二次函数图像和性质习题精选(含答案及解析)
二次函数的图象和性质部分练习题(附参考答案)
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质部分练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题（每小题3分,共30分）1. 抛物线()312--=x y 的对称轴是 【 】（A ）y 轴 （B ）直线1-=x （C ）直线1=x （D ）直线3-=x2. 将抛物线2x y =向右平移1个单位,所得的抛物线的关系式是 【 】 （A ）12-=x y （B ）12+=x y （C ）()21-=x y （D ）()21+=x y3. 抛物线332-=x y 向右平移3个单位,得到新抛物线的表达式为 【 】 （A ）()3332--=x y （B ）23x y =（C ）()3332-+=x y （D ）632-=x y4. 对于函数()22m x y --=的图象,下列说法不正确的是 【 】（A ）开口向下 （B ）对称轴是直线m x = （C ）最大值为0 （D ）与y 轴不相交5. 对于二次函数()212+--=x y 的图象与性质,下列说法正确的是 【 】（A ）对称轴是直线1=x ,最小值是2 （B ）对称轴是直线1=x ,最大值是2 （C ）对称轴是直线1-=x ,最小值是2 （D ）对称轴是直线1-=x ,最大值是26. 有一抛物线和抛物线22x y -=的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是()3,1-,则该抛物线的关系式为 【 】 （A ）()3122+--=x y （B ）()3122++-=x y（C ）()3122++-=x y （D ）()3122+--=x y7. 将函数2x y =的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A （1 , 4）的方法是 【 】 （A ）向左平移1个单位 （B ）向右平移3个单位（C ）向上平移3个单位 （D ）向下平移1个单位 8. 若点()1,4y A -,()2,1y B -,()3,1y C 在抛物线()12212-+-=x y 上,则321,,y y y 的大小关系是 【 】 （A ）231y y y << （B ）312y y y << （C ）213y y y << （D ）123y y y << 9. 对于抛物线()31212++-=x y ,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线1=x ;③顶点坐标为()3,1-;④当1>x 时,y 随x 的增大而减小;⑤函数的最大值为 3.其中正确结论的个数为【 】（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）510. 将抛物线152+-=x y 向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为 【 】 （A ）()1152-+-=x y （B ）()1152---=x y（C ）()3152++-=x y （D ）()3152+--=x y二、填空题（每小题3分,共30分）11. 抛物线()223+-=x y 的对称轴为直线_________.12. 抛物线()3122-+=x y 的顶点坐标为_________.13. 若抛物线()512-+--=m x y 的最大值为3,则=m _________.14. 若二次函数22x y =的图象向左平移2个单位后,得到函数()22h x y +=的图象,则=h _________.15. 将抛物线231x y =向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线的关系式为________________.16. 已知函数()21--=x y 图象上两点()1,2y A ,()2,y a B ,其中2>a ,则1y 与2y 的大小关系是_________.17. 已知二次函数图象的顶点坐标为（2 , 0）,直线1+=x y 与二次函数图象交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,则二次函数的解析式为____________.18. 若抛物线()()12++-=m m x y 的顶点在第一象限,则m 的取值范围是____________.19. 已知抛物线()2132+-=x y ,当x _________时,y 随x 的增大而减小.20. 点()1,2y A ,()2,3y B 是二次函数122+-=x x y 的图象上两点,则1y 与2y 的大小关系是_________.三、解答题（共60分）21.（8分）已知二次函数()23-=x y .（1）写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;（2）若点()11,y x A ,()22,y x B 位于对称轴右侧的抛物线上,且21x x <,试比较1y 与2y 的大小; （3）抛物线()27+=x y 可以由抛物线()23-=x y 平移得到吗?如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.22.（8分）对于函数()2231+=x y ,请回答下列问题: （1）把抛物线231x y =怎样移动得到抛物线()2231+=x y ?（2）写出图象的对称轴和顶点坐标; （3）试讨论函数()2231+=x y 的增减性及最值问题.23.（8分）用配方法把函数10632+--=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值.24.（8分）已知二次函数图象的对称轴为直线2=x ,函数的最小值为3,且图象经过点()5,1-,求这个二次函数的表达式.25.（8分）如图,已知二次函数的图象顶点坐标为（2 , 0）,直线1+=x y 与二次函数的图象交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上.（1）二次函数的关系式为________________;（2）证明点()12,--m m 不在（1）中所求的二次函数的图象上.yxA BO26.（10分）如图所示,抛物线()412+-=x a y 与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,过点C 作x CD //轴,交抛物线的对称轴于点D ,连结BD ,已知点A 的坐标为()0,1-.（1）求该抛物线的解析式; （2）求梯形COBD 的面积.yxBDCA O27.（10分）如图所示,二次函数()212++=x a y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,已知()0,3-A ,根据图象回答下列问题:（1）求a 的值和点B 的坐标;（2）设抛物线的顶点是P ,试求△P AB 的面积;（3）在抛物线上是否存在点M ,使得△MAB 的面积是△P AB 的面积的2倍?若存在,求出点M 的坐标.新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质部分练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. 2-=x 12. ()3,1-- 13. 8 14. 2 15. ()23312--=x y 16. 21y y > 17. ()2241-=x y 18. 0>m 19. 1< 20. 21y y < 三、解答题（共60分）21.（8分）已知二次函数()23-=x y .（1）写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;（2）若点()11,y x A ,()22,y x B 位于对称轴右侧的抛物线上,且21x x <,试比较1y 与2y 的大小;（3）抛物线()27+=x y 可以由抛物线()23-=x y 平移得到吗?如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.解:（1）开口向上,对称轴为直线3=x ,顶点为（3 , 0）,最小值为0;……………………………………………4分 （2）在对称轴直线3=x 的右侧,y 随x 的增大而增大∵213x x << ∴21y y <;……………………………………………6分 （3）可以.将抛物线()23-=x y 向左平移10个单位即可得到抛物线()27+=x y .……………………………………………8分 22.（8分）对于函数()2231+=x y ,请回答下列问题:（1）把抛物线231x y =怎样移动得到抛物线()2231+=x y ? （2）写出图象的对称轴和顶点坐标; （3）试讨论函数()2231+=x y 的增减性及最值问题.解:（1）把抛物线231x y =向左平移2个单位即可得到抛物线()2231+=x y ; ……………………………………………2分 （2）图象的对称轴为直线2-=x ,得到坐标为()0,2-;……………………………………………4分 （3）当2-<x 时,y 随x 的增大而减小; 当2->x 时,y 随x 的增大而增大;……………………………………………6分当2-=x 时,函数()2231+=x y 取得最小值,最小值为0.……………………………………………8分 23.（8分）用配方法把函数10632+--=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值. 解:()10232++-=x x y()()131310112322++-=+-++-=x y x x y……………………………………………4分 抛物线的开口向下,对称轴为直线1-=x ,顶点坐标为()13,1-,函数的最大值为13=y . ……………………………………………8分 （每个结果1分）24.（8分）已知二次函数图象的对称轴为直线2=x ,函数的最小值为3,且图象经过点()5,1-,求这个二次函数的表达式.解:由题意可设该二次函数的表达式为()k h x a y +-=2∵其对称轴为直线2=x ,函数的最小值为3 ∴3,2==k h ∴()322+-=x a y……………………………………………5分 ∵其图象经过点()5,1- ∴()53212=+--⨯a解之得:92=a ……………………………………………8分 ∴这个二次函数的表达式为()32922+-=x y . 25.（8分）如图,已知二次函数的图象顶点坐标为（2 , 0）,直线1+=x y 与二次函数的图象交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上. （1）二次函数的关系式为________________;（2）证明点()12,--m m 不在（1）中所求的二次函数的图象上.yxA BO解:（1）()2241-=x y ; ……………………………………………3分（2）证明:当m x -=时()1214124122-≠++=--=m m m m y ……………………………………………7分 ∴点()12,--m m 不在（1）中所求的二次函数的图象上.……………………………………………8分 26.（10分）如图所示,抛物线()412+-=x a y 与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,过点C 作x CD //轴,交抛物线的对称轴于点D ,连结BD ,已知点A 的坐标为()0,1-. （1）求该抛物线的解析式; （2）求梯形COBD 的面积.yxBDCA O解:（1）把()0,1-代入()412+-=x a y 得:()04112=+--⨯a解之得:1-=a……………………………………………3分 ∴该抛物线的解析式为()412+--=x y ;……………………………………………4分 （2）∵该抛物线的对称轴为直线()0,1,1-=A x∴()0,3B……………………………………………5分 ∴3=OB当0=x 时,()341012=+-⨯-=y∴C （0 , 3） ∴3=OC……………………………………………6分 ∵x CD //轴 ∴D （1 , 3） ∴1=CD……………………………………………7分∴()OB CD OC S COBD +⋅=21图象 ()631321=+⨯⨯= …………………………………………10分 27.（10分）如图所示,二次函数()212++=x a y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,已知()0,3-A ,根据图象回答下列问题:（1）求a 的值和点B 的坐标;（2）设抛物线的顶点是P ,试求△P AB 的面积;（3）在抛物线上是否存在点M ,使得△MAB 的面积是△P AB 的面积的2倍?若存在,求出点M 的坐标.解:（1）把()0,3-A 代入()212++=x a y 得:()02132=++-⨯a解之得:21-=a ……………………………………………2分 ∴()21212++-=x y ∵抛物线的对称轴为直线1-=x ,()0,3-A 、B 两点关于对称轴对称 ∴()0,1B ;……………………………………………3分 （2）∵()21212++-=x y ∴抛物线的顶点坐标为P ()2,1-……………………………………………4分 ∵()0,3-A ,()0,1B ∴()431=--=AB ∴42421=⨯⨯=∆PABS ; ……………………………………………6分 （3）存在.理由如下:设点M 的纵坐标为m ,则有842221=⨯==⋅=∆∆PAB MAB S m AB S ∴8421=⨯⨯m ,4=m ∴4±=m当4=m 时,()421212=++-=x y ,无解; 当4-=m 时,()421212-=++-=x y解之得:321,32121--=+-=x x ∴点M 的坐标为()4,321-+-或()4,321---.…………………………………………10分 关于求抛物线的解析式:在求抛物线的解析式时,要先根据题目的意思或结合图象设出抛物线的解析式,然后再求字母的值.设抛物线的解析式时,有以下几种情况: （1）若抛物线的顶点是坐标原点,则抛物线的解析式应设为2ax y =;（2）若抛物线的顶点在y 轴上（不是原点）,则抛物线的解析式应设为k ax y +=2; （3）若抛物线的顶点在x 轴上（不是原点）,则抛物线的解析式应设为()2h x a y -=;（4）若抛物线的顶点在象限内,则抛物线的解析式应设为()k h x a y +-=2.如果知道的是抛物线的对称轴和最值,则抛物线的解析式应设为()2h x a y -=或()k h x a y +-=2,视具体情况而定.。
初中数学二次函数图像性质练习题(附答案)
初中数学二次函数图像性质练习题一、单选题1.二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示.有以下结论：①30a b -=；②240b ac ->；③520a b c -+>；④430b c +>.其中错误结论的个数是( )A.1B.2C.3D.42.将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线2y =有两个交点，则a 的取值范围是( )A.3a >B.3a <C.5a >D.5a <3.在同一平面直角坐标系中，若抛物线2(21)24y x m x m =+-+-与2(3)y x m n x n =-++关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为( ) A.518,77m n ==- B.5,6m n ==- C.1,6m n =-= D.1,2m n ==- 4.二次函数2y x ax b =-+的图象如图所示，对称轴为直线2x =，下列结论不正确的是( )A.4a =B.当4b =-时，顶点的坐标为(2,8)-C.5b >-D.当3x >时，y 随x 的增大而增大 5.对于函数()223y x =--，下列说法不正确的是( )A.开口向下B.对称轴是直线3x =C.最大值为0D.与y 轴不相交6.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.0,0,0,0a b c >>>∆<B.0,0,0,0a b c <><∆>C.0,0,0,0a b c ><<∆>D.0,0,0,0a b c <<>∆<二、填空题7.如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m ，两侧距地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为_________m .8.抛物线2y ax bx c =++经过(3,0),(4,0)A B -两点，则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx -+=-的解是__________.9.如图，抛物线的顶点为(2,2)P -，与y 轴交于点(0,3)A ，若平移该抛物线使其点P 沿过原点的直线移动到点(2,2)P '-，点A 的对应点为A '，则抛物线上PA 段扫过区域的面积为___________. 10.把二次函数22y x =的图象向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度.平移后抛物线的解析式是_________.11.如图,抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()()2,4,1,1A B -.则方程2ax bx c =+的解是 .参考答案1.答案：A解析：由题图，知0,0a c <>，对称轴为直线32x =-，3,322b b a a ∴-=-∴=，故①正确.函数图象与x 轴有两个不同的交点，240b ac ∴∆=->，故②正确.当1x =-时，0a b c -+>，当3x =-时，930,()(93)0a b c a b c a b c -+>∴-++-+>，即10420a b c -+>，520a b c ∴-+>，故③正确.由抛物线的对称性，可知1x =时对应的y 值与4x =-时对应的y 值相等，∴当1x =时，0.3a b c b a ++<=，43333333()0,430b c b b c b a c a b c b c ∴+=++=++=++<∴+<，故④错误.故选A.2.答案：D解析：224(2)4,y x x a x a =-+=--+∴将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到2(21)41y x a =-+-++，即222y x x a =-+-的图象.将2y =代入222y x x a =-+-，得2222x x a =-+-，即2240x x a -+-=，由题意，得44(4)0a ∆=-->，解得5a <.故选D.3.答案：D解析：抛物线2(21)24y x m x m =+-+-与2(3)y x m n x n =-++关于y 轴对称，213,24,m m n m n -=+⎧∴⎨-=⎩解得1,2.m n =⎧⎨=-⎩故选D. 4.答案：C解析：对称轴为直线2x =，2,42a a ∴=∴=，故A 正确.当4b =-时，2244(2)8,y x x x =--=--∴顶点的坐标为 (2, 8)-，故B 正确.由题图，知当1x =-时，0,140y b <∴++<，5b ∴<-，故C 错误.对称轴为直线2x =，且图象开口向上，∴当3x >时，3x >的增大而增大，故D 正确.故选C.5.答案：D 解析：由题意可得，二次函数的图象开口方向向下，对称轴是直线3x =，顶点坐标为(3)0,，函数的最大值为0，故A 、B 、C 说法正确；当0x =时，18y =-，∴函数()223y x =--与y 轴相交，∴D 说法错误6.答案：B 解析：抛物线开口向下，0a ∴<，又0,02b b a->∴>.抛物线与y 轴交于负半轴，0c ∴<.抛物线与x 轴有两个交点，0∴∆>.故选B.7.答案：647解析：建立如图所示的平面直角坐标系.由题意，知(4,0),(4,0)A B -，(3,4)D -.设抛物线的解析式为2(0)y ax c a =+≠，把(4,0),(3,4)B D -代入，得160,94,a c a c +=⎧⎨+=⎩解得4,764,7a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以抛物线的解析式为246477y x =-+，令0x =，解得647y =，所以点C 的坐标为640,7⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以这个门洞的高度为64m 7. 8.答案：122,5x x =-=解析：一元二次方程2(1)a x c b bx -+=-可变形为2(1)(1)0a x b x c -+-+=.把抛物线2y ax bx c =++向右平移1个单位长度得2(1)(1)y a x b x c =-+-+.因为抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0),(4,0)A B -，所以抛物线2(1)( 1) y a x b x c =-+-+与x 轴的交点坐标为(2,0),(5,0)-，所以一元二次方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=的解为122,5x x =-=.9.答案：12解析：如图，连接,PA P A ''，过点A 作AH PP '⊥于点H .顶点为(2,2)P -的抛物线平移到顶点为(2,2)P '-的抛物线的位置，∴抛物线上PA 段扫过区域的面积等于平行四边形APP A ''的面积.点P 的坐标为(2,2)-，点P '的坐标为(2,2)-，OP ∴==PP '==1132,22APO S OP AH AH ∴=⨯=⨯⨯∴==∴平行四边形APP A ''的面积为12PP AH'⋅==，即抛物线上PA段扫过区域的面积为12.10.答案：()2212y x=+-解析：由抛物线平移的规律“左加右减自变量,上加下减常数项”可得平移后抛物线的解析式为()2212y x=+-.11.答案：122,1x x=-=解析：抛物线2y ax=与直线y bx c=+的两个交点坐标分别为()()2,4,1,1A B-，∴方程组2y axy bx c⎧=⎨=+⎩的解为1124xy=-⎧⎨=⎩或2211xy=⎧⎨=⎩，即关于x的方程20ax bx c--=的解为122,1x x=-=.。
二次函数的图象与性质(三套带答案解析)
二次函数的图象与性质1一、选择题：1.把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A. ﹣4B. 0C. 2D. 62.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=1，则以下四个结论中：① abc>0，② 2a+b=0，③ 4a+b2<4ac，④ 3a+c<0.正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43.已知二次函数y=−x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A. 图象的开口向上B. 图象的顶点坐标是(1,3)C. 当x<1时，y随x的增大而增大D. 图象与x轴有唯一交点4.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)，点C在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x=2，有以下结论：① abc>0；②若点M(−12,y1)，点N(72,y2)是函数图象上的两点，则y1<y2；③ −35<a<−25；④ ΔADB可以是等腰直角三形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（）A. 154B. 4 C. ﹣154D. ﹣1746.已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x>3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A. a≥−2B. a<3C. −2≤a<3D. −2≤a≤3二、填空题7.抛物线y=(k−1)x2−x+1与x轴有交点，则k的取值范围是________.8.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x．其中正确结论的序号是________．的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a9.下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为________．10.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是________．11.将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是________．三、解答题12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．13.已知二次函数y=ax2−2ax−3a的图象与x轴交于A、B两点，且经过C（1，－2），求点A、B的坐标和a的值.14.已知二次函数的顶点坐标为(2，−2)，且其图象经过点(1，−1)，求此二次函数的解析式.15.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，正半轴交于点B，OA=2OB=4．求抛物线的顶点坐标。
人教版九年级上册数学《二次函数的图像和性质》综合练习题【含答案】
《二次函数的图象和性质》同步练习题一、选择题（共10小题）1．下列函数中是二次函数的为 ()A ．B ．C ．D ．31y x =-231y x =-22(1)y x x =+-323y x x =+-2．二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是2y ax bx c =++y ax c =+ ()A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则二次函数的顶点y kx b =+2y kx bx k =+-在第 象限．()A ．一B ．二C ．三D ．四4．抛物线的顶点坐标是 22(3)2y x =-+()A ．B ．C ．D ．(3,2)-(3,2)(3,2)--(3,2)-5．已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<，则它的图象可能是 b c <()A ．B ．C ．D ．6．把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是2(2)y x =+ ()A ．B ．C ．D ．2(2)2y x =++2(1)2y x =+-22y x =+22y x =-7．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是 2y x =2(3)y x =+()A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位8．二次函数的图象可能是 22y x x =-+()A ．B ．C ．D ．9．若点，，都在抛物线上，则下1(1,)M y -2(1,)N y 37(,)2P y 2241(0)y mx mx m m =-+++>列结论正确的是 ()A ．B ．C ．D ．123y y y <<132y y y <<312y y y <<213y y y <<10．二次函数与轴交点坐标为 23(2)5y x =--y ()A ．B ．C ．D ．(0,2)(0,5)-(0,7)(0,3)二、填空题（共4小题）11．请写出一个开口向上且与轴交点坐标为的抛物线的表达式： ．y (0,1)12．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 22()1y x k =-++2x - y x k ．13．抛物线的对称轴是 ．22247y x x =+-14．已知抛物线经过，，对于任意，点均不在抛2y ax bx c =++(0,2)A (4,2)B 0a >(,)P m n 物线上．若，则的取值范围是 ．2n >m 三、解答题（共6小题）15．已知抛物线．2246y x x =--（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．x (0)m m >m 16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边ABC ∆90B ∠=︒12AB mm =24BC mm =P A向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以AB B 2/mm s B Q B BC C 的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过多少4/mm s C P Q A B 秒，四边形的面积最小．APQC17．已知二次函数．243(0)y ax ax b a =-++≠（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点，且整数，满足，求二次函数的表(1,3)a b 4||9a b <+<达式；（3）对于该二次函数图象上的两点，，，，设，当时，1(A x 1)y 2(B x 2)y 11t x t + 25x 均有，请结合图象，直接写出的取值范围．12y y t 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．xOy 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B （1）求的值及、满足的关系式；c a b（2）若抛物线在、两点间从左到右上升，求的取值范围；A B a （3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出(1,)M m n -+(4,)N m n -一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．n 19．小明利用函数与不等式的关系，对形如12()()()0n x x x x x x --⋯->为正整数）的不等式的解法进行了探究．(n （1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：30x ->3y x =-的范围x 3x >3x <的符号y +-由表格可知不等式的解集为．30x ->3x >②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：(3)(1)0x x -->(3)(1)y x x =--的范围x 3x >13x <<1x <的符号y +-+由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)0x x -->③对于不等式，请根据已描出的点画出函数的(3)(1)(1)0x x x --+>(3)(1)(1)y x x x =--+图象；观察函数的图象补全下面的表格：(3)(1)(1)y x x x =--+的范围x 3x >13x <<11x -<<1x <-的符号y +- 由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)(1)0x x x --+>⋯⋯小明将上述探究过程总结如下：对于解形如为正整数）的12()()()0(n x x x x x x n --⋯⋯->不等式，先将，，按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的1x 2x ⋯n x x 办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解y 集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为 ．(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>②不等式的解集为 ．2(9)(8)(7)0x x x --->20．函数是二次函数．223y mx mx m =--（1）如果该二次函数的图象与轴的交点为，那么 ；y(0,3)m（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．答案一、选择题（共10小题）1．解：、是一次函数，故错误；A 31y x =-A 、是二次函数，故正确；B 231y x =-B 、不含二次项，故错误；C 22(1)y x x =+-C 、是三次函数，故错误；D 323y x x =+-D 故选：．B 2．解：一次函数和二次函数都经过轴上的，y (0,)c 两个函数图象交于轴上的同一点，排除、；∴y B C 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除；0a >D 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，正确；0a <A 故选：．A 3．解：一次函数的图象经过一、二、四象限，y kx b =+，，0k ∴<0b >△，2224()40b k k b k =--=+>抛物线与轴有两个交点，∴x、异号，k b 抛物线的对称轴在轴右侧，∴y 二次函数的顶点在第一象限．∴2y kx bx k =+-故选：．A 4．解：抛物线的顶点坐标是，22(3)2y x =-+(3,2)故选：．B 5．解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③， 2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<b c <由①可知当时，则抛物线与轴有两个交点，当时，∴0a >240b ac ->x 0a <240b ac -<则抛物线与轴无交点；x 由②可知：当时，，1x =-0y <由③可知：，0b c -+>，必须，0a b c -+< ∴0a <符合条件的有、，∴C D 由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，C 02b x a=->0a <0b ∴>y ，则，0c <b c >由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，D 02b x a=-<0a <0b ∴<y ，则有可能，0c <b c <故满足条件的图象可能是，D 故选：．D 6．解：抛物线的顶点坐标是，向下平移2个单位长度，再向右平移1个单2(2)y x =+(2,0)-位长度后抛物线的顶点坐标是，(1,2)--所以平移后抛物线的解析式为：2(1)2y x =+-故选：．B 7．解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，2y x =(0,0)2(3)y x =+(3,0)-点向左平移3个单位可得到，(0,0)(3,0)-将抛物线向左平移3个单位得到抛物线．∴2y x =2(3)y x =+故选：．A 8．解：，，22y x x =-+ 0a <抛物线开口向下，、不正确，∴A C 又对称轴，而的对称轴是直线， 212x =-=-D 0x =只有符合要求．∴B 故选：．B 9．解：观察二次函数的图象可知：．132y y y <<故选：．B 10．解：23(2)5y x =-- 当时，，∴0x =7y =即二次函数与轴交点坐标为，23(2)5y x =--y (0,7)故选：．C 二、填空题（共4小题）11．解：抛物线开口方向向上，且与轴的交点坐标为，y (0,1)抛物线的解析式为．∴21y x =+故答案为．21y x =+12．解：，22()1y x k =-++对称轴为，∴x k =-，20a =-< 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧随的增大而减小，∴y x 当时，随的增大而减小，2x - y x ，解得，2k ∴-- 2k 故．2k 13．解：抛物线的对称轴是：，22247y x x =+-24622x =-=-⨯故．6x =-14．解：依照题意，画出图形，如图所示．当时，或，2n >0m <4m >当时，若点均不在抛物线上，则．∴2n >(,)P m n 04m 故．04m三、解答题（共6小题）15．解：（1）2246y x x =--22(2)6x x =--，22(1)8x =--故该函数的顶点坐标为：；(1,8)-（2）当时，，0y =202(1)8x =--解得：，，11x =-23x =即图象与轴的交点坐标为：，，x (1,0)-(3,0)故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点，x 即．3m =16．解：设经过秒，四边形的面积最小x APQC 由题意得，，，2AP x =4BQ x =则，122PB x =-的面积PBQ ∆12BQ PB =⨯⨯1(122)42x x =⨯-⨯，24(3)36x =--+当时，的面积的最大值是，3x s =PBQ ∆236mm此时四边形的面积最小．APQC 17．解：（1）二次函数图象的对称轴是；422a x a-=-=（2）该二次函数的图象经过点，(1,3)，433a a b ∴-++=，3b a ∴=把代入，3b a =4||9a b <+<得．43||9a a <+<当时，，则．0a >449a <<914a <<而为整数，a ，则，2a ∴=6b =二次函数的表达式为；∴2289y x x =-+当时，，则．0a <429a <-<922a -<<-而为整数，a 或，3a ∴=-4-则对应的或，9b =-12-二次函数的表达式为或；∴23126y x x =-+-24169y x x =-+-（3）当时，均有，25x 12y y 二次函数的对称轴是直线，243(0)y ax ax b a =-++≠2x =，12y y ①当时，有，即∴0a >12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，212222x x x ∴--- ，2124x x x ∴- ，25x ，241x ∴-- 该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y ∴115t t -⎧⎨+⎩ ．14t ∴- ②当时，，即0a <12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，或，1222x x ∴-- 1222x x -- ，或12x x ∴ 124x x - ，25x ，241x ∴--该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y 比的最大值还大，或比的最小值还小，这是不存在的，t ∴2x 1t + 24x -故时，的值不存在，0a <t 综上，当时，．0a >14t - 18．解：（1）抛物线经过点和． 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B ，∴3093c a b c-=⎧⎨=++⎩，．3c ∴=-310a b +-=（2）由1可得：，2(13)3y ax a x =+--对称轴为直线，132a x a -=-抛物线在、两点间从左到右上升，当时，对称轴在点左侧，如图： A B 0a >A即：，解得：，1302a a -- 13a．、两点间从左到右上升，103a ∴< A B 当时，抛物线在、两点间从左到右上升，∴103a < A B （3）抛物线不能同时经过点、．(1,)M m n -+(4,)N m n -理由如下：若抛物线同时经过点、．则对称轴为：，(1,)M m n -+(4,)N m n -(1)(4)322m m x -++-==由抛物线经过点可知抛物线经过，与抛物线经过相矛盾，A (3,3)-(3,0)B 故：抛物线不能同时经过点、(1,)M m n -+(4,)N m n -19．解：（1）②由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)0x x -->3x >1x <故或；3x >1x <③图象如右图所示，当时，，当时，，11x -<<(3)(1)(1)0x x x --+>1x <-(3)(1)(1)0x x x --+<由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)(1)0x x x --+>3x >11x -<<故，，或；+-3x >11x -<<（2）①不等式的解集为或或，(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>6x >24x <<2x <-故或或；6x >24x <<2x <-②不等式的解集为或且，2(9)(8)(7)0x x x --->9x >8x <7x ≠故或且9x >8x <7x ≠20．解：（1）该函数的图象与轴交于点， y (0,3)把，代入解析式得：，∴0x =3y =33m -=解得，1m =-故答案为；1-（2）由（1）可知函数的解析式为，223y x x =-++，2223(1)4y x x x =-++=--+ 顶点坐标为；∴(1,4)列表如下：x 2-1-01234y5-034305-描点；画图如下：。
初中数学二次函数解析式图像性质练习题(附答案)
初中数学二次函数解析式图像性质练习题一、单选题1.二次函数231y x =-+的图象如图所示, 将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为( )A.231y x =-B.23y x =C.231y x =+D.231y x =--2.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,如果调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件.设每件商品降价x 元后,每星期售出商品的总销售额为y 元,则y 与x 的关系式为( )A. 60(30020)y x =+B. (60)(30020)y x x =-+C. 300(6020)y x =-D. (60)(30020)y x x =--3.如果将抛物线2y 2x =+向下平移一个单位,那么所得新抛物线的解析式是( )A. ()212y x =-+B. ()212y x =++ C. 2 1y x =+ D. 2y 3x =+ 4.当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是( )A. B. C. D.二、解答题5.如图，在ABC 中，906cm 12cm C AC BC ∠=︒==，，.动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动；动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度移动.如果P Q ，两点同时出发.（1）经过几秒，PCQ 的面积为28cm ？（2）若设四边形APQB 的面积为S ，运动时间为t ，当t 为何值时，S 最小，并求出S 的最小值；6.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米.(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x 的值;(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值;如果没有，请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x 的取值范围.三、填空题7.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(01)，的抛物线的解析式__________.8.抛物线214y x =+的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 9.若()2221m y m x mx -=+++是关于自变量x 的二次函数，则m = 。
补充1 二次函数图象性质与应用共55题(解析版)
二次函数图象性质与应用（55题）一、单选题1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（）A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为()2,3C ．函数的最大值是－3D ．函数的最小值是－3【答案】C 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3-∵30-<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y -∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．2．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线2y x =向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A ．2(3)4y x =-+B ．2(3)4y x =++C ．2(3)4y x =+-D ．2(3)4y x =--【答案】A【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x =向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：2(3)4y x =-+．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴，则下列说法正确的是（）A ．b 恒大于0B 【答案】C 【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分【详解】解：∵直线l 为二次函数∴对称轴为直线2b x a =-当a<0时，则>0b ，当>0a 时，则0b <，∴a ，b 异号，故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在4．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线A ．2-B 【答案】D【分析】把抛物线2y x =求出0x =和3x =时的函数值，即可得到答案．【详解】解：∵2y x =-∴对称轴为1x =，当x =A ．抛物线的对称轴为直线C ．A ，B 两点之间的距离为【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵二次函数∴0936a =--∴1a =∴二次函数解析式为y B 选项不正确，不符合题意；∵10a =>，抛物线开口向上，当当0y =时，26x x +-=A ．第一象限【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出【详解】解：由图象开口向下可知由对称轴b x 02a=->，得∴一次函数y x b =+的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．7．（2023·内蒙古通辽·101x <<，下列四个结论：集为02x <<．其中正确结论的个数是（A ．1B ．2【答案】C 【分析】根据函数图象可得出a 12b x a=->，0a >可判断③；由图得，12y y <时，02x <<，故综上，正确的有①③④，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．A ．4个B 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向、与由抛物线的对称轴为x =由图知1x =时二次函数有最小值，可判断22y ax ax c =-+，根据图像可判断【详解】①∵抛物线的开口向上，0.a ∴>∵抛物线与y 轴交点在y 0.c ∴<由02b a->得，0b <，0abc ∴>，故①正确；② 抛物线的对称轴为x ∴12b a-=，∴2b a =-，∴20a b +=，故②正确；A ．<0abc B ．【答案】C 【分析】根据开口方向，与判断A ；根据对称性可得当上，对称轴为直线1x =，可得抛物线的最小值为【详解】解：∵抛物线开口向上，与∴00a c ><，，∵抛物线对称轴为直线x ∴12b a-=，∴20b a =-<，依题意，当2x =-时，54204k k --+-≥解得：214k ≤-，当1x =时，5104k k -++-≤，解得k ≤即214k ≤-，当1k ≥时，当2x =-时，54204k k --+-≤，解得：214k ≥-∴1k ≥综上所述，k ≤214-或1k ≥，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．A ．．C ．．【答案】A【分析】设()1,A k ，则(B ),1，代入y x b =-+，得出当1x =时，1y =-，则y =，得出对称轴为直线12b x =>，抛物线对称轴在定点()1,1-，进而即可求解．【详解】解：如图所示，A．1个B．【答案】C【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与12y y ∴<.故②正确.图象与x 轴交于点(3,0A -930a b c ∴-+=，a b c ++10220a b c ∴-+=.50a b c ∴-+=.故③正确.12b a-=-，2b a ∴=.当1x =时，0y =，0a b c ∴++=.30a c ∴+=，3c a ∴=-，443<0a c a a a ∴+=-=.A ．1个B ．2【答案】C 【分析】开口方向，对称轴，与【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线∴0,0,0a b c <<<，∴0abc <，故①正确；由图象可知，0a b c -+>，根据对称轴，得∴40a a c -+>∴30c a ->，故②正确；∵抛物线的开口向下，对称轴为直线∴抛物线的最大值为4y a =∴()11,A x y 和点()22,B x y 关于对称轴对称，∴122,2x x --,∵123m x x m <<<+,∴122,23m x x m <<--<<+解得52m -<<-，故④正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．16．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数A ．1个B ．【答案】D 【分析】根据二次函数开口向上，与20b a =>，由此即可判断由此即可判断②；根据x 【详解】解：∵二次函数开口向上，与∴00a c ><，，∵二次函数的对称轴为直线∴12b a-=-，∴20b a =>，∴<0abc ，故①正确；∵二次函数2y ax bx =++∴二次函数2y ax bx =++∴当2x =-时，0y <，∴420a b c -+<，故②正确；∵1x =时，0y =，∴0a b c ++=，∴20a a c ++=，即3a c +由函数图象可知，当3-<综上所述，其中正确的结论有故选：D ．18．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线1y mx n =+与抛物线223y ax bx =+-相交于点A ，B ．结合图象，判断下列结论：①当23x -<<时，12y y >；②3x =是方程230ax bx +-=的一个解；③若()11,t -，()24,t 是抛物线上的两点，则12t t <；④对于抛物线，223y ax bx =+-，当23x -<<时，2y 的取值范围是205y <<．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】根据函数图象直接判断①②，根据题意求得解析式，进而得出抛物线与x 轴的交点坐标，结合图形即可判断③，化为顶点式，求得顶点坐标，进而即可判断④，即可求解．【详解】解：根据函数图象，可得当23x -<<时，12y y >，故①正确；∵()3,0A 在223y ax bx =+-上，∴3x =是方程230ax bx +-=的一个解；故②正确；∵()3,0A ，()2,5B -在抛物线223y ax bx =+-上，∴93304235a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩∴2223y x x =--当0y =时，2230x x --=解得：121,3x x =-=∴当=1x -时，0y =，当4x =时，0y >，A ．20a b +=B ．420a b c -+>C ．2x =是关于x 的一元二次方程D ．点()11,x y ，()22,x y 在抛物线上，当【答案】C【分析】根据对称轴为=1x -得到判断B 选项；根据当2x =时，即可判断D 选项．【详解】解：A ．抛物线2y ax =故选项错误，不符合题意；B ．抛物线()20y ax bx c a =++≠A ．4个【答案】B【分析】抛物线y 可以得到b 的正负情况，从而可以判断1x =时，0y <，即再根据1022b a <-<【详解】解：∵抛物线∴0a >，∵抛物线2y ax =+A．1【答案】C【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．24．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，已知开口向下的抛物线轴为直线2x =．则下列结论正确的有（①0abc <；②0a b c -+>；③方程20cx bx a ++=的两个根为④抛物线上有两点()11,P x y 和Q A ．1个B ．2个【答案】B【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：由抛物线的开口可知：202ba-=>，∴0b >，∴<0abc ，故①正确；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点则另一个交点(20)-，，∴=1x -时，0y >，A ．1个B ．2个【答案】B【分析】根据抛物线开口向下可得到0a b c ++<，推得30a c +<()23,y 到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得次函数2y ax bx c =++与直线不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点A ．1-B ．2-【答案】B【分析】连接AC ，交y 轴于点进而代入求解即可．【详解】解：连接AC ，交y 当0x =时，则y c =，即OB c =，∵四边形OABC 是正方形，∴22AC OB AD OD c ====，AC ∴点,22c c A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴224c c a c =⨯+，解得：2ac =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．30．（2023·湖北·统考中考真题）拋物线①0abc <；②240b ac ->；③3b 1m ≤-．其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】二次函数整理得223y ax ax a =+-，推出00b c <>，，可判断①错误；根据二次函数的的图象与x 轴的交点个数可判断②正确；由23b a c a ==-，，代入32b c +可判断③正确；根据二次函数的性质及数形结合思想可判断④错误．【详解】解：①由题意得：()()223123y ax bx c a x x ax ax a =++=+-=+-，∴23b a c a ==-，，∵a<0，∴00b c <>，，∴0abc >，故①错误；②∵抛物线2(0)y ax bx c a =++<与x 轴相交于点()()3010A B -，，，．∴20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，∴240b ac ∆=->，故②正确；③∵23b a c a ==-，，∴32660b c a a +=-=，故③正确；④∵抛物线2(0)y ax bx c a =++<与x 轴相交于点()()3010A B -，，，．∴抛物线的对称轴为：=1x -，当点()()122P m y Q m y -，，，在抛物线上，且12y y <，∴1m ≤-或()2112(1)m mm m -<-<⎧⎨--->--⎩，解得：0m <，故④错误，综上，②③正确，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．31．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0，对称轴为直线1x =，结合图像给出下列结论：①0abc >；②2b a =；③30a c +=；A．4【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与A．①②③A．5B．4【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与对称轴和特殊点判断④；最值判断【答案】A【分析】设直线319y x =+与抛物线241y x x =+-对称轴左边的交点为P ，设抛物线顶点坐标为Q ，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出1x 的范围，根据二次函数的性质得出()23224x x +=⨯-=-，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设直线319y x =+与抛物线241y x x =+-对称轴左边的交点为P ，设抛物线顶点坐标为Q联立231941y x y x x =+⎧⎨=+-⎩解得：54x y =-⎧⎨=⎩或431x y =⎧⎨=⎩∴()5,4P -，由()224125y x x x =+-=+-，则()2,5Q --，对称轴为直线2x =-，设123m y y y ===，则点,,A B C 在y m =上，∵123y y y ==且123x x x <<，∴A 点在P 点的左侧，即15x <-，232x x <-<，当5m =-时，23x x =对于319y x =+，当5y =-，8x =-，此时18x =-，二、多选题37．（2023·湖南·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()3,0，则下列结论中正确的是（）A ．0a >B ．0c >C ．240b ac -<D ．930a b c ++=【答案】BD【分析】根据图象的开口方向可判断选项A ；根据图象与y 轴的交点位置，可判断选项B ；根据抛物线和x 轴的交点个数可判断选项C ；3x =时函数值的情况，可判断选项D ．【详解】解：A 、由函数图象得，抛物线开口向下，故a<0，故A 错误；B 、图象与y 轴的交点在原点上方，故0c >，故B 正确；C 、因为抛物线和x 轴有两个交点，故240b ac ->，故C 错误．D 、当3x =时，930y a b c =++=，故D 正确；故选：BD ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．三、填空题38．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数223(0)y ax ax a =-++>，若点(,3)P m 在该函数的图象上，且0m ≠，则m 的值为________．【答案】2【分析】将点(,3)P m 代入函数解析式求解即可．【详解】解：点(,3)P m 在223y ax ax =-++上，∴2323am am =-++，(2)0am m --=，解得：2,0m m ==(舍去)故答案为：2．【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意求解是解题关键．39．（2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管长度应为____________．【答案】19【答案】178(,)55和33(5【分析】先根据题意画出图形，先求出2DEB DCB ∠=∠，而∠线的解析式5y x =-+，设a 的值，即可求出E 点坐标；当得到DBC ∠为直角三角形，要找的点，应为OC OB =点坐标．【详解】解：根据D 点坐标，有设BC 所在直线解析式为有550b k b =⎧⎨+=⎩，解得BC 当E 点在线段BC 上时，设DEB DCE CDE∠=∠+∠而2DEB DCB∠=∠∴DCE CDE∠=∠∴CE DE=因为：(,5)E a a -+，C 有22(55)a a +-+-=解得：175a =，5a -+所以E 点的坐标为:17(5当E 在CB 的延长线上时，在BDC 中，2(5BD =∴222BD BC DC +=∴BD BC⊥如图延长EB 至E '，取则有DEE ' 为等腰三角形，∴DEE DE E''∠=∠又∵2DEB DCB∠=∠∴2DE E DCB'∠=∠则E '为符合题意的点，∵5OC OB ==∴45OBC ∠=E '的横坐标：175(5+-综上E 点的坐标为：17(故答案为：178(,)55或(【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到E 点的位置，是求解此题的关键．45．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线点，且3n ≥．下列四个结论：①0b <；②244ac b a -<；③当3n =时，若点(2,t ④若关于x 的一元二次方程。
二次函数的图象和性质练习题(附参考答案和评分标准)
新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________一、选择题（每小题10分,共30分）1. 下列函数中,是二次函数的为 【 】 （A ）54+-=x y （B ）()32-=x x y （C ）()224x x y -+= （D ）21x y =2. 对于函数25x y =,下列结论正确的是 【 】 （A ）y 随x 的增大而增大 （B ）图象的开口向下（C ）图象关于y 轴对称 （D ）无论x 取何值,y 的值总是正的 3. 抛物线222,,21x y x y x y -===的共同性质如下: ①都开口向上; ②都以点（0 , 0）为顶点; ③都以y 轴为对称轴; ④都关于x 轴对称.其中正确的个数为 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 对于函数12+=x y ,下列结论正确的是 【 】 （A ）图象的开口向下 （B ）y 随x 的增大而增大 （C ）图象关于y 轴对称 （D ）最大值是05. 已知二次函数()223-=x y ,则 【 】（A ）当2->x 时,y 随x 的增大而减小 （B ）当2->x 时,y 随x 的增大而增大 （C ）当2>x 时,y 随x 的增大而减小 （D ）当2>x 时,y 随x 的增大而增大6. 关于二次函数()212++-=x y 的图象,下列判断正确的是 【 】（A ）图象的开口向上 （B ）图象的对称轴是直线1=x （C ）图象有最低点 （D ）图象的顶点坐标为()2,1-7. 将函数2x y =的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A （1 , 4）,的方法是 【 】 （A ）向左平移1个单位 （B ）向右平移3个单位（C ）向上平移3个单位 （D ）向下平移1个单位8. 若抛物线()12++-=m m x y 的顶点在第一象限,则实数m 的取值范围是 【 】（A ）1>m （B ）0>m （C ）1->m （D ）01<<-m9. 如图所示,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,则下列关系不正确的是 【 】 （A ）n k = （B ）m h = （C ）n k < （D ）0,0<<k h第 9 题图x h ) 2 + k y =1yx第 10 题图C BAO10. 如图所示,点A 是抛物线()k x a y +-=23与y 轴的交点,x AB //轴交抛物线于另一点B ,点C 为该抛物线的顶点,若△ABC 为等边三角形,则a 的值为 【 】 （A ）21（B ）23 （C ）33 （D ）1二、填空题（每小题3分,共30分）11. 二次函数342-+=x x y ,当1-=x 时,y 的值是_________. 12. 若()23222-++=-x x m y m是二次函数,则m 的值是_________.13. 如果点()a A ,2-在抛物线25x y -=上,则点A 关于y 轴对称的点的坐标是_________. 14. 若抛物线()22x m y -=的开口向下,则m 的取值范围是__________. 15. 已知二次函数221x y =的图象如图所示,x AB //轴,交抛物线于A 、B 两点,且点A 的横坐标为2,则AB 的长度为_________.第 15 题图yx第 18 题图BACDO16. 已知二次函数2x y -=,当0<x 时,y 随x 的增大而_________.17. 将抛物线322+-=x x y 向左平移1个单位,再向下平移3个单位,则抛物线的解析式应为________________.18. 如图所示,抛物线42-=ax y 和42+-=ax y 都经过x 轴上的A 、B 两点,两条抛物线的顶点分别为C 、D .当四边形ACBD 的面积为40时,a 的值为_________.19. 如图,正方形ABCD 的边长为4,E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点,且EF AE ⊥,则AF 的最小值是_________.第 19 题图yx第 20 题图O20. 已知函数21x y =与函数3212+-=x y 的图象如图所示.若21y y >,则自变量x 的取值范围是____________.三、解答题（共60分） 21.（10分）已知函数()422-++=n n x n y 是关于x 的二次函数.（1）求n 的值;（2）当n 为何值时,二次函数的图象有最低点?求出这个最低点,并直接写出x 为何值时,y 随x 的增大而增大;（3）当n 为何值时,函数有最大值?最大值是多少? x 为何值时,y 随x 的增大而减小?22.（10分）如图所示,矩形OABC 的顶点B （2 , 1）,在抛物线)0(2>=a ax y 上. （1）求抛物线2ax y =的函数关系式;（2）试写出（1）中的抛物线绕顶点O 旋转︒180后得到的抛物线的函数关系式.yxAC BO23.（10分）写出二次函数322--=x x y 的图象的顶点坐标和对称轴,求出它的最大值或最小值,并在图中画出它的图象.24.（10分）如图所示,直线l 经过点A （3 , 0）、B （0 , 3）两点,且与二次函数12+=x y 的图象在第一象限内相交于点C . （1）求△AOC 的面积;（2）二次函数图象的顶点为D ,求△ABD 的面积.25.（10分）如图所示,抛物线c ax y +=21与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点P 在抛物线上,过()3,1-P ,B （4 , 0）两点作直线b kx y +=2. （1）求抛物线的解析式;（2）根据图象直接写出21y y >时,x 的取值范围.yxPCBA O26.（10分）如图所示,点P 为抛物线241x y =上一动点. （1）若抛物线241x y =是由抛物线()12412-+=x y 通过平移得到的,请写出平移的过程;（2）已知直线l 经过y 轴上一点N ,点N 的坐标为()1,0-,过点P 作l PM ⊥于M .①问题探究:如图1,在y 轴上是否存在一定点F ,使得PF PM =恒成立?若存在,求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.②问题解决:如图2,若点Q 的坐标为（1 , 5）,求PF PQ +的最小值.图 1图 2Q新华师大版九年级下册数学第26章 二次函数的图象和性质练习题参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共30分）11. 6- 12. 2 13. ()20,2- 14. 2<m 15. 4 16. 增大 17. 12-=x y 18. 254 19. 5 20. 2-<x 或23>x 三、解答题（共60分） 21.（10分）已知函数()422-++=n n x n y 是关于x 的二次函数. （1）求n 的值;（2）当n 为何值时,二次函数的图象有最低点?求出这个最低点,并直接写出x 为何值时,y 随x 的增大而增大;（3）当n 为何值时,函数有最大值?最大值是多少? x 为何值时,y 随x 的增大而减小? 解:（1）∵函数()422-++=n n x n y 是关于x 的二次函数∴⎩⎨⎧=-+≠+24022n n n……………………………………………2分 解之得:2,321=-=n n ;……………………………………………4分（2）当3-=n 时,2x y -=;当2=n 时,24x y =∴当2=n 时,二次函数的图象有最低点 ……………………………………………5分 最低点为（0 , 0）……………………………………………6分 当0>x 时,y 随x 的增大而增大;……………………………………………7分 （3）由（2）可知,当3-=n 时,函数有最大值……………………………………………8分 最大值为0=y……………………………………………9分 当0>x 时,y 随x 的增大而减小.…………………………………………10分22.（10分）如图所示,矩形OABC 的顶点B （2 , 1）,在抛物线)0(2>=a ax y 上. （1）求抛物线2ax y =的函数关系式; （2）试写出（1）中的抛物线绕顶点O 旋转︒180后得到的抛物线的函数关系式.yxA C BO解:（1）把B （2 , 1）代入2ax y =得:122=⨯a解之得:41=a……………………………………………4分 ∴该抛物线的解析式为241x y =; ……………………………………………5分 （2）∵抛物线241x y =的顶点O 为（0 , 0）……………………………………………7分∴抛物线241x y =绕顶点O 旋转︒180后得到的抛物线的函数关系式为:241x y -=.…………………………………………10分 23.（10分）写出二次函数322--=x x y 的图象的顶点坐标和对称轴,求出它的最大值或最小值,并在图中画出它的图象.解:∵322--=x x y ∴()412--=x y……………………………………………3分∴其图象的顶点坐标为()4,1-……………………………………………4分 对称轴为直线1=x……………………………………………5分 ∵01>=a∴函数有最小值,最小值为4-=y ;……………………………………………6分 其图象如图所示.…………………………………………10分24.（10分）如图所示,直线l 经过点A （3 , 0）、B （0 , 3）两点,且与二次函数12+=x y 的图象在第一象限内相交于点C . （1）求△AOC 的面积;（2）二次函数图象的顶点为D ,求△ABD 的面积.解:（1）设直线l 的解析式为b kx y += 把A （3 , 0）、B （0 , 3）分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧==+303b b k 解之得:⎩⎨⎧=-=31b k∴直线l 的解析式为3+-=x y……………………………………………2分解方程组⎩⎨⎧+=+-=132x y x y 得: ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=21,522211y x y x ∵点C 在第一象限 ∴C （1 , 2）……………………………………………5分 ∵A （3 , 0）∴3=OA ∴32321=⨯⨯=∆AOC S ; ……………………………………………6分 （2）∵二次函数图象的顶点为D ∴D （0 , 1）……………………………………………7分 ∴1=OD ∵B （0 , 3）∴3=OB∴213=-=-=OD OB BD ∴3322121=⨯⨯=⋅=∆OA BD S ABD . …………………………………………10分 25.（10分）如图所示,抛物线c ax y +=21与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点P 在抛物线上,过()3,1-P ,B （4 , 0）两点作直线b kx y +=2.（1）求抛物线的解析式;（2）根据图象直接写出21y y >时,x 的取值范围.yxPCBA O解:（1）把()3,1-P ,B （4 , 0）分别代入c ax y +=21得:⎩⎨⎧=+-=+0163c a c a 解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a∴抛物线的解析式为5165122-=x y ; ……………………………………………6分 （2）1<x 或4>x .…………………………………………10分 （注意:写对一个范围给2分） 26.（10分）如图所示,点P 为抛物线241x y =上一动点.（1）若抛物线241x y =是由抛物线()12412-+=x y 通过平移得到的,请写出平移的过程;（2）已知直线l 经过y 轴上一点N ,点N 的坐标为()1,0-,过点P 作l PM ⊥于M . ①问题探究:如图1,在y 轴上是否存在一定点F ,使得PF PM =恒成立?若存在,求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.②问题解决:如图2,若点Q 的坐标为（1 , 5）,求PF PQ +的最小值.解:（1）把抛物线()12412-+=x y 先向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线241x y =; ……………………………………………3分图 1图 2Q（2）①解:存在一定点F ,使得PF PM =恒成立……………………………………………4分 过点P 作y PH ⊥轴∵点P 在抛物线241x y =上 ∴设点P 为⎪⎭⎫⎝⎛241,m m∴1412+==m PF PM ,m PH =在Rt △PFH 中,由勾股定理得:22222141m m PH PF FH -⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1412-=m 分为三种情况:第11页当点H 在点F 的上方时（OF m >241）, 1414122-=-=-=m OF m OF OH FH∴1=OF ∴F （0 , 1）;当点H 与点F 重合时（OF m =241）,1414122=-=-=-=m OF m OF OH FH ∴1=OF ∴F （0 , 1）;当点H 在点F 的下方时（OF m <241）, 1414122-=-=-=m m OF OH OF FH∴1=OF ∴F （0 , 1）.综上所述,存在一定点F （0 , 1）,使得PF PM =恒成立;……………………………………………7分 ②由①可知:PF PM =∴PF PQ +的最小值也即PM PQ +的最小值,当P 、Q 、M 三点在同一条直线上时,PM PQ +的值最小∵点Q 的坐标为（1 , 5） ∴PM PQ +的最小值为6 ∴PF PQ +的最小值为6.…………………………………………10分。
专题4二次函数的图象和性质4(含解析)
专题4 二次函数的图象和性质3一、单选题（共6小题）1.将抛物线y＝x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（）A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x﹣2）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣42.抛物线y＝3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.抛物线C1向右平移4个单位长度后与抛物线C2重合，若（﹣1，3）在抛物线C1上，则下列点中，一定在抛物线C2上的是（）A．（3，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，7）D．（﹣5，3）4.如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：其中说法正确的是（）①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2A．①②B．②③C．①②④D．②③④5.已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m的值是（）A．﹣10和6 B．﹣19和C．6和D．﹣19和66.定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．B．C．1 D．0二、填空题（共8小题）7.抛物线y＝2x2﹣mx+3的对称轴是直线x＝1，则m的值为．8.已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为．9.如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为．10.如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为﹣．11.若将抛物线y＝﹣x2+1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为﹣﹣．12.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），其中正确的结论有．13.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，a）和（3，a）两点，则a﹣c＝﹣．14.如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，则顶点M2020的坐标为．三、解答题（共6小题）15.用配方法求抛物线y＝2x2﹣4x﹣5的顶点坐标．16.已知二次函数的图象过三个点（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）．（1）用你认为最简便的方法求函数的解析式；（2）将图象向右平移2个单位时，求所得图象的函数解析式．17.抛物线y＝ax2﹣2ax与x轴正半轴交于B、C为顶点，且点C的纵坐标为2．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上一点，且△OPC是以OC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．18.已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…105212…（1）求该二次函数的表达式；（2）当y＞5时，x的取值范围是．19.如图抛物线y＝x2+bx﹣c经过直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，与x轴交于另一点C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）求S△ACD的面积．20.已知抛物线y＝x2﹣mx+c与x轴交于点A（x1，0）B（x2，0），与y轴交于点C（0，c）．若△ABC为直角三角形，求c的值．专题4 二次函数的图象和性质3参考答案一、单选题（共6小题）1.【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的图象的顶点坐标为（2，﹣4），所以，所得图象的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．2.【分析】根据抛物线y＝3（x+1）2+1，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．【解答】解：∵抛物线y＝3（x+1）2+1，∴该抛物线的顶点是（﹣1，1），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.【分析】直接利用平移的性质得出（﹣1，3）平移后对应点进而得出答案．【解答】解：∵抛物线C1向右平移4个单位长度后与抛物线C2重合，（﹣1，3）在抛物线C1上，∴当（﹣1，3）向右平移4个单位时，得到（3，3），故（3，3）一定在抛物线C2上．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．4.【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①函数对称轴在y轴右侧，则ab＞0，c＜0，故abc＜0，正确，符合题意；②函数的对称轴x＝﹣＝﹣1，即b＝2a，故2a﹣b＝0正确，符合题意；③函数的对称轴为：x＝﹣1，且过点（﹣3，0），则另外一个交点为：（1，0），故当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故原答案错误，不符合题意；④函数的对称轴为：x＝﹣1，而点（﹣5，y1）和（3，y2）与对称轴等间隔，故y1＝y2，故原答案错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．5.【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+m＝﹣（x﹣）2++m，∴当＜﹣2时，即m＜﹣4，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝﹣2时，﹣（﹣2）2﹣2m+m＝15，得m＝﹣19；当﹣24时，即﹣4≤m≤8时，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝时，+m＝15，得m1＝﹣10（舍去），m2＝6；当＞4时，即m＞8，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝4时，﹣42+4m+m＝15，得m＝（舍去）；由上可得，m的值是﹣19或6；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6.【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=﹣x2+1与正比例函数y=﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1=﹣x，即x2﹣x﹣1=0，解得：x=或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所示，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．二、填空题（共8小题）7.【分析】根据抛物线y＝2x2﹣mx+3的对称轴是直线x＝1，可以求得m的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣mx+3的对称轴是直线x＝1，∴1＝﹣，解得，m＝4，故答案为：4．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确抛物线的对称轴是直线x＝﹣．8.【分析】利用抛物线与x轴的交点为对称轴，从而得到抛物线的对称轴方程．【解答】解：∵抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线＝2．即n的值为2．故答案为2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．9.【分析】首先过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，易得四边形OMBN是矩形，可得△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，又由AB＝6，BC＝8，O为AC的中点，可求得OM与ON的长，然后由勾股定理求得MN的长，又由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，求得答案．【解答】解：过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，∵∠ABC＝90°，∴四边形OMBN是矩形，∴OM∥BC，ON∥AB，∴△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，∴OM：BC＝OA：AC，ON：AB＝OC：AC，∵O为AC的中点，∴OM＝BC＝×8＝4，ON＝AB＝×6＝3，∴MN＝＝5，由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，∴EF的最小值为5．故答案为：5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．10.【分析】关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n交点的横坐标．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．11.【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减得出答案．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+1向右平移1个单位长度，∴平移后解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+1，∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3．故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+3．【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．12.【分析】由图可知a＜0，由已知可得对称轴x＝1＝﹣，b＝﹣2a＞0，函数与y轴的交点c＞0；①abc＜0；②b+2a＝0；③函数与y轴交点坐标纵坐标c＞3，则方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根；④由函数的对称性，与x轴的一个交点坐标为（4，0），另一个交点为（﹣2，0）；【解答】解：由图可知a＜0，∴对称轴x＝1＝﹣，∴b＝﹣2a＞0，函数与y轴的交点c＞0，①∵abc＜0；①错误；②b＝﹣2a，∴b+2a＝0；②正确；③∵函数与y轴交点c＞3，∴x＝1时，y＞3∴直线y＝3与抛物线有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根；③正确；④由函数的对称性，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴另一个交点为（﹣2，0）；④正确；故答案为②③④；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．13.【分析】根据已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，a）和（3，a）两点求出抛物线的对称轴，求出b的值，再把点（﹣1，a）代入，即可求出答案．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，a）和（3，a）两点，∴抛物线的对称轴是直线x＝＝1，即﹣＝1，解得：b＝2，即y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+2x+c，把（﹣1，a）代入得：a＝﹣1﹣2+c，即a﹣c＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能根据点的坐标特点求出抛物线的对称轴是解此题的关键．14.【分析】根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点A n的坐标为（n，n2），设点M n的坐标为（a，a），则以点M n为顶点的抛物线解析式为y＝（x﹣a）2+a，由点A n的坐标利用待定系数法，即可求出a值，将其代入点M n的坐标即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，A n，…，∴点A n的坐标为（n，n2）．设点M n的坐标为（a，a），则以点M n为顶点的抛物线解析式为y＝（x﹣a）2+a，∵点A n（n，n2）在抛物线y＝（x﹣a）2+a上，∴n2＝（n﹣a）2+a，解得：a＝2n﹣1或a＝0（舍去），∴M n的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），∴M2020的坐标为（4039，4039）．故答案为：（4039，4039）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，根据点A n的坐标利用待定系数法求出a值是解题的关键．三、解答题（共6小题）15.【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次根式的性质求出抛物线的顶点坐标．【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣5＝2（x﹣1）2﹣7，则抛物线y＝2x2﹣4x﹣5的顶点坐标为（1，﹣7）．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．16.【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后代入（1，﹣8）用待定系数法即可求得．（2）可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），由于抛物线的图象经过（1，﹣8），则有：﹣8＝a（1+1）（1﹣3），解得a＝2．∴二次函数的解析式为y＝2（x+1）（x﹣3）＝2x2﹣4x﹣6．（2）由y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，图象向右平移2个单位得的函数解析式是y＝2（x﹣1﹣2）2﹣8即y＝2x2﹣12x+10．【点评】主要考查的是用待定系数法求二次函数解析式的方法以及函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．17.【分析】（1）先把y＝ax2﹣2ax配成顶点式，然后根据顶点的纵坐标为2求出a的值，即可得到抛物线解析式；（2）根据抛物线上点的坐标特征设P点坐标为（x，﹣2x2+4x），再利用两点间的距离公式得到OP2＝x2+（﹣2x2+4x）2，PC2＝（x﹣1）2+（﹣2x2+4x﹣2）2，再分类讨论：当∠PCO＝90°时，根据勾股定理得OC2+PC2＝OP2；当∠POC＝90°时，根据勾股定理OC2+PO2＝CP2，然后分别得到x的一元二次方程，解方程求出x即可得到满足条件的P点坐标．【解答】解：（1）∵y＝a（x﹣1）2﹣a，∴顶点C的坐标为（1，﹣a），而C的纵坐标为2，∴﹣a＝2，解得a＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+4x；（2）设P点坐标为（x，﹣2x2+4x），而C（1，2），则OC2＝12+22＝5，OP2＝x2+（﹣2x2+4x）2，PC2＝（x﹣1）2+（﹣2x2+4x﹣2）2，当∠PCO＝90°时，OC2+PC2＝OP2，即5+（x﹣1）2+（﹣2x2+4x﹣2）2＝x2+（﹣2x2+4x）2，整理得4x2﹣9x+5＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝，此时P点坐标为（，）；当∠POC＝90°时，OC2+PO2＝CP2，即5+x2+（﹣2x2+4x）2＝（x﹣1）2+（﹣2x2+4x﹣2）2，整理得4x2﹣9x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝，此时P点坐标为（，﹣），综上所述，满足条件的P点坐标为（，）或（，﹣）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系，△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了两点间的距离公式和勾股定理．18.【分析】（1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式；（2）观察表格求出抛物线的对称轴，确定开口方向，利用二次函数的对称性判断出x＝4时，y＝5，然后写出y＞5时，x的取值范围即可．【解答】解：（1）由表格可知，抛物线经过（1，2）、（3，2），∴对称轴为直线x＝＝2，∴抛物线的顶点为（2，1），设函数为y＝a（x﹣2）2+1．∵函数的图象经过点（0，5），∴5＝a×（﹣2）2+1．解得a＝1．∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2+1（或y＝x2﹣4x+5）；（2）由所给数据可知当x＝2时，y有最小值1，∴二次函数的对称轴为x＝2．∴x＝4时，y＝5，∴当y＞5时，对应的x的范围为x＜0或x＞4，故答案为x＜0或x＞4．【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，解题的关键是正确分析表中的数据．19.【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B点坐标，再代入抛物线解析式即可；（2）求出C点坐标，确定AC长，再根据抛物线解析式求出顶点D坐标，则面积可求．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，∴B（0，﹣3）；当y＝0时，x＝3，∴A（3，0）．∵抛物线y＝x2+bx﹣c经过A、B两点，∴，解得b＝﹣2．所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）根据0＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0）．∴AC＝4．抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），所以S△ACD的面积为．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴交点、二次函数的性质．20.【分析】△ABC为直角三角形，则只有∠ACB一种情况，证明∠BCO＝∠CAB，tan∠BCO＝tan∠CAB，则OC2＝OA•OB，即可求解．【解答】解：△ABC为直角三角形，则只有∠ACB一种情况，连接BC，∵∠BCO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠BCO＝∠CAB，tan∠BCO＝tan∠CAB，则OC2＝OA•OB，而OA•OB＝﹣x1x2＝2c＝c2，解得：c＝0或﹣2（舍去0），故c＝﹣2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，关键是确定∠ACB＝90°，用解直角三角形的方法确定OC2＝OA•OB，即可求解．。
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二次函数图像和性质习题精选一．选择题（共30小题）1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．4．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=D．当﹣1＜x＜2时，y＞0C．当x＜，y随x的增大而减小7．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或28．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6B．5C．4D．39．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大11．如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=﹣1时，y的值大于1 D．当x=﹣3时，y的值小于012．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤313．如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞014．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．015．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a c＜0B．当x=1时，y＞0C．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大16．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1 C．1D．217．下列图中阴影部分的面积相等的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D．x＜﹣4或x＞219．已知：二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=320．下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）x 3.3 3.4 3.5 3.6y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3.25 B．3.35 C．3.45 D．3.5521．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0 D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根A．x＞2 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．﹣2＜x＜823．在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．524．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 1 3 4 …y …0 4 6 4 0 …根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）A．1B．2C．3D．425．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5 B．a≤﹣5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣328．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．A．3B．4C．6D．无法可求29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4B．3C．2D．130．如图，已知抛物线，直线y2=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②使得M大于3的x值不存在；③当x＜0时，x值越大，M值越小；④使得M=1的x 值是或．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③二次函数图像和性质习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：数形结合．分析：本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a 的正负，再与一次函数比较．）解答：解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．点评：函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．2．（2014•北海）函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．解答：解：a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），y=位于第一、三象限，没有选项图象符合，a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），y=位于第二、四象限，B选项图象符合．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．3．（2014•遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．解答：解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．故选：D．点评：此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．4．（2014•南昌）已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．解答：解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣=，﹣1＜＜0，∴对称轴在﹣1与0之间，故选：D．点评：此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置5．（2014•泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：图表型．分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解：（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．D．当﹣1＜x＜2时，y＞0当x＜，y随x的增大而减小考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．7．（2014•盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c 的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．8．（2014•淄博）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6B．5C．4D．3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．9．（2013•徐州）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．解答：解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．10．（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判断．解答：解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；D、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．11．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=﹣1时，y的值大于1 D．当x=﹣3时，y的值小于0考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答．解答：解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y＜1；故本选项错误；C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵﹣1＜1，∴x=﹣1时，y的值小于x=1时，y的值1，即当x=﹣1时，y的值小于1；故本选项错误；D、当x=﹣3时，函数图象上的点在点（﹣2，﹣1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．故选D．点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识．12．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c≤0②，所以①②联立即可求出c的取值范围．解答：解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x≤3时，总有y≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，①②联立解得：c≥3，故选B．点评：本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0），再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系．13．（2009•新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞0考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系．解答：解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），因为点（h，k）在点（m，n）的上方，所以k=n不正确．故选：B．点评：本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．14．（2009•丽水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的性质解题．解答：解：①抛物线开口向下，a＜0，所以①错误；②抛物线是关于对称轴对称的轴对称图形，所以②该函数的图象关于直线x=1对称，正确；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0，也正确．故选B．点评：本题考查了抛物线的开口方向，轴对称性和与x轴的交点等知识．15．（2009•南昌）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a c＜0B．当x=1时，y＞0C．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D．存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，逐一判断．解答：解：A、抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，所以ac＞0，错误；B、由图象可知，当x=1时，y＜0，错误；C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根小于1，一个根大于1，错误；D、存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大，正确．故选D．点评：本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，涉及的知识面比较广．16．（2008•仙桃）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）A．0B．﹣1 C．1D．2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：由“对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），代入抛物线方程即可解得．解答：解：因为对称轴x=1且经过点P（3，0）所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=0．故选A．点评：巧妙利用了抛物线的对称性．17．（2007•烟台）下列图中阴影部分的面积相等的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据坐标系的点的坐标特点，分别求出三角形的底和高，计算面积，再比较．解答：解：①与坐标轴的两个交点为（0，2）（2，0），阴影部分的面积为2×2÷2=2；②当x=1时，y=3，阴影部分的面积为1×3÷2=1.5；③与x轴的两个交点的横坐标为﹣1，1，两点间的距离为：1﹣（﹣1）=2，与y轴的交点为（0，﹣1）．阴影部分的面积为2×1÷2=1；④当x=1时，y=4，阴影部分的面积为1×4÷2=2．①④面积相等．故选D．点评：解决本题的关键是根据各函数的特点得到相应的三角形的边以及边上的高．18．（2007•达州）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D．x＜﹣4或x＞2考点：二次函数的图象．专题：压轴题．分析：先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y＞0时，x的取值范围．解答：解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，此时，﹣4＜x＜2．故选B．点评：解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形数结合，得出结论．19．（2007•泰州）已知：二次函数y=x2﹣4x﹣a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=3考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．专题：压轴题．分析：A、当x＜1时，在对称轴右侧，由此可以确定函数的单调性；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0，利用此即可判断是否正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集可以求出，然后就可以判断是否正确；D、根据平移规律可以求出a的值，然后判断是否正确．解答：解：二次函数为y=x2﹣4x﹣a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥﹣4，故选项错误；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故选项正确；D、原式可化为y=（x﹣2）2﹣4﹣a，将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+1）2﹣3﹣a．函数过点（1，﹣2），代入解析式得到：a=3．故选项正确．故选B．点评：此题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，以及图象的平移规律．这些性质和规律要求掌握．20．（2009•塘沽区一模）下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是（）x 3.3 3.4 3.5 3.6y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3.25 B．3.35 C．3.45 D．3.55考点：图象法求一元二次方程的近似根．分析：把三点代入解方程式，则代入y等于0时，x的值是多少即可．解答：解：代入各点坐标解得y=0.5x2﹣2.95x+4.23解得x=3.47左右则C最符合，故选C．点评：本题考查了一元二次方程的近似根，代入求近似值，再进行对比则最接近的即可．21．（2010•徐汇区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0 D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根考点：图象法求一元二次方程的近似根．专题：计算题．分析：结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．解答：解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．点评：此题主要考查了二次函数解析式的求法，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．22．（2013•沙湾区模拟）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．﹣2＜x＜8考点：二次函数的性质．分析：根据两函数交点坐标得出，能使y1＜y2成立的x的取值范围即是图象y2在图象y1上面是x的取值范围，即可得出答案．解答：解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），∵结合图象，∴能使y1＜y2成立的x的取值范围是：﹣2＜x＜8，故选：D．点评：此题主要考查了利用函数图象判定两函数的大小关系，此题型是中考中考查重点也是难点，同学们应熟练掌握．23．（2012•北辰区一模）在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：二次函数的性质；二次函数的图象．专题：数形结合．分析：根据二次函数的性质，结合图象可判断①②③；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断④；求出y2=2x+4与两坐标轴的交点画出直线y=2x+4，求出抛物线的解析式，根据y2﹣y1的符号即可判断出⑤．解答：解：由图象可知，在﹣3≤x≤0范围内，y1有最大值1、最小值﹣3，故①错误，②正确；由图象可知，当﹣3≤x＜﹣1时，y1随x的增大而增大，当﹣1＜x＜0时，y1随x的增大而减小，故③错误；由于y1的最大值是1，所以y1=ax2+bx+c与y=2没有交点，即方程ax2+bx+c=2无解，故④正确；如图所示，由于y2=2x+4经过点（0，4），（﹣2，0），由图可知，二次函数（a≠0）中，当x=1时，y=﹣1；x=﹣2时，y=0，所以，解得，故此二次函数的解析式为y1=﹣x2﹣2x，所以y2﹣y1=2x+4+x2+2x=（x+2）2，因为=（x+2）2≥0，所以y1≤y2，故⑤正确．故选B．点评：本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．24．（2011•苏州模拟）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 1 34…y …0 4 6 4 0 …根据上表判断下列四种说法：①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最高点：④抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为36．其中正确说法的个数有（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标为（1，6），且函数值6为最大值，由此判断．解答：解：观察表格可知，抛物线的顶点坐标为（1，6），且抛物线开口向下，故①②③正确；∵抛物线与x轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），顶点坐标为（1，6），∴抛物线的顶点、与x轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为×（4+2）×6=18，故④错误．其中正确说法是①②③．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质．关键是由表格观察出抛物线的顶点坐标，开口方向及与x轴交点坐标．25．（2010•河北）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）考点：二次函数的性质．专题：综合题；压轴题．分析：已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．解答：解：由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）故选D．点评：本题主要考查二次函数的对称性．26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．解答：解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3，正确；③x=1时，y=a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选B．点评：主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．27．已知二次函数y=x2+2（a﹣1）x+2．如果x≤4时，y随x增大而减小，则常数a的取值范围是（）A．a≥﹣5 B．a≤﹣5 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3考点：二次函数的性质．分析：抛物线开口向上，由x≤4时，y随x增大而减小，可知对称轴x=1﹣a≥4，解不等式即可．解答：解：∵二次函数对称轴为直线x=1﹣a，开口向上，∴当x≤1﹣a时，y随x增大而减小，∴1﹣a≥4，解得a≤﹣3．故选D．点评：本题考查了二次函数的增减性．抛物线开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小，右边y随x的增大而增大；抛物线开口向下时，在对称轴左边，y随x的增大而增大，右边y随x的增大而减小．28．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．A．3B．4C．6D．无法可求考点：二次函数的性质．分析：由于抛物线y=0.5x2+1是y=0.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，平行于y轴的直线l与2个函数图象的交点纵坐标是个定值2，通过截补法可知阴影部分的面积是6个单位长度．解答：解：抛物线y=0.5x2+1是y=0.5x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，即|y1﹣y2|=2．当直线l向右平移3个单位时，阴影部分的面积是：2×3=6．故选C．点评：主要考查了函数图象动态变化中的不变量，本题的关键点是能看出阴影部分的面积通过截补法是个平行四边形．29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4B．3C．2D．1考点：二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：解：通过计算发现，当O与C重合时，S△ABC=2，据此据此推断出以AB为底边的三角形的高，从图上找到点C1、C2，再作CC3∥AB，使得C3与C到AB的距离相等，若求出C的坐标，则存在C3点，使得以AB为底的三角形面积为2．解答：解：∵S△ABC=×2×2=2，可见，当O与C重合时，S△ABC=2，作CD⊥AB，∵AO=BO=2，。