2015-2016年北京市广渠门中学高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

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北京高二上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．经过点，且斜率为的直线方程是（） (1,2)2A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A2．已知空间向量，，，若，则（） (2,3,4)a =- (4,,)b m n =- ,R m n ∈a b ∥m n -=A ．2B ．C ．14D ．2-14-【答案】C【分析】，得到，解得答案.b a λ=(4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-【详解】，则，即， a b ∥b a λ= (4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-解得，，，. 2λ=-6m =8n =-14m n -=故选：C3．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>352100x y ++=为（）A ．B ．22154x y +=221259x y +=C ．D ．221169x y +=2212516x y +=【答案】D【解析】直线过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为,所以椭圆中，由离心率2100x y ++=(5,0)-5a =为，则，可求出椭圆的，从而可得椭圆的方程. 353c =b 【详解】直线与轴的交点为,2100x y ++=x (5,0)-直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.2100x y ++=(5,0)-所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.5a =353c =则，所以椭圆的方程为：.4b =2212516x y +=故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求，属于基础题.,,a b c 4．在中，为边上的中线，为的中点，则（）ABC AD BC E AD EB =A ．B ．C ．D ．3144AB AC -1344AB AC -1344AB AC +1142AB AC +【答案】A【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， AD BC 所以，1()2AD AB AC =+因为为的中点，E AD 所以可得， 111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=- 故选：A5．设，，则以线段为直径的圆的方程为（） (2,1)A -(4,1)B AB A ． B ． C ． D ．22(3)4x y -+=22(3)2x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=【答案】B【分析】由题知圆心为. ()3,0【详解】解：由题知线段中点为，AB ()3,0=所以，以线段为直径的圆的圆心为 AB ()3,022(3)2x y -+=故选：B6．设双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F P C点，且．若的面积为的周长为（）1260F PF ∠=12F PF △12F PF △A ．BCD ．+2+【答案】A【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得1216PF PF ⋅= 22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，由离心率可求出，同理结合12122cos PF PF F PF -⋅∠,,a b c ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅代入余弦定理可求，进而得解. 12PF PF +【详解】由题可知，求得， 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅⋅∠=△1260F PF ∠= 1216PF PF ⋅=对由余弦定理可得12F PF △22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，即，12122cos PF PF F PF -⋅∠()()221212122222cos c a PF PF PF PF F PF =+⋅-⋅∠即，因为，解得， 2416,2b b ==2222243c a e a a+===222,6a c ==又，22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=+-⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠即，解得， ()2212121212422cos c PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠12PF PF +=122F F c ==所以的周长为. 12F PF △1212PF PF F F ++=故选：A7．如图所示，在平行六面体中，，，，，ABCD A B C D -''''1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=，则的长为（）60BAA DAA ∠'=∠=' C A 'A ．5BCD 【答案】B【分析】由向量得：，展开化简，再利用向量的数AC AB AD AA =+'+'()()22AC AB AD AA =+'+' 量积，便可得出答案.【详解】解：，AC AB BC CC AB AD AA '=++='+'+，()()()()()222222()AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''∴=++=+++⋅+⋅'⋅'+ ∵，，，， 1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=60BAA DAA ∠'=∠=' . ()222291232(013cos 6023cos 60)142232AC ︒︒∴=+++⨯+⨯+⨯=+='⨯，即 AC ='∴AC '故选：B.8．过直线上一点作圆的切线，切点为．则四边形的43100x y ++=P 22:20C x y x +-=,A B PACB 面积的最小值为（）A B C D ．【答案】C【分析】由切线性质可得，由勾股定理表示出，进而得解.122PACB S PA AC =⋅⋅PA 【详解】如图，由切线性质可知，，所以，圆的,,PA AC PB BC PAC PBC ⊥⊥△≌△122PACB S PA AC =⋅⋅标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，()2211x y -+=()1,0C 1r =C 4101455d +==最小，需使，故122PACB S PA AC =⋅⋅min PC d =()min122PACB S r =⋅=故选：C二、多选题9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则22:18y C x -=1F 2F P C 17PF =（）A ．的虚轴长为2B ．的值可能为5C 2PF C ．的离心率为3D ．的值可能为9C 2PF 【答案】BCD【分析】由双曲线标准式确定，可判断A ，C 是否正确，由双曲线第一定义可判断B ，D 正,,a b c 确性.【详解】由的标准式可确定：22:18y C x -=， 22231,8,9,1,3,231c a b c a b c b e a ==========故C 正确，A 错误；由双曲线第一定义可知，，解得或9，，，所以122PF PF -=17PF =25PF =2c a -=52,92≥≥BD 正确. 故选：BCD10．如图，为正方体，下面结论正确的是（）1111ABCD A B C D-A ．平面BD ∥11AB D B ．与平面AC 11AB D C ．平面1AC ⊥11CB D D ．异面直线与所成的角为 BD 1CB 60 【答案】ACD【分析】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可逐个证明.【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，为正方体，设边长为1，1111ABCD A B C D -则，，，，，，，， ()0,0,0D ()1,0,0A ()1,1,0B ()0,1,0C ()10,0,1D ()11,0,1A ()11,1,1B ()10,1,1C 对A ，，，又∵平面，∵平面，∴()111,1,0BD B D ==--11BD B D ∥BD ⊄11AB D 11B D ⊂11AB D BD ∥平面，A 对；11AB D 对B ，，，，由得为平面()11,1,1AC =-- ()11,0,1AD =- ()10,1,1AB = 11110A C AD A C AB ⋅=⋅=1AC 的法向量，11AB D ，故与平面所成的角的正弦值为B 错； ()1,1,0AC =- AC 11ABD 11A C AC A C AC⋅==⋅对C ，由B 得，同理可证为平面的法向量，故平面，C 对；1AC u u u r11CB D 1AC ⊥11CB D对D ，，，∴异面直线与所成的角的余弦值为()1,1,0BD =-- ()11,0,1CB =BD 1CB ，故所成角为，D 对.1260 故选：ACD11．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（）22195x y +=F (0y m m =<<A B A ．为定值 B ．的周长的取值范围是 AF BF +ABF △()6,12C ．当为直角三角形 D ．当时，m =ABF △1m =ABF △【答案】AB【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的范围判断||||AF BF +||AB B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形判断C ；求出坐,A B ·0FA FB <ABF △,A B 标，由面积公式得出的面积判断D.ABF △【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得， 1F 1AF 1AF BF =所以为定值，A 正确；16AF BF AF AF +=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 正确； ||AB (0,6)ABF△(6,12)将，，又因为， y=A ⎛ ⎝B(2,0)F 所以，，即为钝角，23(2)02FA FB ⋅=+=-<AFB ∠所以为钝角三角形，C 错误；ABF △将与椭圆方程联立，解得，所以D 错误. 1y =,A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭112ABF S == 故选：AB【点睛】12．在四棱锥中，底面S ABCD -ABCD是边长为2的正方形，底面，，，交于点，是棱上的动点，SA ⊥ABCD SA AB =AC BD O M SD 则（）A ．存在点，使平面 M //OM SBCB ．三棱锥体积的最大值为S ACM -23C ．点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值2 M ABCD M SAB D ．存在点，使直线与所成的角为 M OM AB 60 【答案】ACD【分析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，利用向量法判断A AB AD AS ，，,,x y z CD ，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断B 选项.根据线面平行的判定定理判断A. 【详解】解：根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角A AB AD AS ，，,,x y z 坐标系，如图，则, (0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0)A C B D S O 由是棱上的动点，设，M SD (0,,2),(02)M λλλ-≤≤,其中为到平面的距离，13S ACM SAC V S h -=⨯ h M SAC 因为底面为正方形，故, ABCD OD AC ⊥又底面底面 SA ⊥,ABCD OD ⊂,ABCD 所以,SA OD ⊥又,平面， SA AC A ⋂=,SA AC ⊂SAC 所以底面,OD ⊥SAC 所以当与D 重合时，三棱锥体积的最大且为，故B 错M S ACM-1142323S ACM V -=⨯⨯⨯=误；当为中点时，是的中位线，所以，又平面，M SD OM SBD //OM SB OM ⊄SBC 平面，所以平面，故A 正确；SB ⊂SBC //OM SBC 点到平面的距离， M ABCD 12d λ=-点到平面的距离,M SAB 2|||(0,,2)(0,2,0)|2||AM AD λλd λAD →→→⋅-⋅===所以，故C 正确.1222d d λλ+=-+=,,(2,0,0)AB →=(1,1,2)OM λλ→=---若存在点，使直线与所成的角为M OM AB 60︒则，化简得，解得1cos 602AB OM AB OM ⋅︒=== 2310λλ-+=λ=所以，当与所成角为，故D 正确； λ=OM AB 60︒故选：ACD三、填空题13．若，，则___________． ()53,2,a =()0,1,4b =- 2a b -=【分析】由向量坐标的线性运算及模运算计算即可.【详解】，故()()()22320,1,42,1,13,,5a b -=-⨯-= a -=14．已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为220x y -+=10x y ++=，则它邻边所在的直线方程为___________．350x y +-=【答案】390,330x y x y -+=--=【分析】先求出中心坐标为，再根据邻边所在直线与垂直设方程为，进(1,0)M -1l 34,l l 230x y d -+=而结合点即可求解. (1,0)M -【详解】解：，解得，22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩10x y =-⎧⎨=⎩∴中心坐标为，(1,0)M -点M 到直线的距离1:350l x y +-=d设与垂直两线分别为，则点， 1l 34l l 、(1,0)M -设方程为34,l l 230x y d -+=或， 23d =-9∴它邻边所在的直线方程为． 390,330x y x y -+=--=故答案为：390,330x y x y -+=--=15．已知圆，直线的距离等于1，则22x y a +=:=l y x l =a ___________．【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 2rd =【详解】圆的圆心为，则. 22x y a +=()0,0,r =2r d ==4a =故答案为：416．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是1111ABCD A B C D -P 1BD DC AP ⋅___________．【答案】[]0,4【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出1BP BD λ=⋅ DC AP ⋅λ的取值范围．DC AP ⋅【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立DAx DC y 1DD z 空间直角坐标系．则，，，，．()0,0,0D ()0,2,0C ()2,0,0A ()2,2,0B ()10,0,2D ，，．∴()0,2,0DC = ()12,2,2BD =-- ()0,2,0AB =点在线段上运动，P 1BD ，且． ∴()12,2,2BP BD λλλλ=⋅=--01λ……，∴()2,22,2AP AB BP λλλ=+=--，∴44DC AP λ⋅=-∵，∴，即， 01λ……0444λ≤-≤[]0,4DC AP ⋅∈故答案为：．[]0,4四、解答题17．已知的三个顶点分别为，，．ABC ()2,4A ()1,1B ()7,3C(1)求边的垂直平分线的方程； BC (2)求的面积． ABC 【答案】(1) 3140x y +-=(2) 8【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方13BC k =BC ()4,2BC 3k =-程.（2）计算到直线的距离为，得到面积. BC =A BC d =【详解】（1），故边的垂直平分线的斜率，的中点为， 311713BC k -==-BC 3k =-BC ()4,2故垂直平分线为，即. ()342y x =--+3140x y +-=（2=所在的方程为，即， BC ()1113y x =-+320x y -+=到直线的距离为. A BC d 11822S BC d =⋅=⨯=18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线为渐近线，焦点是，的双曲线； y =()3,0-()3,0(2)离心率为，短轴长为6的椭圆． 45【答案】(1)22136x y -=(2)或221259x y +=221259y x +=【分析】（1）由题意设双曲线方程为(，)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方22221x y a b-=0a >0b >程求出，即可；a b （2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可.x y 【详解】（1）解：由题意设双曲线方程为，由焦点坐标可知，22221(0,0)x y a b a b-=>>3c =双曲线的渐近线方程为，可得 y =ba=又，解得222+=a b c a =b =所以双曲线的方程为.22136x y -=（2）解：当焦点在轴时，设椭圆方程为，x 22221x y a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259x y +=当焦点在轴时，设椭圆方程为，y 22221y x a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259y x +=所以，所求椭圆方程为或.221259x y +=221259y x +=19．如图，在正方体中，为的中点．1111ABCD A B C D -E 1BB(1)求证：平面； 1BC ⊥1ACD (2)求直线与平面所成角的余弦值． 1D C 1AD E 【答案】(1)证明见详解【分析】（1）要证平面，可证，结合正方体性质即可求证；1BC ⊥1ACD 111BC A DBC CD⊥⎧⎨⊥⎩（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z系，求出和平面的法向量，由向量的夹角公式求出与平面所成角的正弦值，结1D C1AD E 1D C 1AD E 合同角三角函数即可求解.【详解】（1）连接，因为几何体为正方体，所以，四边形为平行四边形，11,A D AC 11//D C AB 11ABC D 所以，因为，所以，11//BC AD 11AD DA ⊥11BC A D ⊥又平面，平面，所以平面，11,,,CD BC CD CC BC CC C BC ⊥⊥=⊂ 11BCC B 1CC ⊂11BCC B CD ⊥11BCC B 又平面，所以，1BC ⊂11BCC B 1BC CD ⊥平面，平面，所以平面； 1,CD A D D CD =⊂ 1ACD 1A D ⊂1ACD 1BC ⊥1ACD（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z 系，不妨设正方体边长为1，则，，()()()110,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,2A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭()10,1,1D C =-，设平面的法向量为，则，即，设()111,0,1,0,1,2AD AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 1AD E (),,n x y z = 100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x z y z +=⎧⎨+=⎩，则，，2x =1,2y z ==-()2,1,2n =-设直线与平面所成角为，则，所以1D C 1AD Eθ1sin cos D C θ==π4θ=cos θ=，故直线与平面. 1D C 1AD E20．已知圆的方程为．C 221x y +=(1)求过点且与圆相切的直线的方程；()1,2P C l (2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程． m (1,2)P C ,A B AOB m 【答案】(1)或 1x =3450x y -+=(2)或 10x y -+=750x y --=【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出，进而得解；k （2，进而得解. 【详解】（1）当直线斜率不存在时，显然与相切； 1x =221x y +=当直线斜率存在时，可设，由几何关系可得，解得，故():12l y k x =-+1d r =34k =，即，故过点且与圆相切的直线的方程为或()3:124l y x =-+3450x y -+=()1,2P C l 1x =；3450xy -+=（2）设，可设中点为，因为是等腰直角三角形，所以，即()1:12my k x =-+ABD AOBOD =圆心到直线距离，解得或7，故直线或，即d =11k =():12m y x =-+()712y x =-+或.10x y-+=750x y --=21．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别ABCD ABEF M N 在正方形对角线和上移动，且．AC BF (0CM BN a a ==<<(1)求证与平面平行； MN BCE(2)当的余弦值． a =A MNB --【答案】(1)证明见详解(2)13-【分析】（1）采用建系法，表示出坐标，要证与平面平行，即证平面的,M N MN BCE MN ⊥BCE 法向量；（2）分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.AMN MNB 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，所以ABCD ⊥ABEF ABCD ABEF AB =BE AB ⊥平面，，所以平面，显然三垂直，以方向为轴正BE ⊥ABCD BC AB ⊥BC ⊥ABEF ,,BA BE BC BA x 方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，BE y BC z B AEC -，因为，所以，，()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0A C B F (0CM BN a a ==<<CM = BN设，，，由，得()()111222,,,,,M x y z N x y z ()111,,1CM x y z =- ()1,0,1=- CA CM = M，，，由得，，可设平面()222,,BN x y z = ()1,1,0= BF BN = N ⎫⎪⎭1MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 的法向量为，，所以与平面平行；BCE ()1,0,0n =r 0MN n ⋅=MN BCE（2）当，，，a =1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,0,0A ()0,0,0B 1111,0,,,,02222AM AN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，， 1111,0,,,,02222BM BN ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量为，则，即，可设，故，设AMN ()1,,n x y z = 1100n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y z ==1x =()11,1,1n = 平面的法向量为，则，即，令，则，故MNB ()2333,,n x y z = 2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 333300x z x y +=⎧⎨+=⎩31x =331y z ==-，设二面角的平面角为，则， ()21,1,1n =-- A MN B --θ121cos cos ,3n n θ==- 故二面角的余弦值为.A MNB --13-22．已知椭圆的离心率为，且经过点．2222:1(0)xy C a b a b+=>>1231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于y kx m =+C M N 、O OM ON 、34-，试探求的面积是否为定值，并说明理由．OMN 【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,a b ,a c 222a b c =+解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长()()1122,,,M x y N x y 34-k m 公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解. MN OMN 【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭221914a b +=22214c e a ==222a b c =+，所以椭圆的方程为； 2221,3,4c b a ===C 22143x y +=（2）设，联立得，()()1122,,,M x y N x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()2222284341248430km k m k m ∆=-+-=+->， ()12221228434343km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩()2212121212121212OM ON k x x km x x my y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅= ()()()()()22222222222222438438434343434343m km k km m k m k m m k k k m m k --⎛⎫⋅+⋅+ ⎪--++++⎝⎭==--+，即，()()222343443m k m -==--22243m k =+d =12OMN S MN d =⋅==△所以的面积为定值.OMN。

高二上学期期中考试数学试卷含答案

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由；（2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==；圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==；所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行解析：由线面垂直的性质，易知C 正确．答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对；若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对；故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=；综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=．故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3，所以其体积为36π，所以选项C 正确，故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______．【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，，则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=，得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，故△ABC 是以角C 为直角的三角形，又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解：作于点G ，连接FG ，四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ，则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由；（2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-，综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分（或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-有答案-通用版

2015年秋季学期期中质量调研考试高二数学（理科）试题一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{2,0,1,4}A =，集合{04,R}=<≤∈B x x x ，集合C A B = ．则集合C 可表示为A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22-- 3．下列函数中，为奇函数的是A ．122xx y =+ B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4．下面几种推理中是演绎推理．．．．的为A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈； C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=5．已知()()32213af x x a x=+-+,若()18f '-=,则()1f -= A ．4 B ．5 C ．2- D ．3- 6．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．如图1，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+ 与直线1y x =+围成的区域为M （图中阴影部分）．则区域M 面积与矩形OABC 面积之比为 A ．118 B ．112C ．16 D ．1311+8. 已知可导函数()f x ()x ÎR 满足()()f x f x ¢>，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为A. ()<e (0)a f a fB. ()>e (0)a f a fC. ()=e (0)a f a fD. ()e (0)a f a f ≤ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数f x =()的定义域为．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2 的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y+=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． 14. 已知111()1()23f n n n+=+++鬃??N ，且27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时，有__________________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12．（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()212A f +=．求sin B ．16.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：2222n n n na a S a -+=，且0,.n a n +>∈N（1）求123,,;a a a（2）猜想}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明17．（本小题满分14分）如图3所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥， 4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ；（2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值；（3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈．（1）求1a ，2a 的值；（2）求n a ；（3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19.（本小题满分14分）设双曲线C ：12222=-by a x （a >0，b >0）的一个焦点坐标为（3，0），离心率e =A 、B 是双曲线上的两点，AB 的中点M （1，2）.（1）求双曲线C 的方程；（2）求直线AB 方程；（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20．（本小题满分14分）设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；（2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.ADBCFE图3参考答案9． {2}x x ≥； 10． 83； 11．2214y x -=； 12．6；13．123n n -⋅-； 14．2(2)2n n f +>；三、解答题15．解：（1）由题意可得π()112f =，即πsin()16ϕ+=． ……………………………2分0πϕ<< ，ππ7π666ϕ∴<+<， ππ62ϕ∴+=， π3ϕ∴=． ……………5分（2）222a b c ab +-= ，2221cos 22a b c C ab +-∴==， (7)分sin C ∴==． …………………………………………8分由（1）知π()sin(2)3f x x =+，π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈ ， sin A ∴==， ……………………………10分又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ ，1sin sin cos cos sin 2B A C A C ∴=+==12分 16．（1）1111112a a S a ==+-，所以，11a =-?，又∵0n a >，所以11a =.221221=12a S a a a +=+-，所以2a =, 3312331=12a S a a a a ++=+- 所以3a =（2）猜想n a =证明： 1o 当1n =时，由（1）知11a =成立．2o 假设()n k k +=?N 时，k a =成立1+11111=(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a +++-=+--+- 1112k k a a ++=+-所以21120k k a +++-=1k a +=所以当1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n +ÎN 都成立．17．解：（法一）（1）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，//BF CG 且BF CG =，∴ 四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =． ∴ …………2分四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =，//FG AD ∴且FG AD =，∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ． DG ⊂ 平面CDE ，AF ⊄平面CDE ，//AF ∴平面CDE ． ……………………………………………………4分（2）过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ，连接FP ，EP ，AP ，////EP BC AD ，∴A ，P ，E ，D 四点共面．四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴EP CD ⊥，EP CE ⊥，又 CD CE C = ，EP ∴⊥平面CDE ，∴EP DE ⊥，又平面ADE 平面BCEF EP =，∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角．……………………7分4DC CE ==，∴cos CE DEC DE ∠==．即平面ADE 与平面BCEF ． ……………………9分（3）过点F 作FH AP ⊥于H ，连接EH ，根据（2）知A ，P ，E ，D 四点共面，////EP BC AD ，∴BC BF ⊥，BC AB ⊥，AD BC FEP又 AB BF B = ， BC ∴⊥平面ABP ， ∴BC FH ⊥，则FH EP ⊥．又 FH AP ⊥， FH ∴⊥平面ADE ．∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠． ……………………………11分4DC CE ==，2BC BF ==，∴0sin 45FH FP ==EF ==HE =，∴cos HE HEF EF ∠===．即直线EF 与平面ADE． ……………………………14分（法二）（1）四边形BCEF 为直角梯形，四边形∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD 平面BCEF BC =，DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ，则(0,2,4)AF =- ，(2,0,0)CB =． ………………2分BC CD ⊥ ，BC CE ⊥， CB ∴为平面CDE 的一个法向量．又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，//AF ∴平面CDE ． …………………………………………………………4分（2）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =- ，(0,4,4)DE =-，∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩，取11z =，得1(0,1,1)n = ． ……………………………6分 DC ⊥ 平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos α= 因此，平面ADE 与平面BCEF． …………………9分（3）根据（2）知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =，(2,2,0)EF =- ，1111cos ,2EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅，………12分设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则cos sin ,EF n θ=<因此，直线EF 与平面ADE． ………………………14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18．解：（1）当=1n 时，有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+）（），解得1=8a ．当=2n 时，有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+，解得2=27a ．……………2分（2）（法一）当2n ≥时，有2(2)4(1)1n n n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=． …………………② ①—②得：221(2)(1)41n n n n a n a a n n-++=-+，即：331(1)=n n a n a n -+．…………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-…．∴ 3=(1)n a n + (2)n ≥．………………………………………8分另解：33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a nn ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+- ．又当=1n 时，有1=8a ， ∴3=(1)n a n +． …………………………8分（法二）根据1=8a ，2=27a ，猜想：3=(1)na n +． ………………………………3分用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时，有318(11)a ==+，猜想成立．（Ⅱ）假设当n k =时，猜想也成立，即：3=(1)k a k +．那么当1n k =+时，有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++，即：211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++，………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+， …………………………②①-②得：22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++，解，得33+1(2)(11)k a k k =+=++． ∴当1n k =+时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立．………………………………………8分（3） 211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++))， .................................10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++ (22222)11111=234(1)n n ++++++ (2)11111<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+… 111111111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+… 1113=4214n +-<+．………………………………………14分19．解：（1）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===33a ce c ，解得a =1. （1分）所以222312b c a =-=-=，（2分）故双曲线C 的方程为2212y x -=. （3分）（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩. 两式相减得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=-+ ，（4分）由题意得12x x ≠，221=+x x ，421=+y y ，（5分）所以1)(221212121=++=--y y x x x x y y ，即1=AB k . （6分）故直线AB 的方程为1y x =+. （7分）（3）假设A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为P. 因为AB 为圆P 的弦，所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上；又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ，故圆心P 为CD 中点M . （8分）下面只需证CD 的中点M 满足|MA |=|MB |=|MC |=|MD |即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：A （-1，0），B （3，4）. （9分）由（1）得直线CD 方程：3y x =-+，（10分）由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：C （-3+52，6-52），D （-3-52，6+52），（11分）所以CD 的中点M （-3，6）. （12分）因为102364||=+=MA ，102436||=+=MB ，1022020||=+=MC ，1022020||=+=MD ，（13分）所以||||||||MD MC MB MA ===，即 A 、B 、C 、D 四点在以点M （-3，6）为圆心，102为半径的圆上. （14分） 20．解：（1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-，（1分）令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分）当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：故函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（a ，+∞）；单调递减区间为（-1，a ）；（4分）因此)(x f 在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ，（5分）解得103a <<，所以a 的取值范围是（0，31）. （6分）（2）当a =1时，131)(3--=x x x f . 由（1）可知，函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；31)1()(-=-=f x f 极大值. （7分）①当t +3<-1，即t <-4时，因为)(x f 在区间[t ，t +3]上单调递增，所以)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值为583311)3()3(31)3()(233max +++=-+-+=+=t t t t t t f x f ；（9分） ②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . （10分）由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，且-1 [t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(max -=-=f x f ；（11分） ③当t +3>2，即t >-1时，由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间（1，+∞）上单调递增，所以)2()3(f t f >+，故)(x f 在[],3t t +上的最大值为58331)3()(23max +++=+=t t t t f x f . （13分）综上所述，当a =1时，)(x f 在[t ，t +3]上的最大值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23max t t t t t t x f 或. （14分）。

2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷解析

2015-2016学年上学期期中考高二理科数学试题（考试时间：120分钟总分：150分） 2015、11参考公式：b=2121xn xyx n yx ni ini ii--∑∑==，a=y －b x ， b 是回归直线的斜率，a 是截距样本数据1x ，2x ，...，n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-其中x 为样本平均数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、下列给出的赋值语句正确的是( )A ．6＝AB ．M ＝－MC ．B ＝A ＝2D ．x ＋5y ＝02、已知命题p ：R x ∈∀，1cos ≤x ，则（）(A) 1cos ,:≥∈∃⌝x R x p (B) 1cos ,:≥∈∀⌝x R x p (C) 1cos ,:00>∈∃⌝x R x p (D) 1cos ,:>∈∀⌝x R x p 3、设x R ∈,则“12x >”是“2210x x +->”的（） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）(A) 至少有一个黑球与都是黑球 (B) 至少有一个红球与都是黑球(C) 至少有一个黑球与至少有1个红球 (D) 恰有1个黒球与恰有2个黑球5、甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为( )甲茎乙8 0 93 2 1 1 34 8 765420 2 0 0 1 1 373A. 23,19B.24,18 C ．22,20D.23,206、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（）A ．14822=+x yB ．161022=+y xC ．18422=+x yD ． 161022=+x y7、在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与64 cm 2之间的概率为（） (A)103 (B)52(C)54 (D)51 8、某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（） (A) ()2f x x = (B) ()1f x x=(C) ()xf x e = (D) ()sin f x x =（第8题图）9、21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（）A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 ）(A) 5i >？ (B) 7i ≥？ (C) 9i ≥？ ( D) 9i >？11、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）(A) 63．6万元 (B) 65．5万元 (C) 67．7万元 (D) 72．0万元开始1=i 0=S iS S 2+=2+=i i ?否S输出结果是12、下列说法错误的是（）(A) “若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题是真命题。

北京市广渠门中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题)(含答案)

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一､选择题（每小题4分，共40分）1.（4分）已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是（）A.B.C.D.2.（4分）直线同时要经过第一､二､四象限，则，，应满足（）A.， B.，C.，D.，3.（4分）已知，若，，共面，则等于（）A.B.3C.D.94.（4分）若关于，的方程组无解，则（）A.2C.15.（4分）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（）A.1B.2C.D.6.（4分）“”是“直线与直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（4分）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A.B. C. D.l (3,2)--(1,2)l (2,1)--(1,0)-(0,1)(2,1)0ax by c ++=a b c 0ab >0bc <0ab <0bc >0ab >0bc >0ab <0bc <(2,1,3),(1,2,3),(7,6,)a b c λ=-=-=a b c λ3-9-x y 4210()210x y a x ay ++=⎧∈⎨++=⎩R a =P ABCD -2EC PE =DE xAB y A z AP C +=+x y z ++=13532m =1:(3)10l m x my -++=2:(1)20l mx m y +--=l sin 20x y θ--=l α[]0,ππ,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8.（4分）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离.当､变化时，的最大值为（）A.1B.2C.3D.49.（4分）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（）D.10.（4分）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为）A.B.点的坐标为C.，，，四点共面D.直线与直线二､填空题（每小题5分，共30分）11.（5分）已知，且，则__________.d (cos ,sin )P θθ20x my --=θm d A BCD -AB BC AC DB DC ====ABC BCD E BC EF AD ∥ADB ABF 66GE =C (2,2,-O E F A CE DG (2,1,3),(4,2,)a b x =-=- a b ∥x =12.（5分）过点且平行于直线的直线方程为__________.13.（5分）若，，则以为邻边的平行四边形面积为__________.14.（5分）已知，则向量在上的投影向量坐标为__________.15.（5分）若直线经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是__________.16.（5分）在正三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法中，正确的有__________.（请填入所有正确说法的序号）①当时，的周长为定值；②当时，三棱锥的体积为定值；③当时，有且仅有一个点，使得；④当时，有且仅有一个点，使得平面.三､解答题（共50分）17.（12分）已知的顶点分别为，，.（1）求边的中线所在直线的方程；（2）求边的垂直平分线的方程.18.（12分）在平行六面体中，，，.（1）求的长；（2）求到直线的距离；(1,3)-23x y -+(2,3,1)a =-(2,1,3)b =-,a b(2,1,3),(2,2,6),(3,3,6)A B C -AC AB:1(0,0)x yl a b a b+=>>(1,2)l x y 111ABC A B C -11AB AA ==P 1BP BC BB λμ=+[0,1],[0,1]λμ∈∈1λ=1AB P 1μ=1P A BC -12λ=P 1A P BP ⊥12μ=P 1A B ⊥1AB P ABC (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE 1111ABCD A B C D -12AB AA ==1AD =1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒1BD 1A BC（3）动点在线段上运动，求的最小值.19.（12分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.（1）求证：；（2）若底面，且，直线与平面所成角为.（i ）确定点的位置，并说明理由；（ii ）求线段的长.20.（14分）设正整数，集合，对应集合A 中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时.若的子集满足：当且仅当时，，则称为A 的完美子集.（1）当时，已知集合，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（2）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；（3）已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为A 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.P 1CD AP CP ⋅AMDE B C AM MD P ABCDE -F PE ABF PD PC G H AB FG ∥PA ⊥ABCDE PA AE =BC ABF 6πF PH 3n ≥(){}12,,,,,1,2,,n k A aa x x x x k n ==∈=R ∣()12,,n a x x x =⋯()12,,nb y y y =⋯λ(1,2,,)k k x y k n == ()()112212;,,;,,n n n a b a b x y x y x y a x x x λλλλ=+=++⋯+=⋯A {}123,,B a a a =1230λλλ===()1122330,0,,0a a a λλλ++= B 3n =12{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},{(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B B ==3n =()()(){}2,,1,,2,1,,1,2B m m m m m m m m m =---B A m {}123,,B a a a A =⊆()()12,,1,2,3i i i in a x x x i =⋯=1232ii i i i x x x x >++1,2,3i =B2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一､选择题（每小题4分，共40分）1.D【解答】解：由直线的两点式方程，得直线的方程为，即，将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点都在直线上，点不在直线上.故选：D.2.【答案】A【解答】解：由于直线同时要经过第一､二､四象限，故斜率小于0，在轴上的截距大于0，故，故，故选：A.3.【答案】C【解答】解：，共面，设，则，，解得，解得.故选：C.4.【答案】C【解答】解：关于的方程组无解，直线与直线平行，l ()()()()232213y x ----=----10x y -+=()()()2,1,1,0,0,1---l ()2,1l 0ax by c ++=y 00a b c b⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩0,0ab bc ><()()()2,1,3,1,2,3,7,6,a b c λ=-=-=,,a b c∴a mb nc =+ ()()2,1,37,26,3m n m n m n λ-=-+++7226133m n m n m n λ-+=⎧⎪∴+=⎨⎪+=-⎩11,44m n =-=9λ=- ,x y ()4210210x y a x ay ++=⎧∈⎨++=⎩R ∴4210x y ++=210x ay ++=，解得.故选：C.5.【答案】A【解答】解：由题意，，又因为，所以，所以.故选：A.6.【答案】A【解答】解：由题意两条直线垂直时，则，即，解得或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.7.【答案】C【解答】解：当时，则直线的斜率不存在，这时直线的倾斜角为，当时，则直线的斜率，当时，则，这时直线的倾斜角为，当，则，这时直线的倾斜角为，综上所述：直线的倾斜角的范围为.故选：C.8.【答案】C21421a ∴=≠1a =DE DC CA AE AB AC AP PE=++=-++()1133AB AC AP PC AB AC AP AC AP =-++=-++- 2233AB AC AP =-+DE x AB y AC z AP =++221,,33x y z ==-=1x y z ++=()()310m m m m -+-=2240m m -=0m =2m =2m =()1:310l m x my -++=()2:120l mx m y +--=sin 0θ=π2sin 0θ≠1sin k θ=0sin 1θ<…[)1,k ∞∈+ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭1sin 0θ-<…(],1k ∞∈--π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解答】解：由题意当时，.的最大值为3.故选：C.9.【答案】B【解答】解：如图，连接，因为为中点，所以，又平面底面，平面底面平面，所以平面，故两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由，可得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，d ∴()sin 1θα-=-max 13d =d ∴,AE DE ,AB BC AC DB DC E ====BC ,AE BC DE BC ⊥⊥ABC ⊥BCD ABC ⋂,BCD BC AE =⊂ABC AE ⊥BCD ,,ED EB EA E 2AB =EF ∥AD ()()(,,0,1,0,A DB F (()0,1,,,AB AD AF ===ABD (),,m x y z =m AB y m AD ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =1y z ==()m = ABF (),,n a b c = 0n AB b n AF ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩1c =0,a b ==()n =则则平面与平面故选：B.10.【答案】C【解答】解：由题意正方形的对角线，则，则，故A 错误；因为，则，故错误；对于，则，所以，又为三个向量的公共起点，所以四点共面，故C 正确；由，得，则，则所以直线与直线，故D 错误.故选：C.二､填空题（每小题5分，共30分）11.【答案】见试题解答内容【解答】解：因为，且，所以存在实数使得即cos ,m n m n m n ⋅<>===ADB ABF ABCD BD =((2,2,,0,G E GE ==12GA =⨯=(2,2,C -B ((,0,4,,C A F (((0,4,,0,,0,OA OE OF ===2OA OF =O ,,,O E F A DE =(D -((,3,1,CE DG ==-cos ,CE DG <>==CE DG ()()2,1,3,4,2,a b x =-=- a∥b λa b λ=24123x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得.故答案为.12.【答案】见试题解答内容【解答】解：设要求的直线方程为：，把点（）代入上述方程可得：，解得.要求的直线方程为：，故答案为：.13.【答案】见试题解答内容【解答】解：设向量的夹角为，，，由同角三角函数的关系，得，以为邻边的平行四边形面积为，故答案为：14.【答案】.【解答】解：因为，所以，所以，所以向量在上的投影向量坐标为.故答案为：.15.【解答】解：直线经过点，6x =-6-20x y m -+=1,3-1230m --⨯+=7m =∴270x y -+=270x y -+=,a bθ()()2,3,1,2,1,3a b =-=-2cos 7a ba bθ⋅∴===-⋅ sin θ==∴,a b sin S a b θ=⋅== 110,,22⎛⎫-⎪⎝⎭()()()2,1,3,2,2,6,3,3,6A B C -()()1,2,3,0,3,3AC AB ==-693AC AB ⋅=-+=AC AB110,,22AC AB AB ABAB ⋅⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭ 110,,22⎛⎫-⎪⎝⎭():10,0x yl a b a b+=>>()1,2121a b∴+=，当且仅当时上式等号成立.直线在轴，轴上的截距之和的最小值为.故答案为：.16.【解答】解：由题意得：，所以为正方形内一点，①当时，，即，所以在线段上，所以周长为，如图1所示，当点在处时，，故①错误；②如图2，当时，即，即，所以在上，，因为平面平面，所以点到平面距离不变，即不变，故②正确；③当时，即，如图3，为中点，为的中点，是上一动点，易知当时，点与点重合时，由于为等边三角形，为中点，所以，又，所以平面，因为平面，则，当时，点与点重合时，可证明出平面，而平面，则，即，故③错误；④，当时，即，如图4所示，为的中点，为的中点，则为上一动点，易知，若平面，只需即可，()12233b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭…b =∴xy 3+3+][1,0,1,0,1BP BC BB λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦P 11BCC B 1λ=1BP BC BB μ=+[]1,0,1CP BB μμ=∈ P 1CC 1AB P 11AB AP B P ++P 12,P P 111122B P AP B P AP +≠+1μ=1BP BC BB λ=+[]1,0,1B P BC λλ=∈ P 11B C 13P AIBC AIBC V S h -=⋅⋅ 11B C ∥11,BC B C ⊄1,A BC BC ⊂⊂1A BC P 1A BC h 12λ=112BP BC BB μ=+ M 11B C N BC P MN 0μ=P N ABC N BC AN BC ⊥11,AA BC AA AN A ⊥⋂=BN ⊥ANMA 1A P ⊂1ANMA 1BP A P ⊥1μ=P M 1A M ⊥11BCC B BM ⊂11BCC B 1A M BM ⊥1A P BP ⊥12μ=112BP BC BB λ=+ D 1BB E 1CC P DE 1AB AB ⊥1A B ⊥1AB P 11A B B P ⊥取的中点，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点与点重合时，故只有一个点符合要求，使得平面，故④正确.故答案为：②④.11B C F 1,A F BF 1A F ⊥11BCC B 1AF PB ⊥11A B PB ⊥1B P ⊥1A FB 1B P FB ⊥P E 1B P FB ⊥P 1A B ⊥1AB P三､解答题（共50分）17.【答案】（1）；（2）.【解答】解：（1）设中点的坐标为，则，边的中线过点两点，所在直线方程为，即；（2）的斜率，的垂直平分线的斜率，直线的方程为，即.18.【答案】（1（2）2；（3）.【解答】解：（1），因为，所以8340x y --=264130x y --=BC D ()00,x y 0076111,0222x y --+====BC AD ()12,4,,02A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭AD ∴40101222y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-8340x y --=BC 1127613k --==-+BC ∴DE 1132k =∴DE 131022y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭264130x y --=14-1112,1,60AB AA AD BAD BAA DAA ∠∠∠====== 111BD BA AD DD AB AD AA =++=-++ 1BD ==而，，，所以，即；（2）因为，所以，所以，在中，，所以，即，又因为，所以平面，而平面，所以，即为到直线的距离，而，所以三角形为等边三角形，即，即到直线的距离为（3）设则1||||cos 602112AB AD AB AD ︒⋅=⋅=⨯⨯= 111||cos 602222AB AA AB AA ︒⋅=⋅=⨯⨯= 111||cos 601212AD AA AD AA ︒⋅=⋅=⨯⨯= 1BD == 1BD 11cos60212AD AA ==⨯= 1,A D AD AD ⊥∥BC 1A D BC ⊥ABD BD ===222AD BD AB +=BD BC ⊥1A D BD D ⋂=BC ⊥1A BD 1A B ⊂1A BD 1A B BC ⊥1A B 1A BC 112,60AA AB A AB ∠===1AA B 12A B =1A BC 2;1,CP CD λ= ()()()1111AP CP PA PC PC CB BA PC D C AD AB D C A B AD AB A B λλλλ⋅=⋅=++⋅=--⋅=--⋅，当时，这时的最小值为.19.【答案】（1）证明见解答；（2）（1）F 为中点；（2）2.【解答】（1）证明：在正方形中，，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，则；（2）解：（1）当为中点时，有直线与平面所成角为，证明如下：由平面，可得建立空间直角坐标系，如图所示：()()111AB AA AD AB AA λλλ⎡⎤=---⋅-⎣⎦ ()()22111111AB AB AA AA AB AA AD AB AD AA λλλλλ⎡⎤=---⋅-⋅+-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ ()()22111221cos602cos60cos60AB AA AD AB AD AA λλλλ⎡⎤=-⨯--⋅+⨯-⋅+⋅⎣⎦()()11141212241212222λλλλ⎡⎤=---⨯⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯⎢⎥⎣⎦242λλ=-211444λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭14λ=AP CP ⋅14-PE AMDE AB ∥DE AB ∉,PDE DE ⊂PDE AB ∥PDE AB ⊂ABFG ABFG ⋂PDE FG =AB ∥FG F PE BC ABF π6PA ⊥ABCDE ,,PA AB PA AE ⊥⊥A xyz -则，又为中点，则，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.（2）设点的坐标为，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为是平面的法向量，所以，即，解得，故，则，所以.20.【答案】（1）是的完美子集，不是完美子集；()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,0,2A B C P F PE ()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1F BC AB AF === ABF (),,n x y z =00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y z =⎧⎨+=⎩1z =1y =-ABF ()0,1,1n =- BC ABF α||1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>=== F PE BC ABF π6H (),,u v w H PC ()01PH PC λλ=<< ()(),,22,1,2u v w λ-=-2,,22u v w λλλ===-()0,1,1n =-ABFGH 0n AH ⋅= ()()0,1,12,,220λλλ-⋅-=23λ=422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2PH ==1B A 2B（3）是的完美子集.【解答】解（1）设，即，所以是完美子集，设，，可得解得：所以不是完美子集；（2）因为集合不是的完美子集，所以存在，使得，即，由集合的互异性可得：且且，所以且，所以，可得，所以，即，所以，所以或，当时，，解得：，所以存在使得，当时，因为，所以，不符合题意，B A ()1122330,0,0a a a λλλ++=1230λλλ===1B 112233(0,0a a a λλλ++=0)1231231232402350,3460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1232,3,1λλλ==-=2B ()()(){}2,,1,,2,1,,1,2B m m m m m m m m m =---A ()()123,,0,0,0λλλ≠()1122330,0,0a a a λλλ++=()()()123123123202101120m m m m m m m m m λλλλλλλλλ⎧++=⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩2m m ≠1m m ≠-12m m -≠0m ≠1m ≠-12320λλλ++=()()312122,,0,0λλλλλ=--≠()()()()()12121212212011220m m m m m m λλλλλλλλ⎧++---=⎪⎨-+-+--=⎪⎩()()()()12122103110m m m m λλλλ⎧-+++=⎪⎨--+--=⎪⎩()1410m λ-+=14m =10λ=14m =123123123202303320λλλλλλλλλ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩12357,3λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩123573λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩()1122330,0,0a a a λλλ++=10λ=1m ≠-230,0λλ==（3）一定是的完美子集，假设存在不全为0的实数满足，不妨设，则，否则与假设矛盾，由，可得，所以.即矛盾，所以假设不成立，所以，所以，所以一定是的完美子集.B A 123λλλ､､()1122330,0,0a a a λλλ++=123λλλ……10λ≠1112213310x x x λλλ++=3211213111x x x λλλλ=--32112131213111x x x x x λλλλ++……111121312x x x x >++11112131x x x x >++10λ=230λλ==B A。

高二第一学期数学期中必修2试题及答案

高二第一学期数学期中必修2试题及答案高二第一学期数学期中必修2试题及答案高二数学期中复习题（第一学年）1、是边长为4的菱形线段到的距离是4，则点到的距离是_______________2、如图，正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的大小是____________________3、设直角三角形所在平面外一点到直角顶点的距离是，到两直角边的距离均为，则点到平面的距离是__________；与平面所成角大小是_____________4、设二面角为，，且与所成角为，，则到平面的距离是_____________5、如图，正方形与正方形所在的平面成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为__________________6、如图，长方体中，若棱，则直线与平面的距离是_____________7、是边长为正方形，，且，则到侧面的距离等于________________；8、两个等腰三角形与的公共底边，，且二面角为，则点与间的距离为____________9、如图，是二面角棱上一点，分别在上引射线，如果，那么二面角的大小是____________________10、已知长方体的底面是边长为的正方形，高为，求点到平面的距离为__________________11、正三棱柱所有棱长都是3，是的中点，则到的距离是______________12、若斜三棱柱的侧棱长为，侧棱与底面的交角为，则此棱柱的高为________________13、下面四种几何体必为长方体的是（）（A）直平行六面体（B）侧面都是矩形的棱柱（C）底面是矩形的直棱柱（D）两对角面是全等的矩形的直四棱柱14、棱柱成为直棱柱的一个必要而非充分条件是（）（A）棱柱有一条侧棱与底面垂直；（B）棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直；（C）棱柱有一个侧面是矩形且它与地面垂直；（D）有二个相邻的侧面垂直于底面。

15、四棱柱为长方体的一个充要条件是（）（A）底面为矩形（B）侧面为正方形（C）底面为菱形（D）侧面、底面都为矩形16、过一长方体同一个顶点的三个面对角线长分别是，那么这个长方体的对角线长是（）（A）（B）（C）（D）17、右图是一个正方体的'表面展开图，均为棱的中点，是顶点，则在正方体中异面直线和的夹角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）18、平面则与所成角为19、若长方体的一条对角线与从它的一个端点出发的三条棱所成的叫分别是则20、如图：正方体中，分别为和的中点，那么与所成角的大小为21、已知线段的长为4cm，点到平面的距离为1cm，点到平面的距离为2cm，那么线段所在的直线与平面所成角的大小为22、已知二面角的大小为，垂足为，且那么直线与平面所成角的大小是23、已知直四棱柱中，底面是直角梯形，为直角，，，求异面直线所成的角的大小。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n －＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

北京市广渠门中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)

北京市广渠门中学2024—2025学年度第一学期期中试题高二年级数学学科时间：120分钟 2024.11本试卷共2页，150分。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

一、选择题（每小题4分，共40分）1.若直线与直线平行，则系数a 为（）A.-3B.-6C.D.2.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的方程是（）A. B.C. D.3.在三棱锥中，等于（）A. B. C. D.4.过点，的直线的斜率等于1，则m 的值为（）A.1或3B.1或4C.1D.45.已知椭圆的一个焦点的坐标是（-2，0），则实数m 的值为（）A.1C.2D.46.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°7.已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.7B.6C.5D.4220ax y ++=320x y --=32-23()2211x y ++=0x y +=10x y -+=10x y --=10x y ++=10x y +-=O ABC -OA AB CB +- OA AB OC AC()2,M m -(),4N m 2213x y m m+=111ABC A B C -AC BC ⊥12AC BC AA ===1A C 1ABBA8.“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当a ，b 变化时，直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.10.某地居民的居住区域大致呈如图的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.已知，.现准备修建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离的平方和最小，图中，，，是的五等分点，则转播台应建在（）A.处B.处C.处D.处二、填空题（每小题5分，共25分）11.与圆的位置关系是________.12.已知圆：与圆：内切，则实数a 的值为________.13.已知圆C ：（a 为实数）上任意一点关于直线：的对称点都在圆上，则________.14.如图，在棱长为2的正方体中，E 为的中点，点P 在线段上，则点P 到直线的距离的最小值为________.0a =()210x ay a a -+-=∈R 221x y +=xOy (),P a b 430ax by a +++=OP ⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎢⎣,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ 60km AB =30km AE CD ==1P 2P 3P 4P AC 1P 2P 3P 4P 40y -+=()2211x y +-=1C ()2236x a y -+=2C ()2224x y +-=22230x y x ay +++-=l 20x y -+=a =1111ABCD A B C D -BC 1D E 1CC15.定义：若对平面点集中的任意一点，总存在正实数r ，使得集合，则称为一个“开集”。

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二上学期期中考试数学试题(含答案)

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线ax+2y+2=0与3x−y−2=0平行，则系数a=( )A. −3B. −6C. −32D. 232.经过圆(x+1)2+y2=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线的方程是( )A. x−y+1=0B. x−y−1=0C. x+y+1=0D. x+y−1=03.在三棱锥O−ABC中，OA+AB−CB等于( )A. OAB. ABC. OCD. AC4.若过点M(−2,m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A. 1B. 4C. 1或3D. 1或45.已知椭圆x23m +y2m=1的一个焦点的坐标是(−2, 0)，则实数m的值为( )A. 1B. 2C. 2D. 46.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，则直线A1C与平面ABBA1所成角的大小为( )A. 30∘B. 45∘C. 660∘D. 90∘7.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()．A. 4B. 5C. 6D. 78.“a=0”是“直线x−ay+2a−1=0(a∈R)与圆x2+y2=1相切”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系xOy中，若点P(a,b)在直线ax+by+4a+3=0上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是( )A. (−∞,−33]∪[33,+∞)B. [−33,33]C. (−∞,−52]∪[52,+∞)D. [−52,52]10.某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.若AB=60km，AE=CD=30km，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中P1,P2,P3,P4是AC的五等分点，则转播台应建在( )A. P1处B. P2处C. P3处D. P4处二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

高二第一学期期中考试数学试卷含答案

高二数学第一学期期中考试试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)(每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案写在题号前) 1. 已知数列{a n }的通项公式为n n a n -=2，则下列各数中不是数列中的项的是( ) A.2 B.40 C.56 D.90 2. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若12231a ==S ，，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14 3. 若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是( ) A.b a22> B.a 2ab > C.ab b 2> D.b <a4. 等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 4这三项构成等比数列，则公比q=( ) A.1 B.2 C.1或2 D.1或21 5. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a 1=，a n n 2a 1=+，则S 5=( ) A.32 B.48 C.62 D.93 6. 若椭圆122=+kyx 的离心率是21，则实数k 的值为( ) A.3或31 B.34或43 C.2或21 D.32或237. 已知双曲线C ：12222=-bya x ()0,0a >>b 的一条渐近线方程为x 3y =，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线方程为( )A.16222=-y x B.12622=-y x C.1322x=-y D.13yx 22=-8. 若关于x 的不等式a xx ≥+4对于一切∈x （0，+∞）恒成立，则实数x 的取值范围是( )A.(-∞，5]B.(-∞，4]C.(-∞，2]D.(-∞，1] 9. 已知椭圆12222=+bya x ()0a >>b 的两个焦点分别为F F 21,，若椭圆上存在点P 使得∠PFF 21是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0，22) B.(22，1) C.(0，21) D.(21，1)10. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()02y 2>=p px 上任意一点，M 是线段PF 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.22B.1C.2D.2 二、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)11. 在数列0，41，83，…，2n 1-n ，…中，94是它的第______项.12. 在等差数列{a n }中，542a =+a ，则=a 3______.13. 请写出一个与1322=-yx 有相同焦点的抛物线方程：____________.14. 椭圆14222=+ayx 与双曲线12222=-y a x 有相同的焦点，则实数a=______. 15. 函数()()111>-+=x x x x f 的最小值是______；此时x=______. 16. 要使代数式01a 2<-+ax x 对于一切实数x 都成立，则a 的取值范围是______.17. 已知椭圆的两个焦点1222=+yxFF 21,，点P 在椭圆上，且PF PF21⊥，则PF2=______.18. 在数列{a n }中，5,12113-==a a ，且任意连续三项的和均为11，则a 2019=______；设S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得100≤S n 成立的最大整数n=______.三、解答题(本大题共5小题，共70分)19. 设{a n }是等差数列，-101=a ，且a a a a a a 6483102,,+++成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值.20. 已知数列{a n }的前n 项和n n S n +=2，其中N n +∈. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设12+=nn b ，求数列{b n }的前n 项和T n .21. 已知函数()R a ax x f x ∈-=,22.（Ⅰ）当a=1时，求满足()0<x f 的x 的取值范围；（Ⅱ）解关于x 的不等式()a x f 32<.22. 已知抛物线C ：()022>=p px y ，经过点（2，-2）. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线02=--y x 与抛物线相交于B A ,两点，求证：OA ⊥OB .23. 已知椭圆C ：的右焦点为12222=+by a x ()，且经过点，01F ().10，B （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线()2:+=x k y l 与椭圆C 交于两个不同的点N M ,，若线段MN 中点的横坐标为32-，求直线l的方程及ΔFMN的面积.。

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2015-2016学年北京市广渠门中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．（3分）直线l 1：4x+3y﹣1=0与直线l2：8x+6y+3=0的距离为（）A．B．C．D．2．（3分）在空间直角坐标系中，点B是点A（1，2，3）在坐标平面xOy上的射影，O为坐标原点，则OB的长为（）A． B． C． D．3．（3分）已知三棱锥A﹣BCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD，则四边形EFGH为（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形4．（3分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．5．（3分）已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N ≠∅，则b∈（）A．B．C．D．6．（3分）圆心为（2，﹣1）的圆，在直线x﹣y﹣1=0上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=4 B．（x﹣2）2+（y+1）2=2 C．（x+2）2+（y﹣1）2=4 D．（x+2）2+（y﹣1）2=27．（3分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，PB=2，则PC与平面PAB所成余弦值是（）A．B．C．D．8．（3分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段没有公共点，则直线l的斜率k与倾斜角α的取值范围分别是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），（，）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），（，）∪（，）C．（﹣1，1），[，]D．（﹣1，1），[0，]∪[，0）二、填空题9．（3分）过点（2，3）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为．10．（3分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则a2+b2的最小值为．11．（3分）当时，两条直线kx﹣y=k﹣1、ky﹣x=2k的交点在象限．12．（3分）过圆：x2+y2=r2外一点P（x0，y0）引此圆的两条切线，切点为A、B，则直线AB的方程为．13．（3分）圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的共有个．14．（3分）已知P是直线3x+4y+8=0的动点，PA、PB是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为．15．（3分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且，则AB1与MN所成的角是．16．（3分）已知圆M：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx，下面四个命题：①对任意实数k与θ，直线l和圆M相切；②对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；③对任意实数θ，一定存在实数k，使得直线l与和圆M相切；④对任意实数k，一定存在实数θ，使得直线l与和圆M相切．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题17．如图所示，△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA=AB=2a，且F为的BE中点（1）画出平面BDE与平面ABC的交线（写出画法）（2）求证：DF∥平面ABC（3）求证：AF⊥BD．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）求异面直线D1E与A1D所成角．（2）（文）当E为AB中点时，求点E到平面ACD1的距离．19．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．20．已知圆C1：x2+y2+2x+2y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣2x+10y﹣24=0相交于A、B两点，（1）求公共弦AB所在的直线方程；（2）求圆心在直线y=﹣x上，且经过A、B两点的圆的方程；（3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．21．当0＜a＜2时，直线l1：ax﹣2y=2a﹣4，直线与坐标轴围成的一个四边形，求该四边形面积的最小值以及取得最小值时的a的值．22．已知直线l：x=m（m＜﹣2）与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程．（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年北京市广渠门中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）直线l1：4x+3y﹣1=0与直线l2：8x+6y+3=0的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：由4x+3y﹣1=0得8x+6y﹣2=0，则两平行直线的距离d==，故选：B．2．（3分）在空间直角坐标系中，点B是点A（1，2，3）在坐标平面xOy上的射影，O为坐标原点，则OB的长为（）A． B． C． D．【解答】解：在空间直角坐标系中，∵点B是A（1，2，3）在xOy坐标平面内的射影，∴B点的坐标是（1，2，0）∴|OB|==．故选：D．3．（3分）已知三棱锥A﹣BCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD，则四边形EFGH为（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【解答】解：作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形EFGH，由中位线的性质知EH∥FG，EF∥HG故四边形EFGH是平行四边形又AC=BD，故有HG=AC=BD=EH故四边形EFGH是菱形故选：C．4．（3分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选：B．5．（3分）已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈（）A．B．C．D．【解答】解：由题得：M中的元素表示的是以（0，0）为圆心，r=3的上半圆，N中的元素是一组平行线上的点．由M∩N≠∅，得直线与半圆有公共点，画出图形得直线的临界值在与圆相切以及y=x﹣3之间．相切时，因为（0，0）到直线y=x+b的距离d==3⇒b=±3，由图得取b=3．所以﹣3＜b≤3．故选：C．6．（3分）圆心为（2，﹣1）的圆，在直线x﹣y﹣1=0上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=4 B．（x﹣2）2+（y+1）2=2 C．（x+2）2+（y﹣1）2=4 D．（x+2）2+（y﹣1）2=2【解答】解：∵圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离d==，弦长为2，∴圆的半径r==2，则圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4．故选：A．7．（3分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，PB=2，则PC与平面PAB所成余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，∠ABC=30°，AC=1，BC⊥AC，所以AB=2，BC=．∵PA⊥底面ABC，PB=2，∴PA==2，∴PC=3．设C到平面PAB的距离为d，则由等面积可得，∴d=∴PC与平面PAB所成角的正弦值==，∴PC与平面PAB所成角的余弦值==．故选：A．8．（3分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段没有公共点，则直线l的斜率k与倾斜角α的取值范围分别是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），（，）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），（，）∪（，）C．（﹣1，1），[，]D．（﹣1，1），[0，]∪[，0）【解答】解：如图，∵A（1，﹣2），B（2，1），P（0，﹣1），∴，，则使直线l与线段AB有公共点的直线l的斜率的范围为[﹣1，1]，倾斜角的范围为[0，]∪[）．由补集思想可得，直线l与连接A，B的线段没有公共点的斜率的范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），直线的倾斜角的范围为（，）．故选：A．二、填空题9．（3分）过点（2，3）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为3x ﹣2y=0，x+y﹣5=0，x﹣y+1=0．．【解答】解：①若此直线经过原点，则斜率k=，∴要求的直线方程为3x﹣2y=0；②当直线不经过原点时，由题意是直线的方程为x±y=a，把（2，3）代入上述直线的方程得2±3=a，解得a=5或﹣1．∴直线的方程为x+y﹣5=0，x﹣y+1=0．综上可知：要求的直线方程为3x﹣2y=0，x+y﹣5=0，x﹣y+1=0．故答案为：3x﹣2y=0，x+y﹣5=0，x﹣y+1=0．10．（3分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则a2+b2的最小值为9．【解答】解：∵点M（a，b）在直线3x+4y=15上，∴3a+4y﹣15=0，a2+b2的几何意义是点M（a，b）到原点的距离的平方，而原点到直线的距离d==3，故d2=9，故答案为：9．11．（3分）当时，两条直线kx﹣y=k﹣1、ky﹣x=2k的交点在二象限．【解答】解：由所以交点在第二象限故答案为：二12．（3分）过圆：x 2+y 2=r 2外一点P （x 0，y 0）引此圆的两条切线，切点为A 、B ，则直线AB 的方程为 x 0x +y 0y=r 2 ．【解答】解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则设P （x ，y ）为过A 的切线上一点，可得=（x ﹣x 1，y ﹣y 1）∵•=0，得x 1（x ﹣x 1）+y 1（y ﹣y 1）=0，化简得x 1x +y 1y=x 12+y 12∵点A 在圆x 2+y 2=r 2上，可得x 12+y 12=r 2 ∴经过点A 的圆的切线为x 1x +y 1y=r 2，同理可得经过点B 的圆的切线为x 2x +y 2y=r 2．又∵点P （x 0，y 0）是两切线的交点，∴可得x 0x 1+y 0y 1=r 2，说明点A （x 1，y 1）在直线x 0x +y 0y=r 2上；同理x 0x 2+y 0y 2=r 2，说明点B （x 2，y 2）在直线x 0x +y 0y=r 2上因此可得直线AB 方程为：x 0x +y 0y=r 2 故答案为：x 0x +y 0y=r 213．（3分）圆x 2+y 2+2x +4y ﹣3=0上到直线x +y +1=0的距离为的共有 3 个．【解答】解：由圆的方程x 2+y 2+2x +4y ﹣3=0化为标准方程得：（x +1）2+（y +2）2=8，所以圆心坐标为（﹣1，﹣2），圆的半径r=2，又圆心到直线x +y +1=0的距离d==∴圆x 2+y 2+2x +4y ﹣3=0上到直线x +y +1=0的距离为的点共有3个故答案为：314．（3分）已知P是直线3x+4y+8=0的动点，PA、PB是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为2．【解答】解：∵圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（1，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小．∵圆心到直线的距离为d==3，∴PA=PB=2．故四边形PACB面积的最小值为2S=2××PA×r=2．△PAC故答案为：2．15．（3分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且，则AB1与MN所成的角是．【解答】解：取AC中点O，A1C1中点D，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且，∴A（（0，﹣，0），B1（，0，1），M（，，0），N（0，，），=（，，1），=（﹣，，），∴=﹣=0．∴AB1与MN所成的角是．故答案为：．16．（3分）已知圆M：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx，下面四个命题：①对任意实数k与θ，直线l和圆M相切；②对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；③对任意实数θ，一定存在实数k，使得直线l与和圆M相切；④对任意实数k，一定存在实数θ，使得直线l与和圆M相切．其中真命题的代号是②④（写出所有真命题的代号）．【解答】解：圆心坐标为（﹣cosθ，sinθ），圆的半径为1圆心到直线的距离d==|sin（θ+φ）|≤1（其中sinφ=﹣，cosφ=﹣）所以直线l与圆M有公共点，且对于任意实数k，必存在实数θ，使直线l与圆M相切，故答案为：②④三、解答题17．如图所示，△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA=AB=2a，且F为的BE中点（1）画出平面BDE与平面ABC的交线（写出画法）（2）求证：DF∥平面ABC（3）求证：AF⊥BD．【解答】（1）解：如图所示，BG′为平面ABC与BDE的交线；做法：延长AC与ED交于G点，连接BG．（2）证明：如图所示，取AB中点G，连CG、FG．∵EF=FB，AG=GB，∴FG EA．又DC EA，∴FG DC．∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG．∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC．（2）证明：∵EA⊥平面ABC，∴AE⊥CG．又△ABC是正三角形，G是AB的中点，∴CG⊥AB．∴CG⊥平面AEB．又∵DF∥CG，∴DF⊥平面AEB．∴平面AEB⊥平面BDE．∵AE=AB，EF=FB，∴AF⊥BE．∴AF⊥平面BED，∴AF⊥BD．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）求异面直线D1E与A1D所成角．（2）（文）当E为AB中点时，求点E到平面ACD1的距离．【解答】解：（1）以D为原点DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立坐标系．设AE=x，则=（1，0，1），=（1，x，﹣1）．∴，∴异面直线D1E与A1D所成角为．（2）∵AD=AA1=1，AB=2，∴CD1==AC，AD1=，过C做CF垂直AD1于F，则CF==，∴==，设点E到平面ACD1的距离h，则由=有得h=．19．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．20．已知圆C1：x2+y2+2x+2y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣2x+10y﹣24=0相交于A、B两点，（1）求公共弦AB所在的直线方程；（2）求圆心在直线y=﹣x上，且经过A、B两点的圆的方程；（3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．【解答】解：（1）由⇒x﹣2y+4=0．∴圆C1：x2+y2+2x+2y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣2x+10y﹣24=0的公共弦AB所在的直线方程为x﹣2y+4=0；（2）由（1）得x=2y﹣4，代入x2+y2+2x+2y﹣8=0中得，y2﹣2y=0，∴或，即A（﹣4，0），B（0，2），又圆心在直线y=﹣x上，设圆心为M（x，﹣x），则|MA|=|MB|，|MA|2=|MB|2，即（x+4）2+（﹣x）2=x2+（﹣x﹣2）2，解得x=﹣3．∴圆心M（﹣3，3），半径|MA|=．∴圆心在直线y=﹣x上，且经过A、B两点的圆的方程为（x+3）2+（y﹣3）2=10．（3）由A（﹣4，0），B（0，2），则AB中点为（﹣2，1），．∴经过A、B两点且面积最小的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5．21．当0＜a＜2时，直线l1：ax﹣2y=2a﹣4，直线与坐标轴围成的一个四边形，求该四边形面积的最小值以及取得最小值时的a的值．【解答】解：∵0＜a＜2，可得l1：ax﹣2y=2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2﹣，0）．l2：2x+a2y=2a2+4，与坐标轴的交点C（a2+2，0），D（0，2+）．联立，解得y E=2．=S△BCE﹣S△OAB∴S四边形OCEA=|BC|•y E﹣|OA|•|OB|=a2+﹣×（2﹣a）×（﹣2）=a2﹣a+4=（a﹣）2+≥，当a=时取等号．∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为．22．已知直线l：x=m（m＜﹣2）与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程．（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设动圆的圆心M坐标（x0，y0），∵动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切，∴|x0﹣m|=，即．整理得：．∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=（4﹣2m）x+（2﹣m）2．（2）存在以MN为直径的圆过点A．事实上，过原点倾斜角为的直线方程为y=．联立，得3x2﹣（4﹣2m）x﹣（2﹣m）2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．若存在以MN为直径的圆过点A，则，即（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）===，解得：，（舍去）．∴时，存在以MN为直径的圆过点A．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。