空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)

a ，设,,i j k （单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一123a a i a j a k =++，有序实数组123,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系12(,,a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序

OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，

记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．

二、空间向量的直角坐标运算律12(,,a a a =12(,,b b b =1133(,)a b a b a a b +=++，

1123(,)a b a b a b -=---，1(,a a λλλ=1233//,(a b a b a b R λλλλ⇔===∈（2）若111(,,A x y z ，则2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。）//a b b a λ⇔=123

)b b R b =⎧⎪

⇔=⎨⎪=⎩

、模长公式

21|a a a x =⋅=+、两点间的距离公式：若2

21|(AB AB x x ==-2,212()(A B d x x y =-+、夹角：cos ||||

a b

a b a b ⋅⋅=

⋅． 注：①0(,a b a b a b ⊥⇔⋅=是两个非零向量）2

2|a a a a =⋅=。 空间向量数量积的性质：

||cos ,a e a a e ⋅=<>．②0a b a b ⊥⇔⋅=．③2

||a a a =⋅． 、运算律

a b b a ⋅=⋅； ②)()(a b b a ⋅=⋅λλ； ③c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)( 四、直线的方向向量及平面的法向量

A

B

C

D

E ①设平面的法向量为(,,)n x y z =

②在平面内找两个不共线的向量111(,,)a x y z =和222(,,)b x y z =

③建立方程组：0

n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

④解方程组，取其中的一组解即可。

五、证明

1、证明两直线平行

已知两直线a 和b , b D C a B A ∈∈,,,,则⇔b a //存在唯一的实数λ使AB CD λ= 2、证明直线和平面平行

（1）已知直线αα∈∈⊄E D C a B A a ,,,,,且三点不共线，则a ∥⇔α存在有序实数对μλ,使AB CD CE λμ=+ （2）已知直线,,,a B A a ∈⊄α和平面α的法向量n ,则a ∥n AB ⊥⇔α 3、证明两个平面平行

已知两个不重合平面βα,,法向量分别为n m ,,则α∥n m //⇔β 4、证明两直线垂直

已知直线b a ,。b D C a B A ∈∈,,,，则0=•⇔⊥CD AB b a 5、证明直线和平面垂直

已知直线α和平面a ，且A 、B a ∈,面α的法向量为m ,则//a AB m α⊥⇔ 6、证明两个平面垂直

已知两个平面βα,,两个平面的法向量分别为,m n ,则m n αβ⊥

⇔⊥

六、计算角与距离

1、求两异面直线所成的角

已知两异面直线b a ,，,,,A B a C D b ∈∈，则异面直线所成的角θ为：cos AB CD AB CD

θ•=

例题

【空间向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分

成定比2，

N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。

分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。

如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。

点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；

（2）证明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；

③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：

①转化为线线平行、线面平行处理；

②证明这两个平面的法向量是共线向量．

（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．

（6）证明面面垂直的方法：

①转化为线线垂直、线面垂直处理；

②证明两个平面的法向量互相垂直．

【用空间向量求空间角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；

（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。

（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。

【用空间向量求距离】

例4.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；

（2）M到直线PQ的距离；

（3）M到平面AB1P的距离。