北京市四中2011-2012学年上学期高二年级期末测验数学试卷(文科)
北京四中2011届高三上学期期中考试文科数学试题
高考资源网〔 ks5u〕您身边的高考专家四中高三数学期中测试卷( 文)一、选择题：本大题共试卷总分值共计8 小题，每题150 分考试时间：5分，共 40分120 分钟1．集合A．B．，C．，那么〔〕D．2．复数〔〕A．B．C．D．3．曲线在点处的切线方程为〔〕A．B．C．D．4．等比数列中，，前3 项之和，那么数列的公比为〔〕A．1B．C．1 或D．或5．假设向量，，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．B．C．D．与垂直6．函数，下面结论错误的选项是〔〕A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数C．函数的图象关于直线对称D．函数是奇函数7．如果是定义在的增函数，且，那么一定是〔〕A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数8．设，假设，且，那么的取值X围是〔〕ks5u所有 @高考资源网- 1 -高考资源网〔 ks5u〕您身边的高考专家A．B．C．D．二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分9．设点是线段的中点，点在直线外，假设，，那么__________。
10 ．函数的图象与函数的图象关于直线对称，那么__________。
11．函数的单调减区间是__________，极小值是 ___________。
12．三个数成等差数列，其比为3:4:5 ，又最小数加上 1 后，三个数成等比数列，那么原三个数是 ___。
13．假设二次函数满足且，那么实数的取值X围是 ____。
14．假设、是等腰直角斜边上的三等分点，那么__________。
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分15．〔本小题总分值13 分〕：函数〔其中〕的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为。
〔1〕求：的解析式；〔2〕当，求：函数的值域。
16．〔本小题总分值成等比数列。
13 分〕：假设〔1〕求：数列是公差不为、、0 的等差数列的公比；的前〔 2〕假设项和，且、，求：数列、的通项公式。
北京四中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试卷
北京四中2011-2012学年度第二学期期中考试高一数学满分150分，考试时间120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 若b a >>0，则下列不等式中成立的是（ ）A.b a 11> B. ab a 11>- C. ||||b a > D. 22b a > 2. ABC Δ中，若C B A sin cos sin 2=⋅，则ABC Δ的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形3. 已知{}n a 是等差数列，421=+a a ，2887=+a a ，则该数列的前10项和=10S （ ）A. 64B. 100C. 110D. 1204. 若A 是正数b a ,的等差中项，正数G 是b a ,的等比中项，则以下结论最准确的是（ ）A. AG ab >B. AG ab ≤C. AG ab >D. AG ab < 5. ABC Δ中，若3=AB ，1=AC ， 30=∠B ，则ABC Δ的面积为（ ）A.23 B. 43 C. 23或3 D. 23或436. 数列{}n a 中，若11=a ，nnn a a a 211+=+，则这个数列的第10项10a =（ ）A. 19B. 21C.191 D. 211 7. 若R y x ∈,，且32=+y x ，则yx42+的最小值是（ ）A. 32B. 23C. 24D. 6 8. 若非负实数y x ,满足⎩⎨⎧≤-+≤-+07230832y x y x ，则y x +的最大值是（ ）A. 2B.37 C. 38D. 3 9. ABC Δ中，S 表示A B C Δ的面积，若C c A b B a sin cos cos =+，)(41222a c b S -+=，则=∠B （ ）A.30 B.45 C.60 D.9010. 等差数列{}n a 中，若90121064=+++a a a a ，则141031a a -=（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. ABC Δ中，若边6=b ，边2=c ，角 120=B ，则角=C 。
高二上期末数学试卷4(文)附答案解析
2015-2016学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若命题p是假命题，命题q是真命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是假命题D．￢q是假命题2．直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．3．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线A′B与AD′所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的（）A．充分条件不必要B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积（）A．5πB．4πC．3πD．2π6．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（）A．x+2y=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y+3=0 D．x﹣2y+4=07．若直线x﹣y﹣m=0被圆x2+y2﹣8x+12=0所截得的弦长为，则实数m的值为（）A．2或6 B．0或8 C．2或0 D．6或88．在下列命题中，真命题的个数是（）①若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b．②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α．③若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面γ．④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．A．0 B．1 C．2 D．39．若椭圆的两个焦点是F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，那么|PF2|=（）A．2 B．4 C． D．10．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为2，动点E，F在棱D′C′上．点G是AB的中点，动点P在棱A′A上，若EF=1，D′E=m，AP=n，则三棱锥P﹣EFG的体积（）A．与m，n都有关B．与m，n都无关C．与m有关，与n无关D．与n有关，与m无关二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．12．已知平面α∩平面β=l，a⊂β，a∥α，那么直线a与直线l的位置关系是．13．在空间直角坐标系中，点M（0，2，﹣1）和点N（﹣1，1，0）的距离是．14．双曲线的右焦点坐标是；焦点到渐近线的距离为．15．如图，当抛物线形拱桥的拱顶距水面2米时，测得水面宽4米．若水面下降0.5米，则水面宽米．16．已知曲线C：|x|+|y|=m（m＞0）．（1）若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是；（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是．三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知抛物线y2=2px的焦点为F，准线方程是x=﹣1．（I）求此抛物线的方程；（Ⅱ）设点M在此抛物线上，且|MF|=3，若O为坐标原点，求△OFM的面积．18．已知圆C与x轴的交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），且圆心在直线2x﹣y=0上．（I）求圆C的标准方程；（Ⅱ）求与圆C相切于点B（3，0）的切线方程；（Ⅲ）若圆C与直线y=x+m有公共点，求实数m的取值范围．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，且PA⊥底面ABCD中，AB=1，PA=2．（I）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥B﹣PAC的体积；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD，若存在，请证明；若不存在，说明理由．20．如图，在正方形AG1G2G3中，点B，C分别是G1G2，G2G3的中点，点E，F分别是G3C，AC的中点，现在沿AB，BC及AC把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G．（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；（Ⅱ）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，并求证：EF∥平面ABG；（Ⅲ）求证：平面EFB⊥平面GBC．21．已知椭圆C：x2+3y2=4．（I）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断命题“若过点M（1，0）的动直线l交椭圆于A，B两点，则在直角坐标平面上存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N”的真假，若为真命题，求出定点N的坐标；若为假命题，请说明理由．2015-2016学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若命题p是假命题，命题q是真命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是假命题D．￢q是假命题【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．【解答】解：∵p是假命题，q是真命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是真命题，选项C错误；￢q是假命题，选项D正确．故选：D．【点评】本题考查复合命题的真假情况．2．直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，∴直线x+y+1=0的倾斜角α=．故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．3．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线A′B与AD′所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】利用异面直线所成的角的定义、正方体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，连接CD′，AC．由正方体的性质可得A′B∥D′C．∴∠AD′C或其补角即为异面直线A′B与AD′所成的角．由正方体可得：AD′=D′C=AC，∴△AD′C是等边三角形．∴∠AD′C=60°．∴异面直线A′B与AD′所成的角为60°．故选C．【点评】熟练掌握异面直线所成的角的定义、正方体的性质等是解题的关键．4．“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的（）A．充分条件不必要B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】若“a=3”成立，但当c=﹣1时，两直线重合，判断不出两直线平行；反之，当“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”成立时，有，得到a=3；利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“a=3”成立，则两直线的方程分别是3x﹣2y﹣1=0与6x﹣4y+c=0，当c=﹣1时，两直线重合，所以两直线不一定平行；反之，当“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”成立时，有，所以a=3；所以“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的必要不充分条件，故选B．【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．5．某几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积（）A．5πB．4πC．3πD．2π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得该几何体是圆柱，结合图中数据求出它的侧面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，所以它的侧面积是2π××2=4π．故选：B．【点评】本题考查了利用三视图求空间几何体的体积的应用问题，是基础题．6．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（）A．x+2y=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y+3=0 D．x﹣2y+4=0【考点】待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意可得直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为（﹣2，1），求出OA的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．【解答】解：∵已知O（0，0）关于直线l的对称点为A（﹣4，2），故直线l为线段OA的中垂线．求得OA的中点为（﹣2，1），OA的斜率为=﹣，故直线l的斜率为2，故直线l的方程为y﹣1=2（x+2 ），化简可得：2x﹣y+5=0．故选：B．【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，斜率公式的应用，用点斜式求直线的方程，属于基础题．7．若直线x﹣y﹣m=0被圆x2+y2﹣8x+12=0所截得的弦长为，则实数m的值为（）A．2或6 B．0或8 C．2或0 D．6或8【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由已知得圆心（4，0）到直线x﹣y﹣m=0的距离d==，即可求出实数m的值．【解答】解：x2+y2﹣8x+12=0，可化为（x﹣4）2+y2=4∵直线x﹣y﹣m=0被圆x2+y2﹣8x+12=0所截得的弦长为，∴圆心（4，0）到直线x﹣y﹣m=0的距离d===，∴解得m=2或6，故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用．8．在下列命题中，真命题的个数是（）①若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b．②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α．③若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面γ．④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】①根据线面平行的判定定理和性质定理进行判断即可．②根据线面平行的定义进行判断．③根据面面垂直的性质定理进行判断．④根据面面垂直的判定定理进行判断．【解答】解：①平行同一平面的两条直线不一定平行，故①错误，②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α或l 与α相交，故②错误③垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故③错误，④命题的逆否命题为α内存在直线垂直平面β，则α⊥β，则逆否命题为真命题．则原命题为真命题，故④正确，故正确的命题是④．故选：B ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理以及性质定理是解决本题的关键．9．若椭圆的两个焦点是F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 1⊥F 1F 2，那么|PF 2|=（ ）A ．2B ．4C ．D ． 【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，由题意可得P 的坐标，再由椭圆的定义计算即可得到所求值．【解答】解：椭圆的a=，b=1，c=1，由PF 1⊥F 1F 2，可得y P =﹣1，x P =±=±，即有|PF 1|=，由题意的定义可得，|PF 2|=2a ﹣|PF 1|=2﹣=．故选：D ．【点评】本题考查椭圆的方程的运用，以及椭圆的定义，考查运算能力，属于基础题．10．如图，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为2，动点E ，F 在棱D ′C ′上．点G 是AB 的中点，动点P 在棱A ′A 上，若EF=1，D ′E=m ，AP=n ，则三棱锥P ﹣EFG 的体积（ ）A ．与m ，n 都有关B ．与m ，n 都无关C ．与m 有关，与n 无关D ．与n 有关，与m 无关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】求出△EFG的面积和P到平面EFG的距离，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：连结AD1，A1D，则AD1=2，A1D⊥平面ABC1D1，∴记分1与平面ABC1D1所成的角为∠A1AD1=45°，∴P到平面ABC1D1的距离d=AP•sin45°=．∵S△EFG==．∴三棱锥P﹣EFG的体积V==．故选：D．【点评】本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．【考点】命题的否定．【专题】计算题．【分析】根据命题的否定的规则进行求解，注意“任意”的“否定”为存在；【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”∵“任意”的否定为“存在”∴命题的否定为：，故答案为：【点评】此题主要考查命题的否定规则，是一道基础题，注意常见的否定词；12．已知平面α∩平面β=l，a⊂β，a∥α，那么直线a与直线l的位置关系是平行．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据直线和平面平行的判定定理和性质定理进行判断证明即可．【解答】解：a与b的位置关系：平行．设过a的平面γ有γ∩α=b，∵a∥α，γ∩α=b，∴a∥b，∵a⊂β，∴b∥β，∵α∩β=l，∴b∥l，∵a∥b，∴a∥l【点评】本题考查线面平行的判定定理和性质定理的运用，两直线位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．在空间直角坐标系中，点M（0，2，﹣1）和点N（﹣1，1，0）的距离是．【考点】空间两点间的距离公式．【专题】方程思想；综合法；空间向量及应用．【分析】根据所给的两个点的坐标和空间中两点的距离公式，代入数据写出两点的距离公式，做出最简结果，不能再化简为止．【解答】解：∵点M（0，2，﹣1）和点N（﹣1，1，0），∴|MN|==，故答案为：．【点评】本题考查两点之间的距离公式的应用，是一个基础题，这种题目在计算时只要不把数据代入出现位置错误，就可以做出正确结果．14．双曲线的右焦点坐标是（2，0）；焦点到渐近线的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的方程解求出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离．【解答】解：双曲线，∴a2=1，b2=3，∴c2=a2+b2=4，∴c=2，∵双曲线的焦点在x轴上，∴双曲线的右焦点坐标是（2，0），∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即x﹣y=0，∴焦点到渐近线的距离d==，故答案为：（2，0），【点评】本题考查了双曲线的方程和渐近线方程以及点到直线的距离，属于基础题．15．如图，当抛物线形拱桥的拱顶距水面2米时，测得水面宽4米．若水面下降0.5米，则水面宽米．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；应用题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2=2py，从而由题意知点（2，﹣2）在抛物线上，带入抛物线方程便可求出p=﹣1，这便得出抛物线方程为x2=﹣2y．而根据题意知点（x0，﹣2.5）在抛物线上，从而可以求出x0，从而水面宽度便为2|x0|，即得出水面宽度．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x2=2py；根据题意知，A（2，﹣2）在抛物线上；∴4=2p•（﹣2）；∴p=﹣1；∴x2=﹣2y；设B（x0，﹣2.5）在抛物线上，则：；∴；∴水面下降0.5米，则水面宽为．故答案为：．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，根据曲线上点的坐标求出曲线方程，利用曲线方程解决几何问题的方法，以及抛物线的标准方程，数形结合解题的方法．16．已知曲线C：|x|+|y|=m（m＞0）．（1）若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是2；（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是2＜m＜3或．【考点】曲线与方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）若m=1，曲线C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，可得曲线C围成的图形的面积是2；（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m＜3时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；再考虑相切时的情形，即可得出结论．【解答】解：（1）若m=1，曲线C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，则由曲线C围成的图形的面积是2；（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m＜3时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；x＞0，y＞0，x+y﹣m=0与椭圆方程联立，可得13x2﹣18mx+9m2﹣36=0，∴△=（﹣18m）2﹣52（9m2﹣36）=0，∵m＞0，∴m=．此时曲线C与椭圆有四个不同的交点故答案为：2，2＜m＜3或．【点评】本题考查曲线与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知抛物线y2=2px的焦点为F，准线方程是x=﹣1．（I）求此抛物线的方程；（Ⅱ）设点M在此抛物线上，且|MF|=3，若O为坐标原点，求△OFM的面积．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）利用准线方程是x=﹣1，求此抛物线的方程；（Ⅱ）设点M在此抛物线上，且|MF|=3，利用抛物线的定义求出M的坐标，即可求△OFM 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的准线方程为x=﹣1，所以…得p=2…所以，抛物线的方程为y2=4x…（Ⅱ）设M（x0，y0），因为点M（x0，y0）在抛物线上，且|MF|=3，由抛物线定义知|MF|=x0+=3…得x0=2…由M（2，y0）在抛物线上，满足抛物线的方程为y2=4x知y0=±2…所以△OMP的面积为|y0|==．…【点评】本题考查抛物线的方程与定义，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知圆C与x轴的交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），且圆心在直线2x﹣y=0上．（I）求圆C的标准方程；（Ⅱ）求与圆C相切于点B（3，0）的切线方程；（Ⅲ）若圆C与直线y=x+m有公共点，求实数m的取值范围．【考点】抛物线的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（I）设圆心C（a，2a），利用圆C与x轴的交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），求出a，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）因为CB与切线垂直，所以k BC•k=﹣1，求出k，即可求与圆C相切于点B（3，0）的切线方程；（Ⅲ）若圆C与直线y=x+m有公共点，则圆C的圆心到直线的距离d≤r，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为圆C的圆心在直线2x﹣y=0上，所以设圆心C（a，2a）．…又因为圆C与x轴的交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），所以a=1…故圆心C（1，2），半径为，…圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=8…（Ⅱ）因为CB与切线垂直，所以k BC•k=﹣1…因为，所以k=1…故与圆C相切于点B（3，0）的切线方程为：x﹣y﹣3=0…（Ⅲ）圆C与直线y=x+m有公共点，即圆C的圆心到直线的距离d≤r，…即，…解得﹣3≤m≤5所以圆C与直线y=x+m有公共点，则﹣3≤m≤5．…【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，且PA⊥底面ABCD中，AB=1，PA=2．（I）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥B﹣PAC的体积；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD，若存在，请证明；若不存在，说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）由PA⊥底面ABCD得PA⊥BD，由正方形的性质得AC⊥BD，故BD⊥平面PAC；（II）以△ABC为棱锥底面，PA为棱锥的高，代入体积公式计算即可；（III）过D作DM⊥PC，垂足为M，则PC⊥平面BDM．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，DB⊂面ABCD，所以PA⊥DB．又因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥DB在平面PAC中，PA∩AC=A，所以DB⊥平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥底面ABCD，所以点P到平面ABC的距离为PA的长．又因为四边形ABCD是正方形，且AB=1，PA=2，所以=．（Ⅲ）在△PDC中，过点D作DM⊥PC，交PC于点M．由（Ⅰ）已证DB⊥平面PAC，因为PC⊂面PAC，所以DB⊥PC．因为在平面DMB中，DM∩DB=D所以PC⊥平面DMB．所以在线段PC上存在一点M，使PC⊥平面DMB．【点评】本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．如图，在正方形AG1G2G3中，点B，C分别是G1G2，G2G3的中点，点E，F分别是G3C，AC的中点，现在沿AB，BC及AC把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G．（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；（Ⅱ）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，并求证：EF∥平面ABG；（Ⅲ）求证：平面EFB⊥平面GBC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据折叠前后折痕一侧的角不发生变化可知∠AGB=∠AGC=∠BGC=90°，（2）根据AG⊥GB，AG⊥GC可得AG⊥平面GBC，故而AG⊥BC；（3）连结EF，则EF∥AG，故而EF⊥平面GBC，所以平面EFB⊥平面GBC．【解答】解：（Ⅰ）在正方形AG1G2G3中，∠G1，∠G2，∠G3都是直角．沿AB，BC及AC把这个正方形折成四面体GABC后，此三个角度数不变．即在四面体GABC的四个面中，在△AGB中，∠AGB=90°，在△AGC中，∠AGC=90°，在△BGC中，∠BGC=90°，△ABC不是直角三角形．故分别在平面AGB，平面AGC和平面BGC的三角形是直角三角形．（Ⅱ）在四面体GABC的直观图中标出点E，F，证明：因为在△AGC中，点E，F分别是GC，AC的中点，所以EF∥AG，因为EF⊄平面ABG，AG⊂平面ABG，所以EF∥平面ABG．（Ⅲ）证明：在四面体GABC中，∠AGB=90°，∠AGC=90°，即AG⊥GB，AG⊥GC，因为在平面BGC中，GB∩GC=G所以AG⊥平面BGC．由（Ⅱ）已证EF∥AG，所以EF⊥平面BGC．因为EF⊂平面EFB所以平面EFB⊥平面GBC．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，属于中档题．21．已知椭圆C：x2+3y2=4．（I）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断命题“若过点M（1，0）的动直线l交椭圆于A，B两点，则在直角坐标平面上存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N”的真假，若为真命题，求出定点N的坐标；若为假命题，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意求出a，b的值，结合隐含条件求得c，则椭圆的离心率可求；（Ⅱ）假设存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N，然后分直线AB的斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及AN⊥BN列式求得N的坐标；当斜率不存在时，验证AN⊥BN成立即可．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程知a2=4，，∵a2=b2+c2，∴，则，∴椭圆的离心率为；（Ⅱ）真命题．由椭圆的对称性知，点N在x轴上，设N（t，0），①当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣4=0．∴△=4（9k2+4）＞0，，，∵以线段AB为直径的圆过点N，∴AN⊥BN，∴，则（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2=0，∴，∴，则，即﹣4﹣6tk2+t2+3t2k2=0，∴3tk2（t﹣2）+（t2﹣4）=0，即（t﹣2）（3tk2+t+2）=0．∴若以线段AB为直径的圆恒过点N（t，0），则t﹣2=0，即t=2，∴当直线AB的斜率存在时，存在N（2，0）使命题是真命题；②当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=1．A（1，1），B（1，﹣1），以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，∵N（2，0）满足方程（x﹣1）2+y2=1，∴当直线AB的斜率不存在时，点N（2，0）也能使命题是真命题．综上①②知，存在点N（2，0），使命题是真命题．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了存在性问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．2016年4月7日。
北京四中2010~2011学年第一学期高三年级文科数学开学测试及答案
北京四中2010~2011学年第一学期高三年级文科数学开学测试（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一．选择题（每小题5分，共60分）1．集合，，则=（）A．B．C．D．2．若曲线在点处的切线方程是，则（）A． B．C． D．3．设向量，，则下列结论中正确的是（）A．B． C．D．与垂直4．已知锐角的面积为，，，则角的大小为（）A．75°B．60°C．45° D．30°5．若复数，则（）A．B．C．D．6．函数的单调递增区间是（）A． B． C．D．7．函数是（）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数8．下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（）A．=B．=C．=D．9．平面内及一点满足，则点是（）A．内心 B．外心 C．重心D．垂心10．设偶函数对任意，都有，当时，，则（）A．2 B．3 C．4 D．511．已知函数。
若且，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．实数，均不为零，若，且，则（）A．B．C．D．二．选择题（每小题5分，共30分）13．复数____________。
14．曲线在点处的切线方程为____________。
15．函数的递增区间是____________。
16．函数的最小正周期是____________。
17．已知向量，，，若，则____________。
18．下列四个命题：①函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)；②命题与命题，若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件；③函数的图象经过第一象限；④函数的反函数是；其中正确命题的序号是____________。
（把你认为正确的序号都填上）。
三．解答题（共60分）19．（本小题满分12分）已知：向量、满足||＝1，||＝，（1）若//，求：的值；（2）若，的夹角为135°，求 |＋| ．20．（本小题满分12分）已知：函数（其中）的最小正周期为，且图象上一个最高点为。
北京四中高二(上)期中数学试卷
<
푥
< 휋)，푡푎푛푥
<
0，由基本不等式，−푡푎푛푥− 9
푡푎푛푥
≥
2
9=6
，
得出结论．
考查基本不等式的应用，基础题．
10.【答案】C
【解析】解：①当푘 = 12时，푎1 = 12,푎2 = 2 × (12)2 = 12，所以数列{푎푛}不是递减数列，①
不正确；
②当0 < 푘
< 12时，푎푛푎푛+ 1 = (푛
A. 푎2 + 푏2 > 2푎푏
B. 푎 + 푏 ≥ 2 푎푏
C.
1 푎
+
1 푏
>
2 푎푏
D. 푏 + 푎 ≥ 2
푎푏
8. 等差数列{푎푛}前 n 项和为푆푛，푎4 + 푎6 = −6，푎1 = −11. 푆 则当 푛取最小值时，
푛 =( )
第 1 页，共 18 页
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
值．
【解答】
由푎4 + 푎6 = 2푎5 = −6
푎5 = −3 푎1 = −11，
，解得
，又
∴ 푎5 = 푎1 +4푑 = −11 + 4푑 = −3，解得푑 = 2，
则푎 = −11 + 2(푛−1) = 2푛−13，
푛
∴ 푆푛 =
푛(푎1 + 2
푎푛)
=
푛2−12푛
= (푛−6)2−36，
∴ 当푛 = 6时，푆푛取最小值．
x
1
2
3
푓(푥)
3
1
2
数列{푎푛}满足푎1
北京市第四中高二上学期数学期中试题
北京四中高二数学 期中测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知向量()1,2,1a =-，则下列向量与a 垂直的是（ ）A. ()0,0,1B. ()2,1,0-C. ()1,1,2D. ()4,1,1- 2. 若直线:210l x ay ++=与直线2:220l x y -+=平行，则a =（ ）A. 1B. 1-C. 4D. 4- 3. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 4. 在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（ ）A. 平面ADC ⊥平面BCDB. 平面ABC ⊥平面BCDC. 平面ABD ⊥平面ADCD. 平面ABD ⊥平面ABC5. 圆()2224x y ++=与直线3420x y ++=相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A. 4360x y ++=B. 3480x y ++=C. 4360x y --=D. 4360x y -+= 6. 若()2,3A -、()3,2B -、()1,C m 三点共线，则m 的值为（ ） A. 12 B. 1- C. 2- D. 07. 下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A. B. C. D.9. 直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（ ）A. ()6,2--B. 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 10. 如图所示，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在平面ABC 上的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. △ABC 的内部二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 经过1,0A ，(3B 两点的直线的倾斜角为______________.12. 圆心为()4,3C -且与直线2100x y ++=相切的圆的方程为______________.13. 圆224410x y x y +-+-=截直线60x y --=所得弦长等于______________.14. 若空间向量()5,3,a m =，()1,1,2b =--，()0,2,3c =-共面，则m =______________. 15. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，则点B 到平面1AB E 的距离为______________．16. 三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60； ④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.三、解答题：本大题共3小题，共36分17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PB 的中点.（1）求直线PD 与CE 所成角的余弦值；（2）求直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值；（3）求二面角E AC P --的余弦值.19. 已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点(2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点()0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分20. 圆()()22135x y -+-=关于直线y x =对称的圆方程为______________.21. 已知ABC 的三个顶点分别是()0,3A ，()4,2B ，()2,1C .若直线l 过点A ，且将ABC 分割成面积相等的两部份，则直线l 的方程是______________.22. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ， 1AD AB ==，AD AB ⊥， 45BCD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为'A ，且平面A BD '⊥平面BCD ，则下列四个命题中正确的是______________.①'A D BC ⊥；②三棱锥'A BCD -2； ③CD ⊥平面'A BD④平面'A BD ⊥平面A DC '23. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ： 2y x =上在第一象限内点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若45DBA ∠︒≥，则点A 的横坐标的取值范围为______________.三、解答题：本大题共2小题，共24分24. 在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===， 120PDC ∠=︒.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ⊥平面PAC ？如果存在，求BF BC 的值；如果不存在，说明理由；（3）若M 是棱PA 的中点，N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行.25. 设N n *∈，且3n ≥.对1，2，…，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称（s i ，t i ）是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序()2,1，()3,1 ，则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1，2，…，n 的的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.（1）求()32f 的值；（2）判断()2n f 与()+12n f 大小，并说明理由；（3）求()()24n f n ≥的表达式（用n 表示）.北京四中高二数学 期中测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知向量()1,2,1a =-，则下列向量与a 垂直的是（ ）A. ()0,0,1B. ()2,1,0-C. ()1,1,2D. ()4,1,1-【答案】B2. 若直线:210l x ay ++=与直线2:220l x y -+=平行，则a =（ ）A. 1B. 1-C. 4D. 4-【答案】D3. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B4. 在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（ ）A. 平面ADC ⊥平面BCDB. 平面ABC ⊥平面BCDC. 平面ABD ⊥平面ADCD. 平面ABD ⊥平面ABC【答案】A5. 圆()2224x y ++=与直线3420x y ++=相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A. 4360x y ++=B. 3480x y ++=C. 4360x y --=D. 4360x y -+=【答案】C6. 若()2,3A -、()3,2B -、()1,C m 三点共线，则m 的值为（ ）A. 12B. 1-C. 2-D. 0【答案】D7. 下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A. B. C. D.【答案】BC9. 直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（ ）A. ()6,2--B. 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】C10. 如图所示，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在平面ABC 上的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. △ABC 的内部【答案】A 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 经过1,0A ，()0,3B 两点的直线的倾斜角为______________.【答案】23π 12. 圆心为()4,3C -且与直线2100x y ++=相切的圆的方程为______________.【答案】()()22435x y ++-=13. 圆224410x y x y +-+-=截直线60x y --=所得弦长等于______________.【答案】2714. 若空间向量()5,3,a m =，()1,1,2b =--，()0,2,3c =-共面，则m =______________.【答案】22-15. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，则点B 到平面1AB E 的距离为______________．【答案】6616. 三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60； ④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.【答案】①②③三、解答题：本大题共3小题，共36分17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PB 的中点.（1）求直线PD 与CE 所成角的余弦值；（2）求直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值；（3）求二面角E AC P --的余弦值.【答案】（1）3；（2）3；（3）6. 19. 已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上. （1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点(0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.【答案】（1）220x --=；（2）()2219x y ++=；（3）422213422213,22⎡⎢⎣⎦. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分20. 圆()()22135x y -+-=关于直线y x =对称的圆方程为______________.【答案】()()22315x y -+-=21. 已知ABC 的三个顶点分别是()0,3A ，()4,2B ，()2,1C .若直线l 过点A ，且将ABC 分割成面积相等的两部份，则直线l 的方程是______________.【答案】260x y +-=22. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ， 1AD AB ==，AD AB ⊥， 45BCD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为'A ，且平面A BD '⊥平面BCD ，则下列四个命题中正确的是______________.①'A D BC ⊥；②三棱锥'A BCD -的体积为22； ③CD ⊥平面'A BD④平面'A BD ⊥平面A DC '【答案】③④23. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ： 2y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若45DBA ∠︒≥，则点A 的横坐标的取值范围为______________.【答案】[]1,3- 三、解答题：本大题共2小题，共24分24. 在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===， 120PDC ∠=︒.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ⊥平面PAC ？如果存在，求BF BC的值；如果不存在，说明理由； （3）若M 是棱PA 的中点，N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行.【答案】（1）详见解析（2）详见解析；（3）详见解析.25. 设N n *∈，且3n ≥.对1，2，…，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称（s i ，t i ）是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序()2,1，()3,1 ，则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1，2，…，n 的的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.（1）求()32f 的值；（2）判断()2n f 与()+12n f 的大小，并说明理由；（3）求()()24n f n ≥的表达式（用n 表示）.【答案】（1）2；（2）()()+122n n f f >，证明见解析；（3）()()22242n n n n f --=≥.。
北京市日坛中学11-12学年高二上学期期中练习数学(文)试题(无答案)
北京市日坛中学2011—2012学年度高二年级 数学（文）学科第 一 学期期 中 练习试题一、选择题（每小题4分，共40分.每题有且只有一个正确选项.） 1.设函数1()(sin cos )2f x x x =-的导函数为()f x '，则下列结论正确的是 A ．()()sin f x f x x '+=- B ．()()cos f x f x x '+=-C ．()()sin f x f x x '-=D ．()()cos f x f x x '-= 2.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积是A ．1B ．2C ．3D ．43.圆2240x y y +-=在点)P处的切线方程为A ．0x -=B ．0x +=C 20y --=D 20y -+=4.设a b c 、、是空间不同的直线，αβγ、、是空间不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若//,//a b ββ，则 //a b B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥D ．若m α⊥，n ⊥m ，n α⊄，则//n α 5.圆C 1: 22(2)(2)1x y ++-=与圆C 2: 22(2)(5)16x y -+-=的位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交 D. 内切6.函数()xe f x x=在点()()00,x f x 处的切线平行于x 轴，则0()f x =A ．eB ．1e C ．e - D ．1e- 7.如果质点按规律2()s t t t =-（距离单位：m ，时间单位：s ）运动，则质点在3s 时的瞬时速度为A ．5m/sB ．6m/sC ．7m/sD ．8m/s8.直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在9. ()f x '是函数()y f x =的导函数，若()y f x ='的 图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是10.已知1213243()cos ,()(),()(),()()f x x f x f x f x f x f x f x '''====，…1()(),n n f x f x -'=则)(2011x f 等于A ．sin xB ．sin x -C ．cos x D. cos x - 二、填空题（每小题4分，共24分.）11.以点(1,2)C -为圆心的圆被直线30x y ++=截得的弦长为C 的方程是 . 12.曲线1323+-=x x y 在点()1,1-处的切线方程为 .13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 .14.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = .15. 函数32()35f x x x =-+在区间[]2,2-上的最大值是 . 16.如右图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象， 则 12x x += .三、解答题（共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知圆C 过点)1,2(-A ，与直线1=+y x 相切，且圆心C 在直线x y 2-=上， 求圆C 方程．18.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线 方程为670x y -+=.（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形．60BCD ∠=，2ABPB PD ===，PC =，AC 与BD 交于点O ，E ，H 分别为PA ，OC 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：PH ⊥平面ABCD .20.已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若直线l 过点(0,1)-，并且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程；（Ⅲ）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a R ∈，求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值.。
北京市昌平区2011-2012学年第一学期高三年级期末高高质量抽测数学的文
A . 2-2iB . 1」 C. iD . 1i 3.“x y ”是“ 2x- 2y”的 A .充分不必要条件B . 必要不充分条件 C.充要条件D . 既不充分也不必要条件4•从3名男同学， 2名女同学中任选 2人参加体能测试，则选到的同学的概率是94 21 A .10B .5C. 5D .25•若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A . 2 B . 4C. 6.D. 86.某程序框图如图所示，则输出的SA . 120B . 57C. 56 D . 26 7•某类产品按工艺共分 10个档次，最低档 元•每提高一个档次，每件利润增加2元•用 最低档产品60件，每提高一个档次将少生 润最大时生产产品的档次是A.第7档次 第10档次B.第8档次8. 一圆形纸片的圆心为点 。
，点Q 是圆内异于。
点的一定点，点 A 是圆周上一点•把纸片折 叠使点A 与Q重合，然后展平纸片，折痕与 OA 交于P 点.当点A 运动时点P 的轨迹是昌平区2011 — 2012学年第一学期高三年级期末质量抽测第I 卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.）〔•设全集 U ={135,7}，集合 A ={3,5}, B ={1,3,7}，则 AR ⑥ B ）等于A . {5}B . {3, 5}C. {1 , 5, 7} D .门22• 1 —i 等于数学试卷（文科） 2012 .12名同学中至少有一名男线y"X 的焦点，则m 二x _ y _ 0,13. 已知D 是由不等式组 x 「.3y一0,所确定的平面区域，则圆x/ =4在区域D 内的弧长为 ______________ ;该弧上的点到直线 3x + y +2 = 0的距离的最大值等于 ________________14.设函数f(x)的定义域为R ,若存在与x 无关的正常数M ，使丨f(x)|±M| x|对一切实. 2数x 均成立，则称f (X )为有界泛函.在函数①f (x) = -5x ,②f (x)二sinx ,③A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线第n 卷(非选择题共110分)填空题(本大题共 6小题，每小题5分，共30分). 9•已知函数y =sinx c°sx ，则函数的最小正周期是10.已知向量“(2,1), a 10 , a + b = 7，则 b =11.某工厂对一批产品进行了抽样检测， 右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106], 样本数据分组为[96 , 98) , [98, 100), [100 , 102), [102 , 104), [104 , 106] •已知样本中产品净重小于 100克的个数是 48 ,则a = _______________ ;样本中x 212.已知双曲线 m=1的右焦点f(x)Y)x,④f(x)二 xcosx 中 属于有界泛函的有 _________ (填上所有正确的序号).三、解答题(本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. )15.(本小题满分13分)1小" 2 ..在ABC中， cos2A=cos A - cos A2 (I )求角A 的大小;(II )若 a = 3, sin B = 2sin C ，求 S 辱BC16.(本小题满分13分) 已知数列｛an｝是等差数列，比=10,a ^22，数列｛b n ｝的前n 项和是S n,1 S n b n = 1且 3(I) 求数列｛a n｝的通项公式；(II) 求证：数列｛b n｝是等比数列；(II )求证:MN _平面PAC ； (III) 求四面体A-MBC 的体积.18. (本小题满分13分)1f (x) =ln x +— +ax已知函数x(a为实数).17.(本小题满分 14分)如图在四棱锥P-ABCD 中,PA _底面ABCD ,垂足为点A ,别是PD , PB 的中点. (I )求证：PB 〃平面 ACM .;(I) 当a = 0时，求f(x)的最小值；(II) 若f(x)在[2「：)上是单调函数，求a的取值范围19. (本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(-'、3,0)，离心率为 2 .设直线1与椭圆C 有且只有 一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线1与x 轴、y轴的交点分别为 A 、B ,且向量OM =OA OB .求：(I) 椭圆C 的方程；(II)|OM 1的最小值及此时直线l 的方程.20. (本小题满分13分)M 是具有以下性质的函数f(x)的全体：对于任意S , t 0，都有f (s) 0,f (t) 0, 且 f(s) +f(t)<f(s+t).x(I) 试判断函数f 1(x ^log 2(x 1),f2(x)=2 -1 是否属于 M ?(II) 证明：对于任意的 x 0 ,x m 0(m R且m=)都有 m[f(x m) -f(x)] 0 ；(III) 证明：对于任意给定的正数s"，存在正数t ，当Ocx^t 时，f(x)vs .昌平区2011 — 2012学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学（文科）试卷参考答案及评分标准 2012.1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. 10. 2 ■- 61 10.125;12012.3 5二21 365514.①②④三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.(本小题满分13分)1 2 2 (2cos A-1)二cos A-cosA解: (I)由已知得：2 ,……2分cos ATtA .3b c sin B b 小2 (II)由sinB sinC 可得：sinC c7 分b =2c...... 8 分.2 2 2 . 2 2A b +c — a 4c +c — 9 1cos A 厂2bc 4c 2 ........ 10分解得：3 A2：3………11分S =1 bcsin A = 12 3 . 32 216 (本小题满分13分)3 +2d =10,解: (1)由已知旦+5d =22.解得a =2,d =413分S n--b n（2）由于3①d=1 一％ b1 _ 3 1亠 Sn/ = 1—令n=1,得 3 解得 -4，当 当n 一 2时， 3②二 a n =2 + (n -1)沃4 = 4n -2. .................. 6分1 1 b n b n J b n1 b n b n A—②得3 3 43b n1bi 二 0.1又45b n 」431•••数{bn}是4为首项，4为公比的等比数列13分证明：（I ）连接 AC,BD,AM,MC,MO,MN,且 AC BD=O点O,M 分别是PD,BD 的中点.MO//PB,PB 二平面ACM.PB// 平面 ACM17.（本小题满分14分）丁 PA 丄平面ABCD BD u 平面ABCD故此时f(x)在［2「：)上只能是单调递减4a 2 -1 c1f (2) 00 a -f (2八0即4解得4••….9分4a 2 -1 门1 0, a — 当a 0时，f(x)在［2「：)上只能是单调递增f(2)-0即 4得 4故a 0••….11分—1 - — a E2［0,亦)综上 4 ••….13分19.(本小题满分14分)c 3解:(I )由题意可知c - 3 ,e2a2，所以a = 2，于是b -1，由于焦点在x 轴上,1h PA2••…12分1112-V AJMBCAB AD PA =—3 22 3. ..18.(本小题满分 13分) 解：(I )由题意可知：x- 0.2分当 0 ex c1 时，f "(x) c0当 x>1 时，f (X )>0.•.4 分故 f (X )min = f (1) =1ax 2 x -1(n )由①由题意可知a= 0时， f (x) =x _1x 2 ,在［2^:=)时,f (x) 0符合要求②当a ：：： 0时，令g(x)ax 2 x -12x —+故C 椭圆的方程为4y 十+m(k<0) A (-m ，0),B (0，m)y 二 kx m, 2 X2/+ y =1,• 4消去y得:2 2 2 2丁直线1与曲线C 有且只有一个公共点，应=4k m-(1 4k)(m _〔)=02 2即m =4k 1①•/ OM =0A OB.|0Mm2 m 2Vk 2②2x 2y -2 3 = 020 (本小题满分13分) (I )由题意可知，f 1(S )0,f 1(t)，f 2(S )0，f 2(t) 0若 Iog 2(s 1) log 2(t 1) ：：log 2(s t 1)成立 则(s 1)(t1) < s t 1 即 st <0与已知任意s , t 0即st 0相矛盾，故f1(x)" M ；••…2分若 2s 2t -2 ：：2s 七 _1 成立 则 2s 2七-2s 七 -1 ：： 0即(2「1)(1-2七)：：0=11 2 2 2(—k )x 2kmx m —1=0 4当且仅当2时，等号成立，故|0M也=3，此时直线方程为:(H)设直线1的方程为:11分14分=3s , t>0「201,1—2’ <0 即(2s—1)(1—2\<0成立分实用标准文案精彩文档故 f 2(x"M .综上，f i (x“M , f 2(x)EM . ••…5分 (II )当 m A O 时，f (x + m) a f (x) + f (m) > f (x) f (x + m) — f (x) > 0 当 m<0 时，f(x) = f(x + m — m)>f(x+m)十 f (—m) > f (x +m) f (x m) - f (x) ::: 0 故 m[f(x +m)- f (x)] A O . .....9 分 (III) 据( ii )f (x )在(O.：：)上为增函数，且必有 f (2x) 2f (x)(*) ①若 f(1)心，令 t =1，则 0 ：：：x 乞 t 时 f (x) ：：： s ；即当 0 ：：： x 玄t 时，f(x) :: s 综①、②命题得证。
2011-2012学年北京市西城区初三数学第一学期期末数学试题(南区)(含答案)
北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学 2012.1考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
3．在答题纸上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是A ．2B ．3C ． 6D ．113．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5tan A 的值为A 5B 25C ．12D ．24． 如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，连接BD ，若∠D =30°， BD =2，则AE 的长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．下列图形中，中心对称图形有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现大于3点的概率为 A ．21 B ．31 C ．41 D ．617．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点（-1,0），对称轴为x =1，则下列结论中正确的是A ．0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ．0<cD ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于E 点，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 83C ．2+D ． 2-二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠OCB ＝40°，则∠A= °．10．将抛物线2y x =先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4．以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把△ABC 按逆时针方向旋转 α角（0120α︒<<︒），当点A 的对应点与点C 重合时，B ，C 两点的对应点分别记为E ，F ，EF 与AB 的交点为G ，此时 α等于 ° ，△DEG 的面积为 ．12．已知二次函数212y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ， n 使得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．13．计算：2cos30602sin 45︒+︒-︒．14．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，且点A ，B ，C ，P 均为格点.（1） 在网格中作图：以点P 为位似中心，将△ABC 的各边长放大为原来的两倍，A ，B ，C 的对应点分别为A 1 ，B 1 ，C 1；（2） 若点A 的坐标为（1,1），点B 的坐标为（3,2），则（1）中点C 1的坐标为 .15．已知抛物线245y x x =+-.（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将245y x x =+-化成2()y a x h k =-+的形式．16．如图，三角形纸片ABC 中，∠BCA =90°，∠A =30°，AB =6， 在AC 上取一点 E ，沿BE 将该纸片折叠，使AB 的一部分 与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合，求DE 的长.17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）． 设矩形的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形 ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？18．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC ，AB 的交点分别为D ，E ． （1）若AD =10，4sin 5ADC ∠=，求AC 的长和tan B 的值；（2）若AD=1，ADC ∠=α，参考（1）的计算过程直接写 出tan 2α的值（用sin α和cos α的值表示）．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标； （2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积．20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等． （1） 求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并 画出它的图象（不要求列表）；（2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩ 又已知关于x 的 方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于 点E ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5BAC ∠=，求DF AF 的值．22．阅读下列材料：题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+再说明y 的符号即可.现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决.参考以上解题思路解决以下问题：已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点及顶点的坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线顶点的坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．24．已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，点M 为⊙O 上一点.（1）如图，若△ABC 为等边三角形，BM =1，CM =2， 求AM 的长；（2） 若△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90︒，BM a =，CM b =（其中b a >），直接写出AM 的长(用含有a ，b 的代数式表示).25． 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0），点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ； （2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时， ① 求此抛物线W 的解析式；② 若点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，坐标平面内另有一点R ，满足以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学参考答案及评分标准2012.1 一、选择题（本题共32分，每小题4分）阅卷说明：第10题写成2(1)1y x=--不扣分;第11题每空各2分;第12题第（1）问2分, 第（2）问每空各1分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式= 222⨯…………………………………………………3分= 22+．……………………………………………………………………5分14．解：（1）…………………………………………3分（2）点C1的坐标为（2，8）. ……………………………………………………5分图115．解：（1）抛物线与x 轴的交点的坐标为(5,0) (1,0)-和． …………………………2分抛物线与y 轴的交点的坐标为(05)-，． …………………………………3分 （2）245y x x =+-2(44)9x x =++-…………………………………………………………4分2(2)9x =+-． …………………………………………………………5分 16．解： 在RtΔACB 中，∠ACB =90°，AB =6， ∠A =30°，（如图2） ∴ 362121=⨯==AB BC . ………………………1分 ∵ 沿BE 将ΔABC 折叠后，点A 与BC 延长线上的点D∴ BD=AB=6，∠D =∠A =30°.……………………3分∴CD=BD -BC =6-3=3. ……………………………4分在RtΔDCE 中，∠DCE =90°，CD =3， ∠D =30°，∴3223330cos ===CD DE . ………………………………………………5分17．解：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米， ∴ CD=AB=x （米）．∵ 矩形除AD 边外的三边总长为36米，∴ 362BC x =-（米）．………………………………………………………1分 ∴ 2(362)236S x x x x =-=-+． ……………………………………………3分 自变量x 的取值范围是012x <<． …………………………………………4分 ( 说明：由0<x <36-2x 可得012x <<．)（2）∵222362(9)162S x x x =-+=--+，且9x =在012x <<的范围内 ，∴ 当9x =时，S 取最大值．即AB 边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分18．解：（1）在Rt △ACD 中，90C ∠=︒， AD =10，4sin 5ADC ∠=，（如图3） ∴ 4sin 1085AC AD ADC =⋅∠=⨯=．……1分3cos 1065CD AD ADC =⋅∠=⨯=． ∵ DE 垂直平分AB ，∴ 10BD AD ==．……………………………2分 ∴ 16BC CD BD =+=． ……………………3分 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，∴ 81tan 162AC B BC ===．……………………………………………………4分 （2）sin tan 21cos ααα=+．（写成1cos sin αα-也可） ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置 如图4所示．……………………2分 第三个正方形中的点P 的坐标为 (3,1)． …………………………3分（2）点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4）如图4所示． …………………………4分它与x 轴所围成区域的面积等于1π+． ……………………………………5分20．解：（1）∵ 函数2y x bx c =++（x ≥0）满足当x =1时，1y =-， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，∴ 11,2.2b c b ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得 4b =-，2c =．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为242y x x =-+（x ≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图5所示．……………………………………………………4分（2）k 的取值范围是22k -<≤．（如图6）……………………………………………5分 21．（1）证明：连接OD ．（如图7） ∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分 ∵ OA =OD ， ∴ ∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3．∴ OD ∥AE ．∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠AED =90°．∴ 18090ODE AED ∠=︒-∠=︒．∴ DE ⊥OD ． ……………………………2分 ∵ OD 是⊙O 的半径，∴ 直线DE 是⊙O 的切线． ………………………………………………3分（2）解：作OG ⊥AE 于点G ．（如图7） ∴ ∠OGE =90°．∴ ∠ODE =∠DEG =∠OGE =90°． ∴ 四边形OGED 是矩形．∴ OD =GE ．……………………………………………………………………4分 在Rt △OAG 中， ∠OGA =90°，4cos 5BAC ∠=，设AG =4k ，则OA =5k ． ∴ GE =OD =5k ． ∴ AE =AG +GE =9k ． ∵ OD ∥GE ， ∴ △ODF ∽△EAF ． ∴59DF OD AF AE ==．……………………………………………………………5分 22．解：（1）∵ 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+.322,222a b c a a c b消去b 并整理，得243c a =+．………………………1分消去c 并整理，得2423b a a =--． ………………2分（2）∵ ()()()411332422--=+-=--=a a a a a b ， 将4b 看成a 的函数，由函数24(1)4b a =--的性质结合它的图象（如图8所示），以及a ，b 均为非负数得a ≥3．又 ∵ a ＜5，∴ 3≤a ＜5．……………………………………………………………………3分∵ 224()63(3)12b a a a a -=--=--，将4()b a -看成a 的函数，由函数24()(3)12b a a -=--的性质结合它的图象（如图9所示）可知，当3≤a ＜5时，4()0b a -<．∴ b ＜a ． ……………………………………………4分∵ 24()43(1)(3)c a a a a a -=-+=--，a ≥3，∴ 4()c a -≥0．∴ c ≥a ．∴ b ＜a ≤c ． ………………………………………5分阅卷说明：“b ＜a ，b ＜c ，a ≤c ”三者中，先得出其中任何一个结论即可得到第4分，全写对得到5分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）令0y =，得方程 2(2)20kx k x +--=．整理，得 (1)(2)0x kx +-=．解得 11x =-，22x k= ． ∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，2(,0)k． ………………………2分 抛物线2(2)2y kx k x =+--的顶点坐标为2244(,)24k k k k k-++-． ………3分 （2）|n |的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分 （3）平移后抛物线的顶点坐标为214(,)4k k k k+-．…………………………………5分由1,14x k k y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得 114y x =-- ． ∴ 所求新函数的解析式为114y x=--． …………………………………7分 24．解：（1）因AB =AC 且∠BAC=60°，故将△ABM 绕点A 逆时针旋转60︒得△ACN ，则△ABM ≌△ACN ，（如图10）………………………………………………1分∴ ∠BAM =∠CAN ，∠ABM =∠ACN ，AM =AN ，BM =CN ．∵ 四边形ABMC 内接于⊙O ，∴ ∠ABM +∠ACM =180︒．∴ ∠ACN +∠ACM =180︒．∴ M ，C ，N 三点共线．……………………2分∵ ∠BAM =∠CAN ，∴ ∠BAM +∠MAC =∠CAN +∠MAC =60︒， 即∠MAN =60︒． ………………………………………………………………3分∵ AM =AN ，∴ △AMN 是等边三角形．……………………………………………………4分 ∴ AM =MN =MC +CN =MC +BM =2+1=3． ……………………………………5分（2）AM)b a -)b a +．……………………………………………7分 25．解：（1）图2中的m1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中的点P 运动到与点B 重合，∴ 1131222BOC C S OB y OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解得 8OB =，点B 的坐标为(8,0)． ……………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -，∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过点O 与AB 平行的直线l 上，∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM CON ∠=∠．又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ，可得△ABM ≌△CON ．∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分 ∵ 图12中AB ==∴ 图11中DE =，2D OF x DE =+= …………………4分（3）①当点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时，作PG ⊥OB 于点G ．（如图13）∵ O ，B 两点的坐标分别为(0,0)O ，(8,0)B ，∴ 由抛物线的对称性可知P 点的横坐标为4，即OG=BG=4．由3tan 6AM PG ABM BM BG∠===可得PG=2． ∴ 点P 的坐标为(4,2)P ．………………5分设抛物线W 的解析式为(8)y ax x =-（a ≠0）．∵ 抛物线过点(4,2)P ，∴ 4(48)2a -=． 解得 18a =-． ∴ 抛物线W 的解析式为218y x x =-+．…………………………………6分 ②如图14．i ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的菱形的边时，∵ 点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上， 点P 为抛物线W 的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q 只有一种情况，点Q 与原点重合，其坐标为1(0,0)Q ．……………………………………………………………………7分 ii ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的菱形的对角线时，可知BP 的中点的坐标为(6,1)，BP 的中垂线的解析式为211y x =-．∴ 2Q 点的横坐标是方程212118x x x -+=-的解．将该方程整理得28880x x +-=．解得4x =-± 由点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，结合图14可知2Q 点的横坐标为4．∴ 点2Q 的坐标是219)Q ． …………………………8分综上所述，符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，219)Q ．。
北京四中2011-2012学年高一数学上学期期中考试试卷
北京四中2011-2012学年高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A ． 0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠A D. φ∈A2. 函数f （x ）＝22-x ，则f （21）＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x5. 若函数f （x ）＝3x ＋3x -与g （x ）＝3x －3x -的定义域均为Ｒ，则A. f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C. f （x ）与g （x ）均为奇函数D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是 A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）8. 已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A. （－1，0）B. （0，1）C. （－1，1）D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A. f （a ）>f （2a ）B. f （a 2）<f （a ）C. f （a 2＋a ）<f （a ）D. f （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____。
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北京市四中2011-2012学年上学期高二年级期末测验数学试卷（文科）
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
卷（I）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1. 抛物线xy82的焦点坐标为
A. （1，0） B. （0，1） C. （2，0） D. （0，2）
2. 若ba,为异面直线，直线ac∥，则c与b的位置关系是
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交
3. 设条件甲为“50x”，条件乙为“3|2|x”，则甲是乙的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若双曲线013222ayax的离心率为2，则a等于
A. 2 B. 3 C. 23 D. 1
5. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A. 2 B. 1 C. 32 D. 31
6. 已知△ABC的顶点B，C均在椭圆1322yx上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC
边上，则△ABC的周长是
A. 32 B. 6 C. 34 D. 12
7. 过点（2，4），与抛物线xy82有且仅有一个公共点的直线有
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
8. 双曲线8822kykx的一个焦点是（0，3），那么k的值是
A. －1 B. 1 C. 365 D. 365
9. 已知直线nml,,和平面,，在下列命题中真命题是
A. 若内有无数多条直线垂直于内的一条直线，则
B. 若内有不共线的三点到的距离相等，则∥
C. 若ml,是两条相交直线，∥l，mnlnm,,且∥，则n
D. 若mlml∥则∥∥∥,,,
10. 过抛物线022ppxy的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，
则p的值是
A. 2 B. 4 C. 58 D. 916
11. 在正方体1111DCBAABCD中，P是侧面CCBB11内一动点，若点P到直线BC的距离与点P到直线
11
DC
的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
12. 直线12kkxy与曲线2421xy有公共点，则k的取值范围是
A. ,0]41,( B. ]41,(
C. ),41[ D. ,21
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是________。
14. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（32，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是
________。
15. 已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3，
则球O的表面积等于___________。
16. 已知椭圆12:22yxC的两焦点为21,FF，点00,yxP满足1202020yx，则||||21PFPF的取
值范围为________，直线1200yyxx与椭圆C的公共点个数是________。
三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分
17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分
别是PB，PC的中点。
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E－ABC的体积V。
18. 已知椭圆012222babyax的右焦点为2F（3，0），离心率为23e。
（1）求椭圆的方程。
（2）设直线kxy与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段2AF，2BF的中点，若坐标原点O在以
MN为直径的圆上，求k的值。
卷（II）
一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
1. 已知点P是抛物线xy22上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和
的最小值为
A. 217 B. 3 C. 5 D. 29
2. 长方体1111DCBAABCD的8个顶点在同一球面上，且AB＝2，AD＝3，11AA，则顶点A，B间的
球面距离是
A. 22 B. 2 C. 22 D. 42
3. 若点O和点F分别为椭圆13422yx的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则FPOP的最大值
为
A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
4. 若正四面体的棱长为a，则其体积是__________。
5. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且FDBF2，则C
的离心率为_________。
6. 自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC，则222PCPBPA___________。
三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分
7. 已知直三棱柱111CBAABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝1AA，D，E，F分别为BCCCAB,,11的中点。
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：FB1⊥平面AEF。
8. 设0b，椭圆方程为122222bybx，抛物线方程为byx82，如图所示，过点F（0，2b）作x轴
的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F。
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？
若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点
的坐标）。