电-热-力载下BNNTs增强压电板的非线性动力响应

第３４卷第２ｌ期　振动与冲击　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨＯＣＫ　

电一热一力载下ＢＮＮＴｓ增强压电板的非线性动力响应　杨金花，张鹏君　（长沙理工大学土木与建筑学院，长沙４１０１　１４）　

摘　要：研究了电一热一力载荷作用下硼氮纳米管（ＢＮＮＴｓ）增强压电板的非线性动力响应。运用板的非线性应　变几何关系及考虑温度效应的压电理论，建立了ＢＮＮＴｓ增强压电板的本构关系。通过变分推导出了结构的非线性动力　控制方程。在空间上采用差分法离散，在时间上采用Ｎｅｗｔｏｎ—Ｎｅｗｍａｒｋ方法离散，整个问题采用迭代法进行求解。算例　中，详细讨论了电压、温度、载荷、体积比以及外激励频率等因素对ＢＮＮＴＳ增强压电板非线性动力响应的影响。　关键词：非线性动力响应；压电；板；ＢＮＮＴ；电一热一力载　中图分类号：Ｏ３４１　文献标志码：Ａ　ＤＯＩ：１０．１３４６５／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊＶＳ．２０１５．２１．０２６　

Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ａ　ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｌａｔｅ　ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ　ｗｉｔｈ　ＢＮＮＴｓ　ｕｎｄｅｒ　ｅｌｅｃｔｒｏ－ｔｈｅｒｍｏ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｌｏａｄｉｎｇｓ　ＹＡＮＧ　Ｊｉｎ—ｈｕａ，ＺＨＡＮＧ　Ｐｅ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｉｖｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　４１０１　１４，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ａ　ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｌａｔｅ　ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ　ｗｉｔｈ　ｂｏｒｏｎ　ｎｉｔｒｉｄｅ　ｎａｎｏｔｕｂｅｓ　（ＢＮＮＴｓ）ｕｎｄｅｒ　ｅｌｅｃｔｒｏ—ｔｈｅｒｍｏ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｌｏａｄｉｎｇｓ　ｗａｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｕｓｉｎｇ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｒａｉｎｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｌａｔｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｔｈｅｏｒｙ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｔｈｅｒｍａｌ　ｅｆｆｅｃｔｓ，ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｌａｔｅ　ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ　ｗｉｔｈ　ＢＮＮＴｓ　ｗｅｒｅ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｇｏｖｅｒｎｉｎｇ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｗｅｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　ｓｐａｃｅ　ａｎｄ　Ｎｅｗｔｏｎ—Ｎｅｗｍａｒｋ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　ｔｉｍｅ，ｔｈｅ　ｗｈｏｌｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗａｓ　ｓｏｌｖｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｉｎ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ｖｏｌｔａｇｅ，ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ，ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｌｏａｄ，ｖｏｌｕｍｅ　ｒａｔｉｏ　ａｎｄ　ｅｘｔｅｒｎａｌ　ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｌａｔｅ　ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ　ｗｉｔｈ　ＢＮＮＴｓ　ｗｅｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ；ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ；ｐｌａｔｅ；ＢＮＮＴ；ｅｌｅｃｔｒｏ－ｔｈｅｒｍｏ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｌｏａｄｉｎｇｓ　

硼氮纳米管（ＢＮＮＴ）具有类似于碳纳米管（ＣＮＴ）　的结构，有很好的力学性能，并且与ＣＮＴ相比，ＢＮＮＴ　具有更好的抗氧化能力及强的压电特性。另外，ＢＮＮＴ　还具有稳定的半导体性能ｕ－２］。硼氮纳米管的这些性　质使其似乎可以作为各种纳米级的电子和光子设备的　替代材料。因此，ＢＮＮＴ越来越广泛地用作复合结构的　加固组分。随着科技的发展，一种具有压电性质的新　型智能纳米复合材料，即用压电材料作基体而ＢＮＮＴ　作增强材料，吸引了科学界的兴趣。现有文献表明，对　ＢＮＮＴｓ增强压电结构的研究还很少，且大多讨论的是　线性静力问题。因此，有必要对这种结构的非线性动　力行为进行更广泛的研究。　目前大多数研究都局限于讨论无ＢＮＮＴ增强的压　基金项目：国家自然科学基金（１ｌ１０２０２８）　收稿日期：２０１５—０４—２７修改稿收到日期：２０１５—０７—１５　第一作者杨金花女，博士，副教授，１９７４年生　电结构的动力行为。随着微分求积（ＤＱ）逐层建模技　术的开发和实现，Ｚｈａｎｇ等　研究了多层压电复合材料　板的自由振动。基于高阶剪切板弹性理论和压电理　论，Ｍａｏ等　分析了压电功能梯度板的非线性动态响　应和主动振动控制。基于高阶剪切变形板理论，Ｆａ　ｋｈａｒｉ等　使用有限元分析具有表面粘贴压电层的功能　梯度板在热、电和力载条件下的非线性固有频率和频　率响应。为了分析简支压电夹层板的自由振动，Ｂｅｎ—　ｊｅｄｄｏｕ等¨叫提出了一种二维封闭式的解法。Ｓｅｈｊａｔ　等¨　使用不同的机电载荷下的有限元方法，进行了功　能梯度压电板的非线性静态分析和自由振动分析。　Ｌａｒｂｉ等¨　给出了压电复合结构振声问题的理论公式　及有限元解。Ｘｉａ等…研究了热环境下表面粘贴压电　纤维增强复合材料板的非线性振动及动态响应。Ｄａｓｈ　等＿１　分析了内埋或表面粘结压电层的复合材料层合板　的非线性自由振动特性。Ｗａｎｇ等¨　使用有限元模型，　第２１期　杨金花等：电一热一力载下ＢＮＮＴｓ增强压电板的非线性动力响应　１５１　研究了压电复合材料板的负速度反馈控制的动力稳　定。Ｌｉｅｗ等　钊使用一种有效的无网格方法，讨论了带　压电传感器或驱动器的复合材料层合板的主动控制。　Ｚｈａｎｇ等Ⅲ　提出了由１—３个纤维增强的压电复合层　合板及正交复合层合板的结构振动控制分析方程。　Ｙａｎｇ等　研究了复合压电壳的动力不稳定性。Ｓａｖｉｚ　等＿】　给出了简支压电层合圆柱壳层的动力分析。Ｙｉｎｇ　等　分析了压电厚壳在边界随机激发平面应变条件下　的随机响应。Ｄ’Ｏｔｔａｖｉｏ等　¨研究了内埋压电材料的多　层壳的自由振动问题。以上研究中均没有考虑ＢＮＮＴ　增强压电结构。　近年来出现了一些对于ＢＮＮＴｓ增强压电结构静力　屈曲问题的研究。Ｓａｌｅｈｉ．Ｋｈｏｊｉｎ等　研究了电一热一　力载下ＰＶＤＦ弹性介质中ＢＮＮＴ的屈曲问题，Ｍｏｓａｌｌａｉｅ　Ｂａｒｚｏｋｉ等　研究了具有弹性核心的ＢＮＮＴｓ增强的　ＰＶＤＦ圆柱壳的扭转屈曲。在另一项研究中，Ｍｏｓａｌｌａｉｅ　Ｂａｒｚｏｋｉ等　研究了ＢＮＮＴ增强内埋压电壳的非线性　屈曲。使用基于非局部圆柱压电连续壳理论的虚位移　原理，Ｇｈｏｒｂａｎｐｏｕｒ　Ａｒａｎｉ等　讨论了电一热一力负荷　条件下内埋弹性介质中双壁硼氮纳米管的轴向屈曲。　到目前为止，ＢＮＮＴｓ增强压电板的非线性动力研究尚　未见报道。　出于这种考虑，本文我们研究电一热一力载下　ＢＮＮＴｓ增强压电板的非线性动力响应。空间上使用有　限差分法，时间上采用Ｎｅｗｔｏｎ—Ｎｅｗｍａｒｋ方法，整个问　题通过迭代求解。讨论了电压，温度，力载及体积比等　对ＢＮＮＴｓ增强压电板的非线性动力响应的影响。　

１基本方程　图１为一ＢＮＮＴｓ增强压电板，板的长度为ａ，宽度　为ｂ，厚度为　，板的密度为Ｐ。。坐标系Ｏ—ｘｙｚ置于板　的中面（ｚ＝０），压电板受有横向动载荷ｑ，施加电压为　及温度升高ＡＴ。　

图１　ＢＮＮＴｓ增强压电板几何示意图　Ｆｉｇ．１　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｏｆ　ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｌａｔｅ　ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ　ｗｉｔｈ　ＢＮＮＴｓ　

设　，石，　分别为压电板内任一点在　，Ｙ和　方向　的位移，它们在中面上的值分别为　，　，Ｗ。则压电板的　

位移分量可表示为　ｕ（　，ｙ，ｚ，ｔ）＝ｕ（ｘ，），，ｔ）一ｚｗ．　（　，ｙ，ｔ）　（　，ｙ，　，　）：　（　，ｙ，￡）一　．　（　，），，ｔ）　（１）　

ｗ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝ｗ（ｘ，ｙ，ｔ）　下标（，）表示对坐标变量求偏导。　其非线性应变一位移关系可表示为　

＋ｚ／（　：Ｏｐｙ＋ｚＫ　

（２）　

８　ｙ　８珂七ＺＩ￣玎　式中，　，　，Ｏｘｙ为壳中面上相应点的应变，Ｋ　，Ｋ　，Ｋｘｙ分　别为壳中面上相应点的曲率和扭率改变量，且　

～　丢　，　＝Ｖ，ｙ＋　１　，　

Ｓ　ｙ＝／Ｚ，ｙ＋　，　＋Ｗ，　，ｙ，　Ｋ　＝一　

．辅　

Ｋｙ＝一Ｗ，　，Ｋ　＝一２ｗ，　

（３）　

对电一热一力载荷作用下的压电结构而言，本构　关系可写为　＇凹Ｉ３。　Ｃｌ１　Ｃ１２　Ｃ１３　Ｃ１２　Ｃ２２　Ｃ２３　Ｃ１３　Ｃ２３　Ｃ３３　０　０　０　０　Ｏ　Ｏ　０　０　Ｏ　Ｏｔｙ　Ｏ　０　０　△　ｌ一　０　０　０　Ｏ　０　０　０　０　０　Ｃ４４　０　０　０　Ｃ５５　０　０　０　Ｃ６６　ｅ１ｌ　０　０　ｅ１２　０　０　ｅ１３　０　０　０　２４　０　０　０　ｅ３５　０　０　Ｏ　

×　Ｉ≥。　

０　８２２　０　Ｅ）ｃ５０　０　Ｅ　Ｉ　Ｉ｛　｝　（　）　ＬＪ　Ｌ

，　一　一　一　一　一　

、ｌ●●●●＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．＿．一