目相等的波带，因为每个波带的面积相等，所以每个波带发生的子波数可以认为是相等的，这时BC相当于两个半波长.由于两相邻波带上任何两个对应的点各自发出的光线，从出发点到P点的光程差总等于半波长，即在P点会聚时周相差总等于π，因此他们在P点的光振动是相互抵消的，于是P点处出现暗条纹.如果将AB分为三个波带，则BC相当于三个半波长.显然，相邻两个波带发出的光线在屏幕E上会聚点P 的光振动可以互相抵消，但由于是奇数个半波长，因此在P点总有一个半波带的振动存在，因此在P点处出现明条纹.因屏上各点与衍射角φ一一对应，不同φ角又对应缝AB按半波带的不同分割情况.当φ角由小变大，对应的衍射线间的最大光程差BC逐渐增大，缝可分成的半波带数也由少到多，在屏幕上显示明暗条纹的分布而形成单缝衍射图样.由此可见，对于某一给定的φ，光程差BC恰等于半波长的偶数倍，单缝恰被分为偶数各波带，其发出的光线在P点的振动都成对地相互抵消，而在P点处出现暗条纹.若光程差BC等于半波长的奇数倍，单缝却被分为奇数个波带，光振动相互抵消的结果总要剩下一个波带发出的光线在会聚点P没有被抵消，因而P点处出现明条纹.即Iφsinaλ-λ2-λ3-λλ2λ3图 3 单缝衍射条纹中光强分布⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+±==±==）明纹，（）暗纹，（，零级明纹（中央明纹）K K ,3,2,12)12(sin ,3,2,122sin 0sin k k a k k a a λφλφφ （19-3）式中正、负号表示各级衍射条纹对称地分布在中央明纹两侧.条纹及光强分布如图 3所示，由中央到两侧，条纹级次由低到高，光强迅速下降.而中央明条纹集中了大部分光能，最亮，同时也最宽.这是由于k 增大，单缝被分成的波带数就越多，即衍射角越大，每一个带的面积就越小，而未被抵消的波带面积也就越小，所以光强迅速由最大值减小到零.条纹宽度：条纹对透镜2L 光心所长的角度称为条纹的角宽度.由于中央明纹位置满足λφλ<<-sin a .在夫琅和费单缝衍射中，φ一般很小，则φφφ≈≈tan sin ，于是角宽度 aa a λλλδφ2)(0=--=. (19-4) 第k 级明条纹位置在φ很小时满足 aa k a k λλδφ=-+=10. (19-5) 可见中央明纹的宽度是其他明纹的两倍.当波长λ不变时，各级条纹的角宽度δφ与缝宽a 成反比，即a 越小，条纹铺展愈宽，衍射数应愈显著；反之，衍射效应减弱.当λ>>a 时，0≈aλ，各明纹向中央明纹靠拢而形成一亮斑，光线呈现出光的直线传播，波动光学趋于几何光学.当缝宽a 不变时，各级条纹的位置和角宽度因波长而异.若用白光做光源，各种波长的中央明纹仍为白色，而中央明纹边缘伴有彩色，其他各图 4 例题 19.1 用图级明纹成为彩色条纹并将出现重叠的现象.例题 19.1 用波长nm 8.632=λ的平行光垂直入射到宽为mm a 1.0=的单狭缝上，缝后放置一焦距cm f 40=的透镜.求在透镜焦面所形成的中央明纹的线宽及第一级明纹的位置.解：单缝衍射中央明纹的线宽度0x ∆应等于焦平面上两个第一级暗条纹的距离.如图 4所示，设第一级暗纹角位置为1φ，到焦平面中心的距离为1x ，则有110tan 22φf x x ==∆.由（19-3）式有第一级暗纹角位置1φ为 λφ=sin a .因在夫琅和费单缝衍射中，一般φ很小，有1sin tan φφ≈，由此关系并由上两式可得中央明纹线宽度mm m m aff x 1.5101.5101.0108.63210422sin 2439210=⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯==≈∆----λφ设焦平面上第一级明条纹的角位置为1φ'，到中心O 的距离为1x '，则有11tan φ'='f x . 由（19-3）式，1φ'应满足λφ23sin 1='a . 因1φ'很小，11sin tan φφ'≈'，则焦平面上第一级明纹位置)(8.3)(1.5434323sin 011mm mm x a f f x x ±=⨯±≈∆±=±='±='±=λφ二、夫琅和费圆孔衍射图 5（a ）实验装置简图图 5（b ）爱里斑如图 5（a ）所示，用一圆孔代替单缝，同样也会产生衍射现象，此就是夫琅和费圆孔衍射.当用单色平行垂直照射到小圆孔上时，若在圆孔后放置焦距为f 的透镜2L ，则在透镜的角平面处的屏幕E 上出现明、暗交替的圆环.中心光斑最明亮，叫爱里（G.Arry ）斑，其光强分布如图 5（b ）所示.第一暗环里的角位置（衍射角）φ与圆孔直径D 及入射的单色光波长满足λφ22.1sin =D可见，第一暗环的大小（即爱里斑的大小）和圆孔直径D 成反比.如果λ>>D ，则0≈φ，此时爱里斑缩至0P 点，结果在0P 出形成一亮点，此即光源S 经透镜1L 和2L 所造成的像.此时，波动光学过渡为几何光学.而式中φ为爱里斑的直径d 对透镜中心张角的一半。
普通物理PPT课件11.7 圆孔的夫琅禾费衍射 光学仪器的分辨本领
2020/6/24
分光仪器的分辨本领：
指把波长靠得很近的两 条谱线分辨清楚的本领
R'
按照瑞利判据，要分辨第 k级光谱中波长
为 和 的两条谱线，就是波长为 的光 的第 级主k极大正好和波长为 的光的第
（ 级N极k小1）相重合.
kkN 1()
(kN 1)
11.7 圆孔的夫琅和费衍射
11.7.1 圆孔的夫琅和费衍射 11.7.2 光学仪器的分辨本领
2020/6/24
11.7.1 圆孔的夫琅和费衍射
L G L
E
a
S
0
半角宽度:
0
sin0
0.61
a
中央是一个亮圆斑，周围有明暗相间的同心
圆环．由第一暗环所包围的光斑叫爱里斑．爱里
斑的光能量约占总光能量的84%.当 a趋于零时，
2020/6/24
瑞利判据：
对于两个强度相等的不相干的点光源 （物点），当一个爱里斑的中心刚好落在另 一个爱里斑的边缘（即第一暗环）上时，则 物镜恰能分辨这两个点光源
恰能分辨
能分辨
2020/6/24
不能分辨
成像光学仪器的分辨率
L
s1 s2
D
R110 1.2D2
提高方法： （1）波长一定，增大孔径．（望远镜）
就0 趋于零，爱里斑就缩为一个点，这时波动光 学与几何光学的结论趋于一致．
2020/6/24
11.7.2 光学仪器的分辨本领
光学成像仪器的物镜大多都是圆形的，都 会产生圆孔衍射．几何光学认为一个物点发出 的光通过透镜后对应一个像点，波动光学则认 为对应一个圆孔衍射花样，物镜对一个物体所 成的像不是由理想的几何光学的像点组成的， 而是由一系列爱里斑组成的．如果两个物点所 对应的爱里斑基本不重叠，则这两个物点的像 就能清楚地分辨；如果两个物点所对应的爱里 斑重叠过甚，则这两个物点的像就不能分辨， 则物体的像也就模糊了．
光学仪器分辨率
眼睛的最小分辨角为
δ
1.22 D
取 d Sδ
2021S/7/3 0 d1.D 22d15..20 215035 110.20908.9410 3m
2021/7/30
2、光学仪器的分辨本领 （两光点刚好能分辨）
光学仪器的通光孔径 D
s1*
min
s2*
f
d 21.22
f
D
d 2
m
i
ndf21.2
2
D
满足瑞利判据的两物点间的距 离，就是光学仪器所能分辨的最小 距离。此时，两个物点对透镜中心 所张的角，称为最小分辨角。
2021/7/30
min
1.22
S1
S2
若两物点距离很近，对应的两个爱里斑可 能部分重叠而不易分辨。
瑞利给出恰可分辨两个物点的判据。
2021/7/30
1、瑞利判据
0.8 I 0
对于两个强度相等的不相干的点光源 (物点) ， 一个点光源的衍射图样的主极大刚好和另一点光源 衍射图样的第一极小相重合，这时两个点光源（或 物点）恰为这一光学仪器所分辨。
D
光学仪器分辨率
R 1 D
min 1.22
D, 1
光学仪器的最小分辨角越小，分辨率就越高。
2021/7/30
提高光学仪器分辨本领的两条基本途径：
对望远镜， 不变，尽量增大透镜孔径 D，以 提高分辨率。
一般天文望远镜的口径都很大，世界上最大的 天文望远镜在智利，直径16米，由4片透镜组成。
对显微镜，主要通过减小波长来提高分辨率。 电子显微镜用加速的电子束代替光束，其波长约 0.1nm，用它来观察分子结构。
按照波动光学的观点，透镜相当于一个圆孔，
圆孔衍射图样
（3）.当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹， 显示了光的直线传播的性质。
（4）.长波衍射角大，衍射能力强，易于绕过障碍物。 短波衍射角小，衍射能力弱，易被障碍物阻挡。
2020/3/5
23
例题：单缝宽a = 0.5mm，波长 0.5 ×10-6m。透镜焦
距 f = 0.5 m ,求 （1） 中央明纹的宽度，
Δx x2 x1
f
a
0.5103 m
中央明纹的宽度是其余明纹的两倍！
2020/3/5
25
干涉和衍射的联系与区别： 从本质上讲干涉和衍射都是波的 相干叠加，没有区别。
通常：干涉指的是有限多的子波的相干叠加， 衍射指的是无限多的子波的相干叠加，
二者常常同时存在。 例如，不是极细缝情况下的双缝干涉，就应该 既考虑双缝的干涉，又考虑每个缝的衍射。
点两侧可能见到的 谱线的最高级次和总谱线数。
解 （1）( a b ) sin d sin k ,k 0,1,2.....
d ?
d 1mm 2106 m 2m
500
（2） k 1 d sin k
sin 590
d 2000
（3）sin 1 k 1
d
17 0
k d 3.3
2020/3/5
k 1 k 3.3
d
最高3级； 共7条谱线
43
P398 例题10-2 用波长＝546.1nm的绿光垂直照射每厘米有3000条刻 线的光栅，该光栅的刻痕宽和透光缝宽相等，问：
能看到几条光谱线？各谱线衍射角多大？
2020/3/5
零级主 极大
光的衍射
·
故中央明纹的半角宽度 sin /a
tan /a 所以 x 2 f tan 2 f sin 2 f a
又因 sin tan
三、单缝衍射图样分析 像屏 像屏 5. 衍射条纹位置 衍射屏 透镜L p 当 θ 很小时 透镜L · B x x S a sin tan f
/a
2( /a)
五、单缝衍射条纹的特点 1. 中央明纹(主极大)最宽。 2 f x 0 2. 其他明纹(次极大)宽度 f 1 x x0
a 2
a
λ
像屏
单缝
透镜
x2
x1 0
Δx Δ x0
I
3. 波长对条纹宽度的影响
当a 一定时
x
f
波长越长，条纹宽度越宽，衍射越明显。 4. 缝宽变化对条纹的影响 1 x λ一定时
故
x f sin
*
Aδ
f
像屏
(1) 次明纹位置
f xk (2k 1) 2a (k 1,2,)
(2)暗纹位置 f xk 2k 2a
衍射屏 透镜
x2 x1
λ
Δx Δ x0
0
I
f
(k 1,2,)
三、单缝衍射图样分析 5. 衍射条纹位置 (1) 次明纹位置 f xk (2k 1) (k 1,2,) 2a (2)暗纹位置 f xk 2k (k 1,2,) 2a 说明： f (k 1,2,) 由 次明纹位置 xk (2k 1) 2a 可知： 当a、k、f 一定时，λ越大，则 xk 越大。 这表明，当白光入射时，则在各级彩色条纹中，红 光的条纹比紫光的条纹离屏幕中央O 远。
大学物理光的衍射
k1bsin
2
b213000A &
对于 , k1是明纹
则 bsin（2k1）
2
b s in 3 0 0 3， 4 3 3 （ 0A & )是 紫 光
2
.
例1：如图，波长为
的单色平行光垂直照 A
射单缝，若由单缝边
缘发出的光波到达屏
上P、Q、R三点的光
o
程差分别为2、2.5
P
3.5 ，比较P、Q、 R B
.
离得远 可分辨
瑞利判据 刚能分辨
离得太近 不能分辨 小孔（直径D）对两个靠近的遥远的点光源的分辨
.
S1
D
*
0
*
I
S2
最小分辨角
分辨本领
1
1.22 D
R 1 D
1.22
.
D
R
望远镜： 不可选择，可D R
▲ 世界上最大的光学望远镜： D=8m
建在了夏威夷山顶。 ▲世界上最大的射电望远镜：
f
Q
三点的亮度。
R
解题思路：2＝22 第二级暗纹
2.5(221)
2
第二级明纹
2
3.5(231) 第三级明纹
2.
例：在单缝夫朗和费衍射实验中，屏上第3级暗纹 对应的单缝处波面可划分为——6 —个半波带？若 将缝宽缩小一半，原来第3级暗纹处将是明——纹。
例：波长为600nm的单色平行光，垂直入射 到缝宽为b=0.60mm的单缝上，缝后有一焦 距f=60cm的透镜。在透镜焦平面上观察衍射 图样. 则中央明纹宽度为—1— .2m—m。两个第3级暗纹之 间的距离为—3.6—m—m 。
sb
显 示
几何
光的衍射
r r r r a a a a
r A1
r r r r r r r r a a a a a a a a
∴ 2 A1 = A2 2 ∴ I 2 = A2 = 4 A12 = 4 I1
单位时间内透过缝的总能量∝入射光强× 单位时间内透过缝的总能量∝入射光强×缝的面积
(13)
r A2
例(第12届): 单色光垂直入射于缝宽为 的单缝 观测 第 届 单色光垂直入射于缝宽为a 的单缝, 其夫琅禾费衍射。现在缝宽的一半上覆盖移相膜, 其夫琅禾费衍射。现在缝宽的一半上覆盖移相膜 但光能不损失。 使经此膜的光相位改变π , 但光能不损失。试画出光 强度I分布曲线 分布曲线。 强度 分布曲线。 思路:由波带法 并考虑移相膜, 由波带法, 解: 思路 由波带法 并考虑移相膜 判断衍射强度的 极大和极小位置. 极大和极小位置 (1)θ=0 时, 通过单缝各点的光程差为 但移相膜使 通过单缝各点的光程差为0, 上下两半缝的光有附加相差π , 它们干涉相消, 强度为0 它们干涉相消 强度为
30° ° C A B
Q ∆δ = λ 0
λ
d ∆δ = AB ⋅ sinθ = d ⋅ sin 30° = 2
∴ d = 2λ0
−6
500.1× 10 ∴L= ⋅ 2λ0 = ⋅ 2 × 600 × 10 − 6 = 30[mm ] k∆λ 1× 0.02 × 10 − 6
(11)
(2) 由I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos ∆ϕ
x λ δθ = = θ 半 = D a
x
−9
•
•
D
3
500 × 10 × 1× 10 ∴x = = = 1[m] −3 0.5 × 10 a
一、光的衍射现象
p 0
f
A B
x0
(a b) sin (a b) sin k
( a b) sin k 1 ( k 1)
sin k 1 sin k ab d
结 论：
d—光栅常数
(1)主极大明条纹位置由缝间干涉决定; ab (2)因为sin 1故 k (3)相邻两级主极大的间距随光栅常数 的减小而增大。
斜入射:
2-1 光的衍射
一、光的衍射现象
s
a a
E 几何
阴影区
几何 阴影区
(1)直线传播
s
a
a与相比拟
E 几何
阴影区
(2)发生衍射
几何 阴影区
二、衍射的分类
依光源、障碍物和观察屏三者位置关系 1、菲涅耳衍射（近场衍射)
P
S
E
2、夫琅和费衍射（远场衍射）
来自无穷远 射向无穷远
E s
L1
L2
三、惠更斯--菲涅耳原理
三、衍射条纹特点分析
1、菲涅耳半波带
2
a
A1 A2
B A
A
L
A1 A2
B
C
1
E O
2
P
AC a sin k 2
f
2、衍射明暗纹条件分析 a sin k 2 (1)中央明区（零级明纹） 定 a sin 性 (2)暗纹（偶数个半波带） 半
1、惠更斯原理
2、惠更斯--菲涅耳原理 从同一波面上各点发出的子波,在传 播到空间的某一点时,各个子波也可以互 相叠加而产生干涉现象。
子波干涉
2-2 单缝夫琅和费衍射
第二十二章光的衍射
(黄光 ) 黄光
蓝光 k = 4 , λ = 467nm (蓝光 )
(紫光 ) 紫光 k = 5 , λ = 380nm 级明纹； (2) P点处可能出现 λ = 600 nm 的第 3 级明纹； 级明纹. 或 λ = 467 nm 的第 4 级明纹
(3) 求半波带个数
而言， 对 λ = 600 nm 而言，半波带个数为 2k + 1 = 2× 3 + 1 = 7 个. 而言， 对 λ = 467 nm而言，半波带个数为 2k + 1 = 2× 4 + 1 = 9 个. 而言， 对 λ = 380 nm而言，半波带个数为 2k + 1 = 2× 5 + 1 = 11 个.
θ
f
x
O
各级明纹到屏中央的距离为： 各级明纹到屏中央的距离为：
xk = ± (2k + 1) f
λ
2. 各级明纹宽度 = 两相邻暗纹极小的间距： 两相邻暗纹极小的间距：
2a
(k = 1,2,3,L)
∆ x = xk+1 − xk = f
λ
a
3. 中央明纹宽度和半角宽度
ⅰ) 中央明纹宽度 l0 = 两侧第一级暗纹极小的间距
O
λ
2
例： asinθ = 2k
第一级暗纹(极小 对应两个半波带； 极小), = λ — 第一级暗纹 极小 对应两个半波带；
3 asinθ = (2k + 1) = λ — 第一级明纹 极大 对应三个半波带； 第一级明纹(极大 对应三个半波带； 极大), 2 2 一般只能看到中央明纹附近的几条条纹 θ↑, m↑, dS↓, I↓,一般只能看到中央明纹附近的几条条纹 .
结论： 中央明纹是各级明纹宽度的两倍， ★ 结论： 中央明纹是各级明纹宽度的两倍，集中了绝大部分 光强，其余各级明纹亮度随级数增大而减小. 光强，其余各级明纹亮度随级数增大而减小.
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1.36103 m 1 2.44 2.44 0.00603 rad 2 D1 5510 m 2 1.57102 m 2.44 0.0164 rad （2） 2 2.44 D2 2.33m
1
22010 Hz
13 – 3 圆孔衍射
S1 S2
光学仪器的分辨率
第十三章 光的衍射
可分辨
此时两爱 里斑重叠 部分的光 S1 恰可分辨 强为一个 S2 光斑中心 最大值的 两爱里斑中心距d0恰好等于爱里斑半径。 80％。
S1 S2
不可分辨
第十三章 光的衍射 13 – 3 圆孔衍射 光学仪器的分辨率 2.光学仪器分辨 率 满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器 所能分辨的最小距离。此时两个物点对透镜中心所张 的角称为最小分辨角。
1 2
500109 50102 光源 r01 1.22 3 2 0.110
所以：
S
R
f
1.5 10 m
9 2
3
圆孔
障碍物
E
接收屏
50010 5010 r02 1.22 1.5 104 m 2 1.0 103
13 – 3 圆孔衍射
二、光学仪器的分辨本领
同上所述，点物S和S1 对 S 1 透镜中心 O 所张的角 ， 等于它们分别相应的中央 S 零级衍射中心S’、 S1’对 O所张的角。
S1 L1
O L L2
S’
S1’
如图所示，是可分 S’ 辨这两个物点的。 S O S1’ f1 当两个物点距离足够 f2 小时，就有能否分辨 A 的问题。 瑞利给出恰可分辨两个物点的判据。 1.瑞利判据 点物S1的爱里斑中心恰好与另一个点物S2的爱里斑 边缘（第一衍射极小）相重合时，恰可分辨两物点。
D 越大 越小，衍射现象越不显著。
第十三章 光的衍射 13 – 3 圆孔衍射 光学仪器的分辨率 例：在圆孔的夫琅和费衍射中，设圆孔半径R1=0.1mm 透镜L2的焦距 f =50cm ，所用单色光波长 500 nm ， 试求：在接收屏上爱里斑的半径；若圆孔半径改用 R2=1.0mm，其它条件不变，爱里斑半径变为多大？ 爱里斑 解：因为 r0 0 f 1.22f / D L L电子显微镜源自摄的照片13 – 3 圆孔衍射
光学仪器的分辨率
第十三章 光的衍射
例题：在正常的照度下，设人眼瞳孔的直径为3mm，而 在可见光中，人眼最灵敏的是波长为550nm的绿光，问： （1）人眼的最小分辨角多大？（2）若物体放在明视距 离25cm处，则两物体能被分辨的最小距离多大？
解： （1）人眼瞳孔直径D=3mm，光波波长=5.510-5cm.
d0为光学仪器可分辨的最小距离，即为两物点可 分辨的最小距离，L为圆孔到两物点的垂直距离，若为 光学仪器，则L即为焦距f。D为圆孔直径。 光学仪器中将最小分辨角的倒数称为仪器的分辨率。
d0 1.22 L D
D 1.22
光学仪器的最小分辨角越小，分辨率就越高。
1
第十三章 光的衍射 13 – 3 圆孔衍射 光学仪器的分辨率 •光学镜头直径越大，分辨率越高。 一般天文望远镜的口径都很 大，世界上最大的天文望远 镜在智利，直径16米，由4片 用哈勃望 地面观测 远镜观测 透镜组成。 •采用波长较短的光，也可提高分辨率。 1 D 电子显微镜用加速的电子束代替光束， 1.22 其波长约 0.1nm，用它来观察分子结构。
13 – 3 圆孔衍射
光学仪器的分辨率
第十三章 光的衍射
一、圆孔衍射
1.夫琅禾费圆孔衍射 平行光通过圆 孔经透镜会聚， 照射在焦平面上 的屏幕上，也会 形成衍射图样。
D
f
中央是个明亮的圆斑，外围 是一组同心的明环和暗环。 中央明区集中了衍射光能的 83.5% 因为大多数光学仪器所用透镜的边缘都是圆形， 圆孔的夫琅和费衍射对成象质量有直接影响。
光学仪器的分辨率
第十三章 光的衍射
一般光学仪器成像，光学仪器对点物成象是一个 有一定大小的爱里斑。 所以由于衍射现象，会使图像边缘变得模糊不清， 使图像分辨率下降。 点物S 象S’ 一个透镜成象的光 路可用两个透镜的作 L 用来等效，如图所示： L1 L2 象 点物 点物就相当于在透 镜L1物方焦点处，经 f1 f2 通光孔径A，进行夫琅 A 和费衍射，在透镜L2 的象方焦点处形成的 仅当通光孔径足够大时， 中央零级明斑中心。 a 爱里斑才可能很小。
第十三章 光的衍射 13 – 3 圆孔衍射 光学仪器的分辨率 爱里斑 2 中央明纹区域称作爱里斑，它 D d 的边界是第一级暗纹极小值。 f 第一级暗环直径 d 为爱里斑直径。 第一暗环对应的衍射角 0 称为爱里斑的半角宽， 理论计算得：
d 0 sin 0 0.61 / R 1.22 / D 2f d 爱里斑对透镜中心的张角为： 2 0 2.44 / D f 式中D 2 R 为圆孔的直径， f 为透镜 L2的焦距。 爱里斑的半径为： r0 0 f 1.22f / D
人眼最小分辨角： 5.5 105 0 1.22 1.22 2.3 104 (rad ) 0.8
D 0.3
（2）设两物点相距为x，它们距人眼距离L=25cm
x 恰能分辨时，有： 0 L
x L0 25 2.3104 0.058(mm)
第十三章 光的衍射 13 – 3 圆孔衍射 光学仪器的分辨率 例题 毫米波雷达发出的波束比常用的雷达波束窄， 这使得毫米波雷达不易受到反雷达导弹的袭击. （1）有一毫米波雷达，其圆形天线直径为55cm， 发射频率为220GHz的毫米波，计算其波束的角宽度； （2）将此结果与普通船用雷达发射的波束的角宽度 进行比较，设普通船用雷达波长为1.57cm，圆形天线直 径为2.33m . c 3 108 m/s 1 1.36103 m 解（1） 9