matlab_最小二乘法数据拟合
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定义:
最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最
小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可
以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之
间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一
些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二
乘法来表
达。
最小二乘法原理:
在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,,y2... xm,ym);将这些数据描绘在x -y直角坐标系中,若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。
Yj= a0 + a1 X (式1-1)
其中:a0、a1 是任意实数
1.多项式曲线拟合:polyfit
常见拟合曲线:
直线:y=a0X+a1
多项式:
一般次数不易过高2 3
双曲线:y=a0/x+a1
指数曲线:y=a*e^b
matlab中函数
P=polyfit(x,y,n)
[P S mu]=polyfit(x,y,n)
polyval(P,t):返回n次多项式在t处的值
注:其中x y已知数据点向量分别表示横纵坐标,n为拟合多项
式的次数,结果返回:P-返回n次拟合多项式系数从高到低
依次存放于向量P中,S-包含三个值其中normr是残差平方
和,mu-包含两个值 mean(x)均值,std (x)标准差。
举例
1. 已知观测数据为:
X:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
Y:
用三次多项式曲线拟合这些数据点:
x=0::1
y=[-
,,,,,,,,,,11.
2]
plot(x,y,'k.','markersize',25)
hold on
axis([0 -2 16])
p3=polyfit(x,y,3)
t=0:::
S3=polyval(P3,t);
plot(t,S3,'r');
2.拟合为指数曲线
注:在对已测数据不太明确满足什么关系时,需要假设为多种曲
线拟合然后比较各自的residal(均方误差)越小者为优,
多项式拟合不是拟合次数越高越好,而是残差越小越好。
2.非线性曲线拟合:lsqcurvefit
X=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)
[X,resnorm]=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)
注:其中xdata ydata为给定数据横纵坐标,按照函数文件fun
给定的函数以X0为初值做最小乘二拟合,返回函数fun中的
系数向量X和残差的平方和resnorm。
例如
已知观测数
据:
求三个参数a b c的值是的曲线f(x)=a*e^x+b*X^2+c*X^已知数据点在最小二乘意义上充分接近
首先编写拟合函数文件fun
function f=fun(X,xdata)
f=X(1)*exp(xdata)+X(2)*xdata.^2+X(3)*xdata.^3保存文件
编写函数调用拟合函数文件
xdata=0::1;
ydata=[ 6 ....];
X0=[0 0 0];
[X,resnorm]=lsqcurvefit(@fun,X0,xdata,ydata)运行显示:
X=
resnorm=
综上:最小乘二意义上的最佳拟合函数为
f(x)=+^2+^3
残差平方和:
注:在针对只有一些已测数据而不太清楚最小乘二拟合函数时,
采取先打印出已知数据的散点图,然后观察散点图大概分布
趋向,再确定拟合函数,也可以确定多个,最后比较残差选
择最优最小乘二拟合函数,再者初始值的给定也很重要。
lsqnonlin(fun,X0):最小二乘拟合函数本讲结束,谢谢!