一元非线性回归分析
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案例 目标函数可线性化的曲线回归建模与分析
1 曲线回归常用的非线性目标函数及其线性化的方法
在一些实际问题中,变量间的关系并不都是线性的,那时就应该用曲线去进行拟合. 用曲线去拟合数据首先要解决的问题是回归方程中的参数如何估计? 解决这一问题的基本思路是:
对于曲线回归建模的非线性目标函数)(x f y =,通过某种数学变换⎩⎨⎧==)
()
(x u u y v v 使之
“线性化”化为一元线性函数bu a v +=的形式,继而利用线性最小二乘估计的方法估计
出参数a 和b ,用一元线性回归方程u b a v
ˆˆˆ+=来描述v 与u 间的统计规律性,然后再用逆变换⎩⎨⎧==--)
()
(1
1u u x v v y 还原为目标函数形式的非线性回归方程. 下面给出常用的非线性函数及其线性化的方法.
⑴ 倒幂函数x b a y 1
+=
令x
u y v 1
,== ,则bu a v +=.
⑵ 双曲线函数 1b
a y x
=+
b<0 b>0
线性化方法
令x
u y v 1
,1== ,则bu a v +=.
⑶ 幂函数b
y ax =
b<0 01 线性化方法
令ln v y =,ln u x =,则bu a v +=.
⑷ 指数函数bx
y ae =
函数图象
b>0 b<0
线性化方法
令ln v y =,u x =,则bu a v +=. ⑸ 倒指数函数b
x
y ae =
b>0 b<0
线性化方法 令ln v y =,1
u x
=
,则bu a v +=. ⑹ 对数函数ln y a b x =+ 函数图象
b>0 b<0
线性化方法
令v y =,ln u x =,则bu a v +=.
⑺ S 型曲线 1
x y a be
-=+ 函数图象
令1v y
=
,x
u e -=,则bu a v +=. 2 曲线回归方程的评价方法
对于可选用回归方程形式,需要加以比较以选出较好的方程,常用的准则有: ⑴ 决定系数2R 定义
SST
SSE
R -
=12, 称为决定系数. 显然21R ≤.2R 大表示观测值i y 与拟合值ˆi y
比较靠近,也就意味着从整体上看,n 个点的散布离曲线较近.因此选2R 大的方程为好. ⑵ 剩余标准差s 定义
)2/(-=n SSE s
称为剩余标准差.s 类似于一元线性回归方程中对σ的估计. 可以将s 看成是平均残差平方和的算术根,自然其值小的方程为好.
其实上面两个准则所选方程总是一致的,因为s 小必有残差平方和小,从而2R 必定大.不过,这两个量从两个角度给出我们定量的概念.2R 的大小给出了总体上拟合程度的好坏,s 给出了观测点与回归曲线偏离的一个量值.所以,通常在实际问题中两者都求出,供使用者从不同角度去认识所拟合的曲线回归. ⑶ F 检验(类似与一元线性回归中的F 检验)
)
2/(1
/-=
n SSE SSR F , 其中
∑=-=n
i i y y SST 1
2
)(,∑=-=n
i i i y
y SSE 1
2)ˆ(,SSE SST SSR -=. 3 范例与MATLAB 实现
【例6.2】 为了解百货商店销售额x 与流通率(这是反映商业活动的一个质量指标,
指每元商品流转额所分摊的流通费用)y 之间的关系,收集了九个商店的有关数据(见下表).
表 销售额与流通费率数据
绘制散点图
x=[1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];
y=[7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];
sdt(x,y)
nlin1(x,y)
拟合曲线方程是y=2.2254+7.6213/x
剩余标准误差Sy=0.42851
可决系数R=0.96733
'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' ' F值' 'F临界值' '显著性' '回归' [18.7146] [ 1] [18.7146] [101.9186] [ 5.5914] '* *'
'剩余' [ 1.2854] [ 7] [ 0.1836] [] [12.2464] [] '总和' [ 20] [ 8] [] [] [] []
拟合幂函数曲线
nlin3(x,y)
拟合曲线方程是y=8.5173x^-0.42589
剩余标准误差Sy=0.146
可决系数R=0.99626
'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' ' F值' ' F临界值' '显著性' '回归' [19.8508] [ 1] [19.8508] [931.2285] [ 5.5914] '* *'
'剩余' [ 0.1492] [ 7] [ 0.0213] [] [12.2464] []
拟合指数函数曲线
nlin5(x,y)
拟合曲线方程是y=2.3957exp(1.7808/x)
剩余标准误差Sy=0.6497
可决系数R=0.92318
'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' 'F值' ' F临界值' '显著性' '回归' [17.0452] [ 1] [17.0452] [40.3812] [ 5.5914] '* *' ' [ 2.9548] [ 7] [ 0.4221] [] [12.2464] []
'剩余