刘徽、祖冲之与圆周率

刘徽、祖冲之与圆周率

在中国，对圆周率的探求有着悠久的历史。李淳风在《隋书·律历志》中称：

古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新律，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二数之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。又设开差幂、开差立，兼以正圆参之，指要精密，算氏之最者也。

《九章算术》和《周髀算经》都取3作为圆周率的近似值。东汉著名科学家张衡获得，较《九章算术》和《周髀算经》中的“周三径一”已经有了明显的进步。东汉刘歆（？～23年）为新朝王莽所制造的“律嘉量斛”上的铭文称：

律嘉量斛，方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂百六十二寸，深尺，积一千六百二十寸，容十斗。（《隋书·律历志》，第409页）

根据铭文中的数据，不难计算得到圆周率的近似值（如图5-4所示）

这个结果又比张衡的要精确一些。

图5-4 律嘉量斛上的尺寸

三国时代的布衣数学家刘徽在注释《九章算术》圆田术时提出著名的“割圆术”。刘徽在注释中用出入相补原理证明：由周三径一的古率及圆田术文所得并不是圆的面积，而是圆内接正十二边形的面积，从而证明了取3作为圆周率的值是很不精确的；接着，刘徽用无穷分割求和原理证明了《九章算术》中的圆面积公式；最后，他给出了计算圆周率的详细过程和数据。割圆术的主要内容如下：

（1）圆面积公式的证明。

如图5-5，AB是圆O的内接正n边形的边长（设为），AD和BD是圆O 的内接正2n边形的边长。筝形OADB的面积为

故圆内接正2n边形的面积为

（12）

于是圆面积

其中C为圆的周长。

图5-5 刘徽的割圆术

（2）刘徽得到圆内接正多边形边长递推公式（今称“刘徽倍边公式”）

取R =1尺，即有

（13）

利用面积公式（12）依次求得，，，，

（平方寸），（平方寸）

求得圆周率的近似值

（3）刘徽又发现：相邻两个“差幂”的比接近1/4，即

因此圆面积

因此得

于是求得圆周率的另一近似值。如果按前面的程序算，必须算出圆内接正1536边形的边长和和圆内接正3072边形的面积。

如果祖冲之是按照刘徽的程序求圆周率的，那么要求得他的著名结果

就必须计算出圆内接正12288边形的边长和圆内接正24576边形的面积。祖冲之的这一纪录在世界上保持了千年之久，直到15世纪才为中亚数学家阿尔·卡西所突破。

关于祖冲之另一著名结果是如何得到的，学术界历来有种种推测。其中较为普遍的是所谓“调日法”。什么是“调日法”呢？我们知道，古代历法中朔望月和回归年的长度都有奇零部分，它们都是用分数来表示的。如汉代四分

历中一个朔望月的长度为日；三统历中一个朔望月长度为日。其中的分母940和81称为“日法”，分子499和43称为“朔余”。天文学家为了调节“日法”和“朔余”，以更加符合实际测定的结果，便采用了“调日法”。其

数学原理其实很简单：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，即

，则分数是的更为精确的近似值，这里，为任意正整数。一般认为，“调日法”是稍早于祖冲之的刘宋天文学家何承天（370～447年）创立的。《宋史·律历志》称：

宋世何承天更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法。承天日法七百五十二，得十五强、一弱。自后治历者莫不因承天法，累强弱之数。

意思是说，何承天以为“弱率”（即），以为“强率”（即），

于是以（，）为他实际测定的朔望月日数奇零部分

的近似分数。利用这种方法，以刘徽的为“弱率”，以约率为“强率”，则取，时即得密率：

17世纪日本数学家的有关工作增加了上述推测的可信度，尽管祖冲之未必

就以作为弱率，以作为强率。被誉为“和算之圣”的日本数学家関孝和

（1642～1708）在其《括要算法》（1712年）中从圆周率的不足和过剩近似值

和出发，对不足近似值，分子、分母分别加上的分子和分母；对过剩近似值，

分子、分母分别加上的分子和分母，依次得到

（古法），，，，，，（密率），（智术），…，

（桐陵法），…，（和古法），…，（陆绩率[1]），…，（徽率），…，

，，

从関孝和所给专门名称来看，祖冲之以前中国人所用的圆周率近似值显然不限于李淳风在《隋书·律历志》中之所举。

李淳风在介绍王莽铜斛铭文后接着说：

祖冲之以圆率考之，此斛当径一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽，庣旁一分九毫有奇。刘歆庣旁少一厘四毫有奇，歆数术不精之所致也。（隋书·律历志, 第409页）

如果用祖冲之的密率代入公式（D表示圆的直径）

得

，（尺）

与李淳风所记录的祖冲之结果相符。可见，祖冲之确利用自己的密率考察了王莽铜斛铭文上的数据，并证明了刘歆结果的粗略。

在西方，祖冲之密率直到1573年才为德国人鄂图（V. Otho, 1550?～1605）重新发现，1585年又为荷兰人安托尼兹（A. Anthonisz, 1543～1620）重新得

到。值得注意的是，安托尼兹也利用了上述“调日法”：取过剩近似值和不足近似值，分子分母各相加，即得。

第一个对中国数学家的圆周率成果作全面介绍的外国人是日本著名数学史家三上義夫（1875～1950）。早在1910年，三上義夫就在数学史专业杂志《数学文献》（Bibliotheca Mathematica）上发表论文，介绍中国数学家在圆周率方面的成就。在1913出版的英文《中日数学发展史》中，三上義夫列专章论述中国数学家的有关结果，关于祖冲之的约率和密率，三上義夫评论道：

祖冲之所得约率即为好几百年前希腊阿基米德的结果；但在数学史上，密率在祖冲之以前却未曾见于世界上任何一个国家。希腊人没有这个值；印度人对其一无所知；即便是后来有学问的阿拉伯人亦未能重新发现它。在近代欧洲，直到

1585年它才被荷兰数学家、梅丢斯之父安托尼兹获得。因此中国人拥有这个最不寻常的圆周率分数值，要比欧洲人早整整一千多年.有鉴于此，我们强烈希望将它命名为“祖冲之率”。

然而，20世纪20年代以来，祖冲之密率的独创性受到一些西方数学史家的怀疑和否定。

意大利洛利亚（G. Loria, 1862～1954）认为祖冲之是从阿基米德著作中学得求圆周率方法的；比利时教士赫师慎（L.Van Hée, 1873～1951）否定三上義夫的结论，认为《隋书·律历志》中关于祖冲之圆周率的记载是后人“受爱国之心驱使”抄袭安托尼兹结果而添入的，毫不足信。意大利汉学家、科学史家华嘉（G. Vacca, 1872～？）同样认为祖冲之密率是“西方的泊来品”。赫师慎的说法不久即受到三上義夫的有力驳斥：东京一家图书馆藏有一部1530年左右修订的《隋书》元刻本，在该版本中，关于祖冲之圆周率的那段话赫然在目！史实就是史实。不经详细考证而只是凭空怀疑、一味否定的赫师慎、洛利亚、华嘉等人的结论毕竟是站不住脚的。

最后，还需探讨一下李淳风提到的“开差幂”、“开差立”算法。这两种算法一般被认为是二、三次方程的解法。但如果我们仔细阅读李淳风的那段话，不难发现整段话是专门讲述圆周率的，只不过在最后提到祖冲之所写的书叫《缀术》而已。李淳风完全没有必要扯远。前已提及，《南齐书·祖冲之传》和《南史·文学传》的文学传皆称祖冲之“注《九章》，造《缀术》数十篇”，可见《缀术》内容丰富，造术繁多、不一而足。如果李淳风于叙述圆周率之余，想提一下祖冲之的其他数学成就的话，那么他何以仅仅提方程算法呢？难道说包含数十篇内容、博大精深的《缀术》中除圆周率外只有这两种算法值得一提吗？因此，“开差幂”和“开差立”不可能指方程算法。李淳风前面说祖冲之“更开密法”，后面说“又设开差幂、开差立”，显然说的是圆周率的一种新算法：由这种新算法得到的不是盈朒二数、不是约率、也不是密率，而是一种“兼以正圆参之，指要精密，算氏之最者”的结果。这个无法用一个分数或有限小数来表达的结果是什么呢？我们认为是圆周率的一种分析表达式：祖冲之可能受刘徽“率消息”之启示，创造性得出了圆周率的一个无穷级数。如果钱宝琮先生所言“圆”为“负”

字之误属实的话，那么所谓“兼以正负参之”就意味着祖冲之所得级数是莱布尼茨（G. W. Leibniz, 1646～1716年）型级数（即正负交错的级数），如果是这样，那么祖冲之在圆周率方面的成就就远比我们想象的要高得多。