一次方程与不等式

课题六：一次方程与一次方程组

一、考点讲解：

1．能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

2．会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。新课标中虽然删去“消元法，三元一次方程组，增根”，但“消元”的思想和方法应该让学生掌握。 3．根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 二、经典考题剖析：

1．将17.015.0=-x 变形为7

101510-=x ，其错在（ ）

A ．不应将分子、分母同时扩大10倍

B ．移项未改变符号

C ．去括号出现错误

D ．以上都不是 2．小王在解方程5a —x=13(x 为未知数)时，误将－x 看作+x ，得方程的解为x=－2，则原方程的解为（ ） A ．x=－3 B ．x=0 C ．x=2 D ．x=1 3．分式方程

1

12

x x =+的解是……………（ ） A. x=1 B. x=－1 C. x=2 D. x=－2

4．某商店一套夏装的进价为200元，按标价的80%销售可获利72元，则该服装的标价为 元． 5．若关于x 的方程

233

x m

x x -=--无解，则m 的值为_______． 6．把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有_____种换法． 7．解方程：（1）112

62213x x =--- (2) 3582 1.

x y x y +=??-=?，

8．学生问老师多少岁，老师说我像你这么大时你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了，请你算算老师、学生各多少岁？

9．在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现再另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

10.某水果批发市场香蕉的价格如下表：

购买香蕉数 （kg ） 不超过 20kg 20kg 以上但

不超过40kg

40kg 以上

每千克价格

6元

5元

4元

张强两次共购买香蕉50kg （第二次多于第一次），共付款264元，?请问张强第一次、第二次各购买香蕉多少千克？

三、针对性训练：

1．下列各式不是方程的是（ ）

A ．x 2

+x ＝0 B ．x=y C ．x 2

－2xy+y 2

－2x D ．y=－1 2．三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 3．已知方程

3233x x x

=---有增根，则这个增根一定是（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4．关于x 的分式方程15

m

x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定

5．已知x 、y 满足方程组?

?

?=+=+,42,

52y x y x 则x －y 的值为________.

6．当x=______时，代数式x-12x 43-的值与的值的差是2． 7．解方程（组）： （1）3

)

12(214)12(3-=

-+x x ； （2）2(2)3(1)13,3(2)5(1)30.9

x y x y +--=??++-=? （3）13213231x x -=-- （4）120112x x

x x

-+=+-

8．若关于x 的方程1

1

ax x +--1=0无实根，则求a 的值．

9．某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召，在本乡建起了农民文化活动室，现要将其装修．若甲、?乙两个装修公司合做需8天完成，需工钱8000元；若甲公司单独做6天后，剩下的由乙公司来做，还需12天完成，共需工钱7500元．若只选一个公司单独完成．从节约开支角度考虑，该乡是选甲公司还是选乙公司？请你说明理由．

课题七：一元二次方程

一、考点讲解：

1．能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 2．经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程 3.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法 (2) 配方法 (3)公式法（求根公式x=

-b ±b 2-4ac

2a

） （4）因式分解法

4．理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程（通过对配方法的讲解过程，使学生理解“判别式”的意义，并能运用判别式去判断一元二次方程的根的个数）。 二、经典考题剖析：

1．关于x 的一元二次方程x 2

＋kx －1=0的根的情况是

A ．有两个不相等的同号实数根

B ．有两个不相等的异号实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．没有实数根

2．要使分式4

452

-+-x x x 的值为0，则x = ．

3．写出一个一元二次方程，使它的一个根是1，另一个根满足－1＜x ＜0，这个方程可以是：__________________．

4．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程．

①x 2－3x ＋1＝0；②(x －1)2＝3；③x 2－3x ＝0；④x 2

－2x ＝4．

5．阅读材料：如果1x ，2x 是一元二次方程2

0ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c

x x x x a a

+=-

=. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如12,x x 是方程2

630x x +-=的两根，求2

2

12x x +的值.解法可以这样：

126,x x +=-123,x x =-则222

212

112()2x x x x x x +=+-= 2(6)2(3)42--?-=. 请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求：

（1）

12

11

x x +的值； （2）2

12()x x -的值.

三、针对性训练：

1．下列方程中，无论a 取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．02=++c bx ax B ．x x ax -=+221 C ．0)1()1(222=--+x a x a D ．03

1

2=-++

a x x 2．关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则（ ）

A ．k ＜0

B ．k ＞0

C ．k ≥0 D．k ≤0

3．方程

2

x 29-=（）的解是 （ ） A ．1

2x 5 x 1==-， B ．12x 5 x 1=-=， C ．12x 11 x 7==-， D ．12x 11 x 7=-=，

4．若关于x 的一元二次方程0235)1(22

=+-++-m m x x

m 的常数项为0，则m 的值等于 （ ）

A ．1

B ．2

C ．1或2

D ．0

5．如果－1是方程2 x 2

＋bx －4＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A.－2 B.2 C.－1或2 D.1

6．已知方程（x+a ）（x －3）=0和方程x 2

－2x －3=0的解相同，则a=__________； 7．若方程mx 2

+3x -4=3x 2

是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 ；

8．小华在解一元二次方程x 2

－4x ＝0时．只得出一个根是x ＝4，则被他漏掉的一个根是x ＝____ ； 9．已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式2

35(2)362

x x x x x -÷+---的值为 ；

10．已知关于x 的一元二次方程

()21210k x x ++-=有两个不相同的实数根，则k 的取值范围是 ；

11．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平

均增长率为________； 12．选用合适的方法解下列方程：

(1)(x +6)2

=5 (2)x 2

-4x +1=0 (3)x 2

-4x-5=0 (4) 22)25(96x x x -=+-

13．解方程2

6120x x --=（用配方法）

14．义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2008年底全市汽车拥有量为114508辆．己知

2006年底全市汽车拥有量为72983辆．请解答如下问题：

（1）2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率？（结果精确到0.1％）

（2）为保护城市环境，要求我市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量

是上年底汽车拥有量的4％，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位）

A ．

B ．

C ．

D ．

课题八：一元一次不等式

一、考点讲解：

1．能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。

2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。 3．能够根据具体问题中的大小关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题。 二、经典考题剖析：

1．已知a ＜b ，下列四个不等式中不正确的是（ ）

A ．b a 44<

B ．b a 44-<-

C ．44+<+b a

D ．0<-b a

2．把不等式组x 315x 6-???

＜－－＜的解集表示在数轴上，正确的是 （ ）

3．关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如右图所示，则a 的取值是（ ）

A 、0

B 、－3

C 、－2

D 、－1

4．小亮用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小亮最多能买 支钢笔． 5．解不等式

31x -≥7

31x

-，将解集在数轴上表示出来，并写出它的非正整数解． 6．. 解不等式组36;445(2)82.

x x x x -?

+??

?--<-?≥ 7．若不等式组??

?<->+2

532b x a x 的解集为-1

8．已知代数式

135

+-x 的值不小于12

1-+x 的值，求x 的取值范围 9．我们知道：只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，类似地，我们把只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式，例如：x 2

-2x-3<0就是一个一元二次不等式．下面我们讨论如何解这个一元二次不等式：

解：将原不等式的左边因式分解得到：(x-3)(x+1)<0……①

∵(x -3)、(x+1)既可以分别代表一个代数式，又可以分别代表一个实数，

∴由 可知不等式①可化为： ??<+>-0

10

3x x ②或 ??>+<-0103x x ③； 不等式组②无解，不等式组③的解集为：-1

2

33

2--x x ≤0

0 1

-1 -2

三、针对性训练：

1．三个连续自然数的和小于11，若这样的自然数共有n 组，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．不等式2x -1≥3x -5的正整数解的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．根据一次函数32

3

+-

=x y 的图象，当－34 B ．0

?

?->+<+1472,

03x x a x 的解集为0

A ．a ＞0

B ．a ＝0

C ．a ＞4

D ．a ＝4

5．若三角形的三边长分别为2x,5x,14，且周长不超过100，则x 的取值范围为 ；

6．若不等式组?????

+-13

2)

3(2

1＜x x x ＞的整数解是关于x 的方程24x ax -=的根，则a= ； 7．已知3462(2)x x ++-≤，则

1x +的最小值等于 ；

8．已知关于x 、y 的方程组?

?

?+=++=-931

5a y x a y x 的解是正数，则a 的取值范围为 ；

9．解不等式组??

?

??+-≤>+,232

,

01x x x 并写出该不等式组的最大整数解. 10．一次奥运知识竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分．设小明同学在这次竞赛中答对x 道

题．

（1）根据所给条件，完成下表：

（2）若小明同学的竞赛成绩超过100分，则他至少答对几道题？

11．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如右表所示．经过预算，本次购买机器所 耗资金不能超过34万元．

（1）按该公司要求可以有几种购买方案？

（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？

答题情况 答对 答错或不答

题数 x 每题分值 10 －5 得分

10x

甲 乙 价格（万元/台）

7

5

每台日产量（个） 100 60

课题九：方程、不等式应用题

一、考点讲解：

1．能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；

2．根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；

3．能够根据具体问题中的大小关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题。

二、经典考题剖析：

1．某民营企业为支援四川地震灾区，特生产A、B两种型号的帐篷．若A型帐篷每顶需篷布60平方米，钢管48米；B型帐篷每顶需篷布125平方米，钢管80米．该企业在生产这批帐篷时恰好（不计损耗）用了篷布9900平方米，钢管6720米．问：该企业生产了A、B两种型号的帐篷各多少顶?

2．今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：

班级（1）班（2）班（3）班

金额（元）2000

吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：

信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；

信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元；

信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于

．．51元．

．．48元，小于

请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：

（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元；

（2）求出（1）班的学生人数．

3．在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度。

4．据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2007年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2009年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取 2 ≈1.41)

5．某学校要印刷一批完全材料，甲印务公司提出制版费900元，?另外每份材料收印刷费0．5元；乙印务公司提出不收制版费，每份材料收印刷费0．8元．

（1）分别写出两家印务公司的收费y（元）与印刷材料的份数x（份）?之间的函数关系式．

（2）若学校预计要印刷5000份以内的宣传材料，请问学校应选择哪一家印务公司更合算？

三、针对性训练：

1．为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”。该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒；生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒。该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？

O x y

l 1

l 2

-13

(第12题图）

2．某工人每天早晨在同一时刻从家骑自行车去工厂,如果以每小时16千米的速度行驶,可在工厂上班时刻前15分钟到工厂;如果以每小时9.6千米的速度行驶,则在工厂上 班时刻后15分钟到工厂.(1) 求这位工人家到工厂的距离. (2) 这位工人每天早晨以每小时16千米的速度行驶,在工厂上班时刻前多少小时从家里出发,可在上班前15分钟到工厂?

3．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？

4．某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元． （1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．

5．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000?元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？

6．金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3

2

；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成. (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.

课题十：方程、不等式（新中考考题展示） 一、考题展示：

1．直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，

则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为 ． 2．三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=??

+=?的解是34x y =??

=?，求方程组111222

325325a x b y c a x b y c +=??+=?的解．”提出各自的想法．甲说：“这

个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的

两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 3．“五·四”青年节，市团委组织部分中学的团员去西山植树．某校九年级（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有 棵 4．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的12 ．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），

且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm,若铁钉总长度为a cm ，则a 的取值范围是 ．

5．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 . 6.已知关于x 的不等式组010

x a x ->??

->?，

的整数解共有3个，则a 的取值范围是 ．

7．由于电力紧张，某地决定对工厂实行错峰用电．规定：在每天的7：00到24：00为用电高峰期，电价为a 元/kW ·h ；每天0：00到7：00为用电平稳期，电价为b 元/kW ·h ；下表为某厂4月和5月两个月的用电量和电费的情况统计表：

月份 用电量（万kW ·h ） 电费（万元） 4 12 6.4 5 16 8.8 (1)若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的

13，5月份在平稳期的用电量占当月用电量的1

4

，求a ，b 的值．

(2)若6月份该厂预计用电20万kW ·h ，为将电费探究在10万元至10.6万元之间（不含10万元和10.6万元），那么6?月份在平

稳期的用电量占当月用电量的比例应控制在什么范围？

8．温州皮鞋畅销世界，享誉全球．某皮鞋专卖店老板对第一季度男女皮鞋的销售收

入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图）．由于三月份开展促销活动，男、女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40%，60%．已知第一季度男女皮鞋的销售总收入为200万元．

（1）一月份销售收入______________万元，二月份销售收入_____________

万元，三月份销售收入__________万元； （2）二月份男、女皮鞋的销售收入各是多少万元？

二、针对性训练

1．下列判断正确的是（ ）

A ．

2

3

＜3＜2 B ． 2＜2＋3＜3 C ． 1＜5－3＜2 D ． 4＜3·5＜5 2．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图3所示，则他们的体重大小关系是（ ） A ．P R S Q >

>> B ．Q S P R >>> C ．S P Q R >>> D ．S P R Q >>>

3.某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你

一月份

25% 二月份 30% 三月份 45%

第一季度男女皮鞋 销售收入情况统计图

想买下标价为360元的这种商品，商店老板至多降价

A ．80元

B ．100元

C ．120元

D ．160元 4.一元二次方程

2

(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方 程是65

x +=，则另一个一次方程

是 ．

5．关于的方程2

2

2(1)0x k x k +++=两实根之和为m ，且满足2(1)m k =-+，关于y 的不等式组4

y y m >-??

有实数解，则k

的取值范围是______________________.

6．6月1日起，某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少．．应付给超市 元． 7．解不等式组：302(1)33.x x x +>??

-+?

，≥并判断3

2x =是否满足该不等式组．

8．已知关于x 的不等式ax ＋3＞0（其中a ≠0）．

（1）当a ＝－2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；

（2）小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、

－1，将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上．从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a ，求使该不

等式没有．．

正整数解的概率． 9．某市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元和0.7万元．

（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？

（2）要使整个工程费用不超过22.5万元，则乙公司最少应施工多少天？

10.某单位要印刷一批北京奥运会宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费，乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费。

（1）如果该单位要印刷2400份，那么甲印刷厂的费用是 ，乙印刷厂费的用是 。 （2）根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠？