《两条直线的交点》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
高中数学 两条直线的交点坐标学案 北师大版必修2
用心 爱心 专心1No.15 两条直线的交点坐标学习目标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2. 培养学生的转化能力。
.教学过程： 一．知识链接：210x y +-+垂直的直线2．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？ 二、新课导学：（学生阅读教材70-72，下列问题） 预习探究问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？两直线的交点问题. 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交； 若方程组有无数组解，则两直线重合； .预习自测：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. ⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=；⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=.应用探究：1. 求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.2．当三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k 的值等于2 3．光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程 .1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直 D ．与n 的值有关3．已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l 的方程为2340x y -+=， 若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值.4. 直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.。
《两直线的交点和点到直线的距离》课件1(北师大版必修2)
P ( x0 ， 0 ) y
y
d
A x0 B y0 C 2 A B
2 2
o
P
x
Ax 0 By 0 C 1 0 Ax 0 By 0 C 1
| C2 C1 | 注意：两直线的一次项系数完全相同，若不 d 2 2 A B 同，需变成系数完全相同时才能用。
0
A
3
B
x
C 点坐标为 (
30
,
6
)
13 13
点到直线的距离
问题：已知点P的坐标为（x0, y0），直线l 的方程是 Ax+B y +C=0，怎样求点P到直线l 的距离？
设 A 0, B 0
设 R ( x R , y 0 ), S ( x 0 , y S )
R , S 在直线 Ax By C 0 上
A B AB
2
2
Ax 0 By 0 C .
从三角形面积公式可知
d· ∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣ Ax0 By 0 C 所以 d 2 2 A B 易证，当A=0或B=0时，以上公式仍适用。
设 P ( x 0 , y 0 )，直线 l : Ax By C 0
设 l1 到 l 2 的角为 ， 则
tan
k2 k1 1 k2 k1
( k1k2 1 )
2、夹角：
记夹角为，则
k2 k1 tan | |. 1 k2k1
.
2
当直线 l1 l 2 时，l1和 l 2的夹角是
两条直线的夹角 的取值范围是 (0 ， ] 2 两条直线的到角 的取值范围是 (0 ， ) .
高中数学两直线交点教案
高中数学两直线交点教案教学目标：1. 理解两条直线的交点概念。
2. 掌握求解两直线交点的方法。
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 直线的方程形式。
2. 求解两直线交点的方法。
教学难点：1. 通过代数方法求解两直线交点。
2. 将代数方法应用于实际问题。
教学准备：1. 教师准备：课件、板书、教学素材。
2. 学生准备：课本、笔记、计算器。
教学流程：Step 1：导入教师引导学生回顾直线的基本性质，以及两条直线相交的情况。
Step 2：理论学习1. 讲解两直线交点的定义。
2. 介绍求解两直线交点的方法：代数方法。
3. 举例说明代数方法的具体步骤。
Step 3：示范演练教师通过板书和实例演示如何求解两直线交点，学生跟随进行练习。
Step 4：练习检测学生独立进行练习，检测其对两直线交点的理解和掌握程度。
Step 5：拓展应用教师带领学生应用所学知识解决实际问题，如求解交通信号灯的优化问题等。
Step 6：课堂总结教师总结本节课的重点内容，强调两直线交点的概念和求解方法，并提出下节课预习内容。
Step 7：作业布置布置作业，巩固所学知识。
教学反馈：通过学生作业和课堂表现等方式进行教学反馈，及时发现和解决问题。
教学延伸：鼓励学生主动探索更多应用场景，深入了解两直线交点的实际意义。
资源链接：1. 直线方程的概念及性质2. 两直线交点的相关练习题以上为本节课的教案内容，希望能够帮助学生更好地理解和掌握两直线交点的求解方法。
祝学生学习顺利！。
《两直线的交点和点到直线的距离》课件1(北师大版必修2)
RS PR 2 PS 2
从三角形面积公式可知
d· ∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣ 所以
d
Ax0 By 0 C A B
2 2
易证，当A=0或B=0时，以上公式仍适用。
设P( x0 , y0 )，直线 : Ax By C 0 l
d
Ax0 By 0 C A2 B 2
例1 求点P0（-1, 2）到下列直线的距离 （1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。
( 解：1) 由点到直线的距离公式 ，得
d 2 (1) 2 10 22 12
10 2 5 5
(2) 直线 x 2 平行于 y 轴 ， 3 d | 2 (1) | 5 3 3
解： AC BC，且lBC : 2x 3y 6 0
设lAC : 3x 2 y m 0
将A点坐标代入得m 7
y
B
2
C 3
A
B
所以AC方程为： 2 y 7 0 3x
30 x 13 2 x 3 y 6 0 解方程组 得 3x 2 y 7 0 y 6 13
直线l1与l2相交于点 x0 , y0 ) (
说明：
1、若方程组有唯一解，则直线l1与 l2 相交 ； 2、若方程组有无数解，则直线l1 与 l2 重合 ； 3、若方程组无解，则直线l1 与 l2 平行 .
例1、等腰直角三角形ABC的直角顶点C与顶点B 所在直线为2 x 3 y 6 0, 顶点A(1,2)，求C点坐标。
7.3
平面内两直线位置关系(3) -----两条直线的交点和 点到直线的距离
一、复习回顾：
2-1-4两条直线的交点课件(北师大版必修二)(2)
题型三 直线恒过定点问题 【例 3】 (12 分)求证：无论 k 取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y －2k＝0 必过定点，并求出该定点坐标． 审题指导 由于直线方程中含有字母参数 k，当 k 取不同的实数 值时，原方程便表示不同的直线．所谓“定点”就是指无论 k 取什么值，对应的直线都经过该点． 【解题流程】 法一 令k＝0， 解方程 验证交点 → → k＝1 组求交点 总在直线上
3x＋4y－2＝0， 由方程组 2x＋y＋2＝0，
x＝－2， 解得 y＝2，
即 l1 与 l2 的交点坐标为(－2,2)．
2 ∵直线过坐标原点，所以其斜率为 k＝ ＝－1， －2 直线方程为 y＝－x，一般式为 x＋y＝0.
法二
∵l2 不过原点，
∴可设 l 的方程为 3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ≠0)， 即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0， 将原点坐标(0,0)代入上式解得 λ＝1， ∴l 的方程为 5x＋5y＝0，即 x＋y＝0.
有唯一解
则两条直线相交 ，交点坐标为 (x0，y0) ．因此，求两
条直线的交点，就是求 这两个直线方程的公共解 ． 想一想：若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于 一点？ 提示 不一定．两条直线是否交于一点，取决于联立两直线
方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多组解，则 两条直线重合．
x＋2y－1＝0， 都成立，则有 x＋y－5＝0. x＝9， ∴ y＝－4.
∴不论 m 为何实数，所给直线都过定点 P(9，－4)．
误区警示
因分类讨论不全而出错
【示例】 是否存在实数 a，使三条直线 l1：ax＋y＋1＝0，l2： x＋ay＋1＝0，3： l x＋y＋a＝0 能围成一个三角形？请说明理由． 1 [错解] (1)当 l1∥l2 时，－a＝－a，即 a＝± 1； (2)当 l1∥l3 时，－a＝－1，即 a＝1； 1 (3)当 l2∥l3 时，－a＝－1，a＝1. ∴当 a≠1 且 a≠－1 时，这三条直线能围成一个三角形．
《两直线的交点和点到直线的距离》课件1(北师大版必修2)
例2 求平行直线2x-7y +8=0和2x-7y -6=0的距离。
解： 在直线 2x 7 y 6 0 上取一点
P(3 ，) 0
y
则 P(3 ，) 到直线 2x 7 y 8 0 0 的距离就是两平行线间 的距离.
d 23 708 22 (7)2
o
P
x
14 14 53 . 53 53
作业： P54 11,12,13,14,15,16.
的距离就是两平行线间 的距离.
d
Ax0 By0 C2 A2 B 2
Ax0 By0 C1 0 Ax0 By0 C1
o P
x
| C2 C1 | 注意：两直线的一次项系数完全相同，若不 d A2 B2 同，需变成系数完全相同时才能用。
例3 与直线 x 2 y 1 0 平行且距离为5 的直线方程。
例1 求点P0（-1, 2）到下列直线的距离 （1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。
( ，得 解：1) 由点到直线的距离公式
d 2 (1) 2 10 22 12
10 2 5 5
(2) 直线 x 2 平行于 y 轴 ， 3 d | 2 (1) | 5 3 3
RS PR 2 PS 2
从三角形面积公式可知
d· ∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣ 所以
d
Ax0 By 0 C A B
2 2
易证，当A=0或B=0时，以上公式仍适用。
设P( x0 , y0 )，直线l : Ax By C 0
d
Ax0 By 0 C A2 B 2
二、讲授新课：
2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)
得交点P(－5,2)． 2 ∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－3， 2 ∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋5)． 即2x＋3y＋4＝0.
法二：设所求直线方程为2x＋3y＋m＝0，
2x＋y＋8＝0， 解方程组 x＋y＋3＝0，
得交点P(－5,2)．
把点P(－5,2)的坐标代入2x＋3y＋m＝0，求得m＝4， 故所求直线方程为2x＋3y＋4＝0.
(1)如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两 唯一公共解 个方程的 ；如果这两个二元一次方程
两直线的交点 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定
是 ．
A1x＋B1y＋C1＝0， (2)方程组 A2x＋B2y＋C2＝0.
①有唯一解⇔l1与l2 相交 ； ②有无穷多组解⇔l1与l2 重合 ； ③没有解⇔l1与l2平行 ．
6 x＝3－5k， 3x－5y－6＝0， 由 得 y＝kx， y＝ 6k . 3－5k 又∵两直线截线段中点恰好是坐标原点， －6 6 ∴ ＋ ＝0， k＋4 3－5k 1 解得k＝－6. 1 故直线l的方程是y＝－6x，即x＋6y＝0.
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
两条直线相交，交点一定在两条直线上，交
点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，
如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解， 那么以这个解为坐标的点，必是直线l1和l2的交点.
Байду номын сангаас
[例1]
直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x
＋2y＋6＝0相交于一点，求a的值． [思路点拨] 解答本题可先解出两已知直线的交
《两直线的交点和点到直线的距离》课件1(北师大版必修2)
By 0 C Ax 0 C xR , yS . A B Ax0 By0 C , PR x0 xR A
PS y0 yS
Ax0 By0 C , B
A2 B2 Ax By C . 0 0 AB
例1 求点P0（-1, 2）到下列直线的距离 （1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。
( ，得 解：1) 由点到直线的距离公式
d 2 (1) 2 10 22 12
10 2 5 5
(2) 直线 x 2 平行于 y 轴 ， 3 d | 2 (1) | 5 3 3
RS PR 2 PS 2
从三角形面积公式可知
d· ∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣ 所以
d
Ax0 By 0 C A B
2 2
易证，当A=0或B=0时，以上公式仍适用。
设P( x0 , y0 )，直线l : Ax By C 0
d
Ax0 By 0 C A2 B 2
两平行线 l1 : Ax By C1 0 ， l2 : Ax By C2 0 之间的距离 d ?
在直线l1 : Ax By C1 0 上任取一点P(x0 ，0) y 证明： y 则 P( x0 ， 0) 到直线 l2 : Ax By C2 0 y
解： AC BC，且lBC : 2x 3 y 6 0
设l AC : 3x 2 y m 0
y
2
将A点坐标代入得m 7
B
C 3
A
所以AC方程为： 2 y 7 0 3x
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《两条直线的交点》教学设计
教材分析:
当两直线相交时，我们主要研究的是两直线的交点问题，这一内容相对来说较简单，理解起来也比较容易.
教学目标：
【知识与能力目标】
掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标，理解通过解方程组求交点的意义.
【过程与方法】
通过探究两直线交点的解法，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．
【情感态度与价值观】
通过对两直线交点的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．
教学重难点：
【教学重点】
两条直线交点的求法，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
【教学难点】
启发学生, 把研究两直线交点的解法.
课前准备：
课件、学案
教学过程：
一、课题引入：
问题1：两直线相交时，你觉得有哪些需要研究的问题？
问题2：那从几何特点上交点有什么样的特征？那相关的代数解法应该是什么呢？
二、新课探究：
1. 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的
交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组111222
00A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可. 注：⑴ 若有111222
A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合，为同一方程；
⑵ 若有111222
A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行； ⑶ 若有
1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点坐标. 三、知识应用：
题型一 求两直线方程
例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：
（1）5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩；（2）26301132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩；（3）2601132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩
． 【答案】（1）1014,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（2）重合；（3）平行． 解：（1）解方程组5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得该方程组有唯一解103143x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以两直线相交，且交点坐标为1014,33⎛⎫- ⎪⎝
⎭． （2）解方程组2630 11 32x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩
①② ②×6得2x －6y+3=0，
因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．
（3）解方程组260 11 32x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩
①② ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．
【设计意图】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 教学反思：
直线交点问题容易理解，孩子自己思考一会儿就可以得到结论，主要在于解决计算问题.。