2020届高考数学:解三角形常见题型及技巧 学案(含习题)
高考解三角形常见题型及技巧
【基础知识】
1.正弦定理 a sin A =b sin B =c sin C
=2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。
变式1:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 。 变式2:sin 2a A R =
,sin 2b B R =,sin 2c C R
= 变式3:a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C 。
2.余弦定理
a 2=
b 2+
c 2-2bc cos A ;b 2=a 2+c 2-2ac cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 (边换角后)sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C cos A 。
变式1:cos A =b 2+c 2-a 22bc ;cos B =a 2+c 2-b 22ac ;cos C =a 2+b 2-c 2
2ab
。
变式2:a 2=(b +c )2-2b c (1+cos A )(题目已知b +c ,bc 或可求时常用) 3.解三角形(知道三个元素,且含有边)
(1)已知三边a ,b ,c 或两边a ,b 及夹角C 都用余弦定理
(2)已知两边a ,b 及一边对角A,一般先用正弦定理,求sin B ,sin B =b sin A
a 。
(3)已知一边a 及两角A ,B (或B ,C )用正弦定理(已知两角,第三角就可以求)。 4.三角形常用面积公式
(1)S =12a ·h 。 (2)S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A =abc 4R 。
(3)S =1
2r (a +b +c )(r 为内切圆半径)。
5.在△ABC 中,常有以下结论: 1.∠A +∠B +∠C =π。
2.任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 3.sin(A +B )=sin C ;cos(A +B )=-cos C ;tan(A +B )=-tan C ;
sin
A +
B 2=cos
C 2;cos A +B 2=sin C
2
。 4.大边对大角,大角对大边(若A 不是最大角,则A 一定是锐角) 5.中线定理、角平分线定理
1、题目中给出等式时:先观察是否存在边的齐次、角正弦的齐次,然后进行边、角互化 如“a b =”可转化为“sin sin A B =”等(也可角化边),如“22a b =”不可转化为“2sin 2sin A B =”.
2、等式中同时出现A,B,C 三个角时,一定是会把一个角化掉(或另两个角合并成一个角),用另外两角代替,再展开,例:sin B +sin A (sin C -cos C )=0,则把B 化掉,sin(A +C )+sin A sin C -sin A cos C =0,展开后sin C (sin A +cos A )=0,sin A +cos A =0,所以tan A =-1,
3、题目中出现化简时,①出现同角正余弦相乘、半角
2
A
,用二倍角公式化简,例如A A A 2sin 21cos sin =,2
cos 12cos 2A
A +=
,②出现sin A cos C +sin C cos A 时,可以合并为sin(A+C)
4、求两个角倍数的加减运算的正余弦值时,一般展开计算,把每个角的正余弦算出来,例如:求sin(2A -B )=sin2A cos B -cos2A sin B ,然后把算出的B,2A 的正余弦值代入,即可求得。
5、代换思想
①边之比与角之比可以互化,即
B
A
sin sin b a =
,注意题目求值时可以互化求值 ②等式中出现平方项(2
a )或两边乘积(bc )时,一般用余弦定理代换或求解,例:出现
2b +2c -2a 时,用2bc cos 替换
③当等式中出现同角的正余弦且求其中一个值时,考虑平方,然后用平方和等于1代换调,用解方程的方法解出。例()
sin 41cos B B =-,
两边平方,
整理得217cos 32cos 150B B -+=,解得cos 1B =,15cos 17
B =
6、第三边上一点与顶点连线,经常用到以这个点为顶点的角的正弦值相等,余弦值相反列等式。
7、面积、范围问题:①建立如“2
2
,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系,可以通过均值不等式、三角函数有界性求出,②全部转化为角的关系,建立函数关系式,如
sin()y A x b ω?=++,从而求出范围。
【例1】
在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sin B 2-cos B 2=1
4。
(1)求cos B 的值; (2)若b 2-a 2=
314ac ,求sin C
sin A
的值。 解析:(1)出现半角,想到用倍角公式,所以需要平方 (2)出现平方运算,且有ac ,想到用余弦定理。求角之比=求边之比 【解】将sin B 2-cos B 2=1
4两边同时平方得,
1-sin B =116,得sin B =1516,故cos B =±31
16,
又sin B 2-cos B 2=14>0,所以sin B 2>cos B
2
,
所以B 2∈????π4,π2,所以B ∈????π2,π,故cos B =-31
16。 (2)由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =a 2+31
4
ac , 所以
314a =c -2a cos B =c +318
a , 所以c =318a ,故sin C sin A =31
8
。
【例2】
(2018新课标全国Ⅱ理科)在ABC △中,5
cos 2C =
,1BC =,5AC =,则AB = A .42 B .30 C .29
D .25
【解析】出现半角
2
C
用倍角公式,求出cosC,然后知道两边一角,余弦定理 因为
所以.
【答案】A 【例3】
(2019新课标全国Ⅲ理科)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知
A b C
A a sin 2
sin
=+ (1)求B ;
(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围。 【解析】(1)首先边齐次进行代换,然后2
cos 2sin
B
C A =+化简 (2)已知一个角和一条边,求面积取值范围,把面积化为关于角的一个式子求出。
【例4】
(2017新课标全国Ⅰ理科)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC △的
面积为
2
3sin a A
. (1)求sin B sin C ;
(2)若6cos B cos C =1,a =3,求ABC △的周长.
【解析】(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin a
c B A
=.
由正弦定理得
1sin sin sin 23sin A
C B A
=
.
故2sin sin 3
B C =
. (2)由题设及(1)得1cos cos sin sin 2B C B C -=-,即1cos()2
B C +=-. 所以2π3B C +=
,故π
3
A =. 由题设得2
1sin 23sin a bc A A
=,即8bc =.
由余弦定理得229b c bc +-=,即2
()39b c bc +-=,得b c +=.
故△ABC 的周长为3
【答案】(1)2
3
;(2)3【例5】
(2017新课标全国Ⅱ理科)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知
()2
sin 8sin 2
B A
C +=. (1)求cos B ;
(2)若6a c +=,ABC △的面积为2,求b .
【解析】(1)同时出现三个角时,都会用到sin
=sin A B +()(C)进行代换,出现2
B
时,用倍角公式代换,1cos 2sin 21cos2
2
2-=-=ααα (2)已知a c +,cos B 可求ac 用变形公式()()2
2
21cos b a c ac B =+-+
【解】(1)由题设及A B C ++=π,可得2
sin 8sin 2
B
B =,故()sin 41cos B B =-. 上式两边平方,整理得217cos 32cos 150B B -+=,解得cos 1B =(舍去),
15cos 17
B =
. (2)由15cos 17B =
得8sin 17B =,故14=sin 217
△ABC S ac B ac =. 又=2ABC S △,则17
2
ac =.
由余弦定理及6a c +=得:
()()2
2221715
2cos 21cos 362(1)4,217
b a
c ac B a c ac B =+-=+-+=-?
?+= 所以2b =.
【例6】
(2016新课标全国Ⅰ理科)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知
2cos (cos cos ).C a B+b A c =
(I )求C ;
(II )若c ABC △=
ABC △的周长. 【解析】(1)出现等式,首先观察是否齐次,能否边角互化,等式中边能化角,再化解 (2)根据面积求出ab ,然后已知c ,只需再求a+b
【解】(I )由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=,
()2cos sin sin C ΑΒC +=.
故2sin cos sin C C C =. 可得1cos 2C =
,所以π
3
C =.
(II )由已知,
1sin 2ab C =.又π3
C =,所以6ab =. 由已知及余弦定理得,2
2
2cos 7a b ab C +-=. 故2
2
13a b +=,从而()2
25a b +=.
所以ΑΒC △的周长为5.
1.在ABC △中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知31c =+,2b =,π3
A =
,则B =
A .
3π4
B .
π6
C .
π4
D .
π4或3π4
2.已知ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()2cos cos cos .C a B b A c +=
1,3a b ==,则c =
A .3
B .22
C .7
D .6
3.已知A B C ,,是ABC △的内角,a b c ,,分别是角A B C ,,的对边.若
222cos sin sin sin cos B A A B C --=,
(1)求角C 的大小; (2)若π
6
A =,ABC △的面积为3,M 为BC 的中点,求AM .
4.ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且3cos sin a B b A =.
(1)求角B ;
(2)若D 为BC 的中点,2,7AB AD ==ABC △的面积.
5.已知ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且ABC △的面积3S =,7b a =
,
120B =o .
(1)求b 、c 的值; (2)证明:tan 10
S
A =
.
1.【答案】C
【解析】π31,2,3
c b A =+==
Q ,由余弦定理可得:
(
)
(
)
2
222cos 4312316a b c bc A =+-=+
+-?
+=,
由正弦定理可得:3
2sin 22sin 26
b A
B a
?=
==,
,b a 4 B ∴= . 2.【答案】C 【解析】由题()2cos cos cos C a B b A c +=, 由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=, 所以 ()2cos sin sin C A B C +=即2cos sin sin C C C =, 所以在ABC △中1cos 2 C = . 又因为2221 cos ,1,322 a b c C a b ab +-= ===.所以7c = 3.【解析】(1)由222 cos sin sin sin cos B A A B C --=, 得222sin sin sin sin sin A A B C B +=-, 由正弦定理,得222c b a ab -=+,即222a b c ab +-=-, 所以2221 cos 222 a b c ab C ab ab +--= ==-, 又0πC <<,则2π 3 C =. (2)因为π6A = ,所以π6 B =. 所以AB C △为等腰三角形,且顶角2π 3 C = . 因为13sin 32ABC S ab C = ==△2a =. 在MAC △中,2AC =,1CM =,2π3 C = , 所以2222cos AM AC CM AC CM C =+-??1=4+1+221=72 ???. 解得AM = . 4.【解析】(1)cos sin B b A =Q cos sin sin ,tan A B B A B ∴=∴= 60B ∴=?. (2)设BD x =, 22+222cos607ABD x x -??=在△中,由余弦定理:, 解得:3-1x =或(舍), 6BC ∴=, 1 26sin 2 ABC S B ∴=???=△. 5. 【解析】(1)由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-及b =,120B =o ,得 2227a a c ac =++,故2260a ac c --=,故(2)(3)0a c a c -+=,故2c a =. 又ABC △的面积为21sin 2ac B a ==,解得2a =, 故b =4c =. (2)在ABC △中,由正弦定理 sin sin a b A B = ,得sin sin 14a A B b ==, 又120B =o ,所以A 是锐角,故cos 14 A == =, 所以sin tan cos A A A = == , 因为S =tan 10 S A = . 解三角形题型总结 题型一:正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、,若,2a A B ==, 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则( ) A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形 D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若 ( ) C a A c b cos cos 3=-,则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =a 2,则=a b A . B . C D 5.ABC ?中,3 π = A ,BC =3,则ABC ?的周长为( ) A . 33sin 34+??? ? ?+πB B . 36sin 34+??? ??+πB C .33sin 6+??? ??+πB D .36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中,已知3,1,60===?ABC S b A o ,则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______ 高考数学做选择题的技巧及例题 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法.运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( ) 12527. 125 36. 125 54. 125 81. D C B A 解析:某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实验. 12527)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A. 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +92 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ,若|AB|=5,则 |AF 1|+|BF 1|等于( ) A .11 B .10 C .9 D .16 解析:由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入,得|AF 1|+|BF 1|=11,故选A. 例4、已知 log (2) a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数,∵ log (2) a y ax =-在[0,1]上是减函数. ∴a>1,且2-a>0,∴1tan α>cot α( 24π απ < <- ),则α∈( ) A .(2π- ,4π - ) B .(4π- ,0) C .(0,4π ) D .(4π,2π) 解析:因 24 π απ < <- ,取α=-6π 代入sin α>tan α>cot α,满足条件式,则排除A 、C 、D ,故选B. 例6、一个等差数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为( ) 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。 (1)三边之间的关系:a 2 +b 2 =c 2 。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A +B =90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B = c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 (1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =21 ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高); (2)?S =21ab sin C =21bc sin A =2 1 ac sin B ; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第1、已知三边求三角. 绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷 试卷副标题 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题(题型注释) 1.在ABC ?中,若00120306===B A a ,,,则△ABC 的面积是= ( ). A .93 B.9 C.183 D.18 【答案】A 【解析】 试题分析:在ABC ?中,0 30180,120,30=--=∴==B A C B A Θ,ABC ?∴是等腰三角形, 6==a c ,由三角形的面积公式得 392 36621sin 21=???== ?B ac S ABC . 考点:解三角形. 2.[2014·广西模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,ac =3,且a =3bsinA ,则△ABC 的面积等于( ) A. 12 B.32 C.1 D.34 【答案】A 【解析】∵a =3bsinA ,∴由正弦定理得sinA =3sinBsinA.∴sinB = 1 3 .∵ac =3,∴△ABC 的面积S =12acsinB =12×3×13=1 2 ,故选A. 第II 卷(非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题(题型注释) 3.在ABC ?中,已知tan AB AC A ?=u u u r u u u r ,当6 A π =时,ABC ?的面积为________. 【答案】1 6 【解析】由tan AB AC A ?=u u u r u u u r 得,tan tan 26||||cos tan ,||||cos 3 cos 6 A AB AC A A AB AC A π π?=?== =u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以,11221 ||||sin sin 223636 ABC S AB AC A π?=?=??==u u u r u u u r . 考点:平面向量的数量积、模,三角形的面积. 4.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,已知a 、b 、c 成等比数列,且a 2 -c 2 =ac -bc ,则A =________,△ABC 的形状为________. 【答案】60° 正三角形 【解析】∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2 =ac . 又a 2-c 2=ac -bc ,∴b 2+c 2-a 2 =bc . 在△ABC 中,由余弦定理得cos A =2222b c a bc +-=2bc bc =1 2 ,∴A =60°. 由b 2 =ac ,即a =2b c ,代入a 2-c 2 =ac -bc , 整理得(b -c )(b 3+c 3+cb 2 )=0, ∴b =c ,∴△ABC 为正三角形. 三、解答题(题型注释) 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ,设S 为△ABC 的面积,且 22 2)S b c a = +-。 (Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若6a =,求△ABC 周长的取值范围. 【答案】(1)3 π = A ;(2)周长的取值范围是(12,18]. 【解析】 试题分析:(1)在解决三角形的问题中,面积公式 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法: 从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置,进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样的情况下才可使用,特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a >b >0,且ab =1,则下列不等式成立的是( ) A.a +1b <b 2a <log 2(a +b ) B.b 2a <log 2(a +b )<a +1 b C.a +1b <log 2(a +b )<b 2 a D.log 2(a +b )<a +1b <b 2 a 例2.设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈,则()f n =( ) A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一(特值法):令0n =,则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--,对照选项,只有D 成立。 思路二:f (n )是以2为首项,8为公比的等比数列的前4n +项的和,所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--,选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数,则(2)y f x =的对称轴是( ) A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】:因为若函数(1)y f x =+是偶函数,作一个特殊函数2 (1)y x =-,则(2)y f x =变为2 (21)y x =-,即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ,选C 例4.△ABC 的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,=m(++)OH OA OB OC ,则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ,点O 为斜边的中点,点H 与三角形直角顶点C 重合,这时候有=++OH OA OB OC ,所以m=1 (一)数学选择题的解题方法 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( ) 125 27.12536.12554.12581.D C B A 解析:某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(333223=?+??C C 故选A 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于( ) A .11 B .10 C .9 D .16 解析:由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入,得|AF 1|+|BF 1|=11,故选A 。 例4、已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数,∵ log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数。 ∴a>1,且2-a>0,∴1tan α>cot α(24παπ<<- ),则α∈( ) A .(2π-,4π-) B .(4π-,0) C .(0,4π) D .(4π,2 π) 解析:因24παπ<<-,取α=-6 π代入sin α>tan α>cot α,满足条件式,则排除A 、C 、D ,故选B 。 例6、一个等差数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为( ) A .-24 B .84 C .72 D .36 解析:结论中不含n ,故本题结论的正确性与n 取值无关,可对n 取特殊值,如n=1,此时a 1=48,a 2=S 2-S 1=12,a 3=a 1+2d= -24,所以前3n 项和为36,故选D 。 (2)特殊函数 例7、如果奇函数f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 第一章 解三角形 1、正弦定理: 在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ?AB 的外接圆的半径,则有: 2sin sin sin a b c R C ===A B . 2、正弦定理的变形公式: ①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R A = ,sin 2b R B =,sin 2c C R =; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。 2、已知两角和一边,求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)如:在三角形ABC 中,已知a 、b 、A (A 为锐角)求B 。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二:是算出CD=bsinA,看a 的情况: 当a 注:当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式: 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B . 4、余弦定理: 在C ?AB 中,有2222cos a b c bc =+-A , 2222cos b a c ac =+-B , 2222cos c a b ab C =+-. 5、余弦定理的推论: 222 cos 2b c a bc +-A =, 222 cos 2a c b ac +-B =, 222 cos 2a b c C ab +-=. (余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状: 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边,则: ①若222a b c +=,则90C =; ②若222a b c +>,则90C <; ③若222a b c +<,则90C >. 7、正余弦定理的综合应用: 如图所示:隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O , 必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1:利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中,已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解:::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。 例2在ABC 中,已知 ,C=30°,求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。 解:∵C=30°, ,∴由正弦定理得: sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin (150°-A ). ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°,即A=75°时,a+b 取得最大值 2 ; ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A <150°,∴0°<A <150°, ∴-75°<75°-A <75°,∴cos75°<cos(75°-A)≤1, ∴> 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2:利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中,2 a ·tanB=2 b ·tanA ,判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC 的形状。 高考数学选择题技巧精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 高考数学选择题的解题策略 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过40分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在1~3分钟内解完,要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。 (一)数学选择题的解题方法 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为,经过3次射击,此人至少有2次 击中目标的概率为 ( ) 解析:某人每次射中的概率为,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆 于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于( ) 高考数学选择题解题技巧 数学选择题在当今高考试卷中,不但题目多,而且占分比例高。数学选择题具有概括性强,知识覆盖面广,小巧灵活,且有一定的综合性和深度等特点,考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题,成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过40分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在1~3分钟内解完,要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( ) 125 27 . 12536.12554.12581.D C B A 解析:某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于 ( ) A .11 B .10 C .9 D .16 解析:由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入,得|AF 1|+|BF 1|=11,故选A 。 例4、已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数,∵ log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数。 ∴a>1,且2-a>0,∴1tan α>cot α(2 4 π απ < <-),则α∈( ) A .(2π- ,4π-) B .(4π-,0) C .(0,4π) D .(4π,2 π) 解析:因24παπ<<-,取α=-6 π 代入sin α>tan α>cot α,满足条件式,则排除A 、C 、D ,故选B 。 例6、一个等差数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为( ) A .-24 B .84 C .72 D .36 解析:结论中不含n ,故本题结论的正确性与n 取值无关,可对n 取特殊值,如n=1,此时a 1=48,a 2=S 2-S 1=12,a 3=a 1+2d= -24,所以前3n 项和为36,故选D 。 (2)特殊函数 例7、如果奇函数f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 解三角形 解三角形 正弦定理的基本运用 1、 △A BC 中,sin 2A =sin 2B +sin 2C ,则△ABC 为 。 2、 在△ABC 中,b cos A =a cos B ,则三角形为 。 3、 已知△ABC 中,a =10,B =60°,C =45°,则c = 。 4、 在△ABC 中,已知150,350,30==?=c b B ,那么这个三角形是 。 5、 在ABC ?中,?===452232B b a ,,,则A 为 。 6、 在△ABC 中,A =60°,C =45°,b =2,则此三角形的最小边长为 。 余弦定理的基本运用 1、 在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+bc ,则A 等于 。 2、 已知△ABC 的面积2,32,3===b a S ,解此三角形。 3、 在△ABC 中,1326+===c b a ,,,求A 、B 、C 。 4、 在△ABC 中,化简b cos C +c cos B = 。 5、 在△ABC 中,化简 ) cos cos cos (222c C b B a A c b a abc ++++。 正余弦定理的综合运用 1、已知在△ABC 中,c =10,A =45°,C =30°,求a 、b 和 B 。 2、在△ABC 中,c =22,tan A =3,tan B =2,试求a 、b 及此三角形的面积。 3、在△ABC 中,a =2,A =30°,C =45°,则△ABC 的面积S △ABC 等于 。 4、已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为。 5、△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为3,则△ABC外接圆的直径 为。 6、在△ABC中,BC=3,AB=2,且 )1 6 ( 5 2 sin sin + = B C ,A=。 必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1:利用正弦定理解三角形 例1在ABC中,已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 例2在ABC中,已知,C=30°,求a+b的取值范围。 考察点2:利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC中,2a·tanB=2b·tanA,判断三角形ABC的形状。 例4在△ABC 中,如果lg lg lg sin a c B -==-,并且B 为锐角,试判断此三角形的形状。 考察点3:利用正弦定理证明三角恒等式 例5在△ABC 中,求证 222222 0cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A ---++=+++. 例6在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,C=2B ,求证2 2 c b ab -=. 考察点4:求三角形的面积 例7在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边,若2,,cos 4 25 B a C π == =,求△ABC 的面积S. 例8已知△ABC 中a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边,△ABC 的外接圆半径为12,且3 C π =, 求△ABC 的面积S 的最大值。 考察点5:与正弦定理有关的综合问题 例9已知△ABC 的内角A,B 极其对边a,b 满足cot cot ,a b a A b B +=+求内角C 例10在△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c,且c=10, cos 4 cos 3 A b B a ==,求a,b 及△ABC 专题一数学客观题的解题方法与技巧 专题一I 选择题的解法 高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现以考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字—准确、迅速.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 选择题具有题小、量大、基础、快捷、灵活的特点,是高考中的重点题型.在高考试卷中数量最大,占分比例高.全国卷的选择题占60分.因此,正确的解好选择题已成为高考中夺取高分的必要条件. 选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了,但知识覆盖面广,要求解题熟练、准确、灵活、快捷.应“多一点想的,少一点算的”,该算不算,巧判断.因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解答过程.在对照选项的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速的选择巧法,以便快速智取. 选择题的巧解说到底就是要充分利用选项提供的信息,发挥选项的作用.能力稍差的学生解选择题仅仅顾及题干,然后像解答题那样解下去,选项只取了核对的作用.本来像选择题这样的小题应当“小题小作”,但却做成了解答题.至少做成了填空题.这样就“小题大作”了,导致后面的解答题没有充裕的时间思考,这是不划算的. 由于选择题结构特殊,不要求反映过程,再加上解答方式没有固定的模式,灵活多变,具有极大的灵活性.选择题的解题思想,渊源于选择题与常规题的联系与区别,它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹;而另一方面,选择题在结构上具有自己的特点,即至少有一个答案是正确的或合适的.因此,可充分利用题目提供的信息,排除迷惑支的干扰,正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支;选择题中的错误支具有双重性,既有干扰的一面,也有可利用的一面.只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用,从而从反面提供信息,迅速做出判断. 1.选择题的解题策略 解题的基本策略是:充分地利用题干和选择支的两方面条件所提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后推理;先间接后直解,先排除后求解. 一般地,解答选择题的策略是: ①熟练掌握各种基本题型的一般解法; ②结合高考单项选择题的结构(由“四选一”的指令、题干和选择项所构成)和不要求书写解题过程的特点,灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧;高中解三角形题型大汇总
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