(名师整理)最新数学中考专题复习《用待定系数法确定二次函数的解析式》精讲精练课件
2024年初中升学考试九年级数学专题复习待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式19．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．【答案】（1）（2，7）；（2）﹣2≤y≤7；（3）y＝﹣x2+2x+2．【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；（2）根据函数的增减性求解；（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴顶点坐标为（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），∴当x＝2 时，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴x=b2在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线开口向下，x ≤0时，y 的最大值为2，∴c ＝2，又∵4×(−1)×c−b 24×(−1)=3，∴b ＝±2，∵b ＞0，∴b ＝2．∴二次函数的表达式为 y ＝﹣x 2+2x +2．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．待定系数法求二次函数解析式33．（2023•宁波）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 图象经过点A （1，﹣2）和B （0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y ≤﹣2时，请根据图象直接写出x 的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；（2）求出A 关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．【解答】解：（1）把A （1，﹣2）和B （0，﹣5）代入y ＝x 2+bx +c 得：{1+b +c =−2c =−5， 解得{b =2c =−5，∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；（2）如图：∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．。
二次函数用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义
.待定系数法求解析式一、知识要点近年高频考点中考频率所占分值1、用待定系数法求解二次函数解析式5~10分1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式知识点回顾：二次函数的表达形式有那些？二、知识要点详解1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式什么叫做待定系数法？一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：（1）、找出符合方程的点；（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；（4）、解出方程或方程组得到相应的系数（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式如题：二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。
解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为：y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）解之得：a=-1 解方程（4）∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式例题一1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋24．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．2、知识点二：利用“顶点式”求二次函数的解析式顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：若是已知条件是图像上的顶点（h，k）及另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题二1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－82．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－43．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为3、知识点三：利用“交点式”求二次函数的解析式交点式y＝a(x－x1)(x－x2)的求解方法：若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）及另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题三1．如图，抛物线的函数表达式是( )A．y＝12x2－x＋4B．y＝－12x2－x＋4C．y＝12x2＋x＋4D．y＝－12x2＋x＋42．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋24．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线的解析式为5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．三、基础巩固考点题库1、已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式。
九年级数学上册教学课件《用待定系数法求二次函数的解析式》
归纳小结
求二次函数解析式时
图象过一般三点： 常设一般式 y=ax2+bx+c
已知顶点坐标： 常设顶点式 y=a(x-h)2+k
已知抛物线与x轴 两交点：
常设交点式
y= a(x-x1)(x-x2)
练一练 顶点式
交点式
图象过x轴上 的-3和4，并 过y轴上-1
图象顶点坐 标(3,2)，与x 轴交于(-3,0)
练一练
一个二次函数的图像经过(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)三点，求 这个二次函数的解析式. 【教材P40练习 第2题】
解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c. 把点(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)代入可得
c=0 a-b+c=-1 a+b+c=9
解得a=4，b=5，c=0. ∴抛物线的解析式为y=4x2+5x.
4
42
5.已知抛物线顶点(1, 16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8， 求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5, 0)，(-3, 0)， 设解析式为y=a(x-5)(x+3)， ∵抛物线过点(1, 16)， 把点 (1, 16) 代入可得16=a(1-5)(1+3)，解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)， 即y=-x2+2x+15.
课堂小结
待定系数法
已知条件
所选方法
求二次函数解析式
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标 或对称轴或最值
用顶点法：y=a(x-h)2+k
③已知抛物线与 x轴的两个交点
《用待定系数法求二次函数的解析式》PPT课件(甘肃省市级优课)
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组
四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
做一做
1、若抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，
且经过点(1,4)和点(5,0)，求此抛物线解析式?
解：设抛物线的解析式为：
课堂练习
1. 一个二次函数，当自变量x=0时，函数值 y=-1，当x=-2与0.5时，y=0.求这个二次函数 的解析式.
y x2 3 x 1 2
2. 一个二次函数的图象经过（0,0），（-1， -1），（1,9）三点.求这个二次函数的解析 式.
y 4x2 5x
课堂小结
1. 已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的 三元一次方程组
a b c 10, a b c 4, 4a 2b c 7. 解这个方程组，得
a=2,b=-3,c=5
∴所求二次函数是y=2x2-3x+5
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析的 基本方法分四步完成：一设、二代、
三解、四还原
y a(x 2)2 k 代入（1, 4），（5, 0）得
a k 4 9a k 0
解得：a=- 1 , k 9
2
2
所以抛物线的解析式为：
y 1 ( x 2)2 9
2
2
2、已知二次函数的图像过点A(－1,0)、 B(3,0)，与y轴交于点C2，3且BC＝ ，求二
次函数关系式？
解：设抛物线的解析式为： y a(x 3)(x 1) 由题得C点坐标为（0, 3） 代入解析式得 a 1 所以抛物线的解析式为 y x2 2x 3
人教部初三九年级数学上册 用待定系数法求二次函数的解析式 名师教学PPT课件 (2)
例题精析
例2 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的 交点为（0，－5），求抛物线的解析式。
解：因为抛物线的顶点为（-1，-3）， 所以，设所求的二次函数的解析式为 y=a(x＋1)2-3
因为点（0，-5 ）在这个抛物线上， 所以a-3=-5， 解得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5。
待定系数 法
(1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解： 方程（组） (4)写：（写表达式）
自学指导
一、自学课本39-40页的内容，思考下面问题 ：
1、由几个已知点的坐标可以确定二次函数？ 2、用待定系数法求解析式的一般步骤是什么 ？
例题精析
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
-3)，求出这个二次函数的表达式.
解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x
轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-
x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得 y
y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1，
拓展训练
课堂小结
求二次函数解析式的一般法： 已知顶点在原点，适用y=ax2 已知顶点在Y轴上，适用y=ax2+k 已知顶点在X轴上，适用y=a(x-h)2 已知抛物线过原点，适用y=ax2+bx 已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式;
适用y=ax2+bx+c
已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个 点的坐标通常选择顶点式.适用y=a(x-h)2+k
人教版九年级数学上册精品教学课件22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式
知识归纳
用待定系数法确定二次函数解析式的 基本方法分四步完成： 一设、二代、三解、四还原 一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组 三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
新知探究
已知当x＝－1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点 之间的距离为6，求此函数解析式。
新知探究
1、若抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过点(1,4)和点 (5,0)，求此抛物线解析式。
解：设抛物线的解析式为：
y a(x 2)2 k
代入（1, 4），（5, 0）得
a k 4 9a k 0 解得：a=- 1 , k 9
22 所以抛物线的解析式为：
y 1 (x 2)2 9
解： 根据题意得顶点为(－1,4) 由条件得与x轴交点坐标(2,0)；(-4,0）
y
x o
设二次函数解析式：y＝a(x＋1)2+4
有0＝a(2＋1)2+4，得a＝ 4
9
故所求的函数解析式为
y=
4 9
(x＋1)2＋4
新知探究
▪ 已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
y ▪ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值） 通常选择顶点式
新知探究
解：假设存在抛物线
所以存在一个二次函数经过这四点
y ax2 bx c
经过上述四点，则将 A（1, 2），B(0,6),C(-2,20)
代入解析式中
a b c 2 c 6 4a 2b c 20
解得：a 1, b 5, c 6
所以y x2 5x 6
可验证此抛物线经过D点，
用待定系数法求二次函数的解析式(共33张PPT)
a 3, 2
b 3. 2
∴所求的二次函数的表达式是 y 3 x2 3 x 1.
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二 顶点法求二次函数的表达式
3.选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个 二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 （-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9. 解得 a 9 .
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∴所求的二次函数的解析式是 y 9 (x 8)2 9.
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三 交点法求二次函数的表达式
5.选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数
的表达式.
解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x
二,例题讲解:
1,若抛物线y=x2-4x+c (1)过点A(1,3)求c (2)顶点在X轴上求c (1)点在抛物线上,将A(1,3)代入解析式
求得 c=6 (2)X轴上的点的特点 (x,0)
根据顶点的纵坐标为0求得:c=4
2,若抛物线 y=ax2+2x+c 的对称轴是直线 x=2 且函数的最大值是 -3,求 a,c
解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），
2.代：
（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
（坐标代入）
3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式）
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.