高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳
概率与统计题型归纳总结
概率与统计题型归纳总结在学习概率与统计的过程中，我们不可避免地要接触到各种各样的题型。
在这些题型中，有的看似简单却需要一定思考，有的则需要我们具备一定的数学基础。
本文将围绕这些题型展开，帮助大家更好地总结归纳概率与统计中的题型。
一、基本概率基本概率是概率学习中最基础的部分，要求我们计算某一事件发生的可能性，其公式为：P(A)=n(A)/n(S)。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A出现的次数，n(S)表示总体出现的次数。
二、条件概率条件概率是建立在基本概率之上的，要求我们在已知某一事件发生的情况下，计算其他事件发生的概率。
其公式为：P(A|B)=P(B∩A)/P(B)。
其中，P(A|B)表示在B发生的前提下，A发生的概率，P(B∩A)表示A与B同时发生的概率，P(B)表示B发生的概率。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种利用先验信息来更新后验概率的方法。
其公式为：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
其中，P(A)为先验概率，P(B|A)为A发生的情况下，B发生的概率，P(B)为后验概率。
四、独立事件独立事件是指两个或多个事件，其中任意一个事件的发生与其他事件的发生无关。
其公式为：P(A∩B)=P(A)P(B)。
其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B各自发生的概率，P(A∩B)表示A和B同时发生的概率。
五、全概率公式全概率公式是用来计算某一事件在多种情况下的概率的公式。
其公式为：P(A)=∑(i=1)^(n)P(A|B_i)P(B_i)。
其中，B_1,B_2...B_n是一组互不相交的事件，且它们包含了所有可能的情况。
P(A)表示事件A的概率，P(A|B_i)表示在B_i发生的前提下，A发生的概率，P(B_i)表示B_i 发生的概率。
六、随机变量随机变量是指某一随机事件在其过程中所反映的变量。
在统计学中，我们常常会用随机变量来描述概率分布。
常见的随机变量有离散随机变量和连续随机变量。
高中数学必修3概率统计常考题型：简单随机抽样
【知识梳理】1．简单随机抽样的定义设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．抽签法把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．3．随机数法随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．【常考题型】题型一、简单随机抽样的概念【例1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区参加救灾工作；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．[解](1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．(3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．【类题通法】简单随机抽样的判断策略判断一个抽样能否用简单随机抽样，关键是看它是否满足四个特点：①总体的个体数目有限；②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样．同时还要注意以下几点：①总体的个体性质相似，无明显的层次；②总体的个体数目较少，尤其是样本容量较小；③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定的距离．【对点训练】下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是()A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡农田有：山地800公顷，丘陵1 200公顷，平地2 400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量解析：选B A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便；C由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D总体容量大，且各类田地的差别很大，也不宜采用简单随机抽样法.题型二、抽签法及其应用【例2】(1)下列抽样实验中，适合用抽签法的有()A．从某厂生产3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验[解析]A，D两项总体容量较大，不适合用抽签法；对C项甲、乙两厂生产的产品质量可能差异明显．[答案] B(2)某大学为了选拔世博会志愿者，现从报告的18名同学中选取6人组成志愿小组，请用抽签法写出抽样过程．[解]第一步，将18名同学编号，号码是01,02， (18)第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步，所得号码对应的同学就是志愿小组的成员．【类题通法】1．抽签法的适用条件一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时适宜用抽签法．2．应用抽签法的关注点(1)对个体编号时，也可以利用已有的编号．例如，从某班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等．(2)在制作号签时，所使用的工具(纸条、卡片或小球等)应形状、大小都相同，以保证每个号签被抽到的概率相等．(3)用抽签法抽样的关键是将号签搅拌均匀．只有将号签搅拌均匀，才能保证每个个体有相等的机会被抽中，从而才能保证样本具有代表性．(4)要逐一不放回抽取．【对点训练】现有30本《三维设计》，要从中随机抽取5本进行印刷质量检验，请用抽签法进行抽样，并写出抽样过程．解：总体和样本数目较小，可采用抽签法进行：①先将30本书进行编号，从1编到30；②把号码写在形状、大小均相同的号签上；③将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，然后依次从箱子中取出5个号签，按这5个号签上的号码取出样品，即得样本.题型三、随机数表法的应用【例3】(1)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号____________________．(下面抽取了随机数表第1行至第5行．)03 47 43 73 8636 96 47 36 6146 98 63 71 6233 26 16 80 4560 11 14 10 9597 74 24 67 6242 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5124 51 79 89 7316 76 62 27 6656 50 26 71 0732 90 79 78 5313 55 38 58 5988 97 54 14 1012 56 85 99 2696 96 68 27 3105 03 72 93 1557 12 10 14 2188 26 49 81 7655 59 56 35 6438 54 82 46 2231 62 43 09 9006 18 44 32 5323 83 01 30 30[解析]从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字665，第三个数字650，第四个数字267，符合题意．[答案]227,665,650,267(2)现有一批零件，其编号为600,601,602，…，999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查，若用随机数表法，怎样设计方案？[解]第一步，在随机数表中任选一数字作为开始数字，任选一方向作为读数方向．比如：选第7行第6个数“7”，向右读．第二步，从“7”开始向右每次读取三位，凡在600～999中的数保留，否则跳过去不读，依次得753,724,688,770,721,763,676,630,785,916.第三步，以上号码对应的10个零件就是要抽取的对象．(答案不唯一)【类题通法】利用随机数表法抽样时应注意的问题(1)编号要求位数相同，若不相同？需先调整到一致两再进行抽样，如当总体中有100个个体时，为了操作简便可以选择从00开始编号，那么所有个体的号码都用两位数字表示即可，从00～99号．如果选择从1开始编号那么所有个体的号码都必须用三位数字表示，从001～100.很明显每次读两个数字要比读三个数字节省读取随机数的时间．(2)第一个数字的抽取是随机的．(3)当随机数选定，开始读数时，读数的方向可左，可右，可上，可下，但应是事先定好的．【对点训练】现有一批编号为10,11，…，98,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验，如何用随机数表法设计抽样方案？解：第一步，将元件的编号调整为010,011,012，...，099,100， (600)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7个数9.第三步，从数9开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263.第四步，以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象．【练习反馈】1．为了了解一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量解析：选C200个零件的长度是从总体中抽出的个体所组成的集合，所以是总体的一个样本．故选C.2．抽签法中确保样本具有代表性的关键是()A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回解析：选B在数理统计里，为了使样本具有较好的代表性，设计抽样方法时，最重要的是将总体“搅拌均匀”，使每个个体有同样的机会被抽到，而抽签法是简单随机抽样，因此在给总体标号后，一定要搅拌均匀．3．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________．解析：因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每一个个体被抽到的可能性都为20100＝0.2.答案：0.24．一个总体的60个个体编号为00,01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是________．95 33 95 22 0018 74 72 00 1838 79 58 69 3281 76 80 26 9282 80 84 25 3990 84 60 79 8024 36 59 87 3882 07 53 89 3596 35 23 79 1805 98 90 07 3546 40 62 98 8054 97 20 56 9515 74 80 08 3216 46 70 50 8067 72 16 42 7920 31 89 03 4338 46 82 68 7232 14 82 99 7080 60 47 18 9763 49 30 21 3071 59 73 05 5008 22 23 71 7791 01 93 20 4982 96 59 26 9466 39 67 98 60解析：所取的号码要在00～59之间且重复出现的号码仅取一次．答案：18,00,38,58,32,26,25,395．某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人抽查学习负担情况．用抽签法设计一个抽样方案．解：第一步：编号，把43名运动员编号为1～43；第二步：制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数；第三步：搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌；第四步：抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次，从而得到容量为5的入选样本．。
(完整版)高考数学概率与统计部分知识点梳理,推荐文档
一、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
１．随机事件 A 的概率 0 P( A) 1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当 P( A) 0 时称为不可能事件 P(A)=0；
注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法
例 1 如图 1 所示，有一电路 AB 是由图示的开关控制，闭合 a，b，c，d，e 五
个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是
． 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出 现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。
解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有 10 种，分别是 ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有 6 种，所以
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p(通路)= =
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评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较 少的事件的概率计算. （二）树形图法 例 2 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三
张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相
同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如， 两人同时出象牌，则两人平局．如果用 A、B、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用 A1、B1、C1 分别表示小明的象、虎、鼠三 张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？ 分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中 找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有 9 种，而且 每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有 3 种．所以 P（一次出牌小刚胜小明）
高中数学概率统计解题技巧
高中数学概率统计解题技巧概率统计是高中数学中的一门重要课程，也是考试中常见的题型。
掌握好解题技巧，能够帮助学生提高解题效率，更好地应对考试。
本文将从几个常见的概率统计题型入手，分析其考点和解题方法，帮助学生掌握解题技巧。
一、排列组合题排列组合是概率统计中常见的题型，它要求我们计算某种情况下的可能性。
例如，某班有10个学生，要从中选出3个学生组成一个小组，问有多少种不同的选法？这类题目的关键在于确定组合的方式。
对于上述问题，我们可以使用组合公式C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)来计算。
其中，n表示总数，m表示选取的个数。
二、事件概率题事件概率题是概率统计中最基础的一类题型，它要求我们计算某个事件发生的概率。
例如，抛一枚骰子，问出现奇数的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定样本空间和事件发生的可能性。
对于上述问题，骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}，而出现奇数的事件为{1,3,5}，所以概率为3/6=1/2。
三、条件概率题条件概率题是概率统计中较为复杂的一类题型，它要求我们在给定某个条件下计算事件发生的概率。
例如，某班有30个学生，其中20个是男生，10个是女生。
从中随机选取一个学生，问选到女生的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定条件下的样本空间和事件发生的可能性。
对于上述问题，在给定条件下，样本空间为{男生，女生}，而选到女生的事件为{女生}，所以概率为10/30=1/3。
四、独立事件题独立事件题是概率统计中常见的一类题型，它要求我们计算多个事件同时发生的概率。
例如，某班有30个学生，其中20个是男生，10个是女生。
从中随机选取两个学生，问选到两个女生的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定事件的独立性和事件发生的可能性。
对于上述问题，选到第一个女生的概率为10/30=1/3，选到第二个女生的概率为9/29。
由于两个事件是相互独立的，所以选到两个女生的概率为(1/3)*(9/29)=3/29。
高考中概率问题的常考题型
高考中概率问题的常考题型作者：***来源：《广东教育（高中）》2021年第10期概率是研究随机现象规律的数学分支，它为人们从不确定性的角度认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，为统计学发展提供理论基础. 概率是新课程高考的重要内容，从2021年及2020年全国新高考Ⅰ卷对概率的考查，可以发现对此内容的考查有所拓展，比如对相互独立事件的考查，积事件的概率公式的应用等. 下面先分析和解答2021年全国新高考Ⅰ卷第8题，然后再全面了解必修课程中概率问题的考点和常考题型，希望对大家的复习备考有帮助.例1.（2021年全国新高考Ⅰ卷第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立解析：判断两个事件是否相互独立的两种方法：（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件;（2）定义法：通过式子P（AB）=P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.本题用方法1较难判断，所以采用方法2进行判断. 这6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6的球，从中有放回的随机取两次，可能的结果可以通过下表得到.解析：P（甲）=，P（乙）=，P（丙）=，P（丁）==，P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）=，P（甲丁）==P（甲）P（丁），P（乙丙）=≠P（乙）P（丙）=，P（丙丁）=0≠P（丁）P（丙）=.故选B.点评：判断事件A，B是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）P（B）=P（AB）是否成立.例2.（2020年全国新高考Ⅰ卷第5题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，则P（A）=0.6，P（B）=0.82，P（A+B）=0.96，所以P（A·B）=P（A）+P（B）-P（A+B）=0.6+0.82-0.96=0.46.所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选C.点评：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题. 本题也可以类似地通过集合中元素个数的公式得出结论（必修1第13页），即对于两个有限集合A，B，有：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.从以上两例新高考对概率的考查，我们发现，概率问题很重视慨念的考查，考查的内容符合新课程标准，符合新课程理念. 因此，我们很有必要认真学习新课程标准.一、课程标准对概率考查的内容要求在新教材中，对概率的学习分为两部分，一部分在必修课程中，另一部分在选择性必修课程中. 而目前高三学生使用的是老教材，命题却按新的课程标准进行命制，所以把新课程标准对概率的要求罗列出来，清楚新高考概率的内容要求，对于把握新高考概率的命题走向显得很有意义.1. 必修课程对概率考查的内容要求本单元的学习，可以帮助考生结合具体实例，理解样本点、有限样本空间、随机事件，会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解.内容包括：随机事件与概率、随机事件的独立性. 具体来说，内容包括：“随机事件和概率”——有限样本空间与随机事件，事件的关系和运算，古典概型，概率的基本性质;“事件的相互独立性”;“频率与概率”——频率的稳定性，随机模拟;“概率的初步应用”.（1）随机事件与概率①结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件并、交运算.②结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概率模型中随机事件的概率.③通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.④结合实例，會用频率估计概率.（2）随机事件的独立性结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义. 结合古典概型，利用独立性计算概率.2. 选择性必修课程对概率考查的内容要求本单元的学习，可以帮助学生了解条件概率及其独立性的关系，能进行简单计算;感悟离散随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象;理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布;感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量;基于随机变量及其分布解决简单实际问题.内容包括：随机事件的条件概率，离散型随机变量及其分布列，正态分布.（1）随机事件的条件概率①结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶新公式.（2）离散型随机变量及其分布列①通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字征值（均值、方差）.②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题.③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单实际问题.（3）正态分布①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.②了解正态分布的均值、方差及其含义.全国新高考Ⅰ卷在必修课程中，以随机现象的数学度量——概率为主题，培养学生通过概率模型认识和分析随机现象的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的科学素养.二、概率问题常考题型例析下面针对必修课程对概率考查的内容要求，举例说明概率问题常考题型.1. 事件类型的判断及随机事件的关系例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.（3）若x∈R，则x2+1≥1.（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.解析：由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件;（3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件.点评：可能发生，也可能不发生的事件叫是随机事件;不可能发生的事件叫不可能事件;一定会发生的事件叫必然事件.例4. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A. 是对立事件B. 是不可能事件C. 是互斥但不對立事件D. 不是互斥事件解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.点评：判断互斥、对立事件的2种方法：例5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.（1）恰有1名男生与恰有2名男生;（2）至少有1名男生与全是男生;（3）至少有1名男生与全是女生;（4）至少有1名男生与至少有1名女生.解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥;由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例6.（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为 1 和2 ）， 2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，事件M=“两球颜色相同”，事件= N“两球颜色不同”，则（）A. R1？哿RB. R∩G=？覫C. R∪G=MD. M=解析：在一次实验中，“第一次摸到红球”，第二次可能摸到红球，也可能摸到绿球，所以R？哿R1，A错.在一次实验中，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，不能同时发生，所以R∩G=？覫，B正确.“两球颜色相同”，包括“两次都摸到红球”或“两次都摸到绿球”，所以R∪G=M，C正确.在一次实验中，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件，所以D正确.故选BCD.2. 随机事件的频率与概率例7.（2019·北京高考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶新公式.（2）离散型随机变量及其分布列①通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字征值（均值、方差）.②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题.③通过具体实例，了解超幾何分布及其均值，并能解决简单实际问题.（3）正态分布①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.②了解正态分布的均值、方差及其含义.全国新高考Ⅰ卷在必修课程中，以随机现象的数学度量——概率为主题，培养学生通过概率模型认识和分析随机现象的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的科学素养.二、概率问题常考题型例析下面针对必修课程对概率考查的内容要求，举例说明概率问题常考题型.1. 事件类型的判断及随机事件的关系例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.（3）若x∈R，则x2+1≥1.（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.解析：由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件;（3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件.点评：可能发生，也可能不发生的事件叫是随机事件;不可能发生的事件叫不可能事件;一定会发生的事件叫必然事件.例4. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A. 是对立事件B. 是不可能事件C. 是互斥但不对立事件D. 不是互斥事件解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.点评：判断互斥、对立事件的2种方法：例5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.（1）恰有1名男生与恰有2名男生;（2）至少有1名男生与全是男生;（3）至少有1名男生与全是女生;（4）至少有1名男生与至少有1名女生.解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥;由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例6.（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为 1 和2 ）， 2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，事件M=“两球颜色相同”，事件= N“两球颜色不同”，则（）A. R1？哿RB. R∩G=？覫C. R∪G=MD. M=解析：在一次实验中，“第一次摸到红球”，第二次可能摸到红球，也可能摸到绿球，所以R？哿R1，A错.在一次实验中，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，不能同时发生，所以R∩G=？覫，B正确.“两球颜色相同”，包括“两次都摸到红球”或“两次都摸到绿球”，所以R∪G=M，C正确.在一次实验中，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件，所以D正确.故选BCD.2. 随机事件的频率与概率例7.（2019·北京高考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶新公式.（2）离散型随机变量及其分布列①通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字征值（均值、方差）.②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题.③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单实际问题.（3）正态分布①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.②了解正态分布的均值、方差及其含义.全国新高考Ⅰ卷在必修课程中，以随机现象的数学度量——概率为主题，培养学生通过概率模型认识和分析随机现象的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的科学素养.二、概率问题常考题型例析下面针对必修课程对概率考查的内容要求，举例说明概率问题常考题型.1. 事件类型的判断及随机事件的关系例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.（3）若x∈R，则x2+1≥1.（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.解析：由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件;（3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件.点评：可能发生，也可能不发生的事件叫是随机事件;不可能发生的事件叫不可能事件;一定会发生的事件叫必然事件.例4. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A. 是对立事件B. 是不可能事件C. 是互斥但不对立事件D. 不是互斥事件解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.点评：判断互斥、对立事件的2种方法：例5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.（1）恰有1名男生与恰有2名男生;（2）至少有1名男生与全是男生;（3）至少有1名男生与全是女生;（4）至少有1名男生与至少有1名女生.解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥;由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例6.（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为 1 和2 ）， 2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，事件M=“两球颜色相同”，事件= N“两球颜色不同”，则（）A. R1？哿RB. R∩G=？覫C. R∪G=MD. M=解析：在一次实验中，“第一次摸到红球”，第二次可能摸到红球，也可能摸到绿球，所以R？哿R1，A错.在一次实验中，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，不能同時发生，所以R∩G=？覫，B正确.“两球颜色相同”，包括“两次都摸到红球”或“两次都摸到绿球”，所以R∪G=M，C正确.在一次实验中，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件，所以D正确.故选BCD.2. 随机事件的频率与概率例7.（2019·北京高考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.。
【高考数学精品】概率与统计知识点全归纳
s 概率与统计知识点全归纳1.随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2.样本的频率分布估计总体分布(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1.(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．(3)茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．3.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：xx1＋x2＋…＋x n＝，反映了一组数据的平均水平．n(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，(5)方差：s2＝1[(x1－x )2＋(x2－x )2＋…＋(x n－x )2](x n是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．n4.概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n(A)＝n A为事件A 出现的频率．n(2)对于给定的随机事件A，由于事件A 发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．5.事件的关系与运算6. 概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率 P (E )＝1.(3)不可能事件的概率 P (F )＝0. (4)概率的加法公式：如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率：若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P (A )＝1－P (B )．7. 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：高中数学资料共享群（734924357）(1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等． 8．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数.基本事件的总数9. 相关关系与回归方程(1)相关关系的分类①正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． ②负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(2) 线性相关关系：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(3) 回归方程①最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．^ ^ ^②回归方程：方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其n n⎧⎪ ^^中a ，b 是待定参数．⎪ ∑(x i - x )( y i - y ) ∑x i y i - nx y ⎪b ˆ = i =1 = i =1 , ⎨ (x - x )2 n x 2 - nx 2 ∑ i ⎪i =1 ∑ ii =1 ⎪⎩aˆ = y - b ˆx . (4) 回归分析①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． ②样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中( x ， y )称为样本点的中心． ③相关系数当 r >0 时，表明两个变量正相关；当 r <0 时，表明两个变量负相关．高中数学资料共享群（734924357）r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性．10. 独立性检验(1) 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．(2) 列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量 X 和 Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为2×2 列联表构造一个随机变量 K 2＝ n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．(3) 独立性检验利用随机变量 K 2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．11. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理nn n n ＋1 n nn n12. 排列、组合的定义13. 排列数、组合数的定义、公式、性质14. 二项式定理15. 二项式系数的性质(1)C 0＝1，C n ＝1，C m＝C m －1＋C m . C m ＝C n －m(0≤m ≤n )．(2)二项式系数先增后减中间项最大．高中数学资料共享群（734924357）i=1 n nn ＋1 n ＋3当 n 为偶数时，第 ＋1 项的二项式系数最大，最大值为C 2 ，当 n 为奇数时，第 项和第 项的二项式系数最大，n -1最大值为Cn 22 n +1或C n2 .n 2 2(3)各二项式系数和：C 0＋C 1＋C 2＋…＋C n ＝2n ，C 0＋C 2＋C 4＋…＝C 1＋C 3＋C 5＋…＝2n －1.nnnnnnnnnn16. 离散型随机变量的分布列(1) 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量． (2) 一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值 x i (i ＝1,2，…，n )的概率 P (X＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；②p 1+p 2+…+p n =1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．17. 两点分布如果随机变量 X 的分布列为其中 0<p <1，则称离散型随机变量 X 服从两点分布．其中 p ＝P (X ＝1)称为成功概率．高中数学资料共享群（734924357）18. 离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为(1) 均值称 E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2) 方差称 D (X )＝Σn [xi －E (X )]2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根 D (X )为随机变量 X 的标准差．19. 均值与方差的性质 (1) E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2) D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数)n μ σ 20. 超几何分布C k C n －k一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 x 件次品，则 P (X ＝k)＝ M N －M (k ＝0,1,2，…，m )，即 n N其中 m ＝min{M ，n }，且 n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布．21. 条件概率及其性质(1) 对于任何两个事件 A 和 B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P (B |A )来表示，其公式为 P (B |A )＝P (AB )(P (A )>0)．P (A )在古典概型中，若用 n (A )表示事件 A 中基本事件的个数，则 P (B |A )＝n (AB ).n (A )(2) 条件概率具有的性质①0≤P (B |A )≤1；②如果 B 和 C 是两个互斥事件， 则 P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 22．相互独立事件(1) 对于事件 A ，B ，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A ，B 是相互独立事件． (2) 若 A 与 B 相互独立，则 P (B |A )＝P (B )．(3) 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也都相互独立． (4) P (AB )＝P (A )P (B )⇔A 与 B 相互独立． 23. 独立重复试验与二项分布(1) 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2) 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，则 P (X ＝k )＝C k p k(1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 X ～B (n ，p )，并称 p 为成功概率．24. 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若 X ～B (n ，p )，则 E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．25. 正态分布(1) 正态曲线：函数φ(x )-( x -μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φ ， (x )C μ，σ的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2) 正态曲线的特点①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x ＝μ对称； ③曲线在 x ＝μ④曲线与 x 轴之间的面积为 1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.。
(最全)高中数学概率统计知识点总结
概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。
2、平均数：①、常规平均数：12nx x x x n++⋅⋅⋅+=②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。
4、方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+- 二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数2、频率之和：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；同时 121n S S S ++⋅⋅⋅+=；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。
2、平均数： 112233n nx x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。
4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-四、线性回归直线方程：ˆˆˆybx a =+ 其中：1122211()()ˆ()nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxybx x x nx ====---∑∑==--∑∑ , ˆˆay bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ；2、ˆ0:b>正相关；ˆ0:b <负相关。
3、线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆb 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
五、回归分析1、残差：ˆˆi i i ey y =-（残差=真实值—预报值）。
分析：ˆi e 越小越好； 2、残差平方和：21ˆ()ni i i y y=-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221ˆˆˆˆ()()()()ni i n n i y yy y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑ 3、拟合度（相关指数）：22121ˆ()1()ni i i ni i y yR y y ==-∑=--∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高；4、相关系数：()()nni i i i x x y y x y nx yr ---⋅∑∑==分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++②．犯错误上界P 对照表3、独立性检验步骤①．计算观察值k ：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；②．查找临界值0k ：由犯错误概率P ，根据上表查找临界值0k ；③．下结论：0k k ≥：即犯错误概率不超过P 的前提下认为： ,有1-P 以上的把握认为： ; 0k k <：即犯错误概率超过P 的前提认为： ,没有1-P 以上的把握认为： ;【经典例题】题型1 与茎叶图的应用例1（2014全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50位市民。
高考数学概率统计
高考数学概率统计一、高考中概率统计的地位在高考数学试卷中，概率统计试题一般有1-2题，分值在10-15%左右，题型多为填空题、选择题和解答题，是考查的重点和热点．概率统计试题侧重考查考生运用概率统计知识分析和解决实际问题的能力，试题背景材料新颖，问题设计富有创意．二、高考中概率统计的考点1、随机事件的概率及等可能事件的概率；2、随机变量的分布列及期望与方差；3、古典概型和几何概型；4、统计初步知识，主要包括总体、样本、统计量、抽样方法；5、概率统计知识的综合应用．三、高考中概率统计试题的特点1、试题考查基础，不回避陈题，重点考查概率统计的基本概念和基本方法；2、试题突出能力，注重考查考生运用所学知识分析问题、解决问题的能力；3、试题设计精心，体现知识间的交汇，如函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等在概率统计中的应用；4、试题背景真实，体现公平性原则，突出概率统计知识的应用价值．四、高考中概率统计试题的备考策略1、把握复习重点，吃透考纲精神；2、重视双基训练，强化通性通法；3、培养思维能力，提高应变能力；4、交汇问题，提高综合能力；5、注意实际应用问题，体现数学学科价值．高考数学概率与统计专题复习一、考情分析在历年的高考中，概率与统计都是数学科目的重要组成部分，主要考查学生对随机现象的理解和掌握，以及运用概率与统计知识解决实际问题的能力。
这部分内容在高考中分值占比较大，一般为15%左右。
二、知识要点梳理1、随机事件的概率：理解随机事件的概念，掌握概率的定义及计算方法，包括古典概型和几何概型。
2、随机变量及其分布：理解随机变量的概念，掌握随机变量的分布函数和概率分布密度函数的定义及计算方法。
3、统计初步：理解统计的基本概念，包括样本、总体、变量、频率、分布等，掌握统计推断的基本方法，如假设检验、回归分析等。
4、概率与统计的应用：理解概率与统计在解决实际问题中的应用，如风险评估、预测模型等。
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高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳 题型一:常见概率模型的概率 几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式. 【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列.
解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4). 则P(Ai)＝Ci413i234－i. (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P(A2)＝C24132232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4，且A3
与A4互斥，
∴P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)＝C34133×23＋C44134＝19. (3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A1与A3互斥，A0与A4互斥.
则P(ξ＝0)＝P(A2)＝827， P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3) ＝C14131·233＋C34133×23＝4081， P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4) ＝C04234＋C44134＝1781. 所以ξ的分布列是 ξ 0 2 4
P 827 4081 1781
【类题通法】(1)本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i人参
加甲游戏的概率P＝Ci413i234－i，这是本题求解的关键. (2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件Ai的概率和. 【变式训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分.
(1)求ξ＝2的概率； (2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，
故P(ξ＝2)＝34×23×1－12＋34×1－23×12＋1－34×23×12＝1124； (2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分为η，则η～B3，23. P(ξ＝1)＝34×1－23×1－12＋1－34×23×1－12＋1－34×1－23×12＝14， P(ξ＝3)＝34×23×12＝14， P(η＝1)＝C13·23·132＝29， P(η＝2)＝C23·232·13＝49， P(η＝3)＝C33233＝827， ∴P(A)＝P(ξ＝1)P(η＝3)＋P(ξ＝2)P(η＝2)＋P(ξ＝3)·P(η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13，
P(AB)＝P(ξ＝3)·P(η＝1)＝14×29＝118， ∴所求概率为P(B|A)＝P（AB）P（A）＝11813＝16. 题型二:离散型随机变量的分布列、均值与方差 离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练. 【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判
定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立. (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望). 解 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获
胜”，则P(Ak)＝23，P(Bk)＝13，k＝1，2，3，4，5. (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)· P(A3)P(A4)
＝232＋13×232＋23×13×232＝5681. (2)X的可能取值为2，3，4，5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)·P(B2)＝59， P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3) ＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝29， P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4) ＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝1081，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881. 故X的分布列为 X 2 3 4 5
P 59 29 1081 881 E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481. 【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差； 第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【变式训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X.
①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，
即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. ②依题意，得X的所有可能取值为20，60. P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12， 即X的分布列为 X 20 60
P 12 12
所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元). (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1 20 60 100
P 16 23 16
X1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，
X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003. 对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2 40 60 80
P 16 23 16
X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，
X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
题型三:概率与统计的综合应用 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算. 【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组75，80)，第2组80，85)，第3组85，90)，第4组90，95)，第5组95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：