第10章 粘弹性(固体)材料的本构方程(线性)

第10章 粘弹性（固体）材料的本构方程（线性）1．概述a ）基本的典型模型（根据流变学分类法）弹性：没有记忆（与历史无关，没有耗散），可逆的，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关。

塑性：有记忆（与历史有关，有耗数），不可逆，没有时效，瞬时响应，与加载速率无关，比拟元件粘性：有记忆，有耗散，不可逆，有时效，比拟元件多数的工程材料，可用上述三者之一，或三者中的某种组合来描述（在一定的条件下）。

b ）粘弹性材料该材料既有粘性，又有弹性。

变形=瞬时效应+随时间而变化的变形（后效变，滞后部分）（弹性）（粘性流动） c ）两种典型的特性试验弹性：E / ,00σεσσ==，若,10=σ 则 F E ==/1ε（柔度）0 ,εσεεE ==0，若 10=ε，则 E =σ（模量）粘弹性：)() ,t E t 00=(=σεσσ （由于)t (ε增加，则)(t E 减小，材料软化）)() ,10t F t =(=εσ蠕变柔量松驰实验：0)()( ,εσεεt E t ==0)() ,10t E t =(=σε 松驰模量线性粘弹性本构方程，用叠加原理。

有三种表述形式：微分算子型，积分型——遗传积分，复数型（本次不介绍）。

2．微分算子型：（a ）两个基本的比拟模型（非其正的材料模型，用于定性的说明） ①Maxwell 模型γγεησεσ == e e E 为元件的本构方程 系统的本构方程：（σ与ε的关系）γγεεεσσσ====e e γγεεεεησεσ +===e e E , , 则： ησσε+=E （接近于粘弹性流体） ② Kelvin （V oigt ）模型元件的本构方程：γγεησεσ == e e E γγεεεσσσ==+=e e系统的本构方程：则：εηεσ +=E （接近于粘弹性固体） （b ）推广到一般情况：定义：0d :d P r pr r p t =∑ 0d :dt Q rpr r q =∑[)][)]P Q t t σε(=(为微分算子型本构方程。

其中：r r q p ,为材料常数，若r r q p ,与时间无关，则称材料无老化。

对于Kelvin 材料：10=p ，（其余为零）η==10 ,q E q ，其余为零。

对于Maxwell 模型 E p p 1,10=1=η，其余为零。

11=q 其余为零。

（c ） Laplace 变换：设)(t f ⎩⎨⎧=≤=>≠=)0)(:(0 ,00,0)()(t f t t t f n 同时有 ⎰∞-)=0d ()(τττs e f s f)(d ()(d ()(0)()()(0s f s rffs sf e f s f ns n n s s =)==)=⎰⎰∞-∞-ττττττ对Maxwell 模型)( )) )(1)()s Fs s s Fs s s E s s S ()+=(+(=+=(σγσγσσησε 则 γεσ+(=(Fs s s s ))利用逆变换，可求出)t (σ 对于Kelvin 模型：))()())s s E s s s E s (+=+(=(εηεηεσ或：sE s s ησε+(=))，利用逆变换，可求)t (σ或)(t ε。

对于一般情况：εσ)()(s Q s P =其中：∑∑==qr r P rr s q s Q sP s P 0)( )(均为多项式。

则 εσ)()(s P s Q =若已知))t t (→→,→(σσεε查表上式查表具体的方法：1）并联n 个Maxwell 模型εεγσ)()(s P s Q s s n i i 通分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑ 2）串联n 个Kelvin 模型σσηε)()(11s P s Q s E n i i i通分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=3．粘弹性定律，对应原理（相应原理）线弹性本构方程：⎩⎨⎧==kk kkij ij ij ij k e s Ge s εσ3):,:( 2应变偏张量应力偏张量 线性粘弹性本构方程：⎩⎨⎧''='''=')]([)]([)]([)]([t Q t P t e Q t s P ii ii ij ij εσ 粘弹性定律 这两类材料的本构方程有如下对应关系。

Q P O P Q Q P Q P Q P Q P Q G K KG E P Q k P Q G '''+''''''=''+''''''''''⋅↔+=''''↔''↔232339/3 /2本构方程的对应原理 例如：)23)t QP Q P Q Q t E ('''+''''''=(↔=εσεσ)3)]2[t Q Q t Q P Q P ('''=('''+'''∴εσ为一维线性粘弹性材料本构方程。

σ两类问题的解的对应原理。

线弹性：i i i j ij kk kk ij ij i jij i j ij ij uu p n K Ge S f u u ˆ ˆ3 20)(21,,=====++=σεσσε线粘弹性：)(ˆ)(u )(ˆ)()]([)]([ )]([)]([0)()])()([21)(i,,,t u t t P n t t Q t P t e Q t s P t f t t u t u t i i j ij kk kk ij ij i jij i j j i ij ==''='''='=+(+=σεσσε进行Laplace 变换以后，有i i i j ij kkkk ij ij i jij i j j i ij uu p n s P s Q e s P s Q s f u u ˆ )()( )()(0)(21,,,==''''=''==++=σεσσε变换后所示的解与线性解的对应关系)()(3 )()(2ˆˆ ˆˆ s P s Q K s P s Q G u u P P f f u u i i i i i i i i ij ij ij ij ''''↔''↔↔↔↔↔↔↔εεσσ 但注意：接触问题不能对应，断裂力学不能对应，因为边界在发生变化，上述只是边界条件不变时才可用。

4. 积分型（a ）Boltzman 叠加原理 引入H 函数⎩⎨⎧<=≥==000 1)(t t t Hσσ⎪⎩⎪⎨⎧-=(-=(⎩⎨⎧)-=()-=⎩⎨⎧<==(=∑∑0i i i i i i t F t t H t t F t t H t t F t F t t H )())()()()0 0)(( )())(000τσετσστσετσσσεσσ Boltzman 原理（b ）V oltera 遗传积分上面中：i σ无穷小，i i ττ-+1：无穷小，∑无穷多项相加t t F t t≤≤∞-)()-=(⎰∞-ττττστε d d d () 称为Voltera 遗传积分若当0=:-∞→στ，分部积分⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-∞-)-)(-(=)-)(-)()-=-)⋅=(t tt ttt F t F t F t F FF t ττττσσττττστστσσεd d (d ))0( d d (d |( d d()（没有什么实际意义）（c ）卷积分τττσττττστεd d d ( d d d ()000)()-+)()-=(⎰⎰++-t t F t F t则：⎰)()-+(0)=(tt F t F t τττστσεd d d ()() （*） 卷积分：设)(),t t ψϕ( 当0<t 时均为零 定义：⎰0)()-(+(0)(:=*tt t τττψτϕψϕψϕd d d )d 代入（*）式，有σεd *)()t F t =(（d ）)(t ε，以)t (σ为独立变量。

⎰∞)()-=(tt F t τττστεd d d () )(t F 核心函数，材料特性函数，蠕变柔量。

132)(τσ要已知，要找出其全部历史，方可积分。

以)t (ε为独立变量，)t (σ为响应，即状态函数。

τττετσd d d ())()-=(⎰∞-tt E t )(t E 核心函数，材料特性函数，松驰模量。

)(τε要已知，要找出其全部历史，方可积分。

对于0=t ，有突变的应变情况：⎰0)()-+(0)==(tt E t E E t τττετεεσd d d ()(d *) （e ）三维应力状态（推广要一般）τττετσd d (d ()())-=⎰∞-kl tijkl ij t E t （*） )(t E ijkl 对j i ,和l k ,对称，但一般对),(j i 和),(l k 不对称，即klij ijkl E E ≠所以线弹粘性材料一般有36个特征函数。

对于各向同性材料：jk il jl ik kl ij ijkl t t t t E δδγδδμδδλ))))((+(+(=代入（*）式，有⎰⎰∞-∞-))-(+))-(=t ij tkl ij ij t t t τττετμτττετλδσd d (d 2d d (d )()t (λ和)t (μ称为特征函数。

特例：1）μλ,均为常数ij ij kl ij μεδλεσ2+= 还可化为虎克定理2）)) ),)t t t t (=((=(μδμλδλ其中：tt H t d )(d )=(δ （0=t 时为无限大，0≠t 时0)=(t δ） 则：)d d d ,t t t (=)()(⎰∞-ετττετδ 于是有：ij kk ij ij t εμελδσ 2)(+= 可模拟线性粘弹性流体本构方程。

说明：1）ij ij D ⇒ε2）要加上静水压力（不流动时也有应力） 所以线性粘弹性流体的本构方程应为ij ij kk ij ij D D P t μδλδσ2)(++-=↑（该项为本构方程不确定应力）。