第四讲 绝对值函数和绝对值不等式

绝对值函数和绝对值不等式

1

1

n

n i

i i i z z .

【方法概论】

遇到绝对值的问题时，方法主要以下几种：分类讨论：即去掉绝对值；这种方法是解决绝对值问题的基本办法。

典型例题：

22cos ,||1,

2

1,||1,

x x x x )+f (x +l )－2|+|f (x )－f (x+l )|≥2

【过关习题4】

1.【2018年学考选考十校联盟，☆☆】已知a ，b 是实数，则“|a |≤1且|b |≤1”是“|a +b |+|a －b |≤2”的 .

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

2.【2018年绍兴高三适应性考试，，☆☆】已知a >0，函数f (x )=|x 2+|x －a |－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a = .

3.【2018年温州二模，17，，☆☆☆】已知f (x )=x 2－ax ，|f (f (x ))|≤1在[1，2]上恒成立，则实数a 的最大值为 .

4.【2017年绍兴诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数f (x )=|x 2+ax +b |在区间[0，c ]内的最大值为M (a ，b ∈R ，c >0为常数)且存在实数a ，b ，使得M 取最小值2，则a +b +c = .

5.【☆☆】设正实数x ，y ，则|x －y |+1

x

+y 2的最小值为 .

6.【2017年杭州二模，10，☆☆】设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R)的两个零点为x 1、x 2，若|x 1|+|x 2|≤2，则 .

A .|a |≥1

B .|b |≤1

C .|a +2b |≥2

D .|a +2b |≤2

7.【2017年浙江4月份学考，☆☆】已知a ，b ∈R ，a ≠1，则|a +b |+⎪⎪⎪⎪1

a +1－

b 的最小值为 . 8.【2017年浙江绍兴市柯桥中学5月质检，8，☆☆】已知x ，y ∈R ，则 . A .若|x 2+y |+|x －y 2|≤1，则⎝⎛⎭⎫x +122+⎝⎛⎭⎫y －122≤3

2 B .若|x 2－y |+|x －y 2|≤1，则⎝⎛⎭⎫x －122+⎝⎛⎭⎫y －122≤32 C .若|x +y 2|+|x 2－y |≤1，则⎝⎛⎭⎫x +122+⎝⎛⎭⎫y +122≤32 D .若|x +y 2|+|x 2+y |≤1，则⎝⎛⎭⎫x －122+⎝⎛⎭⎫y +122≤32

9.【2016年浙江高考，8，☆☆☆】已知实数a 、b 、c ，下面四个选项中正确的是 . A .若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 B .若|a 2+b +c |+|a 2+b －c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 C .若|a +b +c 2|+|a +b －c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100 D .若|a 2+b +c |+|a +b 2－c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100

10.【2017年杭州高级中学最后一模，17，☆☆】设实数x ，y ，z 满足⎩⎨⎧|x +2y －3z |≤6，|x －2y +3z |≤6，

|x －2y －3z |≤6，|x +2y +3z |≤6，则

|x |+|y |+|z |的最大值为 .

11.【2017年浙江名校协作体，7，☆】设f (x )=|2x －1|，若f (x )≥|a +1|－|2a －1|

|a |对任意的a

≠0恒成立，则x 的取值范围为 .

12.【2016年浙江样卷，☆】已知f (x )=ax 2+bx +c ，a 、b 、c ∈R ，且a ≠0，记M (a ，b ，c )为|f (x )|在[0，1]上的最大值，则

a +

b +2c

M (a ，b ，c )

的最大值是 .

13.【☆☆】设函数f (x )=|x 2+ax +b |，若对任意的实数a 、b ，总存在x 0∈[0，4]使得f (x 0)≥m 成立，则实数m 的取值范围是 .

14.【2017年浙江缙云、富阳、长兴联考，☆☆☆】已知函数f (x )=－x 3－3x 2+x ，记M (a ，b )为函数g (x )=|ax +b －f (x )|(a >0，b ∈R)在[－2，0]上的最大值，则M (a ，b )的最小值为 . 15.【2017年杭州一模，9，☆☆☆】设函数f (x )=x 2+ax +b ，记M 为函数y =|f (x )|在[－1，1]上的最大值，N 为|a |+|b |的最大值，则 . A .若M =13，则N =3 B .若M =1

2，则N =3

C .若M =2，则N =3

D .若M =3，则N =3

16.【2017年诸暨，☆☆☆】设函数f (x )=|ax +2x +b |，若对任意的x ∈[0，4]，函数f (x )≤

1

2恒成立，则a +2b = .

17.【浙江省绍兴市2017届高三二模，17，☆☆☆】已知对任意实数x 都有|a cos 2x +b sin x +c |≤1恒成立，则|a sin x +b |的最大值为 .

18.【浙江省嘉兴市2016届高三教学质量测试(二)，14，☆☆】

设max{a ，b }=⎩

⎨⎧a (a ≥b )

b (a

的最小值为 ．

19.【☆☆】已知f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，若对任意的|x |≤1，都有|f (x )|≤1，则|a |+|b |+|c |的最大值为 .

20.【2014年湖南高考，☆☆】在直角平面坐标系xOy 中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|=1，则|OA →+OB →+OD →

|的最大值为 .