第六节 利用初等变换求矩阵的秩

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其中 β i = α i + kα j .
∴ B 可由 A 线性表示 . Q α i = β i − kα j ,
∴ A 可由 B 线性表示 .
∴ A 与 B 等价 .
∴ 行向量组等价 则行秩相等 行向量组等价, 则行秩相等.
{ 从而行秩 = 列秩 = R(A) = R(B) }.
证毕. 证毕
对于任何矩阵Am×n ,总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
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初等变换求矩阵秩的方法： 初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
例如: 例如
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1 −2 2 3
−2 −1 0 2 4 2 6 −6 . −1 0 2 3 3 3 3 4 4×5 ×
解: A
r2 + 2r1 r3 − 2r1
r4 − 3r1
1 − 2 − 1 0 0 0 2 0 3 0 9 6 1 − 2 − 1 r2 ↔ r3 0 3 2 r3 ↔ r4 0 9 6 0 0 0
1 3 − 2 2 1 3 − 2 2 ∴ 0 2 − 1 3 ~ 0 2 − 1 3 , − 2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为 ， 显然，非零行的行数为2，
∴ R ( A ) = 2.
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此方法简单！ 此方法简单！
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L L L L L L L
a1 n L a in L a jn L a mn m × n
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(1). 若A 经行变换 B, 则 R(A) = R(B);
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(2). 若A
经列变换
B, 则 R(A) = R(B);
— (3). 若A ～ B, 则 R( A) = R( B ).
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D≠0
1 − 2 2 0 − 1 0 3 − 1 2 2 c3 ↔ c5 =C 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 0 C 4 = 0.
∴ R ( A ) = 3.
R(A) = R(B) = R(C) .
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[註]: 註 C 经过列变换
(0化) 化
(3). ri + krj . 这三种变换称为矩阵A的初等行变换. 这三种变换称为矩阵 的初等行变换. 相应的有初等列变换 初等列变换. 相应的有初等列变换. (1 )c i ↔ c j
( 2 ) kc
i
( 3 ) c i + kc j 初等行变换、初等列变换统称为初等变换 初等变换. 初等行变换、初等列变换统称为初等变换.
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(2). 若A B, 则 R(A) = R(B), 有相同的标准形. 从而 A 与 B 有相同的标准形
a11 L a1n ( 3). 设方阵 A = L L L , an1 L ann
若 A 为可逆阵 (即|A|≠0), 则 R(A) = n , 即 阶单位阵, 从而 A 的标准形为 n 阶单位阵 即 A E.
ri ↔ r j 逆变换 ri ↔ r j ; 1 ri × k 逆变换 ri × ( ) 或 ri ÷ k ; k ri + kr j 逆变换 ri + ( − k )r j 或 ri − krj .
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定义14. 如果矩阵A经过有限次初等变换变成 经过有限次初等变换变成B, 定义 如果矩阵 经过有限次初等变换变成 则称矩阵A与 是等价的 记作A 是等价的， 则称矩阵 与B是等价的，记作 B
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例如: 例如:
a r A= x
b c r1 ↔ r2 s t y z
s kb y
3
r s t a b c x y z
r r2 × k ka x
tka x + λr
(阶梯阵 阶梯阵) 阶梯阵
1 2 0 6 D≠0 B= 0 0 0 0
3 7 4 0
4 8 3 0
5 9 . 2 0
而 B4 = 0,
∴ 秩 = 3.
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例
1 3 − 2 2 做初等变换， 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换， − 2 0 1 5
11
1 0 0 0
0 −1 0 1 −1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 −3 0 0 0
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1 0 0 0
0 −1 0 4 1 −1 0 3 = B5 0 0 1 − 3 0 0 0 0
行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵，即非 零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列 的其他元素都为零.
证明: 证明 证(1).
α1 M α i r + kr j M i A= α j M α m
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α1 M βi M = B, α j M α m
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二、求矩阵的秩的初等变换法 A
经有限次行 经有限次行变换
B (行阶梯形), 则B 中 行
的秩, 非零行的个数 r , 就是 A 的秩 即 R(A) = r .
{阶梯形 每一行第一个非零元素所在列的 阶梯形: 下方全为零. 下方全为零 }
1 0 0 0 0 −1 0 4 1 −1 0 3 = B5 0 0 1 −3 0 0 0 0
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矩阵秩的性质: 矩阵秩的性质 1. 0 ≤ R( Am× n ) ≤ min{m , n}
2. R(T ) = R(T )
'
3. P ≠ 0, Q ≠ 0 ⇒ R( PAQ ) = R( A) 4. max{R( A), R( B)} ≤ R( A, B) ≤ R( A) + R( B)
5.R( A + B) ≤ R( A) + R( B) 6.R( AB) ≤ min{R( A), R( B)} 8.R( A + E ) + R( A − E ) ≥ n
§6 利用初等变换求矩阵的秩
一、矩阵的初等变换 二、求矩阵的秩的初等变换法
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一、矩阵的初等变换 定义13. 对矩阵 A m × n 施行下列变换: 定义 施行下列变换: (1). ri ↔ rj ;
(2). k ⋅ ri ;
(其中 为不等于零的数 其中k为不等于零的数 其中 为不等于零的数.)
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0 2 6 −2 2 − 1 3 − 2 0 2 2 − 1 3 − 2 6 − 2
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r3 − 3r2
2 1 − 2 − 1 0 0 3 2 2 −1 0 −3 1 0 0 0 0 0 6 − 2
2 1 − 2 − 1 0 r4 + 2r3 0 3 2 2 − 1 =B 0 −3 1 0 0 0 0 0 0 0
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特点： 特点： （1）、可划出 ）、可划出 一条阶梯线， 一条阶梯线，线 的下方全为零； 的下方全为零； （2）、每个台阶 ）、每个台阶 只有一行， 只有一行， 台阶数即是非零行的行数， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元， 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元． 零元．
1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 E3 0 = 0 0 . 0 1 0 0 0 0 0 0
此阵叫做 A 的标准形 的标准形.
(1). 若矩阵 Am×n 的秩为r (r > 0) , 则
E r 0 . Am×n I = 0 0 m× n I 称为 的标准形 其中E r 为 r 阶单位阵 . 称为A 的标准形,
s kb y + λs
kc z + λt t
s c1 ↔ c2 kb y + λs
r ka x + λr
t kc . z + λt
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初等变换的逆变换仍为初等变换, 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类 逆变换仍为初等变换 型相同． 型相同．
性质： 性质：
( 1 )反身性： A 反身性：
若 ( 2 ) 对称性： A 对称性： ( 3 ) 传递性： A 传递性： 若
A B,则B 则 B,B A C,则Ａ 则 C
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定理四. 定理四
设
a 11 L ai1 L A= a j1 L am 1
a 12 L ai 2 L a j2 L am 2