奥数第10讲--生活中趣味的数学
小学五年级奥数第10讲 数阵(含答案分析)
第10讲数阵一、知识要点填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。
这里，和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。
待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。
把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
二、精讲精练【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。
练习1：1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。
2.把1—9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。
3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
练习2：1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。
2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
第1题第二题第三题【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
练习3：1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。
3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。
第1题第二题第三题【例题4】将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
练习4：1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。
【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第十讲 作图法解题 人教版(含答案)
第十讲作图法解题第一部分：趣味数学谁是作业本的主人在学完乘法分配律后，老师发现一作业本的姓名一栏写着：木（1+2+3）。
老师问：“这是谁的作业本？”一个学生站起来：“是我的。
”老师：“你叫什么名字？”学生：“木林森！”老师：“那你怎么把名字写成这样呢？”学生：“我用的是乘法分配律！”老师很开心的说：“那木（0.1+0.2+0.3）就是我们班的小木林森喽？”第二部分：奥数小练【例题1】五（1）班的男生人数和女生人数同样多。
抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。
五（1）班原有男、女生各多少人？【思路导航】根据题意作出示意图：从图中可以看出，由于女生比男生多抽去26－18=8名去合唱队，所以，剩下的男生人数是女生人数的3倍，而这8名同学正好相当于剩下女生人数的2倍，剩下的女生人数有8÷2=4名，原来女生人数是26＋4=30名。
练习一：1.两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。
这两根电线原来共长多少厘米？2.甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。
原来两筐水果各有多少个？3.哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。
哥哥原来存有多少钱？【例题2】同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。
红花比紫花多几朵？【思路导航】通过线段图来观察：从图中可以看出：红花比紫花多的朵数由两部分组成，一部分是36朵，另一部分是12朵，所以，红花比紫花多36＋12=48朵。
练习二：1.奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。
奶奶家养的鸡比鹅多几只？2.批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。
运来的香蕉比苹果少多少筐？3.期末测试中，明明的语文得了90分。
数学比语文和作文的总分少70分。
小学数学奥数解题技巧 第十讲 分组法
【点拔】
该村原有的水田比旱田多230亩，今年把35亩旱田改为水田，则今年 水田比旱田多出230+35×2= 300（亩）。根据今年水田的亩数正好是旱 田的3倍，以今年旱田的亩数为1份数，则水田比旱田多出的300亩就正 好是2份数
24000÷400=60（个） 24000粒大豆的重量是： 80×60=4800（克） 综合算式： 80×（24000÷400）=4800（克）
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小升初数学解题技巧 第11讲 份数法
（六）以份数法解反比例应用题 成反比例的量有这样的性质：如果两种量成 反比例，那么一种量的任意两个数值的比， 等于另一种量的两个对应数值的比的反比。 含有成反比例关系的量，并根据反比例关系 的性质列出比例式来解的应用题，叫做反比 例应用题。 这里是指以份数法解反比例应用题。
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小升初数学解题技巧 第11讲 份数法
【例题】 某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树 棵数的3倍。求杨树、槐树各有多少棵？
【点拔】
把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是 （3+1）份数。
因此，得： 320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树 80×3=240（棵）…………………杨树
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小升初数学解题技巧 第10讲 分组法
【例题】 院子里有一群鸡和一群兔子，共有100条腿。已知兔子 比鸡多一只，求有多少只鸡，多少只兔子？
【思路导航】
因为兔子比鸡多一只，所以去掉这一只兔子后，鸡兔共有腿： 100-4=96（条） 因为去掉一只兔后，鸡兔的只数一样多，所以可以把一只鸡和一只 兔作为一组，每一组鸡、兔共有腿： 4+2=6（条） 一共有多少组鸡、兔，也就是有多少只鸡； 96÷6=16（组） 一共有兔： 16+1=17（只）
小学数学四年级奥数讲与练第10讲：《数字谜(二)》(含答案)
第10讲：数字谜（二）（含答案）例1 把下面算式中缺少的数字补上：分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。
四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。
由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。
（1）填百位与千位。
由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。
（2）填个位。
由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。
（3）填十位。
由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。
所求算式如右式。
由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。
例 2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。
从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。
如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。
此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。
因此“学”≠2。
如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。
百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。
满足条件的解如右式。
（2）由千位看出，“努”=4。
由千、百、十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。
同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。
一年级数学奥数第10讲：数字找规律-教案
伊嘉儿数学春提高版一年级课题数字找规律教学背景学校已经学过简单的加减法。
教学目标1、准确数出图形的个数；2、找出数字间的规律并会进行补充。
教学重点根据规律填写数字。
教学难点找出数字间的规律。
组织架构（人）策略流程方法：教学准备PPT教学环节环节时长环节目标策略流程方法论第一课时导入6分钟让学生理解规律的含义，并会发现简单的规律。
1.出示图片，让学生观察；2.请学生说出图片中的特点（引出规律）3.让他们根据发现的规律说出下面的图形。
例题一10分钟引导学生发现图形中的规律。
1.首先请学生总结之前的规律；2.根据题目，让学生把图形个数数出来，从图形转化成数字；3.根据图形的规律完成题目；4.引导学生根据答案发现数字间的规律。
练习一6分钟检验学生掌握情况。
1.让学生依次写出各图中三角形的数量；2.写出三角形增加的数量；3.找出其中的变化规律；4.根据规律写出答案。
例题二10分钟引导学生发现数字中的简单规律。
1.给学生一定的时间自己解决例二；2.找学生回答；3.老师再总结其中的规律。
练习二5分钟检查学生能否发现数字中的规律。
1.让学生个人竞速；2.速度快的学生上台讲解；3.老师进行总结。
小结5分钟让学生对数字的规律有深刻的认识。
1.回顾上节课的图形规律；2.结合这节课的内容，请学生对数字的规律进行总结。
第二课时例题三13分钟为学生总结常见的几种规律，使学1.让学生观察数字是否有规律，提问；生能够不受错误顺序的干扰，准确找出数字间的规律。
2.老师下结论这些数字没有规律，题问能否通过移动两个数字的位置使这些数字有规律；3.引导学生发现部分数字的规律，再提问需要移动的数字是哪些；4.总结移动后的数字锁总结出的规律。
练习三6分钟锻炼学生寻找规律的能力，给学生表现机会。
1.让学生自行思考，提示先通过几个数字找到其中的规律；2.让学生来阐述他的思路；3.老师进行引导总结。
例题四12分钟学生除了能找到简单的数字规律以外，还能分组找规律。
四年级数学思维训练导引(奥数)第10讲 平均数问题
第十讲平均数问题1．阿奇参加射击比赛，他一共打了10枪，每枪都射中靶子，位置如图10-1中的“×”所示．图中数字表示击中靶子各部位能得到的分数，请问：阿奇此次打靶的平均分是多少？2．请求出103，109，105，101，110，102，106，104这8个数的平均数．3．飞碟工厂一周生产的机器台数的统计表破损了，如图10-2所示，表中缺少几个数字，请你根据这张统计表，求出星期三和星期四的产量.4．甲、乙、丙、丁四个小队拾松果，甲、乙、丙三队平均每队拾24千克，乙、丙、丁三队平均每队拾26千克．已知丁队拾28千克，那么甲队拾多少千克？5．阿奇参加了5次天文知识竞赛，平均分是82分，如果不算分数最高的那次，其余4次的平均成绩为80分，阿奇这5次竞赛的最高分是多少？6．张村有25户人家，李村有20户人家，去年张村平均每户收入4.4万元，李村平均每户收入 3.5万元．去年两村平均每户收人多少万元？今年李村有3户人家收入增加，这3户平均每户多收入6000元．请问：今年两村平均每户收入多少万元？7.8个数的平均数为50，若把其中的一个数改为90，平均数就变成60.被改动的数原来是多少？8．小悦参加了若干次考试，在最后一次考试时她发现：如果这次考试得97分，那么她的平均分是90分；如果这次考试得73分，那么她的平均分数是87分，小悦一共参加了多少次考试？9．宇宙汽车厂有甲、乙两个车间生产零件，甲车间有57名工人，每人每天平均生产132个零件，乙车间每人每天平均生产163个零件，两个车间每人每天平均生产144个零件．请问：乙车间有多少名工人？10.甲、乙、丙三个班的人数分别为45、57、54.已知甲班的平均分为91.5分，乙班的平均分为89.5分，三个班的总平均分为92.5分，求丙班的平均分．1．有鸡、鸭、鸽子、麻雀四只小动物，鸽子重0.6千克；鸡的重量比鸽子的2倍少0.2千克；鸭的重量比鸡多0.5千克；麻雀的重量比鸽子少0.4千克．求这四只动物的平均重量．2．求下列20个数的平均数：306，312，306，308，314，304，318，311，313，315, 314, 310, 310, 320, 300, 316, 320, 312, 314, 315.3．小悦在商场买了3斤水果糖、1斤花生糖和2斤奶糖．已知水果糖每斤8元，花生糖每斤7元，奶糖每斤10元．问：小悦买的糖果平均每斤多少钱？4．四年级一班有6名女学生，她们的平均身高是140厘米，如果她们当中有1人离开，剩下5人的平均身高就变成135厘米，请问：离开的那个女生身高是多少厘米？5. 35个数排成5行7列．7列的平均数分别为39、41、40、45、42、39、41，前4行的平均数分别为42、39、44、41.请求出最后一行的平均数．6．汽车配件厂有150名工人，平均每人每天能生产200个零件．后来部分工人的设备被改良了，这些工人每人每天可以多生产30个零件，此时工厂平均每人每天能生产213个零件．请问：有多少名工人的设备被改良了？7．黑板上有7个数，平均数为55.如果把其中一个数改为140，则平均数变为64，求被改动的数是多少．如果再将其余6个数都乘以2，求此时7个数的平均数．8．甲班有33人，乙班有22人．在一次考试中，甲班的平均分是80分，甲班和乙班的总平均分是82分，求乙班的平均分．9．某单位男职工人数是女职工人数的2倍，男职工的平均年龄是31岁，女职工的平均年龄是40岁．请问：该单位全体职工的平均年龄是多少岁？10.甲班有25人，乙班有75人，甲班和乙班的总平均分是90分，如果甲班的平均分比乙班的平均分高5分，那么乙班的平均分是多少？11.功夫小学四年级一班和二班共有学生100名．在一次数学考试中，两班学生的总平均分是"75.4分，其中一班的平均分是73分，二班的平均分是78分，请问：一班和二班的人数之差是多少？12.冬冬期末考试语文、数学、英语、地理、历史五科中的四科成绩如下：语文88分，数学99分，地理94分，历史95分，英语成绩比五科的总平均分低2.4分，冬冬英语的得分是多少？1．小明参加了六次数学测验，这六次测验有一个总平均分，后四次测验的平均分比总平均分多3分，第一次、第二次、第六次这三次测验的平均分要比总平均分少3.6分．请问：前五次测验的平均分与总平均分相比，高还是低？差多少分？2．A、曰、C、D、E这五人在一次满分为100分的考试中，得分互不相同，并且都是大于91的整数，如果A、B、C三人的平均分为95分；B、C、D三人的平均分为94分；A是第一名；E得96分是第三名，请问：D考了多少分？3．老师在黑板上写出了若干个从1开始的连续自然数1，2，3，…，后来擦掉其中的一个数，剩下的数的平均数是10.8.求被擦掉的那个自然数．4．四年级五班有50名同学，在一次数学考试后，王老师把这些学生按成绩排了名次，发现前30名的平均分比后20名的平均分多12分，一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均分加上后20名的平均分，再除以2，错误地认为这就是全班同学的平均分．这样做全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高或降低了多少分？5．某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人．现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，那么得二等奖的学生的平均分就提高了1分，得一等奖的学生的平均分就提高了3分．请问：原来一等奖学生的平均分比二等奖学生的平均分多多少？6．小新家有5口人，分别是：爷爷、奶奶、爸爸、妈妈还有小新．今年，爷爷75岁，奶奶比5人的平均年龄大26岁，爸爸34岁，妈妈比5人的平均年龄小13岁，小新又比妈妈小21岁．请你根据以上的信息，求出小新刚出生时爸爸多少岁．7．一次考试，男生的平均分比总平均分高2分，女生的平均分比总平均分低l分．男生的总分数是942分，女生的总分数是1800分．求：男、女生各有多少人？8．少年歌手大奖赛的裁判小组由若干人组成．每名裁判员给歌手的评分最高为10分．第一名歌手演唱后的得分情况是：全体裁判员所给分数的平均分是9.64分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.60分；如果只去掉一个最低分，则其余裁判员所给分数的平均分是9.68分，请问：所有裁判员所给分数中的最低分最少可以是多少？这时，大奖赛的裁判员共有多少名？。
四年级奥数(教案)第10讲：图形的拼割
（四年级）备课教员：×××第十讲图形的拼割一、教学目标： 1. 四年级奥数（教案）第10讲：图形的拼割2. 通过观察、操作,初步感知所学图形之间的关系。
3. 通过大量拼摆图形,发现图形中由简单到复杂的变化及联系,感受图形美。
4. 通过数学活动,培养用数学进行交流、合作探究和创新意识。
二、教学重点：发现并感知图形之间的变化及联系三、教学难点：掌握基本图形的构成方式,抽象思维能力的培养,引导创新的意识。
四、教学准备：PPT；每个小组发一个信封（里面装五种“俄罗斯方块”图形各4张、四个相同正方形,六个相同的长方形,六角星1个,每个小组发一副七巧板）；一把小剪刀。
五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：出示阿尔法的小车（这个车是由三角形、长方形、正方形、圆形等图形组成的。
）师：引导学生观察：看了阿尔法的小车,你有什么发现？生：发现很多不同形状的图形。
师：揭示课题：聪明的阿尔法用一些简单的图形就拼组出了那么漂亮的小车子,今天这节课咱们也来学习——《图形的拼割》。
（板书课题：图形的拼割）二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）你玩过“俄罗斯方块”的游戏吗？如果让你用游戏中几个相同的图形去拼成一个正方形,你会怎样拼呢？（俄罗斯方块）师：你们有玩过手机游戏吗？生：有。
师：那都有玩过什么样的游戏呢？生：（自己解答）师：俄罗斯方块,不知道大家玩过没？里面都会出现哪种的图形？生：（自由回答）师：我们常见的是不是有这些？（出示俄罗斯方块）T字型闪电型 L型田字型一字型师：今天我们就来一起玩一下俄罗斯方块。
生：可以。
师：我们都知道玩俄罗斯方块的时候当凑成一排以后,会自动消失掉,现在我们改一下规则,我们用一个正方形来代替这个玩法。
师：如果要你用几个相同的图形组成一个正方形,你最少要用几个？生：因为正方形的四个边都相等,而这些图形都是由四个小正方形组成的,所以我们最少要用到四个这样的图形才能组成一个正方形。
四年级上册数学奥数思维训练(第10讲)有趣的逻辑推理
第10讲有趣的逻辑推理逻辑推理是小学数学中一项十分重要的内容。
在解决此类问题时，不需要作过多的计算，甚至一点也不需要计算，它是依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。
逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解务件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。
例1一个正方体6个面上分别写着1，2，3，4，5，6。
根据下图摆放的三种情况，判断每个数字对面上的数字是几。
练习一1.有一个立方体，每个面上分别写有字母A、B、C、D、E、F。
从三个不同的角度看的结果如下图所示。
请问：这个立方体的每个字母的对面分别是什么字母?2.如下图有四个立方体，每个立方体的六个面上A、B、C、D、E、F六个字母的排列顺序完全相同。
那么字母A的对面是。
字母B的对面是。
字母C的对面是。
例2小红、小张和小江在一起，他们的职业分别是工人、农民、战士。
现在知道：(1)小江比战士年龄大；(2)小红和农民不同岁；(3)农民比小张年龄小。
请你想一想：谁是工人?谁是农民?谁是战士?四年级数学思维训练姓名：1.甲、乙、丙三个同学分别参加了美术、音乐、舞蹈课外活动小组，而且知道：A．甲不喜欢跳舞；B．丙是个男孩，个子比参加音乐小组的同学高；C．参加舞蹈小组的那个同学是小维的姐姐。
请问：这三个同学分别参加了哪个课外活动小组?2.甲、乙、丙三名教师分别来自北京、上海、广州，分别教数学、语文和英语。
已知（1）甲不是北京人，乙不是上海人；（2）北京的教师不教英语；（3）上海的教师教数学；（4）乙不教语文。
那么丙教什么？。
例3甲、乙、丙三人做竞赛题。
有人做对l题，有人做对2题，有人做对3题。
老师问他们三人分别做对了几题，甲说：“我做对2题。
”乙说：“我做对题最多。
”丙说：“我做对不是2题。
事后得知，三人中只有一人说错。
问：甲对几题题，乙对几题，丙对几题？练习三1.在学雷锋活动中，学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了A、B、C三人进行谈话。
二年级下册数学试题-奥数思维训练：第十讲 我是推理小能手(解析版)全国通用
第十讲我是推理小能手【精品】推理是一年级知识体系中较难的一个知识点，本节课把我们学过的几种推理问题（等量代换、图形推理、语言推理）进行系统的复习.让学生感知到这几种不同类型问题的相通，进而能更好的掌握推理的一般方法.特别是等量代换，老师要引导学生找到解决问题的突破口，从突破口推断出等式的未知数，从而得到正确答案.数学乐园森林里有三间一模一样的房子，主人分别是小鹿、小猴、小兔.为了让大家能找到它们，所以就把写有自己名字的牌子挂在自己家门上.有一只狡猾的狐狸，把它们房子的牌子都换了，这时牌子和里面的主人都对不上号.这可怎么办啊？小狗还想去找小猴玩儿呢，动动脑，有办法了，聪明的小狗对狐狸说：“我只需要敲响一间房子的门，知道里面是谁，就能把门牌恢复原样了.”狐狸不相信小狗的话，结果当小狗敲开第一家门，看见这个房子的主人后，很快就把门牌换回来了.小朋友，你知道小狗是怎么做的吗？【教学思路】门牌调换后，现在的门牌和屋子的主人对不上号.屋子的主人是不变的，只有门牌被调换了.如图：假如小狗敲第一家，里面住的是小鹿，那么我们就可以把标有小鹿的门牌找回来.这时还剩下小兔和小猴的牌子要重新挂.看第三幅图，挂有小猴门牌的房子里面住的肯定不是小猴，那就是小兔.最后剩下的房子肯定就是小猴的了.在进行推理的时候，老师要结合图片来进行直观的分析.小朋友们，你们一定非常敬佩那些神勇无比的大侦探吧！不管什么时候他们都能抓住问题的关键，顺藤摸瓜很快找到问题的结果.遇到问题的时候，其实只要我们也能抓住问题的关键，一步步去推理分析，我们也能跟大侦探一样，很快的解决问题.今天这节课我们就从这些小小的数学问题开始吧！等式推理求出下列各图形表示的数各是多少？【教学思路】（1）◇+◇+◇=6，◇=2；口-◇=16，那么口-2=16，口=( 18 )．（2）☆-4=12，☆=16；○+☆=20，那么○+16=20，○=4；●+○=19，那么●+4=19，●=( 15 )．（3）因为■=4个◇，■=1个◆+2个◇.所以1个◆=4个◇-2个◇=2个◇.（4）把☆+⊙+⊙+⊙=21和☆+⊙+⊙+⊙+⊙=27进行比较，第二个式子比第一个式子左边多了一个⊙，右边多了6.所以⊙=6.因为☆+⊙+⊙+⊙=21，所以☆+6+6+6=21，☆=3.已知：求：相信自己，你是最棒的！已知：◇+◇+◇=6，口-◇=16，求：口=( )．已知：☆-4=12，○+☆=20，●+○=19，求：●=( )．已知：■=◇+◇+◇+◇，■=◆+◇+◇，求：◆=( )个◇．已知：☆+⊙+⊙+⊙=21，☆+⊙+⊙+⊙+⊙=27，求：☆=( )，⊙=( )．【教学思路】由，可以判断＞.又因为，我们可以来试一试.当=1时，=8.1+8=9不等于11.当=2时，=9.2+9=11.符合.所以=2，=9.拓展练习已知：求：【答案】把两个式子的左边和右边进行比较，左边第二个式子比第一个式子多了一个菠萝，右边多了2千克.所以一个菠萝等于2千克.在下面的“？”处再放几瓶酸奶才能使天平保持左右平衡？【教学思路】因为1瓶小可乐=2杯酸奶，那么2瓶小可乐=4杯酸奶.又因为1瓶大可乐=2瓶小可乐+1杯酸奶，那么1瓶大可乐=4杯酸奶+1杯酸奶=5杯酸奶，所以5杯酸奶-3杯酸奶=2杯酸奶，再放2杯酸奶才能使天平保持左右平衡.拓展练习1、根据下面的已知条件，你知道1个苹果的重量等于多少个草莓的重量吗？【答案】1个橘子的重量=2个草莓的重量，那么2个橘子的重量=4个草莓的重量.因为1个苹果的重量=2个橘子的重量，所以1个苹果的重量=4个草莓的重量.2、在下图中“？”处放几个球才能使天平保持左右平衡？【答案】“？”处应该放2个球才能使天平保持左右平衡.图形推理下面的空格里应画上什么样的图案？【教学思路】前两行中每行3个脸型都分别是、、，所以第三行的第三个脸型应该画.再来看眼睛和嘴巴，第一行的眼睛和嘴巴都是一样的，第二行的眼睛和嘴巴也都是一样的.所以第三行的眼睛和嘴巴也应该一样，那么最后空格里面的图案应该是.想一想第三幅图应怎么画？【教学思路】我们发现这四幅图中，每个区域的图形个数是一样的，即：.不同的是每个区域里面的图形不一样.在这四幅图中，每幅图中都有、、、这四个图形.从第二幅图起，这四种图形按顺时针方向旋转.根据这一规律，第三幅图应画：.拓展练习1、在下图的“？”处画上适当的图形.【答案】我们发现前两行的图形，第二个方块中的图形减去第一个方块中的图形就是第三个方块中的图形.根据这个规律，“？”处应该画：.2、根据上面图形的变化规律，下面A～D答案中，哪个应该是第四个图形？【答案】应该选择B.语言推理“小百灵”四人合唱组由乐乐、笑笑、闹闹、哈哈组成.已知乐乐不是年龄最小的；哈哈不是最大的，但比乐乐大；闹闹不比其他三人大.请你把他们四人的年龄从大到小排一排.【教学思路】由“闹闹不比其他三人大”知道闹闹比其他三人都要小，所以闹闹是最小的.由“哈哈不是最大的，但比乐乐大”我们可以推出哈哈不是最大的，而是第二大的，乐乐是第三大的.那么很显然笑笑是最大的，则把他们按从大到小的顺序排一排应是：笑笑＞哈哈＞乐乐＞闹闹.在首届动物全能体操比赛中，参赛的6个小动物的成绩是这样的：（1）小鹿比小狗的分数少；（2）小兔比小猴的分数多，但比小鹿的分数少；（3）小松鼠没有小鹿、小兔的分数多，但比小猴的多；（4）小狗的分数比小青蛙的又要少一些.请你当一回裁判，给这些小动物排队列，你认为谁是冠军？谁是亚军？谁是季军？谁是最后一名？【教学思路】由“小鹿比小狗的分数少”我们知道小狗的分数排在小鹿的前面.由“小兔比小猴的分数多，但比小鹿的分数少”“小松鼠没有小鹿、小兔的分数多，但比小猴的多“我们可以推出排在小鹿后面的依次是小兔、小松鼠、小猴.最后由“小狗的分数比小青蛙的又要少一些”，可知小青蛙应该排在第一.这样这六个小动物排列的顺序应该是“小青蛙、小狗、小鹿、小兔、小松鼠、小猴”.冠军是小青蛙，亚军是小狗，季军是小鹿，最后一名是小猴.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）从左往右观察下图，你认为第四幅图应是A～D中的哪一个？【教学思路】第一幅图从上往下看有5个图案，去掉倒数第二个图就是第二幅图；第二幅图去掉倒数第二个图就是第三幅图；第三幅图去掉倒数第二个图就应该是第四幅图，所以第四幅图应该选择D.在下图中的“?”处放上几个小，才能使天平保持左右平衡?【教学思路】因为1个=3个，那么2个=6个.又因为2个=2个+2个，所以2个=6个－2个=4个．1个=2个．即：在“?”处放上2个才能使天平保持左右平衡.在李叔叔、王叔叔、张叔叔三个人中，有一位是教师，有一位是医生，有一位是职员.现在知道：（1）张叔叔比职员的年龄大：（2）李叔叔和医生不同岁；（3）医生比王叔叔的年龄小.请你想一想：谁是教师，谁是医生，谁是职员？【教学思路】由（2）和（3）可以得出：李叔叔不是医生，王叔叔也不是医生，所以张叔叔才是医生.由（3）可知：医生年龄＜王叔叔年龄，也就是：王叔叔年龄＞医生的年龄.则王叔叔年龄＞张叔叔年龄.又由（1）可得：王叔叔年龄＞张叔叔年龄＞职员年龄，所以职员一定是李叔叔，最后王叔叔一定是教师.练习十1. 求出下面算式中每个图形所表示的数．已知：△+△+△=10-1，求：△=( 3 )；已知：●=○+○+○+○，○=5，求：●=( 20 )；已知：12+■+■=20，求：■=( 4 )；已知：☆+●-●=25+10，求：☆=( 35 )．2.在下面的“？”处再放几个，才能使天平保持左右平衡？【答案】“？”处再放4个，才能使天平保持左右平衡.3. 根据前几幅图的规律，接着在“?”处方格里画图形．【答案】因为前三组图每组中都有“△”和“口”两个图形，“△”的个数后一组总比前一组少2个，“口”的个数后一组总比前一组多1个，所以接下去应画4个“口”，“△”不再画．即：4. 找规律.在第四幅图中的空白处画上合适的图形．【答案】前三幅中每个图都有““和“△”，从第一幅图开始，每个小图形按照顺时针方向移动一个位置．所以，第四幅图中应画：5. 同学们刚刚做完体检，李老师问四位同学的身高：丁丁说：“我比牛牛高．”依依说：“牛牛比我高．”齐齐说：“我比依依矮4厘米.”请你把这四位同学的身高按从高到矮的顺序排一排．【答案】这四位同学的身高按从高到矮的顺序是丁丁、牛牛、依依、齐齐．因为：由条件①可知：丁丁>牛牛；由条件②可知：牛牛>依依；由条件③可知：依依>齐齐；所以连在一起是：丁丁>牛牛>依依>齐齐．6.小白、小花和小灰，三只小兔子的年龄不相同.小灰说：“我不是最大的．”小花说：“我不是最大的但也不是最小的．”它们三只小兔子谁最大?谁最小?【答案】由小花说的，可以推出小花应在中间，是第二大的．由小灰说的，可以推出灰兔不是最大的，第二大的又是小花，所以灰兔是最小的，最后确定三个小动物中小白是最大的．老师，辛苦了！谁也别出声小敏、小慧今天又做了一个有趣的游戏在这个游戏中每人都要画圆圈，用圆圈组成一个三角形（图1）.这个游戏规定“谁也别出声.”它的意思就是：在游戏中谁也不能发出声音，谁说话了，他就停罚一次掷骰子.游戏的方法是这样的：1.两人轮流掷骰子，根据骰子数画圆.例如，小慧掷得3，画出第三排的3个圆.小敏掷得5，画出第五排的5个圆（图2）.2.如果骰子点数与前面重复了，可以把这个数分解，再按照分解的数画圆.例如，小慧又掷得3，3可以分成1加2，她就可以画第一排和第二排.如果第一排和第二排也已经画好了，她只得放弃这一次机会.3.谁先无声地用圆圈画成三角形，他就是胜利者.小朋友，你也找一个小伙伴，一起试着玩玩这个游戏，一定会觉得挺有趣味的.。
六年级金牌奥数培优-第 10 讲：数论之余数问题
第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。