矩阵的秩的定义
第四节 矩 阵 的 秩
例如，在矩阵
1 1 3 1
A
0 0
2 0
1 0
4
5
0
0
0
0
中，选第 1, 3 行和第 3, 4 列，它们交点上的元素
所成的 2就是一个 2 级子式. 又如选第 1, 2, 3 行和第1, 2, 4
列，相应的 3 级子式就是
求向量组的极大线性无关组的方法是：把向量 组中的每一个向量作为矩 阵的一列构成一个矩阵, 然后用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵， 在阶梯形矩阵中，每个阶梯中的第一个非零元所在 的列所对应的向量即为极大线性无关组中的向量.
若要用极大线性无关组来表示其余向量，则需进一 步把阶梯形矩阵化成行最简形，这时，不在极大线 性无关组中的列中的元素即为用极大线性无关组表 示该列所对应的向量的表示系数.
2 3
,
3
3 5
,
4
7
;
1
1
1
4
1
本若请本若请本若请本若请本本若若请请本若节想请单节想本单若节想请单节想本单若节节想想请单单节想内结本单若击内请结节击想内结本单若击内请结节击想内 内结 结本单若击击内请结容束节击想返本容单若束内请返结容束节击想返本容单若束内请返结容 容束 束节击想返返本容单若束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已本内请返结回节已击想本本容单若回束已 已本 本内请返结回回节已击想本结本堂容单若回束按内结请返结本堂若节已击想按本结请本 本堂容单若 若回束按内结请 请返结本堂若节已击想按本结 结请本堂 堂容单若回束按按内结请返结堂束节课已击想按本钮容束单回束节课想内结返结钮堂束单节 节课已击想 想按本钮容束单单回束节课想内结返结钮堂束 束单节课 课已击想按本钮钮容束单回束课内,结返结钮堂.已击按本内,!结容束回束课.击内 内,结!返结 结钮堂.已击击按本内,!结容束回束课.击内,,结!返结钮堂..已击按本,!!容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容 容束回束 束课.结!返返钮堂容束已按本,返容束回束课.结!返钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已按本 本,束回回课.已本结!钮堂回已按本,束回课.结!钮堂按,结堂束课.按结 结!钮堂堂按按,结堂束课.按结!钮堂按,束课.!钮束课,钮束束课课.!钮钮束课,钮束课.!钮,.,!.,,!..,!!.,!.!
2.7 矩阵的秩
注：若n阶方阵A可逆的充要条件为A为满秩.
1 2 3 0 0 1 0 1 r ( A) 3; A 0 0 1 0
1 2 0 1 r ( B ) 2; B 0 0
1 1 2 C 0 1 1 r (C ) 3 0 0 2
§2.7 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 定义 在 m n 矩阵 A中，任取 k 行 k 列 k min{ m , n} , 位于这些行与列交叉处的 k 2 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式.
k k m n 矩阵共有 CmCn 个 k 阶子式.
设A为一个mn矩阵, 当A=O时, 它的任何子式都 为零; 当AO时, 它至少有一个元素不为零, 即它 至少有一个一阶子式不为零. 这时再考察二阶子式 如果A中有二阶子式不为零, 则往下考察三阶子式, 依此类推, 最后必达到A中有r阶子式不为零, 而再 没有比r更高阶的不为零的子式. 这个不为零的子式 的最高阶数r, 反映了矩阵A内在的重要特性, 在矩阵 的理论与应用中都有重要意义.
A,B,C都是满秩矩阵
定理 矩阵经初等变换后, 其秩不变.
证: 仅考察经一次初等变换的情形. 设矩阵 Amn 经初等变换变为 Bmn , 且 r ( A) r , r ( A) r2 1
当对A施以互换两行或以某行非零数乘某一行的变换时, 矩阵B中任何r 1 阶子式等于某一非零数c与A的某个r 1 1 1 阶子式的乘积, 其中c=1或其它非零数. 因为A的任何 r1 1 阶子式皆为零, 因此B的任何 r1 1阶子式也都为零.
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵 可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用 伴随矩阵求逆矩阵.
2-6矩阵的秩
§2.6矩阵的秩一、矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、线性方程组解的存在性等问题的重要工具.从上节已看到，矩阵可经过初等行变换化成行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的.这个数就是矩阵的“秩”.鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵秩的方法.定义1设A =(a ij )m ×n ，从A 中任意选定k 行、k 列（1≤k ≤min{m ,n }），位于这些行和列交叉处的k 2个元素，保持它们原有的相对顺序所构成的k 阶行列式，称为矩阵A 的一个k 阶子式.例如，矩阵中的第一、二行与第二、三列交叉处的元素构成的二阶子式为.根据定义，A 中的任意一个元素都是A 的一个一阶子式.A 的k 阶子式共有C km ·C kn 个(1≤k ≤min{m ,n }).且若m =n ，即A 为方阵，则|A |是A 的一个n 阶子式.当A ≠O 时，它至少有一个一阶子式不为零.定义2设A =(a ij )m ×n ，如果存在A 的r 阶子式不为零，而任何r +1阶子式（如果有的话）皆为零，则称数r 为矩阵A 的秩，记为R (A )，并规定零矩阵的秩为零.例如，在矩阵中，有一个三阶子式而所有的四阶子式显然都为零.因此R (A )=3.根据秩的定义容易得到如下结论：(1)R (A m ×n )=0的充分必要条件是A =O ;(2)0≤R (A m ×n )≤min{m ,n };(3)如果A 中有一个r 阶子式不为零，则R (A )≥r ;(4)R (A T)=R (A ),R (k A )=R (A )(k ≠0);(5)分块矩阵的秩不小于它的各子块的秩.如R (A ┊B )≥R (A ),R (A ┊B )≥B ;(i ,j =1,2)等;(6)(7)行（列）阶梯形矩阵的秩等于它的非零行（列）的行（列）数.如果R (A m ×n )=m ，则称A 为行满秩矩阵；如果R (A m ×n )=n ，则称A 为列满秩矩阵；如果R (A n )=n ，则称A 为满秩矩阵.由上面的讨论知，利用定义计算矩阵的秩，需要由高阶到低阶考虑矩阵的子式，当矩阵的行数与列数较高时，按定义求秩是非常麻烦的.由于阶梯形矩阵的秩很容易判断，而任意矩阵都可以经过有限次初等变换化成阶梯形矩阵，因而可考虑借助初等变换法求矩阵的秩.二、用初等变换法求矩阵的秩定理6.1若A →B ，则R (A )=R (B ).*证明先考虑经一次初等行变换的情形.设A 经一次初等行变换后化成了B ，R (A )=s ，且A 的某个s 阶子式D ≠0.当或时，在B 中总能找到与D 相对应的s 阶子式D 1，由于D 1=-D 或D 1=kD ，因此D 1≠0，从而R (B )≥s .当时，由于对变换结论成立，因此只需考虑这一特殊情形，分两种情况讨论：(1)A 的s 阶非零子式D 不含A 的第一行，这时D 也是B 的一个s 阶非零子式，故R (B )≥s ;(1)D 包含A 的第一行，这时把B 中与D 对应的s 阶子式D 1记为其中r 1+kr 2表示D 1的第一行，r p 表示D 1的第二行，…，r q 表示D 1的最后一行.其余类推.若p =2,则D 1=D ≠0；若p ≠2，则D 2也是B 的s 阶子式，由D 1-kD 2=D ≠0知D 1与D 2不同时为零.总之，B 中存在s 阶非零子式D 1或D 2.故R (B )≥s .以上证明了若A 经一次初等行变换变为B ，则R (A )≤R (B ).由于B 亦可经一次初等行变换变为A ，故也有R (B )≤R (A )，因此R (A )=R (B ).由经一次初等行变换后矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换后矩阵的秩不变.同理可证得经有限次初等列变换后矩阵的秩不变.总之，若A 经有限次初等变换后变为矩阵B (即A →B )，则R (A )=R (B ).由此可得利用初等变换求矩阵A 的秩的方法：对A 施行初等行（列）变换化成行（列）阶梯形，行（列）阶梯形矩阵中非零行（列）的行（列）数就是A 的秩.例1求矩阵A 的秩解因为所以R(A)=3.由于每个矩阵都有等价的标准形，由此可得:定理6.2矩阵A与B等价的充分必要条件是它们有相同的标准形.证明必要性.设A的标准形为B的标准形为因A≅B,由等价的传递性知≅，故r=s.即A与B有相同的标准形.充分性.因A与B有相同的标准形，由等价的传递性知A≅B.推论A≅B的充分必要条件是R(A)=R(B).证明必要性是显然的.充分性，因R(A)=R(B)，所以A与B有相同的标准形，从而A≅B.例2设B为m阶满秩矩阵，A为m×n阶矩阵，试证R(BA)=R(A).证明因B为满秩矩阵，故B可表示成有限个初等矩阵的乘积，即B=P1P2…P s,(i=1,2,…,s)为初等矩阵.从而其中PiBA=P1P2…P s A.此式表明BA是A经有限次初等行变换后所得的矩阵，因而有R(BA)=R(A).注同理可得:阶矩阵，则R(AB)=R(A);(1)若B为n阶满秩矩阵，A为m×n(2)若B，C分别为m阶及n阶满秩矩阵，则R(BA C)=R(A).。
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
5 矩阵的秩
2 1 1 r 5 2 1 0 3 0 0 5 r4 r3 0 0 1
R( A) 2, R( B ) 3.
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推论 对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， 其中P, Q分别为可逆矩阵. 证 因为Q可逆，存在初等矩阵E1, …, Et 使得 Q= E1• • • Et， AQ =A E1• • • Et，
2.5 矩阵的秩
一. 矩阵秩的概念 二. 矩阵秩的计算
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2.5 矩阵的秩
k阶子式：
矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上 的k2个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的一个k阶子式.
一. 矩阵秩的概念
定义. 矩阵A中非零子式的最高阶数r，称为A 的秩，记为R(A) = r. 显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高 阶非零子式一般不唯一.
二、矩阵秩的计算
3 1 0 5 0 2 1 0 0 0 0 4
有三阶子式 0 0
1 0
0 0 2
所有四阶子式全为零，所以 R(A) =3. 对于行阶梯形矩阵A, R(A) 等于A的非零行 的行数.
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定理1 初等变换不改变矩阵的秩。
1 2 4 1 例2 求矩阵的秩: A 2 4 8 2 3 6 2 0
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矩阵的秩的另一种理解：
设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 k 阶子 式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话 ）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩.
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线性代数课件第三章矩阵的秩
线性方程组的解 与矩阵的秩的关 系
利用矩阵的秩判 断线性方程组是 否有解
利用矩阵的秩求 解线性方程组的 步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向 量组线性相关性中 的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实 际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义：矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数非零行数或非零列 数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
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利用初等列变换将矩阵化为阶梯形 矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的 正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义：所 有元素都为0的矩 阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵 相乘都等于0
零矩阵在数学中的 意义和作用
性质：矩阵的秩与行数和列数有关，且不超过行数和列数中的最小值
应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的 秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的 秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用
矩阵秩的性质及应用
矩阵秩的性质及应用矩阵秩是矩阵理论中的一个重要概念，它代表的是矩阵中线性无关的向量或行列的最大数量，也可以理解为矩阵的非零行列的最大线性无关的数量。
矩阵秩有很多重要的性质和应用，下面将详细介绍。
一、性质：1. 对于任意的m x n矩阵A，其秩满足以下性质：（1）矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数中的较小者，即rank(A) ≤min(m, n)。
（2）如果矩阵A的秩等于行数或者等于列数，即rank(A) = min(m, n)，那么矩阵A被称为满秩矩阵。
（3）如果矩阵A的秩等于0，即rank(A) = 0，那么矩阵A被称为零矩阵。
（4）两个矩阵相似，它们的秩是相等的，即如果A和B相似，则rank(A) = rank(B)。
（5）对于矩阵A的任意非零子矩阵B，有rank(B) ≤rank(A)。
2. 矩阵的秩与其对应的行列式的性质有关：（1）如果一个n阶方阵A的行列式不等于0，即det(A) ≠0，则rank(A) = n，也就是说该矩阵是满秩矩阵。
（2）如果一个n阶方阵A的行列式等于0，即det(A) = 0，则rank(A) < n，也就是说该矩阵不是满秩矩阵。
二、应用：1. 线性方程组的解：考虑一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组，可以将其表示为矩阵形式Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维列向量。
如果方程组能够有解，则有rank(A) = rank([A, b])，即矩阵A和增广矩阵[A, b]的秩相等。
通过计算矩阵A的秩，可以判断线性方程组是否有解，以及有多少个自由变量。
2. 线性映射的维数问题：考虑一个线性映射T：V →W，其中V和W分别是n维和m维向量空间。
根据线性映射的定义，如果对于V中的任意向量v，总能找到一个唯一的映射结果T(v)在W空间中，那么我们可以把V称为映射T的定义域，把W称为映射T 的值域。
根据线性映射的定义和性质，可知rank(A) = rank(T)，其中A是矩阵表示映射T的矩阵。
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矩阵的秩的定义
矩阵在数学中具有重要的地位，秩是矩阵的一个重要性质。
矩阵的秩定义是矩阵经过初等行变换化简后，最简行阶梯矩阵中非零行的行数。
在这里，我们将会对矩阵的秩进行详细探讨。
一. 初等行变换
要了解矩阵的秩，首先得了解什么是初等行变换。
初等行变换是指对矩阵的行进行的操作，包括以下三种：
1. 换行：把一个行换到另外一个位置；
2. 乘行：把某一行乘上一个非零数；
3. 加行：把某一行乘上一个非零数，然后加到其他行。
在进行初等行变换时，要注意的是，只有对行进行操作，列不会发生变化。
二. 简化行阶梯形矩阵
在进行初等行变换后，矩阵会得到一个简化行阶梯形矩阵。
简化行阶梯形矩阵的定义是一个矩阵，它满足以下四个条件：
1. 如果一行的元素全为0，则在这一行下面的所有行的元素也都为0。
2. 已经化简好的行不能再次进行初等行变换。
3. 行阶梯形矩阵中，每个阶梯的首元素都为1。
4. 行阶梯形矩阵中，每个阶梯的首元素所在列，其余元素都为0。
简化行阶梯形矩阵就是对矩阵进行初等行变换后得到的最简形式。
三. 矩阵的秩的定义
有了简化行阶梯形矩阵的定义，我们就可以来讲解矩阵的秩的定义了。
矩阵的秩是指矩阵经过初等行变换后，得到的最简行阶梯矩阵中，非
零行的行数。
例如，下面的矩阵就是一个简化行阶梯形矩阵：
[ 1 3 5 ]
[ 0 1 2 ]
[ 0 0 0 ]
[ 0 0 0 ]
在这个简化行阶梯矩阵中，有两个非零行，因此矩阵的秩为2。
四. 矩阵秩的性质
矩阵的秩具有一些基本性质：
1. 矩阵的秩等于其转置矩阵的秩。
2. 对于矩阵AB，它的秩小于等于A的秩和B的秩的最小值。
3. 如果一个矩阵的行数和列数相等，那么矩阵的秩等于其行列式不为0的子阵的阶数。
也就是说，如果一个n阶方阵的行列式不为0，那么它的秩就是n。
4. 一个m×n的矩阵的秩最大为min(m，n)。
最后，我们再来看一个例子：
[ 1 2 3 ]
[ 2 4 6 ]
[ 4 8 12 ]
[ 8 16 24 ]
我们对矩阵进行初等行变换，可以得到如下最简行阶梯矩阵：
[ 1 2 3 ]
[ 0 0 0 ]
[ 0 0 0 ]
[ 0 0 0 ]
由此可知，矩阵的秩为1。
这也符合了矩阵秩的性质，即一个m×n的矩阵的秩最大为min(m，n)。
总之，矩阵的秩是矩阵具有的一种重要的数学性质。
理解了矩阵的秩的定义和性质，能更好地理解和计算科学问题中涉及矩阵的问题。