（完整版）高中各种函数图像画法与函数性质

（完整版）高中各种函数图像画法与函数性质 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

二次函数 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--- 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ， 对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k| 11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质

规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0 ＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a＞0，a≠1). 因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数 y=log a x的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x，y=log 10 x，y=log 10

x,y=log 2 1 x,y=log 10 1 x的草图 图 象 a＞1 a＜1 性 质 (1)x＞0 (2)当x=1时，y=0 (3)当x＞1时，y＞0 0＜x＜1时，y＜0 (3)当x＞1时，y＜0 0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补 充 性 质 设y 1 =log a x y 2 =log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y 1 ＞y 2 当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y 1 ＞y 2 比较对数大小的常用方法有： (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

幂函数 幂函数n y x =随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1）点 ① 11 ,,1,2,3 32 a=时，幂函数图像过原点且在[) 0,+∞上是增函数． ② 1 ,1,2 2 a=---时，幂函数图像不过原点且在() 0,+∞上是减函数． ③任何两个幂函数最多有三个公共点．

幂函数y x α =（x ∈R ，α是常数）的图像 在第一象限的分布规律是： ①所有幂函数y x α =（x ∈R ，α是常数） 的图像都过点)1,1(； ②当 21 , 3,2,1=α时函数y x α =的图像都过 原点)0,0(； ③当1=α时，y x α =的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）； ④当3,2=α时，y x α =的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ） ④ 21 = α时，y x α =的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ⑤ 1-=α时，y x α =的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如 4c ） 当0>α时，幂函数y x α =有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(),0,0(； （2）在第一象限内都是增函数； （3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。 当0=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(； （2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的； （3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近； （4）在第一象限内，过点)1,1(后， α 越大，图象下落的速度越快。无论α取任 何实数，幂函数y x α =的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。 对号函数 函数x b ax y + =（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似 符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，a b x b ax 2≥+