2018年最新高考数学一二轮复习热点题型精讲精练专题六函数的奇偶性与周期性

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2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I第3讲函数的奇偶性与周期性理

第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1， f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3.答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B.答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1) C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2) 解析当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2－x ，x≥0，2x －1，x<0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x－1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x －1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．1 解析f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1.答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数解析显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0.答案 08．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 解析因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.答案－19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．。

【中小学资料】2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题6 函数与导数第14讲函数的图象和性质教

第14讲函数的图象和性质题型1 函数的图象判断(对应学生用书第47页)■核心知识储备………………………………………………………………………·函数的图象包括作图、识图、用图，三者在学习中的侧重点为：(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y ＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】(考查建模类函数图象的识别)(2017·石家庄质量预测一)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是( )图141[思路分析] 鳖臑的定义→找△BPD 的高→建立函数f (x )的表达式→识别f (x )的图象．[解析] 法一：(直接法)如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3 ＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，故选A.法二：(特殊位置法)由题意可知，当P 位于AC 的中点时f (x )取得最小值，又f (x )是非均匀变化的，故排除选项B ，C ，D ，故选A. [答案] A【典题2】 (考查解析式类函数图象的识别)(2016·全国Ⅰ卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )[解析] ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x. 又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.[答案] D【典题3】 (考查函数图象的应用)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1m(x i ＋y i )＝( )【导学号：07804099】A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑m i ＝1x i ＝0，∑m i ＝1y i ＝2×m2＝m ，所以∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝m .[答案] B[类题通法] 函数图象的判断方法(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置． (2)根据函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)根据函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)根据函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)取特殊值代入，进行检验．■对点即时训练………………………………………………………………………·1．已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()图D [法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.] 2．如图142所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B → C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象是( )图142A [当x ∈[0，π]时，y ＝1.当x ∈(π，2π)时，O 1P →＝O 2P →－O 2O 1→，设O 2P →与O 2O 1→的夹角为θ，|O 2P →|＝1，|O 2O 1→|＝2，由弧长公式得θ＝x －π，所以y ＝|O 1P →|2＝(O 2P →－O 2O 1→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P →＝OP →－OO 1→，设OP →，OO 1→的夹角为α，|OP →|＝2，|OO 1→|＝1，由弧长公式得α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P →|2＝(OP →－OO 1→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12x ，x ∈[2π，4π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2、T 6、T 8、T 11) 题型2 函数性质的综合应用 (对应学生用书第48页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．若f (x )在定义域上单调递增，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2；若f (x )在定义域上单调递减，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＞x 2. 2．周期性的三个常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .(a ＞0)3．与函数对称性有关的三条结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )；特例：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )；函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)；(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b ；特例：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0；函数y ＝f (x )关于点(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)； (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于(a,0)对称．■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题1】 (考查基本初等函数的性质)(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >1,0<c <1，则( )A ．a c＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c[思路分析] 根据选项构造函数→根据所构造的函数的单调性比较大小→结论．[解析] ∵y ＝x α，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴当a ＞b ＞1,0＜c ＜1时，a c ＞b c，选项A 不正确． ∵y ＝x α，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数， ∴当a ＞b ＞1,0＜c ＜1，即－1＜c －1＜0时，a c －1＜bc －1，即ab c ＞ba c ，选项B 不正确．∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0，∴a lg a ＞b lg b ＞0， ∴a lg b ＞blg a.又∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0. ∴a lg c lgb ＜b lg clg a，∴a log b c ＜b log a c ，选项C 正确．同理可证log a c ＞log b c ，选项D 不正确．[答案] C【典题2】 (考查应用复合函数的奇偶性、单调性解不等式)(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )【导学号：07804100】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [思路分析] 判断f (x )的奇偶性→判断f (x )的单调性→解关于x 的不等式． [解析] ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x 2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A.[答案] A【典题3】 (考查抽象函数的奇偶性、周期性的应用)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－2 017)＝－f (2 017)，因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )的周期为6.又当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，所以f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3，故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝－2＋3＝1.故选C. [答案] C[类题通法] 函数三大性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性等． (3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．■对点即时训练………………………………………………………………………·1．已知函数f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)＋a (7x ＋7－x)，x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [由题意知f (x )的定义域为R ，易知y ＝ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，y ＝7x ＋7－x为偶函数．当a ＝0时，f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，充分性成立；当f (x )为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件，故选C.]2．已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．14≤m ＜2 B ．14≤m ≤2 C ．2＜m ≤4D ．2≤m ≤4A [因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增．故由f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4m ＋，log 2m ＜log 4m ＋，m ＞0，m ＋2＞0，解－2≤log 2m ≤2，得14≤m ≤4；解－2≤log 4(m ＋2)≤2，得116≤m ＋2≤16，即－3116≤m ≤14；由log 2m ＜log 4(m ＋2)，得log 4m 2＜log 4(m ＋2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞0，m ＋2＞0，m 2＜m ＋2，解得－1＜m ＜2，且m ≠0.综上可知，m 的取值范围是14≤m ＜2，故选A.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 3、T 4、T 5、T 7、T 9、T 10、T 12、T 13、T 14、T 15、T 16)三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第50页)1．(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]2.(2017·全国Ⅰ卷)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )【导学号：07804101】A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3] D [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3. 故选D.]3. (2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5zD [令t ＝2x＝3y＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg tlg 2－3lg t lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又∵2x －5z ＝2lg tlg 2－5lg t lg 5＝lg t －lg 2×lg 5＝lg t－lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ， ∴3y ＜2x ＜5z . 故选D.]4. (2015·全国Ⅱ卷)如图144，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图144B [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2 x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝22.∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.] 5．(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.1 [∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x [ln(－x ＋a ＋x 2)＋ln(x ＋a ＋x 2)]＝0，∴x ln[(－x ＋a ＋x 2)(x ＋a ＋x 2)]＝0，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.]。

专题2-4 函数奇偶性与周期性测-2018年高考数学文一轮复习讲练测含解析精品

2018年高考数学讲练测【新课标版文】【测】第二章函数与基本初等函数Ⅰ第04节函数奇偶性与周期性班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 【2017·肇庆三模】在函数错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

中，偶函数的个数是( )A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】错误！未找到引用源。

为奇函数，错误！未找到引用源。

为非奇非偶函数，错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

为偶函数.2.【2017·赣中南五校联考】已知错误！未找到引用源。

是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且错误！未找到引用源。

，则a 的值为( )A.5B.1C.－1D.－3 【答案】A【解析】∵错误！未找到引用源。

是奇函数，且错误！未找到引用源。

.∴错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

. 3. 已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( ) A.x 1>x 2B.x 1＋x 2＝0C.x 1<x 2D.x 21<x 22 【答案】D4. (2017·西安一模)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A.2B.1C.－1D.－2【答案】A5. (2017·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( ) A.12 B.14 C ．－14D ．－12【答案】A【解析】∵错误！未找到引用源。

高考数学一轮复习专题2.3函数的奇偶性与周期性(讲)

第03节函数的奇偶性与周期性【考纲解读】【知识清单】1.函数的奇偶性如果对对点练习2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】函数，【1-1】则（）A. 是非奇非偶函数B. 奇偶性与有关C. 奇偶性与有关D. 以上均不对【答案】A点睛：（1）本题主要考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)判断函数的奇偶性常用定义法，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.【1-2】【山东省青岛市2018年春季高考二模】下列函数是偶函数的是（） A. B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用偶函数的定义判断函数的奇偶性. 详解：对于选项A,，所以函数是偶函数.【领悟技法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()0()f x f x ＋－＝ (奇函数)或()0()f x f x -－＝ (偶函数)是否成立.【触类旁通】【变式一】【2018届河南省南阳市第一中学高三第二十次考】若函数为偶函数，则__________．【答案】或【解析】分析：根据函数为偶函数，观察其特征，可得为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点有定义，可得一定有，得到相应的关系式，求得结果.详解：令，根据函数为偶函数，可知为奇函数，利用，可得，所以或.【变式二】【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 考点2 函数奇偶性的性质及应用【2-1】【2018年浙江卷】函数y =sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【2-2】【2018年理数全国卷II 】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【2-3】【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】【领悟技法】1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．f x的方程，从而抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x的解析式．可得()2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．f x f x3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．【触类旁通】【变式一】【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．【变式二】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】设函数，其中表示中的最小者.下列说法错误的（）A. 函数为偶函数B. 若时，有C. 若时，D. 若时，【答案】D【解析】分析：的图像可由三个函数的图像得到（三图垒起，取最下者），然后依据图像逐个检验即可．详解：在同一坐标系中画出的图像（如图所示），故的图像为图中粗线所示．的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．当时，，；当时，，；当时，，；当时，，此时有，故B成立．从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．取，则，，，故D不成立．综上，选D．点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．【变式三】【2018届黑龙江省双鸭山市第一中学9月月考】定义在上的偶函数，当时，，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是（）A.有两个B. 有一个C. 没有D. 上述情况都有可能【答案】A【解析】【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性以及函数图象的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．解答本题的关键是根据把在上恒成立转化为函数在上的图象位于的图象上方，然后求出，再利用数形结合将方程f(2x+1)=t的根转化为函数的图象和直线的交点. 考点3 函数周期性及综合应用【陕西省咸阳市2018年5月高考信息专递】已知奇函数满足，则（）【3-1】A. 函数是以为周期的周期函数B. 函数是以为周期的周期函数C. 函数是奇函数D. 函数是偶函数【答案】B【解析】分析: 根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）=﹣f（x），又由f（x+1）=f（1﹣x），分析可得f（x+2）=﹣f（x），进而可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），由函数周期性的定义分析可得答案．详解: 根据题意，定义在R上的函数f（x）是奇函数，则满足f（﹣x）+f（x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），又由，则f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故函数的周期为4，故选：B．【3-2】【2018届广东省东莞市考前冲刺】已知奇函数满足，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意，推出，从而得到，再由时，和函数的奇偶性，即可计算结果.详解：因为函数为奇函数满足，所以，即函数表示以为周期的周期函数，因为当时，，所以，故选D.【3-3】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果. 详解：由得函数的周期为4，所以因此【领悟技法】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．【触类旁通】【变式一】【2017湖南统一考试】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， ()()2log 27f x x =+，则()2017f =（） A. -2 B. 2log 3 C. 3 D. 2log 5- 【答案】D【解析】因为奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=，所以()()()33f x f x f x =--=-，即周期为3，所以()()()22017115f f f log ==--=- ，故选D ．【变式二】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( ) A.－1 B.1C.0D.2【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x －＝－－，又∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x －＝－，()()f x f x －＝，∴()11()f x f x －＝－＋，即1((10))f x f x －＋＋＝. ∴()()2 017 2 019 2 0()()181 2 01810f f f f ＋＝－＋＋＝. 【变式三】【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】已知为定义在上周期为2的奇函数，当时，，若，则（）A. 6B. 4C.D.【答案】A【易错试题常警惕】易错典例1：若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.易错分析：解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k ＝1.正确解析：∵221()122x x xx k k f x k k---⋅--==+⋅+， ∴(2)(2)(21)(12)()()(12)(2)x x x x x xk k k k f x f x k k -++⋅-+⋅-+=+⋅+ 22(1)(21)(12)(2)x x xk k k -+=+⋅+，由()()0f x f x -+=可得21k =，∴1k =±．温馨提醒：已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ( )A ．0B ．1C ．3D ．5易错分析：没有经过严密的逻辑分析，直接根据()()()00f T f T f ＝－＝＝，就想当然地认为方程的根的个数就只有3个．温馨提醒：对于抽象函数要善于找具体的“函数模型”，联想其性质去推证欲证的函数性质，但不能用具体函数代替去解决问题；解决“抽象函数”问题一般采用赋值法，本题可联系y=sinx的图象和性质类比解题．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2018届吉林省吉大附中四模】已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是__________．【答案】9【解析】分析：根据定义域为R和奇函数的定义可得，利用周期为3和时，可画出函数图像，根据图像判定零点个数。

2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性课件文

解析
C.2
D.1
∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4， ∴－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，得g(1)＝3.
题型二函数的周期性例2 A.－1 (1)(2016· 宝鸡模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R
3.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取
定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期
函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.
§2.3 函数的奇偶性与周期性
内容索引
基础知识题型分类
自主学习深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.奇函数、偶函数的概念
图像关于原点对称的函数叫作奇函数.
图像关于 y轴对称的函数叫作偶函数.
2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是 (1)考察定义域是否关于原点对称. (2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x) ，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝ f(x) ，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若 f( － x)≠ － f(x) 且 f( － x)≠f(x) ，则 f(x) 既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数.
答案解析
当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x).

2018年高考数学一轮温习第二章函数导数及其应用课时达标6函数的奇偶性与周期性理

3．已知f(x)在R上是奇函数，且知足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，那么f(2 015)＝( A )
A．－2B．2
C．－98D．98
解析：因为f(x＋4)＝f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，因此f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)假设函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1)设x<0，那么－x>0，
因此f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为奇函数，因此f(－x)＝－f(x)，
2．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其概念域为[6a－1，a]，那么a＋b＝( A )
A． B．－1
C．1D．7
解析：因为偶函数的概念域关于原点对称，因此6a－1＋a＝0，因此a＝ .又因为f(x)为偶函数，因此3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，得b＝0，因此a＋b＝，应选A．
解析：f(x)是概念在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，因此f(－x)＝－f(x)，
f ＝f ⇒f(x)＝f(1－x)，
因此f(－x)＝f(1＋x)＝－f(x)，
f(2＋x)＝－f(1＋x)＝f(x)，
因此f(0)＝f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，f(0)＝f(2)＝f(4)＝0，
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
因此f(－1)＝ f(1)＝0.

全国通用2018高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性课件

1 x2
2
)
1 x
1 3
(B)y=
(C)y=x
(D)y= x
解析:易判断A,C为偶函数,B,D为奇函数,但函数y=x2在(0,+≦)上单调递增,所以选A.
2.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是(
B )
(B)(-a,-f(a)) (D)(a,f(-a))
第3节函数的奇偶性与周期性
最新考纲
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期含义, 会判断、应用简单函数的周期性.
知识链条完善考点专项突破经典考题研析
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数、偶函数吗?反之,成立吗?
1 故 b= . 5 1 因此 a+b= . 5 1 答案: 5
5.导学号 18702038 若函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈(0,2)时, f(x)=3x+2,则f(9)= .
解析:因为f(x+4)=f(x),所以f(x)的一个周期是4, 故f(9)=f(4×2+1)=f(1)=3×1+2=5.
提示:一定是.反之,也成立.
2.如果函数f(x)是奇函数,那么是否一定有f(0)=0? 提示:只有在x=0处有定义的奇函数,才有f(0)=0. 3.函数y=f(x)(x∈R)是周期函数,则其周期唯一吗?是否有最小正周期? 提示:不唯一.若T是y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z)也是函数的周期.若函数y=f(x)是常数函数,则y=f(x)无最小正周期. 4.若函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x)与f(x+a)=f(x)有什么区别? 提示:前者函数y=f(x)关于直线x=

2018届高考数学一轮总复习专题：函数奇偶性和周期性练习

专题2.3 函数奇偶性和周期性真题回放1.【2017高考新课标2文14】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-0∈∞，时，()322f x x x =+,则()2=f 【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=【考点解读】本题为函数求值问题，可运用奇函数的性质即；()()f -x f x =-来解决，为基础题。

2.【2017高考北京文5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x 为（）（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数【答案】A【考点解读】本题为考查函数的奇偶性和单调性，由函数1()3()3x xf x =-，可借助函数奇偶性的定义及指数函数的性质来分析处理。

3.【2017高考天津文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<.本题选择C 选项.【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题，可由()f x 为奇函数及单调递增性质，化为比较自变量，再运用指数和对数函数的性质，来比较大小。

2018届高考数学文大一轮复习课件：第2章第3节函数的

题意； B 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意； 1 1 x C 项，定义域为 R，f(－x)＝2 ＋－x＝2 ＋2x＝f(x)，为偶函数，故不符合题 2
－x
意； D 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为 f(－x)≠ －f(x)，且 f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．]
4． (2016· 四川高考)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0<x<1 时，f(x)＝4 ，则
－2
x
5 f－2＋f(2)＝________.
5 1 1 的奇函数， ∴f－2＝f－2＝－f2＝－4
[∵f(x)是周期为 2
1 1 C. D．－ 2 2 B [依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，
1 1 ∴b＝0 且 a＝，则 a＋b＝ .] 3 3
3．(2015· 广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(
)
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x 1 x C．y＝2 ＋ x D．y＝x2＋sin x 2 D [A 项，定义域为 R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合
(1)定义域为 R，关于原点对称，
又 f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)． ∴该函数为奇函数.4 分
1－x (2)由 ≥0 可得函数的定义域为(－1,1]． 1＋x ∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数.8 分 (3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当 x＞0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x＜0 时，－x＞0，故 f(－x)＝x2－x＝f(x)；当 x＜0 时，f(x)＝x2－x，则当 x＞0 时，－x＜0，故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数.12 分

专题2-4 函数奇偶性与周期性讲-2018年高考数学文一轮

2018年高考数学讲练测【新课标版文】【讲】第二章函数与基本初等函数Ⅰ第3节函数奇偶性与周期性【考纲解读】【知识清单】1.函数的奇偶性对点练习【2017·西安铁中月考】下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝e xC.y ＝cos xD.y ＝e x－e －x【答案】D【解析】A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中cos y x =为偶函数. D 中函数定义域为R ，又()()()xxxxf x e e e e f x －－－＝－＝－－＝－，∴x xy e e －＝－为奇函数. 2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 对点练习设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13C.12D.－12【答案】B【解析】依题意0b ＝，且(2)1a a ＝－－，∴13a ＝，则13a b +＝.【1-3】(2017·佛山质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2x B.y ＝x 2－cos x C.y ＝2x＋12xD.y ＝x 2＋sin x【答案】D【1-4】已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】B【解析】显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．令y x ＝－，得()()0x ()f f f x =+-，又∵(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x －＝－．∴()f x 是奇函数，故选B ．【领悟技法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()0()f x f x ＋－＝ (奇函数)或()0()f x f x -－＝ (偶函数)是否成立.【触类旁通】【变式一】判断下列函数的奇偶性：（1）2lg(1)()22x f x x -=--；（2）222,0,()0,0,2,0,x x f x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩【答案】（1）()f x 为奇函数；(2) ()f x 为奇函数【解析】(1)由210,220,x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩，得定义域为()(1,0)0,1－，22lg(1)lg(1)()(2)2x x f x x x--==----． ∵2lg(1)()()x f x f x x--=-=--．∴()f x 为奇函数． (2) ()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x >时，()22()()2(2)f x x x f x －＝－－－＝－＋＝－；当0x <时，()22()()2(2)f x x x f x －＝－＋＝－－－＝－；当0x ＝时，()00f ＝，也满足()()f x f x －＝－．故该函数为奇函数．【变式二】【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 考点2 函数奇偶性的性质及应用【2-1】已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数，求,a b 的值．【答案】12a b =⎧⎨=⎩【解析】()(),f x f x -=-112222x x x x a a b b--++-+-∴=++，()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-,42222222x x x xab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅，4201222ab a b a b a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩．【2-2】2017广东梅州模拟若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有( )A ．()()()230f f g <<B ．()()()032g f f <<C ．()()()203f g f <<D ．()()()023g f f << 【答案】D【2-3】【2017辽宁沈阳东北育才学校模拟】若函数()()f x x ∈R 是奇函数，函数()()g x x ∈R 是偶函数，则A. 函数()()f x g x -是奇函数B. 函数()()f x g x ⋅是奇函数C. 函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数D. ()g f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数【答案】B【解析】若函数()()f x x ∈R 是奇函数，函数()()g x x ∈R 是偶函数，对于选项A.设()()2,f x x g x x ==，则函数()()f x g x -为非奇非偶函数，对于选项B.设()()()h x f x g x =⋅，则()()()()h x f x g x h x -=-⋅-=-，故函数()()f x g x ⋅是奇函数，选项B 正确；对于选项C.设()()2,sin f x x g x x ==，则函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是偶函数，故选项C不正确；对于选项D.设()()2,sin f x x g x x ==， ()g f x ⎡⎤⎣⎦是偶函数，故选项D 不正确；综上，正确的只有选项B,故选B. 【领悟技法】1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．【触类旁通】【变式一】【2017贵州遵义四中模拟】已知函数()()2,0{ ,0x x f x g x x >=<是偶函数，则()2f -=（） A. B.12 C. D. 1-2【答案】C【解析】因为函数()()2,0{,0x x f x g x x >=<是偶函数，所以()()2?2f f -== 22=4 ，故选C.【变式二】若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a =【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x ++-+=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点3 函数周期性及综合应用【3-1】设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =．【答案】1006【3-2】已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则(2013)f 等于（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013 【答案】A【3-3】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则()105.5f ＝______. 【答案】2.5【解析】()[(2)]42f x f x ＋＝＋＋＝－()()12f x f x =＋.故函数的周期为4.∴()()105.5427 2.()(5 2.5 2.5)f f f f ⨯＝－＝－＝.∵2 2.53≤≤，由题意，得()2.5 2.5f ＝.∴()105.5 2.5f ＝. 【领悟技法】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f ＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．【触类旁通】【变式一】【2017湖南统一考试】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， ()()2log 27f x x =+，则()2017f =（） A. -2 B. 2log 3 C. 3 D. 2log 5- 【答案】D【解析】因为奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=，所以()()()33f x f x f x =--=-，即周期为3，所以()()()22017115f f f log ==--=- ，故选D ．【变式二】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( ) A.－1 B.1C.0D.2【答案】C易错试题常警惕易错典例1：若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.易错分析：解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k ＝1.正确解析：∵221()122x x x x k k f x k k---⋅--==+⋅+，∴(2)(2)(21)(12)()()(12)(2)x x x x x xk k k k f x f x k k -++⋅-+⋅-+=+⋅+ 22(1)(21)(12)(2)x x xk k k -+=+⋅+，由()()0f x f x -+=可得21k =，∴1k =±．答案 1k =±温馨提醒：已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间上的根的个数记为n ，则n 可能为 ( )A ．0B ．1C ．3D ．5易错分析：没有经过严密的逻辑分析，直接根据()()()00f T f T f ＝－＝＝，就想当然地认为方程的根的个数就只有3个．正确解析：因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f ＝．又因为T 是函数()f x 的一个正周期，所以()()()00f T f T f ＝－＝＝，又()()()222T T T f f T f =－－＝，且()()22T Tf f －＝-，所以()02T f =，于是可得()()022T Tf f =－＝．所以方程()f x ＝0在闭区间上的根的个数为5个，故选D. 答案 D温馨提醒：对于抽象函数要善于找具体的“函数模型”，联想其性质去推证欲证的函数性质，但不能用具体函数代替去解决问题；解决“抽象函数”问题一般采用赋值法，本题可联系y=sinx 的图象和性质类比解题．四、素养提升之方程思想求解参数值利用奇偶性及方程思想求函数中的参数值【典例】(2016·浙江金华模拟)若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数,则实数a 的值为( ) A.12 B. 23 C. 34D ．1方法二：根据奇函数取特殊值求解由已知f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，即－1（－2＋1）（－1－a ）＝－1（2＋1）（1－a ），所以a ＋1＝3(1－a)，解得a ＝12.方法三：根据f(x)形式特点分析因为f(x)的分子是奇函数，所以要使f(x)为奇函数，则它的分母必为偶函数，所以1－2a ＝0，所以a ＝12.方法四：根据奇函数的特点及定义域求解因为f(x)为奇函数，且－12不在f(x)的定义域内，故12也不在f(x)的定义域内，所以12－a ＝0，所以a ＝12.。

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专题六函数的奇偶性与周期性【高频考点解读】从近几年的高考试题来看，函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点．主要是奇偶性与单调性的小综合，周期性的考查常以利用周期性求函数值，以选择题、填空题的形式出现，这部分知识对学生要求很高，属中低档题. 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 【热点题型】题型一函数奇偶性的判定例1、判断下列各函数的奇偶性：

(1)f(x)＝lgx2＋lg1x2；

(2)f(x)＝(x－1) 1＋x1－x； (3)f(x)＝ x2＋x，x<0－x2＋x，x>0； (4)f(x)＝lg1－x2|x－2|－2.

(4)易知f(x)的定义域是(－1,0)∪(0,1)， ∵f(x)＝－lg1－x2x，f(－x)＝－f(x)．【提分秘籍】 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．【举一反三】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝4－x2|x＋3|－3； (2)f(x)＝x2－|x－a|＋2. 因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．【热点题型】题型二函数奇偶性的应用 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3

(2)若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝( )

A.12 B.23 C.34 D．1 (3)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－2)＜f(2)的x的取值范围是( ) A．(－∞，0) B．(0，2) C．(0,22) D．(2，＋∞)

【提分秘籍】根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【举一反三】在本例(1)中的条件下，求f(x)在R上的解析式．解：当x＞0时，－x＜0，又x≤0时，f(x)＝2x2－x， ∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f (x)，即：－f(x)＝2x2＋x，∴f(x)＝－2x2－x.

综上，f(x)＝ 2x2－x，x≤0－2x2－x，x＞0. 【热点题型】题型三函数的周期性例3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

【提分秘籍】 1．深化奇函数和偶函数的定义 (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．在利用定义时，可应用定义的等价形

式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f－xfx＝±1(f(x)≠0)． 2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 3．若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数． 4.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．【举一反三】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2012)＋f(－)的值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2

【热点题型】题型四利用奇偶性破解函数的最值

例4、设函数f(x)＝x＋12＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 【提分秘籍】本题看似复杂，其实并不难，破解本题的关键就是把函数f(x)＝x＋12＋sin xx2＋1的解析式分解成1＋g(x)，其次利用奇函数的图象关于原点对称这一性质得出g(x)max＋g(x)min＝0，突出转化思想，问题得到圆满解决．

【举一反三】已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.

【高考风向标】 1．（·福建卷）已知函数f(x)＝x2＋1，x>0，cos x， x≤0，则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

2．（·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 3．C 【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1. 3．（·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 3．C 【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C. 4．（·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．

5．[·广东卷] 定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2 sin x中，奇函数的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 2．C 【解析】函数y＝x3，y＝2sin x是奇函数． 6．（·江苏卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．

7．（·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝( ) A．－2 B．0 C．1 D．2 3．A 【解析】∵f()x为奇函数，∴f()－1＝－f(1)＝－12＋11＝－2. 8．（·四川卷）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【随堂巩固】 1．满足f(π＋x)＝－f(x)且为奇函数的函数f(x)可能是( ) A．cos2x B．sinx

C．sinx2 D．cosx 解析：选B.由f(π＋x)＝－f(x)，得f(2π＋x)＝f[π＋(π＋x)]＝－f(π＋x)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴2π是奇函数f(x)的一个周期．∴只有sinx满足此条件． 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：选A.∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x， ∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3

3．若函数f(x)＝ax＋1x(a∈R)，则下列结论正确的是( ) A．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．∃a∈R，函数f(x)为奇函数 D．∃a∈R，函数f(x)为偶函数

4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( ) A．y＝ln1|x| B．y＝x3 C．y＝2|x| D．y＝cos x

5．对于定义在R上的任何奇函数，均有( ) A．f(x)·f(－x)≤0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)＞0 D．f(x)－f(－x)＞0 解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.

6．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：选A.由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数， ∴f(x)＋|g(x)|为偶函数． 7.

定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( ) A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1

C．y＝ 2x＋1，x≥0x3＋1，x＜0

D．y＝ ex，x≥0e－x，x＜0

8．f(x)＝1x－x的图象关于( ) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称