数理方程公式大全
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数理方程公式大集合
1. 考察两端固定的弦的自由振动问题
● 可得出 X"(x) + l X(x) ＝ 0 在不同的齐次边界条件下的本征函数系(表2-1). 容易发现如下的规律:
● (1)若齐次边界条件含X (0)＝0，则本征函数为正弦函数；若齐次边界条件含X ‘ (0) ＝ 0，则本征函数为余弦函数 ● (2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类)，则本征函数的宗量为
若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函数的宗量为
2. 有界长杆的热传导问题
3. 二维拉普拉斯方程的边值问题
4. 圆域上拉普拉斯方程的边值问题 (化为极坐标)
⎪⎩
⎪
⎨⎧====><<=),()0,( ),()0,( ,0),( ,0),0(
),0 ,0( 2x x u x x u t l u t u t l x u a u t xx tt ψϕ sin )cos sin (),(1
∑∞
=+-=
n
n n t
l
x
n l at n b l at n a l a n t x u ππππ,sin
)(2
dx l
x
n x l
a l
n ⎰=
πϕ,sin
)(2
dx l
x
n x a
n b l
n ⎰=
πψπ⎪⎩⎪
⎨⎧===><<= ),()0,( ,0),( ,
0),0( ),0 ,0( 2x x u t l u t u t l x u a u xx t ϕ,sin ),(1
)(2l x n e a t x u n t l a n n ππ∑∞=-=,sin
)(20dx l x n x l a l n ⎰=πϕ⎪⎩⎪⎨⎧====<<<<=+ .0),( ,0),0( ),(),( ),()0,
(
),y 0 ,0( 0y a u y u x g b x u x f x u b a x u u yy xx sin
) (),(1
∑∞
=-
+=
n y a
n n y a
n n x a
n e
b e
a y x u πππ
,sin )(2
0⎰=+a
n n xdx a
n x f a b a π
,sin
)(2
⎰=
+-
a
b a
n n b a
n n xdx a
n x g a
e
b e
a π
π
π1
1
),
0(0r r <<
5. 圆域内的泊松公式
6. 无限长弦自由振动问题
的达朗贝尔解为公式
其中方程(3)的通解形式为
7. 无限长弦强迫振动问题
的解为公式
和差化积
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
积化和差
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有负号） cosαcosβ= [cos(α-β)+cos(α+β)]/2 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
).(|
θf u r r ==)
20(πθ≤≤.)sin cos (21),(10∑∞
=++=n n n n r n b n a a r u θθθ⎰
=πθθθπ20
cos )(1d n f r a n n ⎰
=π
θ
θθπ20
sin )(1
d n f r b n
n
), ,2 ,1 ,0( =n ),
,2 ,1( =n ),( )
(cos 2)(21
),(020
02
202
20r r d n r r r r r r f r u <--+-=⎰
ϕϕθϕπ
θπ
),
0 ,( 2>+∞<<-∞=t x u a u xx tt
)
()0,( ),()0,
(x x u x x u t ψϕ==2
)()(),(at x at x t x u ++-=
ϕϕ.
)(21
⎰+-+at
x at
x
d a ααψ).
()(),(at x g at x f t x u ++-=(3)
),
0 ,( ),(2>+∞<<-∞+=t x t x f u a u xx tt )
()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2
)
()(),(at x at x t x u ++-=
ϕϕ⎰+-+
at
x at
x
d a
ααψ)(21.
.),(21
)
()
(⎰⎰-+--+
t t a x t a x
d d f a
τξτξττ