整数线性规划及0-1规划
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第6章 整数线性规划
二、分配问题与匈牙利法
2.3 匈牙利法的基本思想
如果效率矩阵的所有元素aij≥0, 而其中存在一组位于不 同行不同列的零元素，则只要令对应于这些零元素位 置的xij = 1，其余的xij= 0，则所得到的可行解就是问 题的最优解。
0 9 23 7
14 20 0 12
9 0 3 14
主要内容
一、整数规划的特点及作用 二、分配问题与匈牙利法 三、分枝定界法 四、割平面法 五、应用举例
一、整数规划的特点及作用
1.1 整数规划的概念
整数规划(Integer Programming) ：决策变 量要求取整数的线性规划。
如果所有的决策变量、技术系数和右端项都 是非负整数，就称为纯整数规划。 如果所有的决策变量都是非负整数，技术系 数和右端项为有理数，称为全整数规划。 如果仅一部分决策变量为整数，则称为混合 整数规划。 如果变量取值仅限于0或1，称为0-1整数规划。
二、分配问题与匈牙利法
2.3 匈牙利法
分配问题可以用单纯形法或运输表求解。 库恩(W.W.Kuhn)于1955年提出了指派问题的解 法，他引用了匈牙利数学家克尼格(D.Kö nig)一 个关于矩阵中零元素的定理：系数矩阵中独立0 元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直 线数。这个解法称为匈牙利法。
2 10 9 7 2 0 8 7 5 第一步：找出每 4 14 8 4 11 0 10 4 行的最小元素， 15 每行对应减去这 11 2 3 5 0 13 14 16 11 个元素。 4 15 13 9 4 0 11 9 5
二、分配问题与匈牙利法
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间 如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时 间最少? 人员
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
整数规划
比如下面的例子：
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如 下表：
货物 体积（每 箱M3) 5 甲 4 乙 托运限制 24 重量(每箱 50kg) 2 5 13 利润(每 箱百元) 20 10
问两种货物各托运多少箱,可使利润最大?
为了满足整数解得要求，初看，似乎只要把已得到的分 数或小数， “舍入化整”就可以了。但是，这常常是不行的， 因为化整后，不一定是可行解，或者虽是可行解，但不一定 是最优解。
整数规划
§1 整数规划及其解法 §2 0-1型整数规划 §3 指派问题
整数规划
1、理解整数规划、0-1规划和指派问题的数学 模型 2、理解整数规划模型的类型 3、理解整数规划的求解方法:分支定界法和割 平面法、0-1规划的隐枚举法和指派问题的 匈牙利法的思想和步骤
求解方法
1、分支定界法 2、割平面法
a x
i 1 ij
n
j
bi yi M (i 1,, m)
y1 + y2 + „ + ym = m –1， yi = 0 或 1 (i=1，„，m)
3、关于固定费用问题
• 在讨论线性规划时，有些问题是要求使 成本最少的方案，那时总设固定成本为 常数，并在线性规划的模型中不必明显 列出。但有些固定成本的问题不能用一 般线性规划来描述，但可改为混合整数 规划来解决。
aj
值最大？
解：设 x j 为决策变量，且 x j 满足如下限制
xj {
1，携带第j件物品 0，不携带第j件物品
，j 1,2, n
则问题的数学模型为
x c j x j max
j 1
n
第四章 整数规划
1、分配问题/指派问题：是一种特殊的 型整 、分配问题 指派问题 是一种特殊的 指派问题： 特殊的0-1型整 数规划问题 假定有m项任务分配给 问题， 项任务分配给m个人 数规划问题，假定有 项任务分配给 个人 去完成，并指定每人完成其中的一项 每人完成其中的一项， 去完成，并指定每人完成其中的一项，每项 工作只交给其中一个人去完成， 交给其中一个人去完成 工作只交给其中一个人去完成，应如何分配 使总的效率为最高。 使总的效率为最高。
√
√
27
17
结论： 结论： 最优解为x 最优解为 1=1、x2=1、x3=0，即对Ⅰ和Ⅱ两个 、 、 ，即对Ⅰ 项目投资，利润最大为27万元 万元。 项目投资，利润最大为 万元。
18
例2：用完全枚举法求解 型整数规划 ：用完全枚举法求解0-1型整数规划
max f = 3x1 − 2 x2 + 5 x3 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x2 ≤ 3 4x + x ≤ 6 1 3 x1 , x2 , x3 = 0或1
① ② ③ ④
16
点
过滤条件 f≥16 × √ × √ f≥26 × √ √ f≥27 √
约束条件 ① ② ③ ④
f值 值
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
√ √
√ √
√ √
√ √
16 26
√ √ ×
× √
35
min
第二步： 第二步：检验
行检验 列检验
0 * 8 11 0 * 2 3 0 11
√
√
27
17
结论： 结论： 最优解为x 最优解为 1=1、x2=1、x3=0，即对Ⅰ和Ⅱ两个 、 、 ，即对Ⅰ 项目投资，利润最大为27万元 万元。 项目投资，利润最大为 万元。
18
例2：用完全枚举法求解 型整数规划 ：用完全枚举法求解0-1型整数规划
max f = 3x1 − 2 x2 + 5 x3 x1 + 2 x2 − x3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x2 ≤ 3 4x + x ≤ 6 1 3 x1 , x2 , x3 = 0或1
① ② ③ ④
16
点
过滤条件 f≥16 × √ × √ f≥26 × √ √ f≥27 √
约束条件 ① ② ③ ④
f值 值
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
√ √
√ √
√ √
√ √
16 26
√ √ ×
× √
35
min
第二步： 第二步：检验
行检验 列检验
0 * 8 11 0 * 2 3 0 11
0-1整数型线性规划在消防站布局中的应用
ｌ ■
０１ — 整数型 线性 规划在 消 防站布局 中 的应用
宋江涛 杨艳军
河北 廊坊 ０５０ ） ６ ０ ０ （ 中国人民武装警察 部队学院
［ 要］ 摘 针对 目前我 国城 市现 有消防站数量少 ，责任面积面积大 ，资金短缺 等一系列 问题 ，结合消防站布局 的影响因素 ，运用整 数型线性规划理论 ，提 出一些
域 的边 界 ，结 合消 防站 的责 任面 积 划分 出不 同 的区域 ，使 消 防站所 在 区域 和 临近 区域 为其所 能达 到 的最大 责任面 积 。其优化 模 型如下 ：
｝ ｛ ｍｉＩ ： ￡ ｎ＋
∑ ≥， ， ｌ 】 ＝２ …
ｆ ０ ＝（ １ ， 溅 ０２１ ｉ ， ． ・ ＝Ｉ ＂ ２ ．， ， ＝１ ２ Ｓ
（ ）最 大覆盖 模 型 。对 于 一些老 城 区， 随着城 区 改造 工程 的进行 ， 二
已有 消 防站布 局 不均 匀 ，不 能满足 城市 消 防发 展 需求 的 问题 日益 严 重 ，这
就要 求我 们对 现 有消 防站 进行 改 建和搬 迁 ，重 新布 置 消防 力量 ， 以达 到 充 分利 用现 有 消防 站的 资源 ，使 其所 覆盖 的总的 责任 面积 最 大的 目的 。其优
一
其 中Ｓ 模 型 中消 防站 要覆 盖 的项 目， 即需要 有 消防 站 或临 近消 防站 为
的 区域 ：ｃ 是在 区域 ｊ 置 消防 站 的费用 ； 若在 区域 ｊ ｊ 设 设置 消 防站￣ ｘ＝ ， Ｊｊｌ 否Ｎ ｘ＝ ￣若 区域ｉ ｊ 邻或 者 ｉｊ Ｊｉ＝ ，否 ￣ａｊ ０ ｊ０ ，相 ＝ ，￣ａ ｊｌ ］ １ｉ＝ 。
在城 市 消防规 划过 程 中，消 防站布 局 是一项 非常 重要 的 内容 。我 国城 市 消 防 站 的布 局是 以接 警 起 ５ｉ 其 中ｌ ｉ为 接警 出车 ，４ ｉ为 行 驶 时 ｍ ｎ（ ｍｎ ｍｎ 间 ）内到达 责任 区 的最远 点为布 点依 据 的。 随着社 会 经济 和城 市规 模 的不 断 向前发展 ，我 国不少 城 区存在 的消 防站 布 局不合 理 、责 任 区面积 过 大等 状 况 目益突 出 ，如广州 市平 均一 个消 防站责 任 面积为 ２ｋ ０ ９ ｍ，而上海 市 竟达 到 １ｌｍ。消防 站布 局 的一 系列 问题 导致 在 火灾 发 生 时， 消防 人员 和 车辆 ２ｋ 不能及 时 到达 火灾现 场 ，贻 误 了战机 ，对 保 障城 市建 设和 人 民生命 财 产 的
０１ — 整数型 线性 规划在 消 防站布局 中 的应用
宋江涛 杨艳军
河北 廊坊 ０５０ ） ６ ０ ０ （ 中国人民武装警察 部队学院
［ 要］ 摘 针对 目前我 国城 市现 有消防站数量少 ，责任面积面积大 ，资金短缺 等一系列 问题 ，结合消防站布局 的影响因素 ，运用整 数型线性规划理论 ，提 出一些
域 的边 界 ，结 合消 防站 的责 任面 积 划分 出不 同 的区域 ，使 消 防站所 在 区域 和 临近 区域 为其所 能达 到 的最大 责任面 积 。其优化 模 型如下 ：
｝ ｛ ｍｉＩ ： ￡ ｎ＋
∑ ≥， ， ｌ 】 ＝２ …
ｆ ０ ＝（ １ ， 溅 ０２１ ｉ ， ． ・ ＝Ｉ ＂ ２ ．， ， ＝１ ２ Ｓ
（ ）最 大覆盖 模 型 。对 于 一些老 城 区， 随着城 区 改造 工程 的进行 ， 二
已有 消 防站布 局 不均 匀 ，不 能满足 城市 消 防发 展 需求 的 问题 日益 严 重 ，这
就要 求我 们对 现 有消 防站 进行 改 建和搬 迁 ，重 新布 置 消防 力量 ， 以达 到 充 分利 用现 有 消防 站的 资源 ，使 其所 覆盖 的总的 责任 面积 最 大的 目的 。其优
一
其 中Ｓ 模 型 中消 防站 要覆 盖 的项 目， 即需要 有 消防 站 或临 近消 防站 为
的 区域 ：ｃ 是在 区域 ｊ 置 消防 站 的费用 ； 若在 区域 ｊ ｊ 设 设置 消 防站￣ ｘ＝ ， Ｊｊｌ 否Ｎ ｘ＝ ￣若 区域ｉ ｊ 邻或 者 ｉｊ Ｊｉ＝ ，否 ￣ａｊ ０ ｊ０ ，相 ＝ ，￣ａ ｊｌ ］ １ｉ＝ 。
在城 市 消防规 划过 程 中，消 防站布 局 是一项 非常 重要 的 内容 。我 国城 市 消 防 站 的布 局是 以接 警 起 ５ｉ 其 中ｌ ｉ为 接警 出车 ，４ ｉ为 行 驶 时 ｍ ｎ（ ｍｎ ｍｎ 间 ）内到达 责任 区 的最远 点为布 点依 据 的。 随着社 会 经济 和城 市规 模 的不 断 向前发展 ，我 国不少 城 区存在 的消 防站 布 局不合 理 、责 任 区面积 过 大等 状 况 目益突 出 ，如广州 市平 均一 个消 防站责 任 面积为 ２ｋ ０ ９ ｍ，而上海 市 竟达 到 １ｌｍ。消防 站布 局 的一 系列 问题 导致 在 火灾 发 生 时， 消防 人员 和 车辆 ２ｋ 不能及 时 到达 火灾现 场 ，贻 误 了战机 ，对 保 障城 市建 设和 人 民生命 财 产 的
第5章 整数线性规划-第1-4节
现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域R(图 5-6)，去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C 点(1，1)就是域R′的一个极点，
如在域R′上求解①～④， 而得到的最优解又恰 巧在C点就得到原问题 的整数解，所以解法 的关键就是怎样构造 一个这样的“割平 面”CD，尽管它可能 不是唯一的，也可能 不是一步能求到的。 下面仍就本例说明：
例 2
求解A
max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数
① ② ③ (5.2) ④ ⑤
解 先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④ (见图5-2)，得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
可见它不符合整数条件⑤。 这时z0是问题A的最优目标函数值 z*的上界，记作z0= z 。 而在x1=0，x2=0时， 显然是问题A的一个整数可行解， 这时z=0，是z*的一个下界， z 记作 =0，即0≤z*≤356 z。
第3节 割平面解法
在原问题的前两个不等式中增加非负松弛 变量x3、x4，使两式变成等式约束： -x1+x2+x3 =1 ⑥ 3x1+x2 +x4=4 ⑦ 不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
表5-2
CB 0 0 1 1 cj XB x3 x4 cj-zj x1 x2 cj-zj b 1 4 0 3/4 7/4 -5/2 1 x1 -1 3 1 1 0 0 1 x2 1 1 1 0 1 0 0 x3 1 0 0 -1/4 3/4 -1/2 0 x4 0 1 0 1/4 1/5 -1/2
第二步：比较与剪支
各分支的最优目标函数中若有小于 z 者，则剪 掉这支(用打×表示)，即以后不再考虑了。若大 于 z ，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直 到最后得到z*为止，得最优整数解xj* ，j=1，…，n。 用分支定界法可解纯整数线性规划问题和混合 整数线性规划问题。它比穷举法优越。因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比穷 举法小。若变量数目很大，其计算工作量也是相当 可观的。
第六章整数规划资料.
一、问题的提出
在现实生活中我们经常遇到一些决策变量需要取 整数才有实际意义的问题，例如产品数量、工人人 数、设备台数、股票手数等等，还会经常遇到由一 系列相关的“是或否”的选择组成的决策问题，决 策变量只能有两个取值0或1（0-1变量）比如在被选 方案中进行项目决策、投资决策和设施决策等。下 面我们看一个例子 。
二、基本思想：如果松弛问题有非整数最优解，则 构造一个线性约束，即割平面，增加到松弛问题 中，借此割掉包含此非整数最优解，但不含任何 整数可行解的一部分可行域。不断重复此过程， 直至松弛问题的最优解是整数解，此解恰好是原 整数规划问题的最优解。
三、基本性质： 1. 非整数最优解不满足割平面约束，从而保证算法的
35
x1, x2为整数
其中第四个约束称为整数规划问题的整数性约束。
二、数学模型的一般形式
n
max(min) z cj xj j 1
（P）
n
aij x j (, ) bi ,
i 1, 2,
,m
s.t.
j 1
x j 0, j 1, 2,
,n
(1) (2)
x
j全部或部分为整数，j
1,
2,
,n
(3)
其中（1）是m个线性约束，（2）是非负要求，（3）是整
数性约束，若去掉整数性约束，则(P)就成为一个线性规划
模型，称之为（P）的（线性）松弛问题，记作（R）。松
弛问题（R）是线性规划问题，可以用单纯性法很容易地求
出最优解。
三、解的特点和求解思想
➢ 整数规划与线性规划在模型上的唯一区别在于决策变量是否取整数。 当可行域有界时，整数规划问题可行解的个数有限。然而可行解个数 有可能会是天文数字，性能最高的计算机也不能胜任用简单枚举法求 解50个变量以上的整数规划问题。
整数规划
5 2 C = 0 0
0 2 0 3 0 0 0 6 7 8 0 0
步骤3： 若 n ，作最少直线覆盖当前零元素。 已知例12中的系数矩阵为 ⒈变换系数矩阵
4 7 C = 6 6 6
8 7 15 12 9 17 14 7 9 12 6 10 7 14 8 10 9 6 10 8
最多有3个独立0元素！
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 0 5 6 7 8 0 0
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 7 5 6 0 8 0 3
至于如何找覆盖零元素的最少直线，通过例子来说明。 例1 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
整数线性规划数学模型的一般形式为：
max(or min) z = ∑ c j x j n ∑ aij x j ≤ (or =, ≥)bi , i = 1, 2,L , m s.t j =1 x j ≥ 0, x j 中部分或全部为整数， = 1, 2,L , n j
j =1
n
整数线性规划类型
B1 B2 B3 B4 B5
C=
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1 xij = 0
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成 营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑 公司 Ai (i = 1,2, L ,5) 对新商店B j ( j = 1,2, L,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j = 1,2, L ,5) , 见矩阵C。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
第三章整数线性规划
割平面法
IP LP xl*
Yes xI* = xl*
判别是否整数解
No 加入割平面条件 用对偶单纯型方法继续求解
§3.3 分枝定界方法
分枝定界方法的基本思想 分枝定界方法的实现——例题
1 分枝定界方法的基本思想
如果松弛问题(P0)无解，则(P)无解；
如果(P0)的解为整数向量，则也是(P)的解；
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P1 ) 4x1 2 x2 11 x1 1 x1 , x2 0, Integer
P2
约束 x1 1, x1 2 (它们将x1=3/2排除在外)，得到两个子问题：
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P2 ) 4x1 2 x2 11 x1 2 x1 , x2 0, Integer
运筹 帷幄之中
决胜 千里之外
运 筹 学
主讲教师
赵玉英
62338357(O) yuyingzhao@
北京林业大学理学院
第3章 整数线性规划
整数线性规划问题 Gomory割平面方法(1958) 分枝定界方法(Land doig and Dakin 1960’s) 0-1规划
3
(3/2,10/3)
3
x1
3 整数线性规划问题的求解
思路2：由于纯整数线性规划的可行集合就是一些离散 的格点，可否用穷举的方法寻找最优解？ 当格点个数较少时，这种方法可以； 对一般的ILP问题，穷举方法无能为力。
3 整数线性规划问题的求解
目前，常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和分枝定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
整数规划(IP)问题
B2的最优解不是整数z， z且 需要继续分枝。
完整版ppt
19
max
s
.t
.
(B3)
f 10 x 1 20 x 2 max
5 x 1 8 x 2 60
s
.t
.
x1 8 x2 4
(B4)
x1 6
x2 3 x1, x2 0
f 10 x 1 20 x 2 5 x 1 8 x 2 60 x1 8 x2 4 x1 6 x2 4 x 1 , x 2 0 树叶
问题的目标函数大 值的 中一 最个作为新， 的新 上界
的上界应小于原界 来， 的在 上分枝定界个 法求 的整
解过程中，上界不 的 完整版断 值 ppt 减 在少 . 。
18
z0
z 136
x
* 1
(5,
4)T
f
* 1
130
x2* (6, 3.75)T
f
* 2
135
修改下z界 13.0 修改上 z界 13.5
max cx
Axb
ST: xi 0,xi部分或全部为整数
min cx
ST:
Axb
xi 0, xi部分或全部为整数
完整版ppt
4
3、与LP问题的区别
（1）求解方法方面 在例1中，
求ILP问题的伴随规划的最优解(值)为：
x*(4.8,0),Z*96
而x(1) (5,0)不是可行解；
x(2) (4,0)是可行Z解 8， 非 0 但 最优值
本 例 中 ， 很 容 易 得 到 一 个 整 数 可 行 解 （ 0 ， 0 )T, 所 以 令 z 0 .
完整版ppt
14
(B 0)最 优 解 ： x0 *(5 .6 ,4 )T .
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x1(x1 80) 0 x2 (x2 80) 0
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
280x1+250x2+400x3< 60000 end
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
632.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
64.000000
-
2.000000
X2
168.000000
-
“gignin3 3”表示“前3个变 量为整数”，等价于： gin x1 gin x2 gin x3
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记
Max z 2x1 3x2 4x3
IPIP可) 用LINDO直接求解
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
Max z cj x j j 1 n
s. t. a j xj b j 1
xj 0或1(j=1,2, ,n)
整数 线性 规划 0－ 1模 型 (IP)
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
x1,x2,, x3=0 或 80 方法1：分解为8个LP子模型
其中3个子模型应去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解：
x1 0, x2 0, x3 80 x1 0, x2 80, x3 0
x1 0, x2 80, x3 80
x1 80, x2 0, x3 0 x1 80, x2 80, x3 0 x1 80, x2 0, x3 80
x2 My2, x2 80 y2, y2 {0,1} 可取1000
x3 My3, x3 80 y3, y3 {0,1}
LINDO中对0-
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
610.0000
1 变 量 的 限 定 ： VARIABLE VALUE REDUCED COST
与LP最优值632.02.5738111相83差不大。
2）试探：如取x01.=006352，236)x2=167；x1=64，x2=1680等.00，00计00
算函数值z，通过比较可能得到更优的解。
• 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？
3） 模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？
汽车厂生产计划
模型建立
小型 中型 大型 现有量
设每月生产小、中、大型
汽车的数量分别为x1, x2, x3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
求解
1)
632.2581
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1
64.516129
0.000000
结果为小数，
X2
0.00167.741928 0.000000
0.946237
1）舍去小数：取x1R=O6W42，) SxL2A=C1K6O7R，S算UR出PL目US标函D数UA值L0zP.=R00I6C02E09S0，0
s. t. a j x j b j 1
x j 0且为整数(j=1,2, ,n)
整数 线性 规划 模型 (IP)
典型的整数线性规划问题
二、投资问题
今有一笔资金，设金额为b个单位，可以投资的 发展项目有n个，要求对每个发展项目的的投资单 位数必须是非负整数，且只考虑两种决策：要么 投资，要么不投资，若对第j个发展项目投资，所 花资金为aj。已知对第j个发展项目每投资一单位 可获利cj个单位，问如何投资才能使总利润最大？
整数线性规划及0－1规划
典型的整数线性规划问题
一、背包问题 有一徒步旅行者要带一背包，设对背包的总重量 限制为b千克，今有n种物品可供选择，已知第j种 物品每件重量为aj千克，使用价值为cj，问旅行者 应如何选取这些物品，使得总价值最大？
模型建立
令xj表示第j种物品的装入件数
n
Max z c j x j j 1 n
3.0I0P00的X003最优解0.x010=006004，x2-=168，x3=0，最优值 4.0z0=006030 2
汽车厂生产计划
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
int y1 int y2
X1 2.000000
X2
80.000000 150.000000
-
最优解同前
-
int y3
3.000000 X3
0.000000
-
4.000000
Y1
1.000000
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 方法3：化为非线性规划
x1=0 或
x28=00 或 80
钢材 1.5 3
时间 280 250
利润 2
3
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600
280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3 0
5
600
400 60000
4
线性 规划 模型 (LP)
模型
x1 80, x2 80, x3 80 x1 , x2 , x3 0
x1=80，x2= 150，x3=0，最优值 z=610
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
方法2：引入0-1变量，化为整数规划
x1=0 或
x28=00 或 80 x3=0 或 80
x1 My1, x1 80 y1, y1 {0,1} M为大的正数，