06-5 马尔科夫可修系统
演示文稿第六章马尔可夫链
(n)
p(m) lj
(n
k
),
n, m, k 0,i, j S
l
或矩阵形式 P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明
p(km) ij
(n)
P{X
nk m
j
Xn
i)
第十三页，共123页。
P{( X nk l), X nkm j X n i)
l
P{ ( X nk l, X nkm j) X n i)
l
或矩阵形式 P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明 P( X nk l, X nkm j) X n i)
l
P( X nk l X n i) P( X nkm j X n i, X nk l) l
第十四页，共123页。
P( X nk l X n i) P( X nkm j X nk l)
第二十七页，共123页。
qa
a-1
a
ra
第一节 基本概念
５.马尔可夫链举例 例2(有限制随机游动问题)
阵
P
(k
)
(n)
(
p(k ij
)
(n))
为系统{X n , n 0}在 n时的k步转移概率矩阵.
第十页，共123页。
第一节 基本概念
1. 转移概率
特别 当k=1时，
p (1) ij
(n
)为
系
统
在
n时
的
一步
转
移
概
率
,
记为 pij (n)
P
(1)
(n)
(
p (1) ij
(n))为系统的一步转移概率矩阵
第六章 马尔科夫链
三、马氏链的例子
解：马尔科夫链的 { X n，n 0，2， } 的状态空间为： 1，
S { 0，，， } 1 2
一步状态概率为：
j | X n i}
p， 若 j i 1，i 0；
q， 若 j i 1，i 0；
P{ X n 1
记 ( 0，1， )，( i P{ X 0 i}，i S ) .称
为齐次马尔可夫链的初始分布.
齐次马尔科夫链的有限维分布族完全由其一步转移 概率矩阵 P 和初始分布 确定.
三、马氏链的例子
例1 (一个简单的疾病死亡模型)
考虑一个包含两个健康状态S1和S2以及两个死亡状态 S3和S（即由不同原因引起的死亡）的模型。若个体病愈， 4 则认为它处于状态S1，若患病，则认为它处于S2，个体可 以从S1，S2 进入S3和S4，易见这是一个马氏链，转移矩阵为
以{X n，n 0} 表示质点在时刻 n 时的位置，则 X n是齐 次马尔可夫链，称为带有两个吸收壁的随机游动.求其 一步转移概率矩阵. 解：一步状态概率为：
P{ X n 1 j | X n i}
一步状态概率矩阵为：
1 0 0 0 0 q 0 p 0 0 0 q 0 p 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
的状态与其过去的历史状态无关(独立).
一、马尔可夫链的定义
【例】 细胞分裂实验
第一节
基本概念
马尔可夫链的研究内容
1、计算马尔可夫链 { X n，n 0} 的有限维分布.
2、对马尔可夫链 { X n，n 0}的状态空间 S 按照某种 规则进行分类.
3、研究马尔可夫链 { X n，n 0} 的极限性质.
具有两类失效模式和修理工休假的重试系统可靠性分析
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2020,33(3):643-651具有两类失效模式和修理工休假的重试系统可靠性分析刘思佳,胡林敏,刘朝彩(燕山大学理学院,河北秦皇岛066004)摘要：本文考虑具有两类失效模式和Bernoulli休假的可修表决重试系统,系统中每个部件或者正常工作,或者以概率p类型a失效,或者以概率1−p类型b失效.修理工修理完一个部件后,可能以概率h进行休假,也可能以概率1−h在系统中空闲.系统中没有等待空间,失效部件如果不能立即得到修理,则进入重试空间,一段时间后再进行重试,直到得到修理.利用马尔可夫过程理论和拉普拉斯变换等方法,得到了系统的稳态可用度、可靠度函数和系统首次故障前平均寿命等可靠性指标.通过数值例子分析了系统参数对可靠性指标的影响.关键词：重试;两类失效模式;Bernoulli休假;可用度;可靠度中图分类号：O213.2AMS(2000)主题分类：90B25文献标识码：A文章编号：1001-9847(2020)03-0643-091.引言对于工程系统来说,维持较高的可靠性是至关重要的.表决系统作为典型的冗余系统,能够提高系统的可靠度和可用度,因此被广泛应用于各种实际工程中.一些对表决系统经典模型及扩展模型的研究可见文[1-3].这些文献都假定部件只有正常和失效两种状态,但很多实际情况中,部件可能不止一种失效模式.例如,电子线路中就有开路失效和短路失效两类失效模式.对于具有多类失效模式的表决系统的研究还较少.Ben-Dov[4]研究了部件(例如开关和电磁继电器)具有打开失效和关闭失效两类失效模式的k/n(G)系统.Moustafa[5−6]分别研究了具有两类失效模式和多类失效模式的表决系统可靠性.TANG等[7]对基于微马尔可夫模型的多类失效模式k/n(G)系统的不可用性进行了分析.重试排队系统以其在实际问题中的广泛应用得到大量学者的关注[8−10].在系统可靠性分析中,重试系统指系统内部没有失效部件的等待空间,如果部件失效时,修理工正在忙或者休假,则失效部件进入重试空间,一段时间后再进行尝试,直到得到修理.Krishnamoor-thy和Ushakumari[11]分别对三种不同情况的k/n(G)重试系统进行了研究,得到了相应的可靠度函数.KE等[12]研究了具有温贮备部件的表决可修重试系统,给出了计算系统稳态可用度的有效算法.KUO等[13]考虑了具有混合贮备部件的表决可修重试系统,得到了系统平均寿命和稳态可用度的具体表达式.最近,YANG和Tsao[14]对修理工可工作休假的k/n(G)重试系统可靠性进行了分析,利用矩阵分析法和拉普拉斯变换等方法得到了系统的稳态可用度和平均寿命.∗收稿日期：2019-06-24基金项目：河北省自然科学基金(A2018203088),河北省教育厅高等学校科技计划重点项目资助课题(ZD2017079)作者简介：刘思佳,女,汉族,河北,研究方向：系统可靠性理论.644应用数学2020在可修系统中,修理工由于各种各样的原因需要休假.很多文献都假设只有修理完系统中的失效部件,修理工才去休假.但大多数情况下,即使系统中还有失效部件,修理工也会进行休假,典型的此类休假有Bernoulli 休假.涉及到可靠性指标的具有Bernoulli 休假的重试排队系统可见文[15-17],但在系统可靠性分析中,还没有文献对具有Bernoulli 休假及多类失效模式的重试系统模型进行研究.本文考虑部件具有两类失效模式的表决重试系统,且修理工进行Bernoulli 休假.首先,提出假设,构建模型;然后,通过对系统的整体分析,求得稳态可用度、可靠度函数和系统首次故障前平均寿命等可靠性指标;最后,通过数值例子分析系统参数的变化对可靠性指标的影响.2.模型假定本文对研究的系统模型作如下假定：1)系统由n 个同型部件和一个修理工组成,当n 个部件中有k 个或k 个以上部件正常工作时,系统正常工作,即当失效的部件数大于或等于L =n −k +1时,系统失效.特别地,本文仅研究n =5,k =4时的表决系统,此时L =2.2)每个部件有两类失效模式,记为类型a 失效和类型b 失效,失效概率分别为p 和q ,且p +q =1,p >0,q >0.所有部件的寿命均服从参数为λ的指数分布.修理工修理部件类型a 失效的时间服从参数为µa 的指数分布,修理部件类型b 失效的时间服从参数为µb 的指数分布,部件修复如新.3)修理工进行Bernoulli 休假,当修理完一个部件后,修理工或者以概率h 进行休假,或者以概率¯h在系统中保持空闲,且h +¯h =1,h >0,¯h >0.休假时间服从参数为θ的指数分布.4)系统中没有等待空间,当部件失效时,如果修理工空闲,则立即修理失效部件;如果修理工正忙或正在休假,则失效部件进入重试空间,一段时间后进行重试,直到得到修理.部件的重试时间服从参数为γ的指数分布.5)所有随机变量均相互独立.6)初始时刻所有部件都是新的,系统开始工作,修理工空闲.3.模型分析令M (t )=m 表示时刻t 重试空间中的部件数,m =0,1,2;I (m )=i 表示m 个部件的组合序列数,i =1,2,...,2m ;x mi 表示m 个部件的失效类型组合的所有可能情况,x 01=0,x 11=a ,x 12=b ,x 21=aa ,x 22=ba ,x 23=ab ,x 24=bb ;J (t )表示时刻t 修理工的状态：J (t )=0,1a,1b,2,修理工空闲,修理工修理类型a 失效的部件,修理工修理类型b 失效的部件,修理工休假.则{J (t ),M (t ),I (m ),t ≥0,m ≥0}构成一个向量马尔可夫过程,系统在时刻t 的状态概率定义如下：P 0,mx mi (t )=P {J (t )=0,M (t )=m,I (m )=i },m =0,1,2;i =1,2,...,2m ,P 1a,mx mi (t )=P {J (t )=1a,M (t )=m,I (m )=i },m =0,1;i =1,2,...,2m ,P 1b,mx mi (t )=P {J (t )=1b,M (t )=m,I (m )=i },m =0,1;i =1,2,...,2m ,P 2,mx mi (t )=P {J (t )=2,M (t )=m,I (m )=i },m =0,1,2;i =1,2,...,2m .记λm =(n −m )λ,0≤m ≤L ;γm =mγ,1≤m ≤L .进一步可得系统状态转移图如图3.1所示.在图3.1中,方框内的状态为系统的失效状态.第3期刘思佳等：具有两类失效模式和修理工休假的重试系统可靠性分析645( ⨶ 䰢1( ⨶ 2(4.系统稳态可用度令P j,mx mi =lim t →∞P j,mx mi (t )(j =0,1a,1b,2;m =0,1,2;i =1,2,...,2m ),根据模型假定和系统状态转移图,可得在稳态条件下的系统状态概率方程组为0=−λ0P 0,0+¯hµa P 1a,0+¯hµb P 1b,0+θP 2,0,(4.1)0=−[(1−δm,2)λm +γm ]P 0,mx mi +(1−δm,2)¯hµa P 1a,mx mi +(1−δm,2)¯hµb P 1b,mx mi+θP 2,mx mi ,m =1,2,i =1,2,...,2m ,(4.2)0=−(λ1+µa )P 1a,0+pλ0P 0,0+γ1P 0,1a ,(4.3)0=−µa P 1a,1a +pλ1P 0,1a +pλ1P 1a,0+γ2P 0,2aa ,(4.4)0=−µa P 1a,1b +pλ1P 0,1b +qλ1P 1a,0+γ2P 0,2ab ,(4.5)0=−(λ1+µb )P 1b,0+qλ0P 0,0+γ1P 0,1b ,(4.6)0=−µb P 1b,1a +qλ1P 0,1a +pλ1P 1b,0+γ2P 0,2ba ,(4.7)0=−µb P 1b,1b +qλ1P 0,1b +qλ1P 1b,0+γ2P 0,2bb ,(4.8)0=−(λ0+θ)P 2,0+hµa P 1a,0+hµb P 1b,0,(4.9)0=−[(1−δm,2)λm +θ]P 2,mx mi +(1−δm,2)hµa P 1a,mx mi +(1−δm,2)hµb P 1b,mx mi+pλm −1P 2,(m −1)x (m −1)i ,m =1,2,i =1,2,...2m −1,(4.10)0=−[(1−δm,2)λm +θ]P 2,mx mi +(1−δm,2)hµa P 1a,mx mi +(1−δm,2)hµb P 1b,mx mi +qλm −1P 2,(m −1)x (m −1)(i −2m −1),m =1,2,i =2m −1+1,...,2m ,(4.11)其中,δm,2={1,m =2,0,m =2.定理4.1系统稳态可用度为A T (∞)=1−4∑i =1P 0,2x 2i −2∑i =1P 1a,1x 1i −2∑i =1P 1b,1x 1i −4∑i =1P 2,2x 2i .(4.12)证方程(4.1)-(4.11)可以写成矩阵形式QP =0,(4.13)646应用数学2020其中,0=(0,0,...,0)T 20×1,P =(P 0,P 1a ,P 1b ,P 2)T,P 0=(P 0,0,P 0,1a ,P 0,1b ,P 0,2aa ,P 0,2ba ,P 0,2ab ,P 0,2bb )T,P 1a =(P 1a,0,P 1a,1a ,P 1a,1b )T,P 1b =(P 1b,0,P 1b,1a ,P 1b,1b )T,P 2=(P 2,0,P 2,1a ,P 2,1b ,P 2,2aa ,P 2,2ba ,P 2,2ab ,P 2,2bb )T,Q =Q 11Q 12Q 13Q 14Q21Q 22Q 23Q 24Q 31Q 32Q 33Q 34Q 41Q 42Q 43Q 4420×20.矩阵Q 的各分块矩阵表示如下：Q 11=−λ0−(λ1+γ1)−(λ1+γ1)−γ2−γ2−γ2−γ2,Q 12= ¯hµa 000¯hµa 000¯hµa 000000000000,Q 13= ¯hµb 000¯hµb 000¯hµb 000000000000 ,Q 14= θθθθθθθ,Q 21=pλ0γ1000000pλ10γ200000pλ100γ20 ,Q 22= −(λ1+µa )00pλ1−µa 0qλ10−µa,Q 23=03×3,Q 24=03×7,Q 31=qλ00γ100000qλ100γ20000qλ1000γ2,Q 32=03×3,Q 34=03×7,Q 33=−(λ1+µb )00pλ1−µb0qλ10−µb ,Q 41=07×7,Q 42=hµa 000hµa 000hµa 000000000000,Q 43=hµb 000hµb000hµb 000000000000,Q 44=−(λ0+θ)000000pλ0−(λ1+θ)00000qλ00−(λ1+θ)00000pλ10−θ00000pλ10−θ000qλ1000−θ000qλ1000−θ.第3期刘思佳等：具有两类失效模式和修理工休假的重试系统可靠性分析647用正则条件2m ∑i=12∑m=0P0,mxmi+2m∑i=11∑m=0P1a,mxmi+2m∑i=11∑m=0P1b,mxmi+2m∑i=12∑m=0P2,mxmi=1(4.14)替换掉(4.13)式中的任何一个等式,则可由克莱姆法则计算得到系统的稳态概率：P j,mxmi(j= 0,1a,1b,2;m=0,1,2;i=1,2,...,2m),从而得到系统稳态可用度为A T(∞)=1−4∑i=1P0,2x2i−2∑i=1P1a,1x1i−2∑i=1P1b,1x1i−4∑i=1P2,2x2i.当λ=0.1,γ=0.5,θ=0.5,h=0.5,µa=2.0,µb=3.0,p=0.5时,由MATLAB软件计算得到系统稳态可用度的数值解为A T(∞)=1−4∑i=1P0,2x2i−2∑i=1P1a,1x1i−2∑i=1P1b,1x1i−4∑i=1P2,2x2i=0.9219.5.系统首次故障前平均寿命令所有系统故障状态为马尔可夫过程吸收态，可得系统状态概率拉普拉斯变换方程组为P0,0(0)=(s+λ0)P∗0,0(s)−¯hµa P∗1a,0(s)−¯hµb P∗1b,0(s)−θP∗2,0(s),(5.1)P0,1a(0)=[s+(λ1+γ1)]P∗0,1a (s)−θP∗2,1a(s),(5.2)P0,1b(0)=[s+(λ1+γ1)]P∗0,1b (s)−θP∗2,1b(s),(5.3)P1a,0(0)=(s+λ1+µa)P∗1a,0(s)−pλ0P∗0,0(s)−γ1P∗0,1a(s),(5.4)P1a,1a(0)=sP∗1a,1a (s)−pλ1P∗0,1a(s)−pλ1P∗1a,0(s),(5.5)P1a,1b(0)=sP∗1a,1b (s)−pλ1P∗0,1b(s)−qλ1P∗1a,0(s),(5.6)P1b,0(0)=(s+λ1+µb)P∗1b,0(s)−qλ0P∗0,0(s)−γ1P∗0,1b(s),(5.7)P1b,1a(t)=sP∗1b,1a (s)−qλ1P∗0,1a(s)−pλ1P∗1b,0(s),(5.8)P1b,1b(0)=sP∗1b,1b (s)−qλ1P∗0,1b(s)−qλ1P∗1b,0(s),(5.9)P2,0(0)=(s+λ0+θ)P∗2,0(s)−hµa P∗1a,0(s)−hµb P∗1b,0(s),(5.10)P2,mxmi (0)=[s+(1−δm,2)(λm+θ)]P∗2,mx mi(s)−pλm−1P∗2,(m−1)x(m−1)i(s), m=1,2,i=1,2,...2m−1,(5.11)P2,mxmi (0)=[s+(1−δm,2)(λm+θ)]P∗2,mx mi(s)−qλm−1P∗2,(m−1)x(m−1)(i−2m−1)(s), m=1,2,i=2m−1+1,...,2m.(5.12)其中,P∗j,mx mi (s)=∫∞e−st P j,mxmi(t)d t,j=0,1a,1b,2,m=0,1,2;i=1,2,...,2m.定理5.1系统的可靠度函数为R Y(t)=2m∑i=11∑m=0P0,mxmi(t)+P1a,0(t)+P1b,0(t)+2m∑i=11∑m=0P2,mxmi(t).(5.13)证方程(5.1)-(5.12)可以写成矩阵形式:P(0)=A(s)P∗(s),(5.14)其中,P(0)=(1,0,...,0)T16×1,P∗(s)=(P∗(s),P∗1a(s),P∗1b(s),P∗2(s))T,P∗(s)=(P∗0,0(s),P∗0,1a(s),P∗0,1b(s))T,P∗1a (s)=(P∗1a,0(s),P∗1a,1a(s),P∗1a,1b(s))T,P∗1b(s)=(P∗1b,0(s),P∗1b,1a(s),P∗1b,1b(s))T,P∗2(s)=(P∗2,0(s),P∗2,1a(s),P∗2,1b(s),P∗2,2aa(s),P∗2,2ba(s),P∗2,2ab(s),P∗2,2bb(s))T,648应用数学2020A (s )=A +s I ,I 为单位矩阵,A =A 11A 12A 13A 14A 21A 22A 23A 24A 31A 32A 33A 34A 41A 42A 43A 4416×16.矩阵A 的各分块矩阵表示如下：A 11= λ0λ1+γ1λ1+γ1 ,A 12= −¯hµa 00000000 ,A 13= −¯hµb 00000000,A 14= −θ0000000−θ0000000−θ0000 ,A 21= −pλ0−γ100−pλ1000−pλ1,A 22= λ1+µa 00−pλ100−qλ100 ,A 23=03×3,A 24=03×7,A 31= −qλ00−γ10−qλ1000−qλ1,A 32=03×3,A 33= λ1+µb 00−pλ100−qλ100,A 34=03×7,A 41=07×3,A 42= −hµa 00000000000000000000 ,A 43= −hµb 00000000000000000000 ,A 44=λ0+θ000000−pλ0λ1+θ00000−qλ00λ1+θ00000−pλ10000000−pλ100000−qλ10000000−qλ100.由克莱姆法则计算得到P ∗j,mx mi(s )(j =0,1a,1b,2;m =0,1,2;i =1,2,...,2m ).令Y 为系统第一次故障时间,则系统可靠度函数为R Y (t )=1−2∑i =1P 1a,1x 1i (t )−2∑i =1P 1b,1x 1i (t )−4∑i =1P 2,2x 2i (t )=2m∑i =11∑m =0P 0,mx mi (t )+P 1a,0(t )+P 1b,0(t )+2m∑i =11∑m =0P 2,mx mi (t ),其中,P j,mx mi (t )为P ∗j,mx mi (s )的拉普拉斯逆变换.当λ=0.1,γ=0.5,θ=0.5,h =0.5,µa =2.0,µb =3.0,p =0.5,t =10时,由MATLAB 软件计算得到系统可靠度函数的数值解为R Y (10)=2m ∑i =11∑m =0P 0,mx mi (10)+P 1a,0(10)+P 1b,0(10)+2m ∑i =11∑m =0P 2,mx mi (10)=0.7319.定理5.2系统首次故障前平均寿命为MTTFF =lim s →0[2m ∑i =11∑m =0P *0,mx mi (s )+P ∗1a,0(s )+P ∗1b,0(s )+2m ∑i =11∑m =0P *2,mx mi (s )].(5.15)证MTTFF =∫∞R Y (t )d t =lims →0∫∞e −st R Y (t )d t第3期刘思佳等：具有两类失效模式和修理工休假的重试系统可靠性分析649=lims →0∫∞e −st[2m ∑i =11∑m =0P 0,mx mi (t )+P 1a,0(t )+P 1b,0(t )+2m∑i =11∑m =0P 2,mx mi (t )]d t =lims →0[2m ∑i =11∑m =0P *0,mx mi (s )+P ∗1a,0(s )+P ∗1b,0(s )+2m∑i =11∑m =0P *2,mx mi (s )].当λ=0.1,γ=0.5,θ=0.5,h =0.5,µa =2.0,µb =3.0,p =0.5时,由MATLAB 软件计算得到系统首次故障前平均寿命的数值解为MTTFF =lim s →0[2m ∑i =11∑m =0P *0,mx mi (s )+P ∗1a,0(s )+P ∗1b,0(s )+2m ∑i =11∑m =0P *2,mx mi (s )]=27.3904.6.数值例子本节主要考虑系统参数λ,γ,θ,h,µa ,µb ,p 的变化对稳态可用度A T (∞)和系统首次故障前平均寿命MTTFF 的影响.令λ=0.1,γ=0.5,θ=0.5,h =0.5,µa =2.0,µb =3.0,p =0.5,再分别改变以上各参数的值进行分析,所得结果如图5.1-5.4和表5.1-5.4所示.正如我们所期望的,A T (∞)和MTTFF 的值随λ的增大而减小,随µa 或µb 的增大而增大.从图5.1和表5.1可看出,A T (∞)和MTTFF 的变化与γ的变化成正相关,说明失效部件越快得到修理,系统的可靠性越高.另外,图5.2和表5.2显示A T (∞)和MTTFF 的值随θ的增大而增大,随h 的增大而减小,这种情况可以解释为虽然休假对于修理工来说是必不可少的,但是休假时间越少,系统可靠性越高.特别的,从图5.3、5.4和表5.3、5.4中可以看出,当µa <µb 时,A T (∞)和MTTFF 随p 的增大而减小;当µa >µb 时,A T (∞)和MTTFF 随p 的增大而增大;当µa =µb 时,A T (∞)和MTTFF 的值不随p 的改变而改变.这说明系统的可靠性很大程度上依赖于修理工的修理效率.因此,可以通过适当提高部件的重试效率、增大修理工的修理效率、减少修理工的休息时间等方法来提高系统的可靠性,同时也要兼顾系统结构和系统成本.OA T (∞)图5.1不同参数λ和γ下系统稳态可用度变化曲线TA T (∞)图5.2不同参数θ和h 下系统稳态可用度变化曲线表5.1不同参数λ和γ下系统首次故障前平均寿命变化值λγ=0.5γ=1.0γ=1.5γ=2.0γ=2.50.127.3929.3030.2130.7331.080.28.879.219.399.519.580.3 4.99 5.10 5.17 5.21 5.240.4 3.41 3.46 3.49 3.51 3.520.52.562.592.602.612.62表5.2不同参数θ和h 下系统首次故障前平均寿命变化值θh =0.1h =0.3h =0.5h =0.7h =0.90.541.1932.4627.3924.0821.751.044.4038.3434.0230.7928.281.545.6941.1537.6034.7432.392.046.3642.7739.8037.3035.162.546.7843.8141.2739.0637.14650应用数学2020P a A T (∞)图5.3不同参数µa 和p 下系统稳态可用度变化曲线P bA T (∞)图5.4不同参数µb 和p 下系统稳态可用度变化曲线表5.3不同参数µa 和p 下系统首次故障前平均寿命变化值µa p =0.1p =0.3p =0.5p =0.7p =0.91.027.8925.4023.4021.7520.372.028.9428.1427.3926.6926.033.029.3629.3629.3629.3629.364.029.5930.0630.5431.0431.575.029.7330.5031.3232.2033.13表5.4不同参数µb 和p 下系统首次故障前平均寿命变化值µb p =0.1p =0.3p =0.5p =0.7p =0.91.020.2021.1622.2423.4824.912.025.7125.7125.7125.7125.713.028.9428.1427.3926.6926.034.031.0729.6528.3827.2426.205.032.5730.6829.0427.5926.307.结论本文研究了部件具有两类失效模式且修理工Bernoulli 休假的k/n (G )(k =4,n =5)重试系统,得到了一些重要的可靠性指标,分析了系统参数对可靠性指标的影响,为设备的管理与维护提供了理论依据.在今后的研究中,我们将进一步推广该模型:1)考虑一般的具有两类失效模式和休假的k/n (G )重试系统;2)考虑修理工休假时间服从一般分布的k/n (G )重试系统.参考文献：[1]唐应辉,梁晓军.c 个修理工同步多重休假的k/n (G )表决可修系统[J].系统工程理论与实践,2013,33(9):2330-2338.[2]张元元,吴文青,唐应辉.修复率可变化的表决系统可靠性分析[J].数学的实践与认识,2017,47(6):153-162.[3]吴文青,唐应辉,张元元.两水平修理策略的k/n (G )表决系统可靠性分析[J].系统工程学报,2018,33(6):854-864.[4]BEN-DOV Y.Optimal reliability design of k -out-of-n systems subject to two kinds of failure[J].Journal of the Operational Research Society,1980,31(8):743-748.[5]MOUSTAFA M S.Transient analysis of reliability with and without repair for k -out-of-n :G systemswith two failure modes[J].Reliability Engineering and System Safety,1996,53(1):31-35.[6]MOUSTAFA M S.Transient analysis of reliability with and without repair for k -out-of-n :G systemswith M failure modes[J].Reliability Engineering and System Safety,1998,59(3):317-320.[7]TANG S,GUO X,SUN X,et al.Unavailability analysis for k -out-of-n :G systems with multiple failuremodes based on micro-Markov models[J].Mathematical Problems in Engineering,2014,2014:1-12.[8]高珊,王金亭,TIEN V D.具有Bernoulli 休假的不可见M/M/1重试排队模型的进队策略分析[J].应用数学学报,2017,40(1):106-120.[9]薛红,唐应辉.具有不同到达率和负顾客的工作休假Geo/Geo/1重试排队[J].应用数学,2018,31(1):19-29.第3期刘思佳等：具有两类失效模式和修理工休假的重试系统可靠性分析651[10]ZHOU M,LIU L,CHAI X,et al.Equilibrium strategies of the constant retrial queue with N-policy[J].Mathematica Applicata,2019,32(2):291-301.[11]KRISHNAMOORTHY A,USHAKUMARI P V.Reliability of a k-out-of-n system with repair andretrial of failed units[J].Sociedad de Estad´ıstica e Investigaci´o n Operativa,1999,7(2):293-304. [12]KE J C,YANG D Y,SHEU S H,et al.Availability of a repairable retrial system with warm standbycomponents[J].International Journal of Computer Mathematics,2013,90(11):2279-2297.[13]KUO C C,SHEU S H,KE J C,et al.Reliability-based measures for a retrial system with mixedstandby components[J].Applied Mathematical Modelling,2014,38(19-20):4640-4651.[14]YANG D Y,TSAO C L.Reliability and availability analysis of standby systems with working va-cations and retrial of failed components[J].Reliability Engineering and System Safety,2019,182: 46-55.[15]周宗好,朱翼隽,冯艳刚.具有Bernoulli休假的M/G/1重试可修的排队系统[J].运筹学学报,2008,12(1):71-82.[16]CHOUDHURY G,KE J C.An unreliable retrial queue with delaying repair and general retrial timesunder Bernoulli vacation schedule[J].Applied Mathematics and Computation,2014,230:436-450.[17]CHOUDHURY G,TADJ L,DEKA M.An unreliable server retrial queue with two phases of serviceand general retrial times under Bernoulli vacation schedule[J].Quality Technology and Quantitative Management,2015,12(4):437-464.Reliability Analysis of a Retrial System with Two FailureModes and VacationLIU Sijia,HU Linmin,LIU Zhaocai(School of Science,Yanshan University,Qinhuangdao066004,China) Abstract:This paper considers a repairable voting retrial system with two failure modes andBernoulli vacation.Each component has two failure modes,we call them failure mode a and failure mode b.The probabilities of failure modes a and b are p and1−p,respectively.After the completion of a repair, the repairman either goes for a vacation with probability h,or stays idle in system with probability1−h. There is no waiting room in the system,if a component fails,it is repaired at once when the repairman is idle,otherwise the failed component enters into an orbit and tries again for the repair.The steady-state availability,the reliability function and the mean time to systemfirst failure are derived by using vector Markov process and Laplace transform theory.Finally,some numerical experiments are conducted to show the effects of system parameters on reliability indexes.Key words:Retrial;Two failure mode;Bernoulli vacation;Availability;Reliability。
离散时间下可多重休假的冷贮备可修系统的可靠性分析
离散时间下可多重休假的冷贮备可修系统的可靠性分析在时间参数为离散的条件下，研究修理工可多重休假和转换开关完全可靠的两不同型部件的冷贮备可修系统。
假设两不同部件的寿命均服从几何分布、修理工的维修时间和休假时间均服从一般离散型分布，引入三维离散向量，建立新的马尔科夫过程，建立模型，并利用Z变换进行求解，求得系统的稳态可用度、稳态失效频度、稳态等待维修概率、稳态修理工空闲的概率和休假概率、可靠度和首次平均故障前时间。
标签：离散时间；多重休假；离散向量；Z变换引言在实际工作和工程實践中，人们会经常定期检测系统、维修或更换部件，因此部件的寿命和维修时间等统计量并非是连续的随机变量，而应看作非负整数值的离散型随机变量序列[1]。
此外，贮备系统在可修系统中是很重要的一类系统，分为温贮备和冷贮备，冷贮备是指在贮备期间部件不会发生恶化和贮备故障，贮备部件的更换是通过转换开关瞬間完成的。
在上述模型基础上，再结合上修理工可多重休假将更符合实际情况。
目前，诸多学者对连续型时间的可修系统研究得更加透彻，对于离散型时间的可修系统研究得较少。
针对离散型时间的不可修系统，C. Bracquemond[2]对离散时间的不可维修系统的可靠性进行了综述。
针对离散时间的可维修系统，杨懿、王立超等人[3-5]利用Markov更新过程和随机过程，建立了系统状态转移模型，分别研究了离散时间下单部件可修系统、修理延迟的单部件可修系统和串联可修系统，他们的研究拓宽了离散时间下的可靠性理论。
余妙[6]和姜红燕[7]利用补充变量法和Z变换，分别研究了离散时间下单重休假的可修系统、单重休假的温贮备系统，为离散时间下的可修系统提供了一种较好的思路。
鉴于前人的文献，本文对离散时间下可多重休假的两不同部件冷贮备系统进行研究，提出了三维离散向量，分析系统的状态转移关系，建立模型，该研究更加丰富和完善了离散时间下可修系统的可靠性理论。
1 模型假设（1）系统由两个不同部件、一个修理工和一个完全可靠的转换开关组成。
2004 计算维修不独立马尔可夫系统瞬态不可用度的六种蒙特卡罗方法
核科学与工程 +,-./0/ 1%23.4& %5 (26&/43 76-/.6/ 4.8 9.:-.//3-.:
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计算维修不独立马尔可夫系统瞬态不可用度 的六种蒙特卡罗方法
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从正常状态转移到故障状态的概率， 第二项表 示在 % 到 % 时间内系统从故障状态转移到正常 状态的概率。由式 （& ） 有： $ -+ （ %） " !!#0（ !#） （ !#） ! 式 （’） 为系统不可用度的泛函表示， 其中
［ ’， 6］ 2345 积分方程描述 ：
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ETS系统故障树建模与马尔可夫模型可靠性分析
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（上接第 29 页）
手段能摆脱以往系统故障分析时抽象的数据统计，为解决系 统的整体可靠性提供了新思路。 参考文献
1 王付生. 电厂热工自动控制与保护. 北京： 中国电力出版社，2005 2 汪晓光. 可编程控制原理及应用. 北京：机械工业出版社， 1995 3 中华人民共和国国家标准.GB 7829- 87，1987.故障树 分析程序.中国：
靠 性 分 析 技 术 ：失 效 模 式 和 效 应 分 析 （FMEA）程 序.1987
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（上接第 32 页）
求。 我们认为，还必须考虑汽轮机转子于热状态时和轴承油 膜厚度引起的中心升高以及轴颈较粗，其轴心运动轨迹比主 油泵轴心偏移得要多一些，因此在冷态组装时需预先抬高油 泵的中心和尽量偏向机轴旋转的方向。 我厂主油泵找中心 时 ，油 泵 轴 心 预 偏 高 0.30~0.45mm、偏 左 0.10~0.17mm，并 预 留下端面偏差和右端面偏差。
图 5 汽轮机 ETS 保护系统马尔可夫模型 行定量分析，因最终 结果简化表示为使用或门连接的树形结构，要想得到故障树 顶端事件的最终故障率，只需将逐层结果的实效概率值代入 并相加，就能分析出系统故障率。 马尔可夫模型的建立可以 在整体上分析系统的可靠性，根据各个事件的概率可以求出 系统的稳定可靠率、时变可用率、时变失效率 。 这种方法分析
2012．NO．2． 28
能源技术
ISSN1672-9064 CN35-1272/TK
图 2 汽轮机 ETS 原理图
统 （FSSS）下 的 主 燃 料 跳 闸 （MFT）；数 字 电 液 控 制 系 统 （DEH） 失电；轴振动大；差胀大；高压缸排汽压力高；发电机内部故 障；手操跳闸等。 图 3 为紧急跳闸动作失效故障树，其中的每 一个部分出现故障都会使系统关闭所有汽门以及抽汽逆止 阀，导致汽轮机紧急跳闸。 3.2 汽轮机超速故障树分析
离散事件动态系统--马尔科夫链PPT课件
2021/2/6
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计算机学院/电气学院
随机变量
合肥工业大学
随机变量：粗略的说就是能取不同数值 的量
非随机的（确定性的数值，永不改变） ：太 阳系中的太阳个数
随机的：一个人一天接到的电话个数，每天 都不一样
2021/2/6
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计算机学院/电气学院
概率
合肥工业大学
实验（experiment）：考试，掷骰子，打球比赛，扔硬 币
例如经典力学下的质点运动方程等可以描述为 系统
微分方程：x&(t) f (x(t), u(t), t)
Ax(t) Bu(t)
差分方程：x(k 1) f (x(k), u(k)) Ax(k) Bu(k)
DEDS基本概念:
由一些相互作用的离散事件构成，并且由它们触发而引起 状态转移（演化）的一类动态系统,它所含的事件的发生在 时间和空间上都是离散的。
合肥工业大学
独立事件（independent）：两个事件中，一个事件的出现 不依赖于另外一个。反之为相关事件（dependent）。扔 硬币，第一次为heads的事件A与第二次为tails的事件B相互 独立。定义事件E表示第一次为heads且第二次为tails的事 件，则
P(E)＝P(A ∩ B)=P( A) .P(B)
这样的一类人造系统常被描述为离散事件动态系统 （Discrete event dynamic system，DEDS）。
事件：使DEDS状态发生变动的一个行动或事情。
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计算机学院/电气学院
合肥工业大学
DEDS与一般动态系统的差别：
通常的连续变量动态系统(CVDS)，其动态特性满足一定 的物理定律，可用微分方程或差分方程来描述。 线性
5随机过程第五章马尔可夫过程
n 0 P n
n 1 n P
j n 1 i n . pij
iS
5．举例
例1：天气预报问题 假如明天是否有雨仅与今日是否有雨有关，与过去的天气无 关。设今日下雨明日下雨的概率为0.7，今日无雨明日有雨的 概率为0.4。又假设有雨定义为0状态、无雨定义为1状态， 则可以表示为两个状态的马尔可夫链， S {0,1}，一步状态转 移概率矩阵为
n+k时刻 X n k j
pij
k
n P X nk j | X n i , i, j S , n 0, k 0
称为n时刻的k步转移概率， 描述Markov链特性的重要概念 ，为条件概率。
(2) 性质
k k n 0, pij n 1, i S pij
绝对分布由初始分布和转移概率决定
由全概率公式和马尔可夫性
j n P X n j P X 0 i, X n j
iS
P X 0 i P X n j | X 0 i i 0 . pij 0,
例2： 多级数字信号传输（级联） 传送两种信号0，1 每级正确传送概率为p，错误为1-p 单位时间传送一级， X 0 是第一级的输入，X n 是第n级的输入 1 为状态空间的齐次马氏链， ，则 { X n , n 0} 是以 S 0， 一步转移概率矩阵为
p q P q p
iS iS
n 0, i, j S
或
n 1 n P n
4、齐次马尔可夫链
转移概率描述Markov链 pij n PX nk j | X n i k 如果 pij n 与起始时刻无关，则称为齐次马氏链。
系统可靠性分析
1.可靠性、可靠度:R(t)
❖ 可靠性是指系统、设备或元件等在规定的时间内和规定的条 件下，完成其特定功能的能力；
❖ 可靠度是指系统、设备或元件等在预期的使用周期（规定的 时间）内和规定的条件下，完成其特定功能的概率；
2.维修度:M(τ)
❖ 是指系统发生故障后在维修容许时间内完成维修的概率
❖ 是指贮备的单元不参加工作，并且假定在贮备 中不会出现失效，贮备时间的长短不影响以后 使用的寿命。
❖ 若所有部件的故障率均相等且为λ则系统的可
靠度为:
1
Rs
et
N i0
(t)i
i!
2
❖系统的平均寿命: A
3
B
Q N 1
❖冷储备系统的平均寿命是
N+1
各单元平均寿命的总和。
冷贮备系统
3.复杂系统
设系统各个单元的可靠
性是相互独立的，各单元
的不可靠度分别为F1、
F2、F3、……
不可靠度: n
Fs Fi
i 1 系统可靠度：
n
Rs 1 (1 Ri ) i 1
1 2 3
B
n
热贮备系统
冗余系统设计时需注意的问题
❖ 冗余度的选择； ❖ 冗余级别的选择
2）冷贮备系统
1. 预先危险性分析的内容
（1）识别危险的设备、零部件，并分析其发生的 可能性条件；
（2）分析系统中各子系统、各元件的交接面及其 相互关系与影响；
（3）分析原材料、产品、特别是有害物质的性能 及贮运；
（4）分析工艺过程及其工艺参数或状态参数； （5）人、机关系（操作、维修等）； （6）环境条件； （7）用于保证安全的设备、防护装置等。
基于马尔科夫更新过程的侦察系统可靠性分析
Ｆ ｒ（ｔ）＝ｌ—ｅ一（４．７９‘）””，ｔ≥０ Ｆ，（ｔ）＝１一ｅ。０＿ｏ‘，ｔ≥０
运用Ｍａｔｌａｂ计算机程序，对可用度的马尔可夫 更新方程的迭代进行算法计算，结合式（６）得到冷 储备系统的瞬时可用度变化曲线，如图２（实线）。
㈣
数为∥指数分布；２个部件的工作寿命和修理时间
收稿日期：２００９—１０－０４：修回日期：２００９一ｌｌ—０２ 基金项目：炮兵侦察配系效能分析（陆装科订部２００７第３０７号） 作者简介：沈吉锋（１９８１一），男，安徽人，从事网络数据库研究。
万方数据
·８·
兵工自动化
第２９卷
都相互独立；转换开关是可靠的，状态转移是瞬时 的；部件修复如新。部件的工作状态有：
Ｂ ａｓｅｄ ｏｎ Ｍａｒｋｏｖ Ｒｅｎｅｗａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓ Ｃｒｅｄｉｂｉｌｉｔｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｒｅｃｏｎｎａｉｓｓａｎｃｅ Ｓｙｓｔｅｍ
ＳＨＥＮ Ｊｉ．ｆｅｎｇｌ，ＺＨＡＮＧ Ｙｏｎｇ．ｚｈｉｌ，ＳＯＮＧ Ｃｈａｏ．ｈｅ２，ＣＨＥＮ Ｆｅｎｌ （１．Ｓｔａｆｆ Ｒｏｏｍ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ，Ｂｅｎｇｂｕ Ｔａｎｋ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｂｅｎｇｂｕ ２３３０５０，Ｃｈｉｎａ；
摘要：针对系统部件寿命或修理时间不服从，或不完全服从指数分布的非马尔科夫型冷贮备可修系统的可用性， 基于马尔科夫更新过程理论建立可用性分析模型，并依据时域迭代法分析系统的瞬时可用度。通过对雷达系统的可 用性分析，检验了模型的可行性，为非马尔可夫型系统的可用性分析提供了有效的方法．
关键词：马尔科夫更新过程；可用度；时域迭代法；极大似然估计 中图分类号：Ｎ９４５．１７ 文献标识码：Ａ
Ｐ｛丁ｌｓｆ ＩＺｏ＝Ｏ｝＝Ｉ。Ａｌ（ｔ—ｕ）ｄＱｏ Ｊ（ｔ）
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第六章 马尔可夫型可修系统 §1 马尔可夫型可修系统的一般模型 §2. 单部件可修系统 单部件组成的可修系统是最简单的可修系统,为了有助于理解§1中一般结果的实际背景, 我们在这节中将详细地讨论这个系统，并求出各种可靠性指标． 假设系统由一个部件构成．当部件工作时系统工作，当部件故障时系统故障．部件的寿命X服从指数分布 {}1,0,0tPXtet 部件故障后的修理时间Y服从指数分布 {}1,0,0tPYtet 假定X和Y相互独立，故障部件修复后的寿命分布与新的部件相同，简称为修复如新．初始时刻系统处于工作状态. 上述系统可由工作和故障两个状态不断交替的过程来描述．假定用状态0表示系统正常，用状态1表示系统故障，因此 E = {0, 1}, W = {0}, F = {1} 令
系统故障若时刻系统工作若时刻tttX,1,0)(
显然{X (t), t 0}是一个连续时间t 0, 有限状态空间E＝{0, 1}的随机过程．由于指数分布的无记忆性，可以证明，{X (t), t 0}是一个齐次马尔可夫过程．事实上, 若已知X (t) = 0(时刻t系统工作)或X (t) = 1 (时刻t系统故障)，由于部件的寿命分布和修理时间分布是指数分布，因此时刻t以后系统发展的概率规律完全由时刻t系统是工作还是故障所完全决定，而与该部件在时刻t已工作了多长时间或已修理了多长时间无关．即时刻t以后系统发展的概率规律, 完全由X (t) = 0还是X (t) = 1所决定，而与时刻t以前的历史无关. 还可类似地说明过程的齐次性． 系统的状态及其转移情况由下图所示. [[进而可写出系统的转移率矩阵
A]]
由上图可得系统状态的微分方程组: 011001
()()()()()()(0)1,(0)0dPtPtdtdPtPtdtPP
(1)
对方程(1)的两端关于t作Laplace变换可得 ***0001
***1110
()(0)()()()(0)()()sPsPPsPssPsPPsPs
(2)
利用初始条件01(0)1,(0)0PP，由(2)解出
0 1
工作状态 故障状态 *0
*1
11()()()()sPsssssPsss
反演上式，得到
()0()10()()1()ttPtePtPte
(3)
1) 系统的可用度 复习: 定理1.1 当给定初始状态分布 P0(0), P1(0), … , PN (0) 则系统的瞬时可用度为 WjjtPtA)()(
其中Pj (t), j W是下列微分方程组的解
)0(,...),0(),0(,)()(10NEkkikiPPPEiatPtP
初始条件 由定理1.1和上图可知, 系统的瞬时可用度就是系统在时刻t处于工作状态的概率, 即
tetPtA)(0)()(
(4)
系统的稳态可用度 ()lim()lim[]tttAAte
注 系统的稳态可用度也可以利用Laplace变换极限定理求出: **0000lim()lim()lim()lim()tsssAAtsAssPsssss
(5)
2) 系统的故障频度 复习: 定理1.7 当时刻0系统的初始分布为 ))0(,...),0(()0(0NPPP 则时刻t系统的瞬时故障频度为
0 1
工作状态 故障状态 ()()kkjkWjFmtPta
其中WktPk),(是方程组
)0(,...),0(),0(,)()(10NEkkikiPPPEiatPtP
初始条件 的解．
由定理1.7和上图可知, 系统在时刻t的瞬时故障频度
0()()()()tmtPte
(6)
系统在(0, t]中的平均故障次数为 02()2()()[1]()ttMtmudute
(7)
系统稳态故障额度
0 1
工作状态 故障状态 ()lim()limttMtMmtt
(8)
注 系统的稳态可用度也可以利用Laplace变换的极限定理求出: **0000lim()lim()lim()lim()tsssMmtsmssPsssss
3) 修理设备忙的概率 修理设备忙的状态只有状态1，即U={1}, 故时刻t修理设备忙的概率及其稳态概率分别为
()1()()lim()ttBtPteBBt
(9)
4) 系统平均开工时间、平均停工时间 和平均周期 复习: 定理1.9 在系统已经处于稳态的条件下，系统平均开工时间、平均停工时间和平均周期分别为
MMCTMAMDT
MAMUT
1 其中A和M分别由定理1.3和定理1.8而得，AA1． 由定理1.9和1), 3)的结果, 立得在系统已经处于稳态的条件下，系统的
111111AMUTMAMDTMMCTM平均工作时间
平均故障时间平均周期 5) 系统可靠度 下面求系统的可靠度R (t). 我们令系统的故障状态1为吸收状态，即令0．这就构成一个
新的马尔可夫过程．这个过程的状态转移图如下:
由上图可得新系统状态的微分方程组: 00
()()0(0)1dPtdtP
(10)
将式(10)的第一式两端作Laplace变换，并利用初始条件，可得线性方程 **00()1()0sPsPs
容易解出
*0
1
()Pss
反演上式，得到
0()tPte (11) 系统的可靠度就是系统在时刻仍然处于工作
0 1 状态的概率, 即 0()()tRtPte (12) 系统首次故障前平均时间是
001()tMTTFFRtdtedt (13)
注 系统的首次故障前平均时间也可以利用Laplace变换求出:
**0011(0)(0)sMTTFFRPs
公式(10)和(11)是十分显然的，因为系统由一个部件构成，所以，系统的首次故障前时间分布也就是部件的寿命分布．用上述求法只是为了说明§1.5中的方法．
§3 串联系统 设系统由n个部件串联而成．第i个部件的寿命X i的分布为0,1teti，故障后的修理时间Yi的分布为0,1teti，其中 0,ii
, i = 1, 2, , n
若n个部件都正常工作，则系统处于工作状态．当