求线段最小值
线段和最小值问题
运用图形的轴对称求线段和的最小值学习目标：会用轴对称知识解决一些常见几何图形的线段和最小值问题. 学习重点：利用常见几何图形的对称特性运用转化思想，学生会解决有关线段和最小值问题.学习方法：自主探究法、合作交流法 学习过程： 一、知识链接1、已知直线l 及其两侧两点，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 和最小。
（写出画图方法，画出图形）`2、如图，已知点A,B 在直线l 的同一侧，在l 上求作一点P ，使得PA+PB 最小。
（写出画图方法，画出图形）^总结：此时PA+PB 等于线段 。
二、知识应用如图，铁路l 同侧有两个仓库A,B,它们到铁路的距离AD,BE 分别为500m,300m,DE=600m.现要在铁路上建一个货场C,要求CA+CB 最小，求这个最小值。
…三、自主探究知识链接：在平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆中，是轴对称图形的有 。
1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，P 是BD 上一动点。
连接EP,CP,则EP+CP 的最小值是2、如图2，已知菱形ABCD,AB=6, ∠BAD=60°,E 为AD 的中点，M 为AC 上一动lABlED AB(4)(3)(2)(1)点，则EM+DM 的最小值是3.如图3，梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°,直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一动点,则PC+PD 的最小值为 .4.如图4，⊙O 直径AB 为2，∠COB=60°，D 是弧BC 中点，P 是直线AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为 （总结：以上问题利用了正方形、菱形、等腰梯形、圆的对称性，从图中能直接找到一个点的对称点。
三、研讨1、在平面直角坐标系中有三点A(6,4),B(4,6),C(0,2),在x 轴上找一点D,使得四边形ABCD 的周长最小，求点D的坐标。
两定点到圆上一动点的线段和最小值
两定点到圆上一动点的线段和最小值1. 引言大家好！今天我们聊聊一个有趣的几何问题，那就是“两定点到圆上一动点的线段和的最小值”。
这个问题看似复杂，但其实非常有趣。
让我们一起揭开这个谜团，看看怎么找到这个最小值吧！2. 问题背景2.1. 定义问题设想我们有一个圆和两个定点A和B。
在这个圆上，有一个点P在移动，我们关心的是，从点A到点P的线段长度加上从点P到点B的线段长度的和，也就是AP + PB的和。
这种情况下，我们想找出这个和的最小值。
2.2. 问题的意义这个问题在现实生活中其实有点像“走最短的路”。
比如你在城市里走路，要从家到公司，你会选择最短的路径，减少走的距离。
在几何中，这个最小值也就是我们要寻找的目标。
3. 方法探讨3.1. 对称性分析先来简单理解一下，对称性是如何帮助我们解决问题的。
我们可以把点A和点B看成两个固定的点，圆上的点P可以移动。
如果我们把圆外的点A和B连接起来，形成一条线段，然后再考虑圆的对称性，这样我们可以发现，从点P到A和B的总距离，其实可以用镜像反射的技巧来简化。
3.2. 反射法来个小窍门，设想把圆以点P为对称中心，进行镜像反射。
这样，圆上的点P变成了圆外的点P'。
这时候，我们可以得到从点A到点P加上从点P到点B的最短路径等于从点A到点P'的直线距离。
听起来是不是很简单？4. 解决过程4.1. 几何直观好啦，现在我们开始具体计算了。
通过反射，我们就可以知道最短路径的长度是线段AP' + P'B。
因为线段AP'是直线段，而圆上的任何点到这个直线段的距离都不会比直线段的长度长。
所以最短的总和就是AP' + P'B，也就是我们最初所说的最小值。
4.2. 代数验证为了更加确信，我们也可以通过代数方法来验证一下。
假设圆心为O，半径为r，那么AP + PB的最小值就等于A和B之间的距离。
这个距离可以通过简单的几何公式或者代数运算得出，结果是最小值等于线段AB的长度。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
求线段和的最小值
三门九年制学校 温晓艳
一、复习回顾
一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A、B处距河岸的距离分别是 AC=500m，BD=700m，且C、D两地间距离也为500m，天黑前牧童 从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．牧童 应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．并求出最短路程。
O
P M A’
5、在二次函数图象中求线段和的最小值
（7）、抛物线 y
1 2 x x 2 顶点为A，与Y轴交点为 4
B。点P是x轴上的一个动点,则PA+PB的最小值是多少？
解：易得A(2,1),B(0,2), 作点B关于x轴的对称点B’（0，-2） 连接AB’交x轴于点P,此时PA+PB最小为 AB’= 13
y B O B’ P
A x
检测：
1、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD ＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最 小时，PB的长为______． 2、如图，菱形ABCD中，AB、AD的中点E、F，P为BD上任一点， 当P在何处时，PE+PF最小，最小值是多少？ 3、如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2， N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 ．
A E 2 M 6
法二：过点E作EF ⊥AD，垂足为F。
A E 2 F M B 6
B
F D
C
D
C
由 AEF ~ ABD, 可得 EF=1,AF=
3
在Rt△BEF中，∠ B=60°，BE=4.可得
EF= 2 3 ,BF=2. 在Rt △EFC中，FC=4，因此CE=
(完整版)初中几何中线段和与差最值问题
三、其它非基本图形类线段和差最值问题
1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
压轴题
1、如图，正比例函数 的图象与反比例函数 （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.
2、如图，一元二次方程 的二根 ， （ ＜ ）是抛物线 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求点D的坐标；
（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？
若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mmm mA Bmn m nn m nnnm B（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nmnmnm（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：mmmmQ Q练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．6、 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．Q7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
垂线段最短模型(解析版)
垂线段最短类型垂线段最短两条线段和的最小值问题图示特点直线l 外一定点A 和直线l 上一动点B点P 是∠AOB 内部一点,点M ,N 分别是OA ,OB 上的动点结论过点A 作AB ⊥l 于点B ,此时AB 的值最小作点P 关于OB 的对称点P ',过点P '作OA 的垂线,分别与OB ,OA 交于点N ,M ,此时PN +MN的值最小1.找模型遇到“一定点两动点”求线段和(其中一条线段为两动点的连线)最值问题，考虑垂线段最短模型2.用模型通过对称的性质，三角形的三边关系及垂线段最短确定最值点位置满分技法:求线段和最值实质上是将线段和转化到一条直线上，结合垂线段最短解决问题结论：作点P 关于OB 的对称点P '，过点P '作OA 的垂线，分别与OB ,OA 交于点N ,M ,此时PN +MN 的值最小证明:如图,若M ',N '为OA ,OB 上任意一点,连接N 'P ',M 'P ',则PN =P N ,∴当P 'M ⊥OA 时,PN +MN 的值最小.思考延伸:经典的“胡不归”就是垂线段最短问题1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的平分线,点E 是AB 上任意一点,若AD =5,AC =4,则DE 的最小值为()A.3B.4C.5D.6思路点拨:遇到角平分线和垂直，想到角平分线上的点到角的两边的距离相等.A 【解析】在Rt △ACD 中,∵AD =5,AC =4,∴CD =AD 2-AC 2=52-42=3,当DE ⊥AB 时,DE 的值最小(垂线段最短),∵AD 是∠BAC 的平分线,∠C =90°,∴CD =DE (角平分线性质)，∴DE 的最小值为3.2.模型构造如图,在△ABC 中,AB =4,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,E ,F 分别是AD ,AB 上的动点,则BE +EF 的最小值是.思路点拨：求线段和最小值，一定点两动点，先转化在一条线段，再利用垂线段最短求解即可。
例说利用几何变换求线段和的最小值
例说利用几何变换求线段和的最小值作者：张海华潘从清来源：《教育界·中旬》2015年第05期新课程改革及新中考改革，都要求学生学会自主学习，尝试探疑，发现知识，寻找规律。
故近年各地中考热点之一是动手操作性的探索问题，即通过已知条件，结合数学经验，经过几何图形变换探索其内在联系，发现规律，得出结论。
利用几何变换求线段和的最小值，就属于此类题型。
本文结合具体的例子说明如何利用几何变换求线段和的最小值。
一、利用图形的对称变换1.求两条线段和的最小值例1.如图1已知AB为⊙O的直径，AB=4，OC⊥AB于O，点D在弧BC上，2倍的弧BD等于弧DC，点P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为。
解析：由OC⊥AB于O知，延长CO交⊙O于点E，则点C、点E关于AB对称，连接DE交OB于P，则PC=PE，此时PC+PD=DE最小，连接DC，则∠CDE=90°，又因为2倍的弧BD等于弧DC，所以∠E=30°，则DE=CE·cos30°=4×=，则PC+PD的最小值为。
例2.（2004年黑龙江省中考试题）如图2，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC边上，且DM=2，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为。
解析：注意到正方形关于对角线AC对称性，连接BN、BM，则DN+MN=BN+MN≥BM （B、M、N共线时等号成立）。
又根据两点间线段最短知，当B、M、N共线时，DN+MN转化为线段BM，此时最短，由条件可得BM=10。
所以DN+MN的最小值为10。
2.求几条线段和的最小值例3.（初中数学奥林匹克竞赛教程）如图3，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，两边上各有点Q、R（均不同于O），则△PQR周长的最小值为。
解析：作P关于OA、OB的对称点，根据对称性质可知PQ=P1Q，PR=P2R。
即求P1Q+QR+ P2R的最小值，由两点间直线距离最短，可知当Q、R分别为P1 P2与OA、OB的交点时，P1Q+QR+ P2R值最小。
初中数学求线段最值的方法
初中数学求线段最值的方法初中数学中，求解线段的最值是一个基本的问题，它可以用来优化一些实际问题的解法，例如最短路径、最大收益、最小支出等。
本文将为大家介绍在初中数学中求解线段最值的方法，包括整体流程和每个环节的详细描述。
一、问题描述和基本概念假设有一条直线段AB，其中A(x1,y1)和B(x2,y2)是已知的点。
我们的问题是如何求出该直线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
我们需要了解一些基本的概念和知识：1. 直线段：由两个端点确定的线段，其中端点A是起点，端点B是终点。
2. 函数：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素的规则。
通常用f(x)表示函数。
3. 函数的最值：给定一个函数f(x)，若存在x1，x2∈D，使得f(x1)≥f(x) ∀x∈D 或f(x2)≤f(x) ∀x∈D，则称f(x)在D上取得最大值或最小值。
4. 坐标系：用于描述点或图形位置的平面直角坐标系，由x轴和y轴组成、原点为(0,0)。
5. 勾股定理：在直角三角形ABC中，设直角边分别为a,b,斜边为c，则有c²=a²+b²。
二、分析求解思路和方法对于我们的问题，我们可以用函数来描述直线段AB上每个点P(x,y)的值。
为了方便，我们通常称这个函数为f(x)。
如果我们要求f(x)的最大值，则需要寻找使得f(x)取得最大值的点x值。
同理，如果我们要求f(x)的最小值，则需要寻找使得f(x)取得最小值的点x值。
基于这个思路，我们可以考虑用以下的方法来求解线段最值：1. 明确问题：首先需要明确问题的具体描述和目标，即要求线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
2. 理解数据：仔细查看题目给定的图形或数据，注意理解每个点的坐标和重要的约束条件。
3. 定义函数：用函数f(x)来描述线段上每个点P(x,y)的值，需要注意函数的定义域D，即x的取值范围。
4. 求解方法：根据问题的不同，可以选用合适的求解方法来求解线段的最值。
两定点到圆上一动点的线段和最小值
两定点到圆上一动点的线段和最小值哎呀，这道题目可真是让人头疼啊！不过，既然咱们来了，那就得好好聊聊这个话题。
话说，两定点到圆上一动点的线段和最小值，这个问题可是涉及到了数学的奥秘哦！不过，别担心，我这个“数学小白”也会尽力给大家讲解清楚的。
咱们得明确一下这个问题的背景。
假设我们有两个定点A和B,以及一个圆心O。
我们需要找到一条线段AB,使得这条线段经过圆心O,并且它的长度最短。
这个问题的解决方法其实很简单，就是利用勾股定理和三角函数来求解。
我们需要知道圆心O到两个定点A和B的距离。
假设OA和OB分别是两个距离，那么根据勾股定理，我们可以得到AB的长度为：AB = sqrt(OA^2 + OB^2)接下来，我们需要找到一条线段AB,使得它经过圆心O。
这其实也很简单，因为圆心O到两个定点A和B的距离已经给出了，所以我们只需要找到一个角度θ，使得cos(θ) = (OA/AB) / (OB/AB)。
这样一来，我们就可以得到线段AB的长度了。
我们需要找到这条线段AB的长度的最小时值。
这个问题的解决方法其实也很简单，就是利用三角函数来求解。
我们知道，sin(θ) = 对边/斜边，cos(θ) = 邻边/斜边。
所以，我们可以得到：AB^2 = OA^2 + OB^2 2 * OA * OB * cos(θ)将上面的公式代入cos(θ)的表达式，我们可以得到：AB^2 = OA^2 + OB^2 2 * OA * OB * (OA/AB) / (OB/AB)化简一下，我们可以得到：AB^2 = OA^2 + OB^2 2 * OA * OB * (OA^2 + OB^2) / (OA * AB + OB * AB)这就是我们要找的线段AB的最短长度公式啦！这个公式还有一个变形版本，就是：AB^2 = (OA^2 + OB^2) * (1 + sin^2(θ)) / (1 + sin^2(θ))这个公式可以用来求解任意两个定点A和B之间的最短距离。
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求线段最小值“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+P撮小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助.，、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1,在锐角三角形ABC中, AB=4 , / BAC=45，/ BAC的平分线交BC于点D M,N 分别是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值为分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法.我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决.解：如图1,在AC上截取AE=AN连接BE因为/BAC 的平分线交BC于点D,所以/ EAM N NAM又因为AM=AM 所以△ AME^^ AMN所以ME=M N所以BM+MN=BM+MEE•因为BM+M有最小值•当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4,以BM+MI的最小值是4•故填4.1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2 （2010山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CI的最小值为―B D F C图2分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可.解：因为等边厶ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE 交AD于点M 这就是EM+CI最小时的位置，女口图5所示，因为CM=BM 所以EM+CM=BE过点E 作EF丄BC垂足为F,因为AE=2 AC=6所以EC=4在直角三角形EFC中，因为EC=4, / ECF=60 °，/ FEC=30 ° ，所以FC=2,EF=/防=、加』=2历.因为BC=6 FC=2所以BF=4.在直角三角形中，BE=H4」-J：•BEF=阪=2祈.1、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD 中，/ ABC= 90°, AD// BC, AD= 4, AB= 5, BC =6,点P 是AB上一个动点，当PS PD的和最分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E,连接CE交AB于点P,此时PC+ PD和最小，为线段CE 因为AD= 4,所以AE=4因为 / ABC= 90°, AD// BC,所以/ EAP= 90°.因为/ APE^Z BPC所以厶APE^A BPC 所以AS _AP 4_AP 2 _AP .因为AE=4 BC= 6,所以厂三，所以：，2 +3 _ AP+PB _ AB _5所以,因为AB= 5,所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4 如图4,等腰梯形ABCCD K AB=AD=CD=1 Z ABC=60 , P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB 的最小值为分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D,这是解题的一个关键点•其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键.解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A,连接BD交EF于点P,此时P冊PB 和最小，为线段BD.过点D作DGL BC垂足为G,因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1 / ABC=60，所以/ C=60 , Z GDC=30，所以1 历GC=,DG= 一.因为Z ABC= 60°，AD// BC，所以Z BAD= 120 ° .因为AB=AD 所以Z ABD=/ ADB=30，所以Z ADBC=30，所以BD=2DG=1_ -3 .所以PA+PB的最小值为匚.2.3在菱形中探求线段和的最小值例5 如图5 菱形ABCD中, AB=2 Z BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值为分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D,连接DE交AC于点P,此时PE+ PB 和最小，为线段ED.因为四边形ABCD是菱形，且/ BAD=60，所以三角形ABD是等边三角形.因为E是AB的中点，AB=2所以AE=1, DE 丄AB 所以==门•所以P曰PB的最小值为2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD勺边长为8,点M在DC上，且DM=2 N是AC上的一个动点，贝V DN+MN的最小值分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B,连接BM交AC于点N,此时DW MN 和最小，为线段BM因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8因为DM=2所以MC=6所以BM= 一二-=10.所以DN+MN勺最小值为10.例7 （2009?达州）如图7,在边长为2cm的正方形ABC冲，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB PQ则厶PBC周长的最小值图7分析：在这里△ PBQ周长等于PB+PQ+B，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1,所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PC的和最小问题.因为题目中有一个动点P, 两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：如图7所示，根据正方形的性质知道点B 与点D关于AC对称，连接DQ交AC于点P,连接PB.所以BP=DP 所以BP+PQ=DP+PQ=g Rt△ CDC中，DQ=^^=匚，所以△ PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ+1 •故答案为"+1.三、在圆背景下探求线段和的最小值例8 （2010年荆门）如图8, MN是半径为1 的O O 的直径，点A在O O上，/ AMN= 30°, B 为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA + PB的最小值为（）(A)2 , (B)庞(C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D, 连接DB则线段和的最小值就是线段DB的长度.解：如图8,作出点A的对称点D连接DB OB,OD因为/ AMN= 30°, B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30 °,弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°.根据圆心角与圆周角的关系定理得到：/ BON k 30° .由垂径定理得：弧DN的度数为60°.所以/ BOD=Z BON +/ DON=30° +60° =90° .所以DB二丄丄一〒=」「■所以选择B.四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9,正比例函数y=i kx的图象与反比例函数y=, （k疋0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M已知三角形OAM勺面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1,在x 轴上求一点P,使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键.要想确定出PA+PB勺最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB勺和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了.解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A 在第一象限，所以OM=x,AM=y因为三角形OAM勺面积为1,所以2 '"■■■所2以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=・12 2 ]（2）因为y=ix与y=.相交于点A,所以..=x，解得x=2，或x=-2.因为x>0，所以x=2，所以y=1,即点A的坐标为（2, 1）•因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，ik+b = -2-2）・设直线AD的解析式为y=kx+b '所以「一，解得k=3, b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，5 5当y=0时，x=：，所以当点P在C，0）时，PA+PB 的值最小.五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,门），△ AOB 的面积是，二（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O B的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点。
,使厶AOC勺周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；图10分析：在这里△ AOC周长等于AC+CO+AO而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO 的和最小问题.因为题目中有一个动点C,两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：(1)由题意得：卜血所以OB=2因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为(-2，)；(2)因为B(-2,0),O(0,0), 所以设抛物线的解析式为：y=ax (x+2),将点A的坐标为(1，匸）代入解析式得：3a=「，所以a-,所以函爲 273数的解析式为y x.（3）存在点C.如图10,根据抛物线的性质知道点B与点0是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C,此时△ AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E.过点A作AF垂直于x轴于点F,则BE=E0=EF=1.BE CE因为△ BC0A BAF,所以一,1■空历所以一',所以CE=.因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1 , 一-）・六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11 （2010年天津）如图11,在平面直角坐标系中，矩形」：的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3 OB=4 D 为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△ CDE勺周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2, 当四边形CDEF勺周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中.解：（1）如图12,作点D关于x轴的对称点 "，连接CD与x轴交于点E,连接DE.若在边0A上任取点丁（与点E不重合），连接C、D、人.由D^+ C=DT+ C>CD f= D囲+CE=DE+CE所以△「一的周长最小.因为在矩形OACBK OA=3,OB=4,D为0B的中点，所以BC=3, DO= O=2.所以点C的坐标为（3, 4）,点的坐标为丄，（0, Ji =-2-2 ）,设直线C L的解析式为y=kx+b,则1 :-, 解得k=2, b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2 , 令y=0,则x=1，所以点E的坐标为（1, 0）;（2）如图13,作点D关于x轴的对称点：，在CB 边上截取CG=2连接DG与x轴交于点E, 在EA上截EF=2.因为GC// EF, GC=EF所以四边形GEF（为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACBK OA=3,OB=4,D为0B的中点，CG=2所以BC=3, DO= O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1,4），点的坐标为L（0，护二-2-2 ），设直线G r的解析式为y=kx+b，贝则I —〔，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，1 1令y=0，则x=，所以点E的坐标为（1，0）,1 7所以点F的坐标为（1 +2，0）即F的坐标为（一：，0）卅E0 .12。