八年级数学 《全等三角形》专题训练 (10)

八年级数学 《全等三角形》专题训练

1. 已知：如图，A 、B 、C 、D 四点在∠MON 的边上，AB ＝CD ，P 为∠

MON 内一点，并且△PAB 的面积与△PCD 的面积相等．

求证：射线OP 是∠MON 的平分线．

2. 已知：如图，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ．求证：AM ＝BN ．

分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证PA ＝______， 只要证______≌______．

证明：在△______与△______中，

?????∠=∠=∠=∠),

______(______),

______(______),______(______ ∴ △______≌△______ （ ）．

∴PA ＝______ （ ）．

∵PM ＝PN （ ），

∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．

3. 下列说法正确的是 （ ）

A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等

B．斜边相等的两个直角三角形全等

C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等

D．一边长相等的两等腰直角三角形全等

4.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，

AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．

5.已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠

2．

求证：OB＝OC.

6.已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．

（1）求证：AC与BD互相平分；

（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE ＝OF.

7.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，

DF⊥AC于F.

求证：DE＝DF．

8.下列各组条件中，可保证△ABC与△A'B'C'全等的是（）

A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'

B．AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠B＝∠B'

C．AB＝C'B'，∠A＝∠B'，∠C＝∠C'

D．CB＝A'B'，AC＝A'C'，BA＝B'C'

9.已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．

求证：HN＝PM.

10.能确定△ABC≌△DEF的条件是（）

A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E

B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E

C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D

D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E

11.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到

斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）

12.AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，下列结论

错误的是（ ）

A ．DE ＝DF

B ．AE ＝AF

C ．B

D ＝CD D ．∠AD

E ＝∠ADF

13.已知：如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ．

（1）求证：AM 平分∠DAB ；

（2）猜想AM 与DM 的位置关系如何？并证明你的结论．

14.阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和CD 相交于点O ，且

OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．

答：△AOD ≌△COB ．

证明：在△AOD 和△COB 中，

??

???∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A ∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．

问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？

15.已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.

16.到角的两边距离相等的点，在_____.所以，如果点P到∠AOB两

边的距离相等，那么射线OP是_____．

17.直角三角形全等的判定方法有_____ （用简写）．

18.角的平分线的性质是___________________________．它的题设是

_________，结论是_____．

19.如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的

距离等于5cm，则BC的长为_____cm．

20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一

个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：

（1）可选择的地点有几处？

（2）你能画出塔台的位置吗？

21.在ΔABC和ΔDEF中，若∠B＝∠E＝90°，∠A＝34°，∠D＝56°，

AC ＝DF ，贝ΔABC 和ΔDEF 是否全等？答：______，理由是______．

22.如图，在ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若

△BCD 与△BCA 的面积比为3∶8，求△ADE 与△BCA 的面积之比．

23.已知：如图，AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ．

求证：BD ＝CE ．

24.如图，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ，

求证：△ABC ≌△BAD ．

证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，

∴______＋______＝______＋______，

即______＝______．

在△ABC 和△BAD 中，

＝______（已知），

??

???===),______(______),______(______),______(______已证已知

∴△ABC ≌△BAD （ ）．

25.如图，E 在AB 上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC 等于AD 吗？为

什么？

26.利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角，你能说明其作法的理

论依据吗？

27.如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC

于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）

A ．mn 31

B ．mn 2

1 C ．mn D ．2mn

28.如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，

则∠EAC 的度数为 （ ）

A ．40°

B ．35°

C ．30°

D ．25°

29.在一池塘边有A、B两棵树，如图．试设计两种方案，测量A、B

两棵树之间的距离．

30.请分别按给出的条件画△ABC（标上小题号，不写作法），并说明

所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？

①∠B＝120°，AB＝2cm，AC＝4cm；

②∠B＝90°，AB＝2cm，AC＝3cm；

③∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝3cm；

④∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝2cm；

⑤∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝1cm；

⑥∠B＝30°，AB＝2cm，AC＝1.5cm．

31.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，

过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．

（2）如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．

①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

32.如图，已知AB⊥CF，DE⊥CF，垂足分别为B，E，AB＝DE．请添加

一个适当条件，使ΔABC≌ΔDEF，并说明理由

添加条件：

______________________________________________________，理由是：

_____________________________________________________．

33.已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．

分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，

又需证______≌______．

证明：∵AB∥CD（），

∴∠______＝∠______ （），

在△______和△______中，

?????===),

______(______),______(

______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）．

∴ ∠______＝∠______ （ ）．

∴ ______∥______（ ）．

34.如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面

的B 点处打开，墙壁厚是35 cm ，B 点与O 点的铅直距离AB 长是20 cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35 cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20 cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．

35.如图，公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在AB 、

BC 、CD 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试判断三只石凳E ，M ，F 恰好在一直线上吗？为什么？

36.已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝

AC ．

37.已知：如图，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ．

分析：要证OA ＝OB ，OC ＝OD ，只要证______≌______．

证明：∵ AC ∥BD ，∴ ∠C ＝______．

在△______与△______中，

?????==∠∠=∠),

______(______),

______(),______(C AOC ∴______≌______ （ ）．

∴ OA ＝OB ，OC ＝OD （ ）．

38.已知：如图，ΔABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线BF 、CF 交于

点F .

求证：一点F 必在∠DAE 的平分线上．

39.已知：如图，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形

ABCD ．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？

若存在，请找出此点，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．

40.已知：如图，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．求证：∠D

＝∠B ．

分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______

证明：在△AOD 与△COB 中，

?????=∠=∠=),______(),______(

______),(OD CO AO

∴ △AOD ≌△______ （ ）．

∴ ∠D ＝∠B （______）．

41.如图，已知ΔABC ≌ΔA 'B 'C '，AD 、A 'D '分别是ΔABC 和ΔA 'B 'C '

的角平分线．

（1）请证明AD ＝A 'D '；

（2）把上述结论用文字叙述出来；

（3）你还能得出其他类似的结论吗？

42.完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．

（1）如果一个点在角的平分线上，那么_____；

（2）如果一个点到角的两边的距离相等，那么_____；

（3）综上所述，角的平分线是_____的集合．

43.已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加

条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．

44.如图，AB＝AC，AD⊥BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有

（）对全等三角形．

A．3 B．4 C．5 D．6

45.如图，要判定ΔABC≌ΔADE，除去公共角∠A外，在下列横线上

写出还需要的两个条件，并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据．

（1）∠B＝∠D，AB＝AD（）；

（2）_____，_____（）；

（3）_____，_____（）；

（4）_____，_____（）；

（5）_____，_____（）；

（6）_____，_____（）；

（7）_____，_____（）．

46.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三

点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．

47.用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分

别取OM＝ON（如图），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．

48.画一画．已知：如图，线段a、b、c．

求作：ΔABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．

49.已知：如图，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．

50.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在

OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.

求证：CM＝CN．

51.如图，若AB＝CD，DE＝AF，CF＝BE，∠AFB＝80°，∠D＝60°，

则∠B的度数是（）

A．80° B．60° C．40° D．20°

52.如图，AB＝CD，AD＝CB，AC、BD交于O，图中有（）对全

等三角形．

A．2 B．3 C．4 D．5

53.已知：如图，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.

54.“三月三，放风筝”．图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH

＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．

55.已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．

56.如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则

下列结论中错误的是（）

A．PC＝PD B．OC＝OD

C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC

57.已知：如图，直线AB及其上一点P．

求作：直线MN，使得MN⊥AB于P．

58.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的

若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．

59.已知：如图所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°

得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．

60.已知：如图，△AB C．

求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等．

作法：

61.已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于

F，BC＝10，BE＝4．求BM、CF的长．

62.填空（1）三角形的三条角平分线_____它到_____________．

（2）三角形内．．．．

，到三边距离相等的点是______________． 63.如图，△ABC 中，若∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，CD ＝BF ，则∠EDF ＝ （ ）

A ．90°－∠A

B ．A ∠-2

190o

C ．180°－2∠A

D ．A ∠-21

45o

64.已知：如图，在ΔABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，E 、F 分别是

AB 、AC 上一点，并且有∠EDF ＋∠EAF ＝180°．试判断DE 和DF 的大小关系并说明理由．

65.如图，小明与小敏玩跷跷板游戏．如果跷跷板的支点O （即跷

跷板的中点）到地面的距离是50 cm ，当小敏从水平位置CD 下降40 cm 时，小明这时离地面的高度是多少？请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理．

66.如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，

和△ABC 全等的图形是 （ ）

A ．甲和乙

B ．乙和丙

C ．只有乙

D ．只有丙

67.已知：如图，∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线OC ．

68.已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．

求证：RM 平分∠PRQ ．

分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______，

只要证______≌______

证明：∵ M 为PQ 的中点（已知），

∴______＝______

在△______和△______中，

?????===),

______(____________,

),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）．

∴ ∠PRM ＝______（______）．

即RM ．

69.判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是_____．

70.已知：如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，

需证明Δ______≌△______，理由为______．

71.如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌

△CDN的是（）

A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN

72.如图，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你

的结论．

73.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝DC：（2）

AD∥BC．

74.已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC；