一次分式型函数的对称中心
一次分式型函数(1课时)
一次分式型函数一、 初中相关知识整理1、 函数的概念：在某个变化的过程中，有两个变量y x ,，如果对于x 的每一个确定的值y 都有唯一确定的值，那么就说x y 是的函数，x 叫做自变量。
（)(x f y x y =的函数可以记作是）；2、 函数表示方法：解析法、列表法、图像法；3、 函数)0(≠+=k b kx y 叫作一次函数，图像是一条直线；当0=b 时，函数)0(≠=k kx y 叫作正比例函数，图像是过原点的直线；4、 函数()0≠=k xk y 叫作反比例函数，图像是由两支曲线组成，当0>k 时，图像分布在一、三象限；当0<k 时，图像分布在二、四象限。
二、 目标要求在高中阶段，我们将会进一步讨论反比例函数的性质，将会遇到“一次分式型函数”，我们通过回顾反比例函数，补充“一次分式”函数，利用平移的思想解决一次分式型函数的图像、性质等。
用例题和练习提高解决反比例函数问题的能力。
通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神。
三、必要补充 反比例函数()0≠=k xk y 的图像是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）我们可以称函数)0(≠++=a bax d cx y 为一次分式型函数 ()ab x a bc ad a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++=2（分离常数法） ∴函数b ax d cx y ++=，一般可化为()0≠-=-k mx k n y 的形式，其中k n m ,,是常数，令n y y m x x -=-='',，则''xk y =，这是一个反比例函数。
因此，一次分式型函数)0(≠++=a b ax d cx y ，本质上是一个反比例函数，两者的图像，一般只相差一个平移。
四、例题讲解1基本函数作图例1、画出下列函数的图像：（1）xy 3=；（2）x y 4-=（图略） 2、图像平移例2、指出下列函数的平移变换：（1） 由()2122+-==x y x y 到 （2） 由211-==x y x y 到 （3） 由2121--=-=x y x y 到 解：⑴ 向右平移1个单位，向上平移2个单位;⑵ 向右平移2个单位；⑶ 向右平移2个单位，向上平移2个单位例3、请你说明函数232++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系。
函数对称中心的求解方法探究及应用
函数对称中心的求解方法探究及应用函数的对称性是函数的一个重要性质.充分体现了数学的形式美，给学生以美的感受的同时，锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象.函数的奇偶性就是函数的对称性的特例．如何探求函数的中心对称性呢？为此，本文将函数的中心对称性的探求策略及简单应用，整理如下，以飨读者.一、反比例函数图解法初中数学的学习中，我们接触了一次函数、反比例函数是中心对称图形，自然可以借助于常见的基本初等函数来探求等次分式函数的图象的对称中心.函数()()(),0cx d c ad bcf x ad bc a ax b a c ax b +-==+≠≠++图象的两条渐近线方为：b x a =-，cy a =，它的对称中心是,b c a a ⎛⎫-⎪⎝⎭.【例1】函数()1122ax f x a x +⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭的对称中心是()2,5-，则实数a 的值是.【解析】()()2121222a x aaf x a x x ++--==+++，其对称中心为()2,a -，所以5a =.【评注】上述分式函数通过分离常数，求出函数渐近线方程，这两条渐近线的交点，便是函数图象的对称中心。
【变式1】函数()321xf x x -=，该函数图象的对称中心是.遇到抽象函数的对称中心的探求，从图象平移变换的角度不易理解，这【解析】用2x -替换，得4f x f x -=-，可知，函数f x 关于点2,0对称，函数()()3f x x a =+的对称中心是(),0a -，则2-=a ，所以()()33124.f f -+=-【思考1】上面条件()32f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭说明了函数对称中心是3,04⎛⎫⎪⎝⎭，具有一般性吗？定义在R 上的函数()f x 满足()()2f a x f x -=，则函数图像关于022a x xx a -+==对称，即点()(),x f x 与()()2,a x f x -点关于x a =对称，这是大家熟知对称轴的计算公式.那么()()2,a x f x -关于x 轴对称翻折成()()2,a x f x --，那么点()(),x f x 与()()2,a x f x --点关于(),0a 中心对称，此时满足()()2f a x f x -=-，因此函数满足()()2f a x f x -=-，则函数图像必然关于(),0a 中心对称.【思考2】如果把对称点()()2,a x f x --向上抬高2b 单位,得到()()2,a x f x --与()(),x f x 的连线的中点上移几个单位？能得到什么结论？若对称点()()2,a x f x --向上平移2b 单位，根据中位线性质，其连线的中点也就是对称中心上移b 单位变为(),a b ，也就是若有()()22,f a x b f x -=-则函数对称中心变为(),a b .类似结论还有，()()2f a x c f b x +=+-，则()y f x =y =f (x )的图象关于点,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称．三、奇函数图像转化法函数()f x 的图像向右移动a 个单位，再向上平移b 个单位，得到奇函数()f x a b -+，则原函数图像关于点( )a b --,成中心对称图形.【例3】已知函数1y x =的图像的对称中心为()0,0;函数111y x x =++的图像的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭;函数11112y x x x =++++的图像的对称中心为()1,0-;……;由此推测函数111112y x x x x n=++++++ 的图像的对称中心为．【解析】11()1f x xx =++图像右移12个单位后变成函数111()11222f x x x -=+-+.该函数是奇函数，故原函数中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.函数111()12f x x x x =++++图像右移1个单位后，变成奇函数111(1)11f x x x x -=++-+，故原来的函数对称中心为()1,0-.由此1111()12f x x x x x n =++++++ ，图像右移2n 个单位后，变为奇函数111111+++212122222n f x n n n n n x x x x x x ⎛⎫-=++++⎪⎝⎭--+-++-+，因此原函数对称中心为,02n⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式3】若()11111234g x x x x x =+++++++，求()()5g x g x +--=.【解析】51111311322222g x x x x x ⎛⎫-=+++ ⎪⎝⎭--++是奇函数，()g x 对称中心为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为点(),x y 关于5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的对称点是()5,x y ---，所以()()5g x g x --=-，故()()5g x g x +--=0.【变式4】函数()11111232013f x x x x x =++++++++ 图像的对称中心是（）A．()10060-，B．()10070-，C．()10060，D．()10070，【解析】()111110071006100510051006f x x x x x -=++++--++ ，则()1007f x -为奇函数，所以()f x 的图像关于点()10070-，对称.所以选B.【变式5】已知函数()1220121232013x x x x f x x x x x +++=++++++++ ，则()()02014f f +-=_______．【例4】已知函数()2112cos 221x xf x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-，其图像的对称中心是【变式6】(2013全国)已知函数误的是().A．0x R ∃∈，()00f x =B．函数()f x 的图象是中心对称图形C．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减D．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=【解析】若0c =，则有()00f =，所以A 正确．由()32f x x ax bx c =+++，得()32f x c x ax bx -=++，因为函数()32f x x ax bx =++的对称中心为()0,0，所以()32f x x ax bx c =+++的对称中心为()0,c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间()0,x -∞单调递减是错误的，D 正确．选C.【变式7】()()311f x x =-+，则()()()()()43056f f f f f -+-+++++=．【解析】()()311f x x =-+是由3y x =平移得到的，由于3y x =是奇函数，图像关于原点对称，因此()f x 的对称中心为()1,1，有()()22f x f x +-=，所以()()()()()43056f f f f f -+-+++++ ()()()()()()()4635021f f f f f f f =⎡-+⎤+⎡-+⎤++⎡+⎤+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 52111=⨯+=．四、导数拐点法【例5】对于三次函数()()320,f x ax bx cx d a =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断下列命题：①任意三次函数的图像都关于点,33bb f aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称；②存在三次函数()y f x =，()0f x ''=有实数解0x ，点()()00,x f x 为函数()y f x =的图像的对称中心；③存在三次函数的图像有两个及两个以上对称中心；④若函数()3211513cos()32122g x x x x x π+=-+-+-，则12342012100620132013201320132013g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中正确命题的序号为(把所有正确命题的序号都填上).【解析】对于①②明显正确；对于③，任意的三次函数满足()62f x ax b ''=+，而()0f x ''=只有一个根，所以任意三次函数的图像只有一个对称中心,33bb f aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③错；对于④，令()3211533212u x x x x =-+-，()1cos 2v x x π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()21u x x ''=-，所以()u x 的图像关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，同理，函数()v x 的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以122012122012201320132013201320132013u u u v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 120121006100621201220132013u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，④错.故正确命题的序号为①②.【评注】三次函数的对称中心的横坐标实质上即为其二阶导函数的零点。
一次分式函数
归纳： 图象向右平移1个单位； 图象向下平移2个单位，等等．
联系和反比例函数的关系
提出问题2：作函数 的图象，并归纳一次型分式函数 图象与函数函数 的图象的关系是什么？
一次分式型函数 （ ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．作函数 的图象可用“二线一点”法． 和 是双曲线的两条渐近线，点 是图象的中心对称点．
学生：反函数法、单调性法、分离系数法等求解，
一题多解
例4已知函数 ，其中 。
(1)当函数 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值及不等式 的解集；
(2)若函数 在(－1,+ )上单调递减，求a的取值范围.
通过例题体会综合考查一次分式函数图象和性质的应用
7、教学评价设计：一次分式函数问题在高考试题中频繁出现，尤其是在近几年，各地实行自主命题后，高考试题更是百花齐放，一次分式函数试题的出现频率就更高。但不管怎样，只要我们抓住了其性质，一次分式函数问题就可迎刃而解。这样的补充课是及时有用的。
激发学习兴趣，形成积极主动的学习方式;突出数学的人文价值，提高数学文化品味;注重构建学生共同的知识基础；让学生成为课堂学习的主体，教师成为课堂上的主持人，把思考，讨论，研究的时间还给学生，让教师成为独具慧眼的发现者，善于发现学生的长处，成为学生的热情观众，精彩时报以掌声，给予充分的肯定，失误时，评论切磋，提出中肯的意见。
对于一次型分式函数 图像作法有几步？
（1）先确定x与y的取值范围： ， ，即找到双曲线的渐近线 ， ；
（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象
归纳总结
例3.（考查一次分函数的定义域和值域）求函数y= 的值域.
分式函数图象(可编辑修改word版)
分式函数在我们的学习中常见到复杂的分式结构的函数式，通常采取“分离”的方法转化成两种主要类型：（1）一次分式型 f (x ) =ax + b cx + d (ad ≠ cb ) ；（2）倒数结构型 f (x ) = ax + b 。
x下面画出两种类型函数的示意图，以便从中看出函数的性质。
一、一次分式型 f (x ) = ax + b(ad ≠ cb )cx + d d a d a图象是以直线 x = - , y = c c （恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(- 2x -1, ) ， 通c c常用代点法确定两支双曲线的位置。
例如： y = y3x + 5的图象如图所示：2 3O- 5 - 1 35y = 23x二、倒数结构型 f (x ) = ax + bx（1） a > 0 且b < 0 时，示意图如下：y- -b- b aaOx此时 f (x ) 为奇函数，分段递增， 当 x > 0(或x < 0) 时， y ∈ R（2） a > 0, b > 0 时，示意图如下：y2 aby = ax可看成以直线 y = ax 与 y 轴为渐近线的双曲线， 两个顶点 A 、B 可由不等式中的均值定理确定， 此时 f (x ) 的单调性、奇偶性、定义域与值域、 对称性可从图中看出结论。
Ob xaB注意：当 a < 0, b > 0 时或 a < 0, b < 0 时，可转化为上述两种。
题型17 几类函数的对称中心及应用
题型17 几类函数的对称中心及应用【方法点拨】1.三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为(0x ，0()f x )，其中0()0f x ''=，即00()620f x ax b ''=+=，03b x a=-. 记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程02bx a=-，分母中23→. 2. 一次分式函数（或称双曲函数）()(0)cx d f x ac ax b -=≠-的对称中心为(,)b ca a. 记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）. 3. 指数复合型函数()xn f x a m =+(01,0)a a mn >≠≠且的对称中心为(log ,)2ma n m. 记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.【典型题示例】例1已知函数2()231x f x x =-+，则满足不等式()(32)2f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】231x y =+的对称中心是(0,1)，其定义域为R 且单减 令2()()12131xg x f x x =-=--+，则()g x 为R 上的单调递减的奇函数 由()(32)2f a f a ++>得(32)11()f a f a +->-，即(32)()g a g a +>- 因为()g x 为奇函数，故()()g a g a -=-，所以(32)()g a g a +>- 又()g x 在R 上单减，所以32a a +<-，解之得12a <-所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.例2 （2021·江苏镇江中学·开学初）设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()f x ''＝0有实数解0x ，则称点(0x ，0()f x )为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则128()()()f a f a f a +++＝ ．【解析】令()24=0f x x ''=-得2x =，(2)1f =3218()2133f x x x x =-++对称中心为()2,1，所以()(4)2f x f x +-=对于任意x R ∈恒成立因为27n a n =-，所以182736454a a a a a a a a +=+=+=+=所以18273645()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+=+= 所以128()()()8f a f a f a +++=．【巩固训练】1. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）A 、0B 、7C 、14D 、21 2. 函数y=24x y x -+=-的对称中心是 ． 3. 已知函数2()1ax af x x +-=+（其中a R ∈）图象关于点P (－1，3)成中心对称，则不等式()1f x x >-的解集是 ．4. 在平面直角坐标系中，已知直线与曲线依次交于 三点，若点使，则的值为_____.5. 已知函数1()21xf x a =+-的图象关于坐标原点对称，则实数a 的值为_____. 6. 已知函数31()231x xf x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 . 7.已知4()42xx f x =+，则12310001001100110011001f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 ．8.已知函数()x f =ax x -+-2，若对*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．3()(3)1f x x x =-+-{}n a 127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=127a a a ++⋅⋅⋅+=xOy k kx y 22-+=x x y +-=3)2(2C B A ,,P2|PC PA |=+||PB【答案与提示】1.【答案】D【提示】根据函数值之和求自变量之和127a a a ++⋅⋅⋅+，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心.函数可以视为由3(3)y x =-与1y x =-构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如3()2(3)(3)f x x x -=-+-，引入函数3()(3)2F x f x x x =+-=+，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点(3,2)中心对称.2.【答案】（4，-1） 【解析】26144x y x x -+==--- 3.【答案】{}103x x x <-<<或【解析】函数2()1ax a f x x +-=+的对称中心为(－1，a )，与P(－1，3)比较得a ＝3.此时31()1x f x x -=+，不等式()1f x x >-，即31311(1)011x x x x x x -->-⇔-->++ (3)0(1)(3001x x x x x x -⇔<⇔+-<+，由序轴标根法即得解集为{}103x x x <-<<或. 4.【答案】1【提示】过定点（2,2）， 对于三次函数，令()12(2)0f x x ''=-= 得2x =，又(2)2f =，所以也关于点（2,2）对称，所以2PA PC PB +=，1PB =.5.【答案】－16.【答案】12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】313122()2212313131x x xx x f x x x x -+-=+=+=-++++的对称中心是(0,0)，其定义域为R 且单增（下略）.7.【答案】500【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若01a <<，尝试去求()(1)f a f a +-的值，易得()(1)1f a f a +-=.127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=3()(3)1f x x x =-+-3()(3)1f x x x =-+-3()(3)1f x x x =-+-k kx y 22-+=x x y +-=3)2(2x x y +-=3)2(2【思路二】主动发现函数的对称性，42()14242x x xf x ==-++，设2()42xg x =+，则其对称中心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的对称中心也为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故()(1)1f x f x +-=.8.【答案】.65<<a。
巧借齐一次分式函数模型解决数学问题
巧借齐一次分式函数模型解决数学问题李鑫斌(福建省龙海第一中学ꎬ福建龙海３６３１００)摘㊀要:齐一次分式函数模型是一类重要的函数模型.文章举例说明齐一次分式函数在数学中的应用ꎬ阐述借助模型化思想解决数学问题的重要性ꎬ以提高学生的数学分析能力ꎬ解题能力ꎬ培养数学建模素养.关键词:齐一次分式ꎻ函数图象ꎻ数学建模中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－００４９－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:李鑫斌(１９９４.２－)ꎬ从事高中数学教育研究.基金项目:福建省教育科学 十四五 规划２０２２年度 协同创新 (含帮扶项目)专项课题 新课程大单元理念下高中数学集体备课模式构建 (项目编号:Ｆｊｘｃｚｘ２２－０７３)㊀㊀齐一次分式函数是高中阶段重要的基本初等函数ꎬ可以看成是反比例函数的推广.从数学建模的角度看待该函数ꎬ可以将齐一次分式函数看成一种模型.借助齐一次分式函数模型解决数学问题往往可以化繁为简.形如ｆｘ()＝ａｘ＋ｂｃｘ＋ｄ的函数称为齐一次分式函数ꎬ图象有对称中心－ｄｃꎬａｃæèçöø÷ꎬ两条渐近线ｘ＝－ｄｃꎬｙ＝ａｃ.函数的图象夹在两条渐近线内.１在指数函数中的应用例１㊀已知函数ｆｘ()＝２ｘ－１２ｘ＋１ꎬ考查函数ｆｘ()在定义域上的单调性及值域.解析㊀定义域ｘɪＲ.令ｕ＝２ｘ>０ꎬｙ＝ｕ－１ｕ＋１.画出齐一次分式函数ｙ＝ｕ－１ｕ＋１的图象ꎬ如图１.图１㊀ｙ＝ｕ－１ｕ＋１的图象由于当ｕɪ０ꎬ＋ɕ()时ꎬｙ＝ｕ－１ｕ＋１单调递增ꎬｕ＝２ｘ在定义域上单调递增ꎬ所以函数ｆｘ()在Ｒ上单调递增.由于当ｕɪ０ꎬ＋ɕ()时ꎬｙɪ－１ꎬ１()ꎬ故ｆｘ()ɪ－１ꎬ１().２对数函数中的应用例２㊀已知函数ｙ＝ｆｘ()＝ｌｏｇａｘ－２ｘ＋２ꎬ其中ａ>０９４且ａʂ１.若对于ｘɪ－４ꎬ－３[]ꎬｆｘ()>ｌｏｇａ(ａ２－５ａ＋９)恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.解析㊀当ｘɪ－４ꎬ－３[]时ꎬ画出齐一次分式函数ｙ＝ｘ－２ｘ＋２的图象ꎬ如图２所示.图２㊀ｙ＝ｘ－２ｘ＋２的图象当ｘɪ－４ꎬ－３[]时ꎬｙ＝ｘ－２ｘ＋２单调递增ꎬｙɪ３ꎬ５[]ꎬ即ｘ－２ｘ＋２ɪ３ꎬ５[].由已知可得ｌｏｇａａ２－５ａ＋９()<ｆｘ()ｍｉｎ.当ａ>１时ꎬｆｘ()ɪｌｏｇａ３ꎬｌｏｇａ５[]ꎬ则ｌｏｇａａ２－５ａ＋９()<ｌｏｇａ３ꎬ此时２<ａ<３ꎻ当０<ａ<１时ꎬｆｘ()ɪｌｏｇａ５ꎬｌｏｇａ３[]ꎬ则ｌｏｇａａ２－５ａ＋９()<ｌｏｇａ５ꎬ此时０<ａ<１.所以ａɪ０ꎬ１()ɣ２ꎬ３().３在三角函数中的应用例３㊀求函数ｆｘ()＝ｓｉｎｘ２ｓｉｎｘ＋１的值域.解析㊀令ｔ＝ｓｉｎｘꎬｔɪ－１ꎬ－１２[öø÷ɣ－１２ꎬ１æèç].则ｙ＝ｔ２ｔ＋１.画出图象ꎬ如图３所示.图３㊀ｙ＝ｔ２ｔ＋１的图象显然当ｔɪ－１ꎬ－１２[öø÷ɣ－１２ꎬ１æèç]时ꎬｙɪ－ɕꎬ１３æèç]ɣ１ꎬ＋ɕ[).４在数列中的应用例４㊀设等差数列ａｎ{}满足ａ１＝１ꎬａｎ>０(ｎɪＮ∗)ꎬ其前ｎ项和为Ｓｎꎬ若数列Ｓｎ{}也为等差数列ꎬ则Ｓｎ＋１０ａ２ｎ的最大值是.解析㊀由已知有２Ｓ２＝Ｓ１＋Ｓ３ꎬ２２ａ１＋ｄ＝ａ１＋３ａ１＋３ｄ.故ｄ＝２.则ａｎ＝２ｎ－１ꎬＳｎ＝ｎ２.所以Ｓｎ＋１０ａｎ２＝ｎ＋１０()２２ｎ－１()２＝ｎ＋１０２ｎ－１æèçöø÷２.画出齐一次分式函数ｙ＝ｘ＋１０２ｘ－１图象.如图４.图４㊀ｙ＝ｘ＋１０２ｘ－１的图象当ｘɪ１２ꎬ＋ɕæèçöø÷时ꎬｙ＝ｘ＋１０２ｘ－１单调递增.由于ｎɪＮ∗ꎬ所以当ｎ＝１时ꎬＳｎ＋１０ａ２ｎ有最大值ꎬ为１２１.５在圆锥曲线中的应用例５㊀已知双曲线Ｃ的离心率为ｅꎬ左㊁右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ点Ｍ在Ｃ的左支上运动且不与顶点重合ꎬ记Ｉ为ΔＭＦ１Ｆ２的内心ꎬλ＝ｔａｎøＩＦ１Ｆ２ｔａｎøＩＦ２Ｆ１ꎬ若ｅɪ２ꎬ４[]ꎬ则λ的取值范围为.解析㊀设ΔＭＦ１Ｆ２内切圆的半径为ｒꎬ则０５ｔａｎøＩＦ１Ｆ２＝ｒｃ－ａꎬｔａｎøＩＦ２Ｆ１＝ｒｃ＋ａ.故λ＝ｃ＋ａｃ－ａ＝ｅ＋１ｅ－１.画出齐一次分式函数ｙ＝ｘ＋１ｘ－１图象ꎬ如图５.图５㊀ｙ＝ｘ＋１ｘ－１的图象当ｘɪ２ꎬ４[]时ꎬｙ＝ｘ＋１ｘ－１单调递减.故当ｅɪ２ꎬ４[]时ꎬλɪ５３ꎬ３[].６综合性问题例６㊀已知函数ｆｘ()＝１－ｘｘ＋１２(ｘ>０).当ｍ>ｎ>０时ꎬ函数ｆｘ()的定义域与值域均为ｍꎬｎ[]ꎬ求所有ｍꎬｎ的值.解析㊀先画出齐一次分式函数ｙ＝１－ｘｘ的图象(如图６)ꎬ接着画出ｙ＝１－ｘｘ的图象(如图７)ꎬ最后画出ｙ＝１－ｘｘ＋１２的图象(如图８).图６㊀ｙ＝１－ｘｘ的图象当０<ｘɤ１时ꎬｙ＝１ｘ－１＋１２＝１ｘ－１２.当０<ｎ<１<ｍ时ꎬｆｘ()在ｘɪｎꎬｍ[]的最小值为ｆ１()＝１２.图７㊀ｙ＝｜１－ｘｘ｜的图象㊀㊀㊀㊀图８㊀ｙ＝｜１－ｘｘ｜＋１２的图象又ｆｘ()ɪｎꎬｍ[]ꎬ所以ｎ＝１２.由于当ｎ＝１２时ꎬｆ１２æèçöø÷＝３２ꎬ故当ｘɪ１２ꎬｍ[]时ꎬｆｘ()ɪ１２ꎬ３２[]ꎬ所以ｍ＝３２.齐一次分式函数在高中课本中并没有系统地讲解ꎬ但是在平时的解题中不乏出现它们的身影.高考试题中有时也会涉及到ꎬ主要考查图象的识别及其性质的应用[１].本文从数学建模的观点出发ꎬ将该函数看成一种模型ꎬ简要介绍了利用该模型来求解函数的值域问题.对于分式中的ｘꎬ除了把它看成单一的变量之外ꎬ更应该看成一个整体ꎬ是某一个表达式ꎬ如ｓｉｎｘꎬｃｏｓｘꎬａｘꎬｘ等ꎬ这是整体思想的一个体现[２].另外对于本文所举例题ꎬ其实不乏多解ꎬ但是综合分析比较ꎬ运用本文方法不仅容易理解㊁接受ꎬ而且容易将其推广至一类题目ꎬ具有探究价值.正如马丁 迦德纳所言:数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法解决复杂问题.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.普通高中数学课程标准解读(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]１５。
(完整版)分式函数的图像与性质
分式函数的图像与性质1、分式函数的概念形如22(,,,,,)axbx c y a b c d e fR dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，23y x =+等。
※ 学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c=-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
代数式变形在高中数学中的应用(一)分式函数应对策略之分离常数法
代数式变形在高中数学中的应用（一）分式函数应对策略之分离常数法代数式变形在高中数学中应用十分广泛。
其中的分离常数法是研究分式函数的变形的常用方法。
分式型函数解题的关键是采用拆项使分式的分子为常数，或拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式。
通过这种变形，转变成一次函数，二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等我们熟悉的基本函数，然后根据它们的性质求解。
主要的分式函数有：ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+，等几种形式，下面分别加以讨论。
1、一次分式函数： 形如(),(0,)ax b f x c ad bc cx d+=≠≠+ 函数叫一次分式函数。
利用分离常数法变形如下：(),ad ad ad ax b b ax b a c c c f x cx d cx d c cx d++--+===++++ 设ad b m c -=， 则： ()ax b f x cx d +=+，不难看出()f x 像可由反比例函数 m y cx=图像经过平移取得。
从而很轻易解答如下问题：对于函数 ()(),()ax b a m ad f x f x m b cx d c cx d c+=⇔=+=-++ （1.）定义域是：(,)(,)d d c c -∞--+∞； （2.）值域是：(,)(,)a a cc -∞+∞；（3.）对称点为：(,)d a c c -，对称轴为：(()a d y x c c-=±+； （4.）单调性为： 当0m >时，()ax b f x cx d +=+ 在 (,)d c -∞- 上及 (,)d c-+∞ 上都是增函数，且(,)d x c ∈-∞-时，()(,)a f x c ∈-∞，(,)d x c ∈-+∞时，()(,)a f x c ∈+∞； 当 0m <时，()ax b f x cx d +=+ 在 (,)d c -∞- 上及 (,)d c-+∞ 上都是减函数，且(,)d x c ∈-∞-时，()(,)a f x c ∈+∞，(,)d x c ∈-+∞时，()(,)a f x c ∈-∞；例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.例2 已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x bx b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例3 已知 ()1a bx f x x a -=-- 的图象对称中心为 (3,1)- ，求 ,ab 的值。
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一次分式型函数的对称中心
一次分式型函数，即函数的分子和分母都是一次函数的函数表达式。
其一般形式为f(x) = (ax + b)/(cx + d)，其中a、b、c、d为常数，且c和d不能同时为0。
在这篇文章中，我们将讨论一次分式型函数的对称中心及其性质。
我们来定义一次分式型函数的对称中心。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，当满足f(-d/c)存在时，我们称点(-d/c, f(-d/c))为该函数的对称中心。
接下来，我们将讨论一次分式型函数对称中心的性质。
首先，我们可以证明一次分式型函数的对称中心一定在直线x = -d/c上。
这是因为在该直线上，分母为0，但分子不为0，从而可以得到一个有定义的函数值。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，如果它的对称中心存在，那么它一定是该函数的一个不动点，即f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))。
这是因为对称中心的横坐标等于f(x)的自变量x，纵坐标等于f(x)的函数值。
进一步地，我们可以通过函数的图像来观察一次分式型函数的对称中心。
以f(x) = (2x + 1)/(3x + 2)为例，我们可以通过绘制函数的图像来找到其对称中心。
在图像上，我们可以看到一条直线x = -2/3，该直线与函数的图像有一个交点，即对称中心。
这个交点的
坐标为(-2/3, -1/3)。
一次分式型函数的对称中心还具有以下性质：
1. 对称性：对称中心将函数图像关于直线x = -d/c进行对称。
这意味着当点P(x, y)位于函数图像上时，对称中心A(-d/c, f(-d/c))关于直线x = -d/c的对称点P'也在函数图像上。
2. 不动点性质：对称中心满足f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))，即函数在对称中心处的函数值等于对称中心的坐标。
3. 发散性：对称中心是一次分式型函数的“奇点”，即在对称中心处，函数的值可能趋于无穷大或无穷小。
我们需要注意的是，并非所有一次分式型函数都有对称中心。
只有当分母的系数c和常数d不同时为0，即c和d不能同时为0时，才存在对称中心。
当c和d同时为0时，该一次分式型函数的图像是一条直线，而不是一个分式型函数。
通过本文的介绍，我们详细了解了一次分式型函数的对称中心及其性质。
对称中心不仅是函数图像的特殊点，也是函数的重要性质之一。
深入理解和应用一次分式型函数的对称中心，有助于我们更好地理解函数的图像和性质，进一步拓展我们的数学知识。