2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题及答案(A卷)

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武汉大学数学与统计学院
2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题
一、（42分）试解下列各题：
1、计算30arctanlim1xxxxe.
2、求解微分方程096yyy的通解。
3、计算1221(11sin)dxxxx.
4、计算0dxex.

5、求曲线11cosdsindttuxuuuyuu自1t至2t一段弧的长度。
6、设2132yxx，求()ny.
二、（8分）已知xyue，其中()yfx由方程2200dcosdyxtettt确定，求ddux.
三、（8分）设11x,+11(1,2,)1nnnxxnx，试证明数列{}nx收敛，并求limnnx.
四、（8分）证明结论：可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。并说明此结论的几
何意义。

五、（15分）已知函数324xyx，求：
1、函数)(xf的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；
2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。
六、（12分）已知函数()yyx满足微分方程2(1)yyx，且x轴为曲线()yyx的一
条切线，在曲线()yyx（0x）上某B点处作一切线，使之与曲线、x轴所围平面图形的

面积为112，试求：（1）曲线()yyx的方程；（2）切点B的坐标；（3）由上述所围图形绕x轴
旋转一周所得立体的体积。
七、（7分）若()fx在[,]ab上连续，且()()0fafb及()()0fafb，则()fx在
(,)ab

内至少存在一点，使()0f.
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武汉大学数学与统计学院
2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案
一、 （42分）试解下列各题：

1、解：
3

2

32
00011arctanarctan11limlimlim331xxxxxxxxxxxe









2、解：方程的特征方程为：2690rr，其特征根为321rr，
故方程的通解为：xexccy321)(
3、解：原式=1202xdx  23
4、解：00022()xtxttedxtedttde002[]22ttteedt
5、解：2221['()]['()]sxtytdt/2221cossin()()ttdttt/211ln2dtt
6、解：1112yxx ()(1)((1)![(1)(2)]nnnnynxx
二、（8分）解：=()xydudyeyxdxdx ，方程两边微分得： 222cosyedyxxdx
2
22cosydyxxedx


故有222=(2cos)xyydueyxxedx
三、（8分）解：0nx, 21102xx，因此21xx
设1nnxx，则1111(1)11nnnnnnxxxxxx110(1)(1)nnnnxxxx

n
x
单调增加，且111112211nnnnxxxx,故limnnx存在

设limnnxa，则: 11aaa 解得 152a.因为a非负， ∴15lim2nnx
四、（8分）证：设函数()fx在区间(,)ab内
()0fx，12,(,)xxab，且12xx，函数()fx在12[,]xx

上可

导，
由拉格朗日中值定理得: 212112()()()(),(,)fxfxfxxxx，由于2121()0,0()()fxxfxfx

由12,xx的任意性，()fx在(,)ab上单调增加。当()fx在(,)ab上导数为正时，函数曲线()yfx在(,)ab上切
线的斜率为正，即切线与x轴正向夹角为锐角。
五、（15分）解：定义域为(,0)(0,) 381yx 令0y驻点2x ，不可导点0x

4
24
''0yx

1） 故单调增加区间为：(,0),(2,) ，单调减少区间为：(0,2) 极小值为：(2)3f，无极大值。
2）下凸区间为：(,0),(0,) ，无拐点，由3204limxxx，故0x为函数图形的铅直渐近线。

又
3
3
()4limlim1xxfxxxx


3

2
4lim[()]lim[]0xxxfxxxx



故yx为函数图形的斜渐近线。

六、（12分）解：（1）由观察法知曲线方程为：
2
yx

或解微分方程：特征方程为21200,1rrrr，故对应齐次方程的通解为12xycce，由于10r，
3

所以微分方程的特解设为*(),*2,*2yxaxbyayaxb，从而有：2(2)221,0aaxbxab，
故212xyccex为微分方程的通解，又22xycex，由题设知12(0)0,(0)00,0yycc，所以微
分方程满足初值条件的解为2yx，即曲线方程为：2yx
（2）设切点B的坐标为2(,)aa，则过点B的切线斜率为2xaya，于是切线方程为22()yaaxa，和x轴

交点为(,0)2a，由2201221212aaaaAxdx，得a=1，因此切点坐标为(1,1)。
（3）1122102(21)Vydxxdx1142012(21)30xdxxdx
七、（7分）证：因为()()0fafb，不妨设()0,()0fafb，于是有：()()lim()0xafxfafaxa
所以存在10，使当11(,)xaa时，有11()()0fxfaxa，由10xa有
1

()()0fxfa

又因为()()lim()0xbfxfbfbxb 所以存在20，使当22(,)xbb时，有22()()0fxfbxb，由
2
0xb
有2()()0fxfb ，取12,足够小，使
12


ab
又因为()fx在[,]ab上连续，由介值定理，

在12(,)(,)xxab内至少存在一点，使()0f。