关于加权熵公式的几点注记
熵权法算权重
熵权法算权重
熵权法是一种基于信息熵理论的权重计算方法。
它可以在多个因素之间进行权衡和对比，从而得出每个因素对于问题的重要度。
在熵权法中，信息熵越大，表示该因素的不确定性越高，即其对解决问题的贡献越大。
计算熵权法的步骤如下：
1. 收集问题中的所有因素，例如各个决策选项的评价指标。
2. 对每个因素的各个评价值进行归一化，使其取值在0到1之间。
3. 计算每个因素的信息熵，公式为：Ei = -∑(Pi *
ln(Pi))，其中Pi为该因素的每个评价值的概率。
4. 计算每个因素的权重，公式为：Wi = (1 - Ei) / ∑(1 - Ei)。
5. 按照权重大小排序，得出每个因素对于问题的贡献度。
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（完整版）指标权重确定方法之熵权法（计算方法参考
（完整版）指标权重确定方法之熵权法（计算方法参考
指标权重确定方法之熵权法
一、熵权法介绍
熵最先由申农引入信息论，目前已经在工程技术、社会经济等领域得到了
非常广泛的应用。
熵权法的基本思路是根据指标变异性的大小来确定客观权重。
一般来说，若某个指标的信息熵越小，表明指标值得变异程度越大，提
供的信息量越多，在综合评价中所能起到的作用也越大，其权重也就越大。
相反，某个指标的信息熵越大，表明指标值得变异程度越小，提供的信息量也越少，
在综合评价中所起到的作用也越小，其权重也就越小。
二、熵权法赋权步骤
1.数据标准化
将各个指标的数据进行标准化处理。
假设给定了k个指标，其中。
假设对各指标数据标准化后的值为，那么。
2.求各指标的信息熵
根据信息论中信息熵的定义，一组数据的信息熵。
其中，如果，则定义。
3.确定各指标权重。
topsis熵权计算方法
topsis熵权计算方法
熵权法是一种通过分析指标的信息熵，根据指标的信息量对指标进行赋权的方法。
在使用熵权法计算权重时，可以采用以下步骤：
1. 判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间。
2. 计算第j项指标下第i个样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率。
3. 计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每个指标的熵权。
在计算信息效用值时，可以使用以下公式：
信息效用值 = 1 - 信息熵
因此，熵权法的具体计算方法为：首先计算每个指标的信息熵，然后根据信息效用值的公式计算信息效用值，最后将信息效用值进行归一化处理，得到每个指标的熵权。
需要注意的是，熵权法的使用步骤和具体计算方法可能会因为不同的应用场景和数据类型而有所不同。
因此，在使用熵权法时，需要根据具体情况进行调整和改进。
手把手教你用熵值法计算权重
手把手教你用熵值法计算权重由于对数据要求少，且容易计算，熵值法一直是备受欢迎的权重计算方法。
今天的文章，将带大家一起梳理熵值法计算权重的步骤以及如何应用到综合评价研究中。
一、研究背景研究案例是利用熵值法来对各企业的财务状况进行综合评价分析。
选取了7个财务指标，分别是固定资产产值率、固定资产利税率、资金利润率、资产利税率、流动资金周转天数、销售收入利润率、全员劳动生产率。
二、操作步骤1. 数据标准化首先，需要对数据进行标准化处理。
指标量纲（单位）不一致会造成不同指标的数据有大有小，这样会影响计算结果。
为了消除量纲的影响，分析前需要先对数据进行处理。
正向指标：（X-Min）/(Max-Min) （生成变量-正向化MMS）逆向指标：（Max-X）/(Max-Min) （生成变量-逆向化NMMS）无量纲化处理方法有多种，SPSSAU均有提供。
常见处理办法有标准化、归一化、区间化等。
2、熵值法分析由于熵值法的计算过程要求数值中不能存在0或负数，否则就无法计算出结果。
SPSSAU熵值法中提供了[非负平移]功能。
操作：选择【综合评价】→【熵值法】。
将处理后的指标项放入右侧分析框里，勾选[非负平移]、[综合得分]，点击开始分析。
综合评价--熵值法熵值法分析结果各项指标的权重={0.117, 0.134, 0.142, 0.146, 0.139, 0.135, 0.186}。
SPSSAU智能分析中也会提供每个指标具体的权重值。
3. 对综合得分进行排序操作：选择【数据处理】→【生成变量】里排名功能。
点击“综合得分”，再选择“排名（Rank）”，点击确认处理。
通过右上角【我的数据】即可查看到排名情况，以及下载综合得分和排名。
下载后可使用EXCEL对数据进行整理，最终结果如下：三、其他说明1、在综合评价中，每层的权重是独立存在的。
如果研究设计包含多级指标，则需要分别计算权重。
确定好各层指标权重后，再加权求和得到总得分。
熵权法标准化
熵权法标准化熵权法是一种常用的多指标权重确定方法，可以在决策问题中对各个指标的重要性进行评估和排序。
它通过计算指标的熵值来判断指标的信息量与纯度，从而确定权重，进而实现指标的标准化。
本文将详细介绍熵权法标准化方法的原理和步骤。
一、熵权法原理熵权法是基于信息熵的理论，它认为一个指标的熵值越大，其包含的信息量越丰富，重要性越高。
反之，熵值较小的指标信息量较少，重要性较低。
因此，可以通过计算指标的熵值来确定各个指标的重要性，并在标准化过程中应用这些权重。
二、熵的计算方法在熵权法中，熵的计算是关键的一步，它衡量了指标的随机性和不确定性程度。
计算方法如下：1. 首先，将各个指标的各个因素值构成一个矩阵，记作X。
2. 接着，对X进行按列归一化操作，将矩阵的每一列的数值都缩放到0-1之间。
3. 然后，根据矩阵X，计算每个因素值的概率。
对于某一列的某个因素值Xi，其概率P(xi)的计算公式为：P(xi) = Xi / ΣXi（i=1,2,…,n）。
4. 计算每个因素值对应的信息量。
信息量的计算公式为：I(xi) = -log2(P(xi))。
5. 最后，计算熵值H。
熵值的计算公式为：H = -Σ(P(xi) *log2(P(xi)))（i=1,2,…,n）。
三、熵权法标准化步骤熵权法标准化基于熵的计算结果，用于确定各个指标的权重和标准化值。
其步骤如下：1. 求出每个指标的熵值，得到熵值向量H = (H1, H2, ..., Hn)。
2. 计算权重向量W = (W1, W2, ..., Wn)，其中Wi = Hi / ΣH（i=1,2,…,n）。
3. 标准化指标的值。
对于某一列的某个因素值Xi，其标准化值的计算公式为：Zi = (Xi - Ximin) / (Ximax - Ximin)，其中Ximin和Ximax分别为该列因素值的最小值和最大值。
四、熵权法标准化的应用示例为了更好地理解和应用熵权法标准化方法，我们以某公司招聘人才的评估问题为例进行说明。
熵权法详解
熵权法详解熵权法是一种用于多指标决策的方法，其主要目标是确定各个指标的权重，以便对决策方案进行综合评价。
该方法基于信息熵的概念，通过计算指标的熵值和权重，可以客观地反映指标的重要性和贡献度，从而为决策提供科学依据。
我们需要了解什么是信息熵。
信息熵是信息论中的一个概念，用于衡量一组信息的不确定性或者信息量。
在熵权法中，我们将其引入到指标评价中，用来度量指标的离散程度和信息丰富度。
一般来说，熵值越大，指标的离散程度越高，即信息量越大；反之，熵值越小，指标的离散程度越低，即信息量越小。
在熵权法中，计算指标的熵值是确定指标权重的关键步骤。
具体而言，我们可以通过以下步骤来计算指标的熵值：1. 收集数据：收集相关指标的数据，构建指标矩阵。
2. 标准化数据：对指标矩阵进行标准化处理，将指标的数据映射到[0,1]的范围内，以消除量纲和单位的影响。
3. 计算概率：计算每个指标在各个水平上的概率，即指标值出现的频率。
4. 计算信息熵：利用概率计算每个指标的信息熵，即指标的离散程度和信息量。
5. 计算权重：根据信息熵计算指标的权重，熵值越大的指标权重越小，熵值越小的指标权重越大。
通过以上步骤，我们可以得到各个指标的权重，这些权重可以用来对决策方案进行综合评价。
在实际应用中，可以根据具体情况进行调整和优化，以提高决策的准确性和可信度。
熵权法的优点在于能够客观地评估指标的重要性和贡献度，避免了主观性评价的偏见和误差。
此外，熵权法还能够处理多指标决策中指标之间的相互关系和影响，提高了决策的科学性和可靠性。
然而，熵权法也存在一些限制和注意事项。
首先，熵权法要求指标之间应具有一定的相关性，否则计算出的权重可能不准确。
其次，熵权法在处理大规模指标和数据时可能存在计算复杂度较高的问题，需要合理选择计算方法和工具。
最后，熵权法在实际应用中需要根据具体情况进行参数设置和结果解释，以确保决策的合理性和可行性。
总的来说，熵权法是一种科学有效的多指标决策方法，可以帮助决策者在面对复杂问题时进行准确和全面的评价。
熵分析
熵的计算公式 （1）某准则层指标的熵值计算公式 依据熵的可加性特征，定义指标的熵值 S 总的计算公式如下：S总 Ki Si（1）其中，i 为指标层析中具体影响熵值的各种指标，Ki 为该指标在所有指标中的权重，Si 是指 标体系中有所指标的熵。
（2）准则层各指标的熵值（Si）计算公式 准则层各指标的熵值计算公式为：Si X i ln X i其中，i 代表该指标层次中各个指标， X i 为个指标值与去顶的该指标标准值的比值。
（1）构造指标水平矩阵 A 矩阵 A 中的元素 aj 是各种影响因素子系统的熵值 Si，在得出各项子指标体系熵值的基 础上，就可以进一步得到影响系统总熵值的各项指标的水平矩阵 A，则矩阵 A 的构成可表 示为： A=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7] （2）构造各子系统的相互作用矩阵 B 矩阵 B 中元素 bij 表示的是矩阵 A 中的第 i 子系统因素对第 j 子系统因素的作用力。
矩 阵 B 的构成形式可以表示为：B=b11,b12,b13,b14,,b15,b16,b17 b21,b22,b23,b24,b25,b26,b27 b31,b23,b33,b34,b35,b36,b37 b41,b42,b43,b44,b45,b46,b47 b51,b52,b53,b54,b55,b56,b57 b61,b62,b63,b64,b65,b66,b67 b71,b72,b73,b74,b75,b76,b77 在确定相互作用矩阵 B 中的元素 bij 时通常是采用专家打分方法。
主要操作方法是根据专家意见将子系统按照重要程序进行排序，不同系统的重要程度可以并列，矩阵 B 中各元素 bij 的值即为由专家确定的该影响因素的重要程度的排列顺序所对应的值。
具体实施方法如 下： 1)与子系统熵值相对应的影响因素 ai 对其本身的相互作用力为 1，即为 bii=1; 2)若影响因素ai按专家意见排序后所对应的作用力数值为 x，则影响因素 ai 对影响因素 aj的作用力就为 x,即 bij=x。
指标权重确定方法之熵权法(计算方法参考
指标权重确定方法之熵权法一、熵权法介绍熵最先由申农引入信息论，目前已经在工程技术、社会经济等领域得到了非常广泛的应用。
熵权法的基本思路是根据指标变异性的大小来确定客观权重。
一般来说，若某个指标的信息熵越小，表明指标值得变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所能起到的作用也越大，其权重也就越大。
相反，某个指标的信息熵越大，表明指标值得变异程度越小，提供的信息量也越少，在综合评价中所起到的作用也越小，其权重也就越小。
二、熵权法赋权步骤1.数据标准化将各个指标的数据进行标准化处理。
假设给定了k个指标，其中。
假设对各指标数据标准化后的值为，那么。
2.求各指标的信息熵根据信息论中信息熵的定义，一组数据的信息熵。
其中，如果，则定义。
3.确定各指标权重根据信息熵的计算公式，计算出各个指标的信息熵为。
通过信息熵计算各指标的权重：。
三、熵权法赋权实例1.背景介绍某医院为了提高自身的护理水平，对拥有的11个科室进行了考核，考核标准包括9项整体护理，并对护理水平较好的科室进行奖励。
下表是对各个科室指标考核后的评分结果。
但是由于各项护理的难易程度不同，因此需要对9项护理进行赋权，以便能够更加合理的对各个科室的护理水平进行评价。
2.熵权法进行赋权1）数据标准化根据原始评分表，对数据进行标准化后可以得到下列数据标准化表表2 11个科室9项整体护理评价指标得分表标准化表科室X1X2X3X4X5X6X7X8X9A 1.000.00 1.000.000.50 1.00 1.00 1.00 1.00B 1.00 1.000.00 1.000.50 1.00 1.00 1.00 1.00C0.00 1.000.33 1.000.50 1.00 1.00 1.00 1.00D 1.00 1.000.00 1.000.50 1.000.87 1.00 1.00E 1.000.00 1.00 1.00 1.000.00 1.00 1.000.00F 1.00 1.00 1.00 1.000.50 1.00 1.000.00 1.00G 1.00 1.000.00 1.000.50 1.000.00 1.00 1.00H0.50 1.000.33 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00I 1.00 1.000.67 1.000.00 1.00 1.00 1.00 1.00J 1.000.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 K 1.00 1.000.67 1.000.50 1.00 1.00 1.00 1.002）求各指标的信息熵根据信息熵的计算公式，可以计算出9项护理指标各自的信息熵如下：表3 9项指标信息熵表X1X2X3X4X5X6X7X8X9信息熵0.950.870.840.960.940.960.960.960.963）计算各指标的权重根据指标权重的计算公式，可以得到各个指标的权重如下表所示：表4 9项指标权重表W1W2W3W4W5W6W7W8W9权重0.080.220.270.070.110.070.070.070.073.对各个科室进行评分根据计算出的指标权重，以及对11个科室9项护理水平的评分。
指标权重确定方法之熵权法(计算方法
指标权重确定方法之熵权法(计算方法熵权法（Entropy Weighting Method）是一种常用的指标权重确定方法，它通过计算指标数据的熵值来确定指标的权重。
熵值体现了指标数据的离散程度，离散程度越大，熵值越大，即指标的重要性越高。
熵值的计算方法如下：设有n个指标，每个指标有m个样本，设第i个指标的第j个样本为Xij，熵值计算公式为：Ei = - (Xij * ln(Xij)）其中，i表示指标的序号，j表示样本的序号，ln表示自然对数。
计算完每个指标的熵值后，进一步对熵值进行归一化处理，得到权重。
具体的计算步骤如下：1.归一化处理：将指标数据进行归一化处理，将其范围限定在(0,1)之间。
2.计算指标熵值：按照上述公式，计算每个指标的熵值。
3.计算指标权重：将每个指标的熵值除以所有指标熵值的和，得到每个指标的权重。
4.权重归一化：对指标权重进行归一化处理，使得所有指标权重的和等于1下面通过一个例子来说明熵权法的计算过程。
假设有3个指标，每个指标有4个样本，指标数据如下：指标1：1,2,3,4指标2：5,6,7,8指标3：10,20,30,40首先进行归一化处理，计算每个指标的最小值和最大值，然后将指标数据进行归一化，得到如下结果：指标1：0.0,0.25,0.5,1.0指标2：0.0,0.2,0.4,1.0指标3：0.0,0.0714,0.2143,1.0接下来计算指标熵值，根据前面的熵值计算公式，计算每个指标的熵值，并取负值，得到如下结果：然后将熵值进行归一化处理，将每个指标的熵值除以所有指标熵值的和，得到如下结果：最后对指标权重进行归一化处理，使得所有指标权重的和等于1，得到最终的权重结果：通过以上计算可以得到每个指标的权重，可以根据权重进行综合评价。
熵权法能够充分考虑指标的离散程度，提高了指标权重的准确性，因此被广泛应用于各种指标权重确定的问题中。
熵值法指标权重
熵值法指标权重
熵值法是一种常用的指标权重分配方法，它可以通过计算指标的熵值来确定各个指标的权重，从而实现对指标的合理分配和评价。
在实际应用中，熵值法被广泛应用于各种领域，如企业绩效评价、环境评价、风险评估等。
熵值法的基本原理是通过计算指标的熵值来确定各个指标的权重。
熵值是信息论中的一个概念，它表示信息的不确定性或随机性。
在指标权重分配中，熵值可以用来衡量指标的多样性和重要性，从而确定各个指标的权重。
具体来说，熵值法的计算过程如下：
1. 对于每个指标，计算其归一化后的值，即将指标的原始值转化为0-1之间的值。
2. 计算每个指标的熵值，即将每个指标的归一化值带入熵值公式中进行计算。
熵值公式为：H=-Σpilogpi，其中pi为指标i的归一化值。
3. 计算每个指标的权重，即将每个指标的熵值除以所有指标的熵值之和。
指标i的权重为：wi=Hi/ΣH。
通过熵值法计算出的指标权重可以用于指标评价、决策分析等方面。
在企业绩效评价中，熵值法可以用来确定各个绩效指标的权重，从而实现对企业绩效的全面评价和优化。
在环境评价中，熵值法可以
用来确定各个环境指标的权重，从而实现对环境质量的评价和改善。
在风险评估中，熵值法可以用来确定各个风险指标的权重，从而实现对风险的评估和控制。
熵值法是一种简单有效的指标权重分配方法，它可以帮助我们实现对指标的合理分配和评价。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择适合的指标权重分配方法，从而实现对各种问题的解决和优化。
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第５期 ２００７年９月 华东师范大学学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅａｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ＮＯ．５
Ｓｅｐｔ．２００７
Ａｒｔｉｃｌｅ ＩＤ：１０００－－５６４１（２００７）０５－－０００１－－１１ Ｓｏｍｅ Ｒｅｍａｒｋｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｅｎｔｒｏｐｙ ＷＡＮＧ Ｌｉｎ—ｆｅｎｇ ，２ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｅａｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００６２，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎａｎｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｔｏｎｇ Ｊｉａｎｇｓｕ ２２６０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｇａｖｅ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｏｆ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｅｎｔｒｏｐｙ，ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ ｔｉｍｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｈｅａｔ ｋｅｒｎｅｌ，ｓｈｏｗｅｄ ｔｈｅ ｅｎｔｒｏｐｙ ｃａｎ ｂｅ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａｎ ｉｓｏｐｅｒｉｍｅｔｒｉｃ ｃｏｎｓｔａｎｔ，ａｎｄ ｕｓｅｄ ｉｔ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｓｏｍｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｎｉｆｏｌｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｈｅａｔ ｋｅｒｎｅｌ；ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｅｎｔｒｏｐｙ；Ｂａｋｒｙ—Ｅｍｅｒｙ ｃＵｒｖａｔｕｒｅ ｔｅｎｓｏｒ；ｖｏｌｕｍｅ ｇｒｏｗｔｈ ＣＬＣ ｈｕｍｂｅｒ：０１８６．１２ Ｄｏｃｕｍｅｎｔ ＣＯｄｅ：Ａ
关于加权熵公式的几点注记 王林峰 ，０ （１．华东师范大学数学系，上海２０００６２； ２．南通大学数学系，江苏南通２２６０００）
摘要：给出加权熵沿加权热方程的单调性，研究ＴＮ权热核短时问的性态，指出加权熵可以视 作某种等周常数，并且利用它讨论流形的若干几何性质． 关键词： 热核； 加权熵； Ｂａｋｒｙ．Ｅｍｅｒｙ曲率张量； 体积增长
０ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ （Ｍ ，ｇ）ｉｓ ａ ｎ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｒｉｅｍａｎｎｉａｎ ｍａｎｉｆｏｌｄ，ｄｘ ｉｓ Ｒｉｅｍａｎｎ．Ｌｅｂｅｓｇｕｅ ｍｅａｓｕｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｍｅｔｒｉｃ ｇ．ｔｈｅ Ｌａｐｌａｃｅ—Ｂｅｌｔｒａｍｉ ｏｐｅｒａｔｏｒ△ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｄｘ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ：
△＝ｄｉｖ． Ｅｎｌｉｇｈｔｅｎｅｄ ｂｙ Ｐｅｒｅｌｍａｎ’Ｓ ｗｏｒｋ［ ．Ｎｉ Ｌｅｉ［２］ｕｓｅｄ ｅｎｔｒｏｐｙ ｆｏｒｍｕｌａ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｌｉｎｅａｒ ｈｅａｔ
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（ 一 （ ）：０ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｍｅａｓｕｒｅ， ｄ ＝ｅ ｄ ， 收稿日期：２００６－０９ 基金项目：国家自然科学基金（１０６７１０６６）；国家重点基础研究发展计划（９７３）项目（２００６ＣＢ７０８３０５） 作者简介：王林峰（１９７３－），男，博士生．
维普资讯 http://www.cqvip.com ２ 华东师范大学学报（自然科学版） ２００７住 ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｓｍｏｏｔｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈ ｏｎ Ｍ．Ｗｅ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｌａｐｌａｃｅ－Ｂｅｌｔｒａｍｉ ｏｐｅｒ－ ａｔｏｒ ａｓ△ ｆｒｏｍ［３】，ａｎｄ ｇｅｔ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ△ａｎｄ△ ：
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Ｖ ，一 ＋（ Ｖｈ．Ｖ，一浮） ］ ２ｒ （０．８） Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ．ｉｆ ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ ｍ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ Ｂａｋｒｙ－Ｅｍｅｒｙ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｔｅｎｓｏｒ ｉｓ ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ，ｉ－ｅ
ｔｈｅｎ ｗ（ｆ，７＿） ２ Ｒｉｃ—Ｈｅｓｓ ｈ Ｖｈ Ｖｈ≥０， ｒ ｛ ｌｏｇ ｒ ｉｓ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ａｌｏｎｇ ｈｅａｔ ｅｑｕａｔｉｏｎ
Ｔｈｅｏｒｅｍ ２ Ｍ ｉｓ ａ ｃｌｏｓｅｄ Ｒｉｅｍａｎｎｉａｎ ｍａｎｉｆｏｌｄ，ａｎｄ
Ｈ（ｘｏ，Ｘ，７＿）＝ （４＝ｒ）号 ｅ—ｆ（ｘｏ， ， ．７＿＞０
（０．５）
（０．９）
ｉｓ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｈｅａｔ ｋｅｒｎｅｌ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ△“．Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｍｏｏｔｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｎ Ｍ，ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｌｉｍ ｓｕｐ ｌ （ ）（ （ ０， ，７＿）一ｈ（ｘｏ）一ｎ）Ｈ（ｘｏ， ，７＿）ｄ （ ）≤０， ｒ—｝０＋Ｊ＾， （０．１０）
维普资讯 http://www.cqvip.com 第５期 王林峰：关于加权熵公式的几点注记 ３ ｗｈｅｒｅ Ｕ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｆｏｒｍｕｌａ（１．４）． Ｄｅｆｉｎｅ ）＝ｉｎｆ｛ （ ）；Ｌ（４ ｒ）－－￣ｅ－Ｉｄ＃＝１），一 ｉｎ＞ｆ。 ） （０．１１）
ｗｈｅｒｅ ｍａｙ ｂｅ一∞ａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａｎ ｉｓｏｐｅｒｉｍｅｔｒｉｃ ｃｏｎｓｔａｎｔ． Ｔｈｅｏｒｅｍ ３ Ｆｏｒ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｒｉｅｍａｎｎｉａｎ ｍａｎｉｆｏｌｄ，ｄ ＝ｅｈｄｘ， ＞一∞ａｎｄ Ｈ（ｘ，Ｙ，ｔ）
ｉｓ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｈｅａｔ ｋｅｒｎｅｌ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ△“，ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｅｓｔｉｍａｔｅ． Ｈ（ｘ，ｙ，ｔ）≤ Ｃ ｅ一 （０．１２）
ｉｎ ｗｈｉｃｈ，Ｄ＞４，ｄ（ｘ，Ｙ）ｉｓ ｔｈｅ ｇｅｏｄｅｓｉｃ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｘ，Ｙ，ａｎｄ Ｃ＝Ｃ（Ｄ，ｎ， ）ｉｓ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎｌｙ ｏｎ Ｄ，ｎ， ．Ｎｏｗ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ Ｘ∈Ｍ，ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ入＝入（ ，ｎ， ）， ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｌｌ Ｒ＞０．ｔｈｅｒｅ ｉｓ （Ｂ（ ，Ｒ））＞ＡＲ ， （０．１３）
ｉｎ ｗｈｉｃｈ，Ｂ（ｘ，Ｒ）ｉｓ ｔｈｅ ｇｅｏｄｅｓｉｃ ｂａｌｌ ｃｅｎｔｅｒｅｄ ａｔ Ｘ ｗｉｔｈ ｒａｄｉｕｓ Ｒ． １ Ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｏｒｍｕｌａ Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｄｅｄｕｃｅ ｍｏｎｏｔｏｎｅ ｆｏｒｍｕｌａ（０．８）．Ｌｅｔ
ｔｈｅｎ，ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｓｅｅ ．厂＝一ｌｏｇ Ｗ：２Ａ ．厂一ＩＶ．厂Ｉ ，
．厂产△ ．厂一ＩＶ．厂Ｉ
（１．１） （１．２）
（１．３） Ｎｏｗ ｗｅ ｃａｎ ｃｏｍｐｕｔｅ （ 一△ ） ＝ ２△ 一２Ｖ ．Ｖ歹 一２△ （△ ）＋△ （ＩＶ
＝ ２Ａ （△ ｆ—ＩＶ ｆ Ｉ ）一２Ｖ ｆ・ｖ（Ａ ｆ—ＩＶ ｆ Ｉ ）一２Ａ （△ ｆ）＋△ （ｉｖ ｆ Ｉ ） ＝一△ （ｉｖ ｆ Ｉ ）一２Ｖ ｆ・Ｖ（Ａ ｆ—ＩＶ ｆ Ｉｓ） ＝一Ａ（ＩＶ ｆ Ｉｓ）一Ｖｈ・ｖ（Ｉｖ ｆ Ｉｓ）一２Ｖ ｆ・Ｖ（Ａ ｆ＋Ｖｈ．Ｖ ｆ—ＩＶ ｆ Ｉｓ）． Ｃｈｏｏｓｅ ａ ｌｏｃａｌ ｏｒｔｈｏｎｏｒｍａｌ ｂａｓｉｓ，ａｎｄ ｆｒｏｍ Ｒｉｃｃｉ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｗｅ ｈａｖｅ‰｛一ｌ ＝ｌｊＲｉ Ｔｈｅｎ
（ 一 ） ＝一２（ ２＿２ ｆ—ｉｆｉ ２ Ｊ一２ （ ＋（ ） 一２ ｆ—Ｊｆ～ ）
＝ 一２（ｆ巧） 一４．厂ｔ．厂 ｔ一２Ｒｉｊ ｆｉ．厂ｊ一２＾ｔ．厂Ｊ．厂巧一２．厂ｔ（＾Ｊ ｆｊ）ｉ＋４．厂ｔ．厂Ｊ．厂 ． Ｎｏｔｉｃｅ Ｖｗ・Ｖ ｆ：Ｖ（２Ａ ｆ—ＩＶ ｆ Ｉｓ）・Ｖ ｆ ：２ｖ（Ａ ｆ＋Ｖｈ・Ｖ ｆ１・Ｖ ｆ—ｖ（Ｉｖ ｆ Ｉｓ）．Ｖ ｆ ＝２ ｆ￣ｆｊｊｉ＋２（ｈｉ ｆｉ）ｊ ｊ １—２ ｊ ｊ ｌｊ ．
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