浙江省台州市高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程3.2.2直线的两点式方程学案新人教A版2教案
(浙江专用)高中数学第三章直线与方程3.33.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学案新人教A版必修2
3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离目标定位 1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自 主 预 习1.两条直线的交点已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2. 3.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|4.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.即 时 自 测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)(2)两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的充要条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(√) (3)方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，表示经过直线l 1：∴A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的所有直线.(×)(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)提示 (3)无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2. 2.直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是( ) A.(1，2) B.(2，1)C.(1，1)D.(2，2)答案 A3.已知M (2，1)，N (－1，5)，则|MN |等于( ) A.5B.37C.13D.4解析 |MN |＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5. 答案 A4.已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________.解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.答案 a ≠2类型一 两直线的交点问题【例1】 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2，2).∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.规律方法 (1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2x ＋y ＋2＝0上.否则，会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线； ②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.【训练1】 求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程.解 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， ∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0，1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 把(0，1)代入所求的直线方程，得C ＝－1， 故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二 设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )，即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0， 由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.类型二 两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】 已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)、B (3，－3)、C (1，7)，试判断△ABC 的形状. [思路探究]探究点一 如何判断三角形的形状？提示 判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.探究点二 从哪几个方面分析三角形的形状？提示 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理. 解 法一 ∵|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， |AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， 又|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形.法二 ∵k AC ＝7－11－（－3）＝32，k AB ＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， |AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理. 【训练2】 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标. 解 设点P 的坐标为(x ，0)，由|PA |＝10， 得（x －3）2＋（0－6）2＝10， 解得：x ＝11或x ＝－5.所以点P 的坐标为(－5，0)或(11，0).类型三 坐标法的应用【例3】 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明 如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，有A (0，0).设B (a ，0)，D (b ，c )，由平行四边形的性质得点C 的坐标为(a ＋b ，c )， 因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2， |BD |2＝(b －a )2＋c 2.所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2).所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.规律方法 坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点： ①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴. 【训练3】 已知：等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线为AC 和BD . 求证：|AC |＝|BD |.证明 如图所示，建立直角坐标系，设A (0，0)，B (a ，0)，C (b ，c )，则点D 的坐标是(a －b ，c ).∴|AC |＝（b －0）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2，|BD |＝（a －b －a ）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2.故|AC |＝|BD |. [课堂小结] 1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4，1)B.(1，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.答案 C2.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析 首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3.已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________. 解析 由题意得（a ＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a ＝1或a ＝－5. 答案 1或－54.求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75. ∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.基 础 过 关1.已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12C.3D.2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.答案 D2.两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( ) A.－24 B.6 C.±6 D.24解析 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.答案 C3.以A (5，5)，B (1，4)，C (4，1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形.故选B. 答案 B4.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________. 解析 设A (x ，0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4，0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案 2 55.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________.解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 6.在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2，0)的距离相等. 解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，（x －1）2＋（y ＋1）2＝（x －2）2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0，1).法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2，0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.① 又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0，1).7.求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.证明 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入直线方程，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).能 力 提 升8.已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互为垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A.24B.20C.0D.－4解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎪⎨⎪⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2，n ＝－12.∴m －n ＋p ＝20. 答案 B9.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( )A.895 B.175C.135 D.115解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135.答案 C10.过点P (3，0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________.解析 法一 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），x ＋y ＋3＝0. 解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1，∵P (3，0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6， 即3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二 设l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3，0)是线段AB 的中点， ∴l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，（6－x 1）＋（－y 1）＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式可得l 的方程为8x －y －24＝0.答案 8x －y －24＝011.已知直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2). (1)求l 1，l 2的交点D 的坐标； (2)已知点M (－2，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，72，若直线l 3过点D 且与线段MN 相交，求直线l 3的斜率k 的取值范围.解 (1)∵直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，∴直线l 1的方程为y －13－1＝x －20－2，即y ＝－x ＋3.∵直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2)， ∴直线l 2的方程为y －2＝－3(x －4)，即y ＝－3x ＋14.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋14，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－52，即l 1，l 2的交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫112，－52. (2)由题设知k MD ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2－112＝－35.k ND ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52152－112＝3.因为过点D 的直线与线段MN 相交，故直线l 3的斜率k 的取值范围为：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－35∪[3，＋∞).探 究 创 新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|PA |＋|PB |为多少？解 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B|.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值. 设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6).所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611.11 所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611. 故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处， 此时|PA |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.。
高中数学第三章直线与方程3.2-3.2.3直线的一般式方程课件新人教A版必修2
[点式
截距式
条件 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2) 在 x 轴上截距 a， 其中 x1≠x2，y1≠y2 在 y 轴上截距 b
图形
类型 1 利用两点式求直线方程(自主研析) [典例 1] 三角形的三个顶点是 A(－1，0)，B(3，－ 1)，C(1，3)，求三角形三边所在直线的方程．
[变式训练] 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y－2＋a＝ 0，若 l 经过第一象限，求实数 a 的取值范围．
解：直线 l 的方程可化为点斜式 y－3＝－(a＋1)(x＋ 1)，由点斜式的性质，得 l 过定点 P(－1，3)，如图．
3－0 所以 kPO＝－1－0＝－3.
1．求直线的两点式方程． 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程，首先要 判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂 直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
y－（－1） 解：由两点式，直线 AB 所在直线方程为：
0－（－1）
x－3 ＝ ，即 x＋4y＋1＝0.
－1－3
解：(1)设直线 l 的方程为xa＋by＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，a＋b＋ a2＋b2＝12.
又因为直线 l 过点 P43，2， 所以34a＋2b＝1，即 5a2－32a＋48＝0，
a1＝4，a2＝152， 解得b1＝3，b2＝92，
类型 4 直线方程的综合应用 [典例 4] 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围． (1)证明：将直线 l 的方程整理为 y－35＝ax－15，
高中数学第三章直线与方程3.33.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学案新人教A版必修
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3.3.1 两条直线的交点坐标3。
3.2 两点间的距离目标定位1。
会求两条直线的交点坐标。
2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系。
3。
掌握平面上两点间的距离公式并会应用。
自主预习1.两条直线的交点已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0;l2：A2x＋B2y＋C2＝0。
若两直线的方程联立，得方程组错误!若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解,则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合.2.过定点的直线系方程已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2:A2x＋B2y＋C2＝0交于点P（x0，y0）,则方程A1x＋B1y ＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0表示过点P的直线系，不包括直线l2。
3。
两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1),P2（x2,y2)间的距离公式｜P1P2|＝（x2－x12＋（y2－y1)2）.4.两点间距离的特殊情况（1）原点O（0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP｜＝错误!.(2）当P1P2∥x轴（y1＝y2)时,｜P1P2|＝｜x2－x1｜。
浙江省台州市高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1_3.3.2学案
3.3.1两条直线的交点坐标 3.3.2两点间的距离学习目标: 会求两直线交点坐标,理解二元一次方程组的解与两直线的位置关系;掌握两点间的距离公式并会应用自主学习：学习教材P102-103内容归纳小结一:(1)两直线交点坐标的求法:____________________(2)方程组的解的个数与两直线的位置关系:________________________________________________________________________________例1.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标;(1)0723:72:21=-+=-y x l y x l 和;(2) 08124:0462:21=+-=+-y x l y x l 和(3) 32:0524:21+-==++x y l y x l 和自主学习:学习教材P104-105内容小结二:两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式__________________________________特别地,原点O(0,0)与P(x ,y )距离____________例2. 已知点A(-1,2), B(3,-2),在y 轴上求一点P, 使|PA|=|PB|, 并求 |PA| 的值.变式1:已知A(a ,3)和B(3,3a +3)的距离为5,求a 的值.思考探究:当λ变化时,方程0)22(243=+++-+y x λy x 表示什么图形?图形有何特点? 小结三: 经过两条直线0:1111=++C y B x A l 与0:2222=++C y B x A l 交点的直线系方程为 ________________________________________例3.求经过两条直线02:042:21=-+=+-y x l y x l 和的交点P,且与直线0543:3=+-y x l 垂直的直线l 的方程变式2: 求经过点P(2,3)且经过043:1=-+y x l 与0625:2=++y x l 的交点的直线方程.例4.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.变式3:若直线12++=k x y 与直线221+-=x y 的交点位于第一象限,求实数k 的取值范围。
高中数学必修2第三章直线与方程教案有三维目标
第三章直线与方程3.1.1 直线的倾斜角和斜率授课类型：新授课授课时间：第周年月日（星期）一、教学目标：1、知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。
2、过程与方法：（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
（2）经历用代数方法刻画直线斜率公式的推导过程。
3、情感态度与价值观：（1）通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
二、教学重点、难点重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。
难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。
三、学法指导：启发、引导、讨论。
四、教学过程：（一）直线的倾斜角的概念思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定？问题1：已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？问题2：过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．。
特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α = 0°。
范围：0° ≤ α ＜180°。
当直线l 与x 轴垂直时，α = 90°。
当直线a ∥b ∥c ，它们的倾斜角α相等，所以一个倾斜角α不能确定一条直线。
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素： 一个点．．．P ．和一个倾斜角．．．．．．α．. 。
（二）直线的斜率思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（前进量升高量比坡度=)(） 定义：一条直线的倾斜角α（α ≠ 90°）的正切值叫做这条直线的斜率。
高中数学人教a版必修二3.2.2《直线的两点式方程》
y
C O
Mx
B
注：中点坐标公式：x x1 x2 , y y1 y2
2
2
M为AB的中点，由中点坐标公式得到M的坐标为：( 3 , 1)
22
那么过A(-5，0)， M( 3 , 1) 的直线方程为:
22
y0 1 0
x 3
5 5
整理得： x+13y+5=0，
2
2
这就是BC边上的中线所在直线的方程
2
2
各类方程的适用范围
直线方程名称
直线方程形式
点斜式 斜截式 两点式
截距式
y y0 k(x x0 )
y kxb
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
适用范围
不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直两个坐标轴
不垂直两个坐标 轴且不经过原点
课后练习 课后习题
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
..
3.2 直线与方程
3.2.2 直线的两点式方程
本节课主要学习直线的两点式方程和截距式方程。本课件在复 习直线的倾斜角、斜率的概念、斜率公式和直线的点斜式方程、 斜截式方程的基础上，运用几何画板画出平面内过两定点的直线
，并通过研究直线上的任意一点坐标（x,y）满足的斜率关系式， 从而变化得到关于x,y的方程，引入直线的两点式方程。以学生探
高中数学 第3章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程课件 aa高一数学课件
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(B )
2．在 x、y 轴上的截距分别是－3,4 的直线方程是
A．－x3＋4y＝1
B．3x＋－y4＝1
C．－x3－4y＝1
D．4x＋－y3＝1
[解析] 由截距式方程可得，直线方程为－x3＋4y＝1，故选 A．
( A)
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『规律方法』 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用 (xuǎnyòng)截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐 标轴垂直．
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分类(fēn lèi)讨论思想
典例 3
直线(zhíxiàn)l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，
两截距之差为3，求直线l的方程．
[思路分析]
已给出了截 距间的关系
设 别―截 为―距 a→、分b
12ab＝2 |a－b|＝3
讨―论―a→、b a、b的值 ―→ 直线方程
又由已知得|a|＝|b|，② 联立方程①②可得a＝b＝5或a＝－1，b＝1， 所以(suǒyǐ)直线方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0． (2)当a＝b＝0时，直线过原点和P(2,3)，易知直线方程为3x－2y＝0． 综上所述，所求直线方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0或3x－2y＝0．
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所以直线 l 的方程为 2x＋3y－6＝0 或 8x＋3y＋12＝0．
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高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程导学案(无答案)新人教A版必修2(2021年整理)
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3。
2。
2 直线的两点式方程一、课前预习单教学目标：1。
让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程。
培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础。
2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
教学重点、难点教学重点：直线方程两点式和截距式教学难点：关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.预习指导1。
直线的两点式方程（1）定义:如图示,直线l经过点P1（x1,y1),P2（x2，y2)（其中x1≠x2,y1≠y2）,则方程叫做直线l的两点式方程，简称两点式。
(2）说明:与坐标轴_____的直线没有两点式方程.2。
直线的截距式方程（1)定义:如图所示，直线l与两个坐标轴的交点分别是P1（a,0),P2（0，b)（其中a≠0，b≠0),则方程______叫做直线l的截距式方程,简称截距式.（2)说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的____。
人教版必修二3.2.2直线的两点式方程课件
不能表示与坐标轴(x,y轴)垂直的直线.
（2）当 x1 x2 时，直线方程为：x x1 当 y1 y2 时，直线方程为： y y1
练习
1.求过两点的直线的两点式方程
（1）P1(2,1), P2 (0,3)
(2)C(5,1), D(3,4) (3)A(0,5), B(5,0)
第三章 直线与方程
3.2.2 直线的两点式方 程
一、复习回顾 1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点 2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
三、新课探究
已知两点 P1(x1, y1)，P2 (x2 , y2 )，求通过这两点的直
(2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为4y－－－－11＝－x－3－22，即 x＋y －1＝0.又点 P(3，m)在直线 AB 上，所以 3＋m－1＝0，得 m＝－2.
【答案】 (1)x＝2 (2)－2
4．求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程．
【解】 设直线的两截距都是 a，则有 ①当 a＝0 时，直线为 y＝kx，将 P(2,3)代入得 k＝32，∴l：3x－2y＝0； ②当 a≠0 时，直线设为ax＋ay＝1，即 x＋y＝a， 把 P(2,3)代入得 a＝5，∴l：x＋y＝5. ∴直线 l 的方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
(a 0, b 0)
y B（0，b）
x O A( a ,0)
? 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
注意： ①局限性：(更大)
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程课件 aa高一数学课件
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这就是 BC 边上中线所在直线方程.
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方法技巧 求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标(zuòbiāo),求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式 方程的适用条件:两点的连线不垂直于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求 方程. (2)由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错 误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.
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题型三 直线(zhíxiàn)方程的应用
【例 3】 直线过点 P( 4 ,2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐 3
标原点,是否存在这样的直线分别满足下列条件: (1)△AOB 的周长为 12;
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就是 BC 所在直线的方程. BC 边上的中线是顶点 A 与 BC 边中点 M 所连线段,由中点坐标公式可得点 M 的坐标
为( 3 0 , 3 2 ),即( 3 ,- 1 ).
2
2
22
过 A(-5,0),M( 3 ,- 1 )的直线的方程为 y 0 = x 5 ,
22
1 0 35
22
整理得 1 x+ 13 y+ 5 =0,即 x+13y+5=0, 222
(3)若 x1≠x2 且 y1≠y2,则直线方程可用两点式 y y1 = x x1 表示. y2 y1 x2 x1
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2.直线的截距式方程
(1)定义:如图所示,直线l与两个(liǎnɡ ɡè)坐标轴的交点分别是
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1
3.2.2 直线的两点式方程
课时目标:1.掌握直线方程的两点式和截距式的形式、特点及适用范围；2..会用中点坐标公
式求两点的中点坐标．
课前导学: 1、直线的点斜式方程：
2、直线的斜截式方程：
3、上述两种形式的方程适用范围是什么？
新课探究: 探究点一 直线的两点式方程
问题 已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的
直线方程？
归纳1：直线的两点式方程：
注意: ①适用范围：
②当2121,yyxx时,直线方程为___________
当,,2121xxyy时,直线方程为___________
探究点二 直线的截距式方程
问题 已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，
求l的方程．
归纳2：直线的截距式方程：
注意: 截距式方程适用范围：
例1 三角形的顶点是A(－4,0)，B(3，－3)，C(0,3)，求BC边所在的直线的方程以及BC
边上中线所在的直线方程．
2
例2 已知直线l经过点(3,4)，且在两轴上的截距相等，求直线l的方程．
反思与感悟 (1)求直线在坐标轴上的截距的方法是：
(2)由于直线的截距式方程不表示过原点的直线，因此解题时要注意
变式 求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
例3 已知直线l方程为xm＋y4－m＝1.
(1)若直线l斜率等于2，求m的值；
(2)若直线l在x轴与y轴上的截距相等，求m的值；
(3)若直线l与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最大，求此时直线l的方程．
3
课外作业：
1．若一条直线不与坐标轴平行或重合，则关于它的方程下列说法正确的是________．
①可以写成两点式或截距式；
②可以写成两点式或斜截式或点斜式；
③可以写成点斜式或截距式；
④可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式．
2．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是________．
3．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为____________________________________．
4．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为________．
5．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是________．
6．经过M(3,2)与N (6,2)两点的直线方程为________．
7．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是__________________．
8．直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．
9.两条直线l1： xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是________．
10．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________．
11．过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程是
____________________________
12．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
13．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是
________________．
14、已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC边所在直线
4
的方程；
(2)BC边上的高AD所在直线的方程．
15．光线经过点A(1,2)射到y轴上，反射后经过点B(4，－3)，求反射光线所在直线的方程．
16. 已知1≤t≤2，经过两点(m,2t)和(t－2，m)的直线l的斜率为2，
(1)用t表示m；
(2)求直线l在y轴上的截距的取值范围．