辽宁省大连市2022届高三下学期双基测试 数学(理) 扫描版含答案
2022年辽宁省大连市第二十一中学高二数学理下学期期末试卷含解析
2022年辽宁省大连市第二十一中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列中，则的值为（）（A）21 (B) 19 (C) 10 (D) 20参考答案：C2. 已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A3. 复数的虚部为（）A．－l B．－i C．－D．参考答案：C略4. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8 B．9 C.10 D．11参考答案：C5. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C ．67.7万元D．72.0万元参考答案：B【考点】线性回归方程．【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．【解答】解：∵ =3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．【点评】本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．6. 某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）(A) (B)(C) (D)参考答案：D7. 设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A. B. C. D.参考答案：B8. 曲线（）A、B、C、D、参考答案：A9. 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A．B．C．D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．10. 若函数为偶函数，则函数的一条对称轴是A． B． C．D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为_________．参考答案：分析：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系,求出，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：如图，为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，，，，设异面直线与成角为，，故答案为.点睛：本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.12. 已知三个不等式:①ab＜0；②－＞－；③bc＞ad.以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成个真命题.参考答案：313. 安排5名歌手的演出顺序时，要求其中的歌手甲不第一个出场，歌手乙不最后一个出场，不同排法的总数是．（用数字作答）参考答案：7814. 一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是_______．参考答案：方法一：基本事件全体Ω＝{男男，男女，女男，女女}，记事件A为“有一个女孩”，则P(A)＝，记事件B为“另一个是男孩”，则AB就是事件“一个男孩一个女孩”，P(AB)＝，故在已知这个家庭有一个是女孩的条件下，另一个是男孩的概率P(B|A)＝＝.方法二：记有一个女孩的基本事件的全体Ω′＝{男女，女男，女女}，则另一个是男孩含有基本事件2个，故这个概率是.15. 定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x>0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)<0.则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点个数是________．参考答案：2略16. 已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．参考答案：x2+（y+1）2=18【考点】直线与圆的位置关系．【分析】要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3， |AB|=3所以根据勾股定理得到半径，所以圆的方程为x 2+（y+1）2=18． 故答案为：x 2+（y+1）2=1817. 已知函数，若?x 1∈[1，2]，?x 2∈[﹣1，1]，使得f （x 1）≥g（x 2），则实数m 的取值范围是_________ ．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
【KS5U发布】辽宁省沈阳二中2021届高三上学期10月月考试题 数学(理) Word版含答案
沈阳二中2022——2021学年度上学期10月份小班化学习成果 阶段验收高三（ 15 届）数学（理科）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.） 1．已知集合A ＝{x|0<log 4x<1}，B ＝{x|x≤2}，则A∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2] 2．有关下列命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D ．命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题3．已知函数()()2531m f x m m x--=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．04．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 5．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππB ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππ D ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值（ ）A ．2413- B. 2213-C. 2313-D. 231-7．已知函数2()ln(193)1f x x x =++，则1(lg 2)(lg )2f f +等于（ ）A ．-1 B.0 C. 1 D. 28．tan70°cos10°(1－3tan20°)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．29．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.3210．.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，1)D ．(0，＋∞)11. 设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 （ ） A ． 32παβ-=B.32παβ+=C.22παβ-=D.22παβ+=12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=， 若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-第Ⅱ卷 （90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.计算定积分=+⎰-dx x x 112)sin (__________14..设()f x R 是上的奇函数，且2'(1)0,0(1)()2()0f x x f x xf x -=>+-<当时，，则不等 式()0f x >的解集为15.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数②当且仅当()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线52()4x k k Z ππ=+∈对称。
2022届山西省高三下学期高考考前适应性测试(一模)理科数学试卷及答案
令 ，则 ，
所以 展开式中的常数项是 .
故选：B.
7. 设 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
【答案】D
【解析】
利用函数 在 上的单调性可得到 、 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出 、 的大小关系，即可得出结论.
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
A. B. C. D.
【11题答案】
【答案】B
【解析】
依题意可得 平面 ，建立如图所示空间直角坐标系，由已知可得 的外接圆的圆心在 的中点 ，设外接球的球心为 ，半径为 ，则 ，即可得到方程，求出 ，即可求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得；
【详解】解：依题意 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，又 ，如图建立空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、 ，依题意 为直角三角形，所以 的外接圆的圆心在 的中点 ，设外接球的球心为 ，半径为 ，则 ，即 ，解得 ，所以 ，所以外接球的体积 ；
【详解】 ，
所以 ，
故选：A．
2. 设复数 满足 ，则 （）
A. -iB. -1C. 0或-1D. 0或-i
【2题答案】
【答案】D
【解析】
设出 ，得到方程组，求出 ，进而求出复数 .
【详解】设 ，则 ，则 ，所以 ，所以 ，解得： 或 ，故 或0
故选：D
3. 设 ， ，则 的最大值是（）
A. 1B. C. D. 2
【详解】设 ，
故 为增函数，则 ，
故命题 ， 为真命题，则 为假命题，
因为 ，故命题 ， 在定义域上是增函数为真命题， 为假命题，
所以 为真命题， 为假命题， 为假命题，
北京市西城区2022届高三上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案
北京市西城区2021 — 2022学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2022.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D5．D 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(1,1)- 10．32n -，314 111312．8 13．36 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，其次空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由于2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]332cos212x x =-+[ 5分]π3sin(2)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分]（Ⅱ）由于 π02x ≤≤，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分]当 ππ232x -=，即5π12x =时， [11分]()f x 取得最大31． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记大事A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==． [ 3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记大事B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=． [ 5分]4(0)(B)(B)9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=；1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分]所以 X 的分布列为：X 0 1 2P 49 49 194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]注：同学得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．（Ⅲ）22*s s <． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由于 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]由于 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形，所以 11A C AC ⊥． [ 3分] 所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）由于 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分] 由于 平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分] 由于 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF 平面ABC AF =，平面1AA EF 平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．由于 AB ⊥平面11AA C C ， 如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,1,3)A ，1(0,3,3)C ． 由于 23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ． 由（Ⅰ）得平面1ABC 的法向量为1(0,1,3)A C −−→=-． 设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ， 则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即330,240.33y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，3z =-，所以 (2,1,3)=--n ． [11分] 所以 111||2|cos ,|2||||A C A C A C −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ． [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角， 所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分] 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1a =时，()e sin 1x f x x =⋅-， 所以 ()e (sin cos )x f x x x '=+． [ 2分] 由于 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分] 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分] （Ⅱ）()e (sin cos )ax f x a x x '=+． [ 6分] 由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分] 由于 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分]当 ππ(0,)(,π)22x ∈时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a =-． 所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得 01tan x a =-． [ 9分]()f x 与()f x '在区间(0,π)上的状况如下：所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分] 由于 π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=，[12分] 且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得 2a =，c e a == 所以 c ．[ 2分] 由于 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y+=． [ 5分] （Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)yk x =-，所以 (3,)P k ，||PA =[ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由 2244,y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得22(41)80k x +++=，[8分] 由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841xx k =+． [ 9分] 所以 ||MN=． [10分] 由于 ||||PA MN =， 所以= 整理得 421656330k k -+=， [12分] 解得 k =，或 k = [13分] 经检验均符合0∆>，但k =时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k ，或 k = [14分] 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）②③． [ 3分] 注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分． （Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3消灭频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>）， 与已知冲突，所以 14q ≥． 同理可证：34q ≥． [ 5分] ② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,,}k n ∈，使得2k a =． 那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等）， 与已知冲突，所以22q ≥． [ 7分] 综上：1324,4,2q q q ≥≥≥， 所以 3120i i S iq ==∑≥． [ 8分]（Ⅲ）设1,2,,2018消灭频数依次为122018,,...,q q q ．同（Ⅱ）的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，则2026n ≥． 取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为： :1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ． [10分]下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈，不妨令i j a a ≤， ① 假如1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 假如1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；③ 假如1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，假如2017,2018i j a a <=， 则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等； ④ 假如12018i j a a <<≤，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，留意到这种状况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两 两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。
卷6-备战2022年高考数学(理)【名校地市好题必刷】全真模拟卷(全国卷专用)第二辑(解析版)
备战2022年高考数学（理）【名校地市好题必刷】全真模拟卷（全国卷专用）第六模拟（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·河南·高三期末（理））已知集合{}0,N A x x a x =≤≤∈，{}1,2,3B =，若A B B =，则a 的取值范围是（ ） A ．{}3 B ．()3,+∞C ．[)3,4D ．[)3,+∞【答案】D 【解析】解：因为A B B =，所以B A ⊆， 又{}0,N A x x a x =≤≤∈，{}1,2,3B =， 所以3a ≥. 故选：D.2．（2022·安徽蚌埠·高三期末（理））设复数202212i 2i z +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则z =（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】B 【解析】()()()()12i 2i 12i 5i i 2i 2i 2i 5+++===--+，因此()()1011101120222i i 11z ===-=-. 故选：B.3．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））设0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，则“log 0x y <”是“()()110x y --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】01log 01x x y y <<⎧<⇒⎨>⎩或101x y >⎧⎨<<⎩，因此有(1)(1)0x y --<，充分性满足，当(1)(1)0x y --<时，10,10x y --或10,10x y ->-<，结合前提条件可得log 0x y <，必要性满足．因此是充分必要条件． 故选：C ．4．（2022·吉林白山·高三期末（理））某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（ ）A ．2020年第四季度的销售额为380万元B ．2020年上半年的总销售额为500万元C ．2020年2月份的销售额为60万元D ．2020年12个月的月销售额的众数为60万元 【答案】D 【解析】不妨设全年总销售额为x 万元，则第二季度的销售额可得，(6%9%11%)260x ++=，解得，1000x =，选项A ：第四季度销售额为100028%280⨯=(万元)，故A 错误； 选项B ：由图可知，上半年销售额为160260420+=(万元)，故B 错误； 选项C ：由图可知，1月份和3月份销售额之和为1000(5%6%)110⨯+=(万元)， 故2月份的销售额为16011050-=(万元)，故C 错误；选项D ：由图易知，2月份的销售额占比为5%，从而由图可知，月销售额占比为6%的月份最多，故月销售额的众数为10006%60⨯=(万元)，故D 正确. 故选：D.5．（2022·内蒙古通辽·高三期末（理））酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量在20~80mg 之间为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL ，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：lg 20.3≈，lg30.48≈）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】设该驾驶员至少需经过x 个小时才能驾驶汽车，则()120120%20x-<，所以81106x⎛⎫< ⎪⎝⎭，则8101lg 6lg 2lg3log 7.86lg 0.83lg 21x --->==≈-，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车. 故选：C6．（2021·江西宜春·高三期末（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ()()ln ||cos ()sin x x f x f x x x-⋅--==---，为奇函数，排除A(1)0f =，()02f π=，()03f π>，()0f π<故选：D 【点睛】由解析式找图像的问题，可根据奇偶性，单调性，对称性，特殊值等排除选项，找出答案. 7．（2022·四川巴中·一模（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则下列命题中错误的是（ ） A ．1n n n S S a q +=+⋅ B ．11n n S S qS +=+C ．2S ，42S S -，64S S -成等比数列D ．“12q =-”是“n S ，2n S +，1n S +成等差数列”的充要条件【答案】C 【解析】对于选项A ，因为11n n n S S a ++-=，又等比数列{}n a 的公比为q ，所以1n n a a q +=⋅ 所以1n n n S S a q +-=⋅，即1n n n S S a q +=+⋅，故A 正确；因为()111231123......n n n S qS a q a a a a a a q a q a q a q +=+++++=+++++ 12311...n n a a a a S ++=++++=，所以11n n S S qS +=+，故B 正确；当1q =-时，224640S S S S S =-=-=，显然此时2S ，42S S -，64S S -不能成等比数列，故C 错误；若n S ，2n S +，1n S +成等差数列，则212n n n n S S S S +++-=-，所以221n n n a a a ++++=-， 即122n n a a ++=-，所以1212n n a q a ++==，所以“12q =-”是“n S ，2n S +，1n S +成等差数列”的充要条件，故D 正确.8．（2022·吉林四平·高三期末（理））如图，1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4B 7C 23D 3【答案】B 【解析】解：根据双曲线的定义可得122BF BF a -=，因为2ABF 为等边三角形，所以2BF AB =，12120F AF ∠=︒ 所以112BF AB AF a -==，因为212AF AF a -=，所以2124AF AF a a =+=， 因为在12AF F △中，122,4AF a AF a ==，12120F AF ∠=︒， 所以2221212122cos120F F AF AF AF AF =+-⋅︒， 即222214416224282c a a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7c a ，所以双曲线的离心率为7ce a= 故选：B9．（2022·四川雅安·高三期末（理））我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面,B C 两受灾点的视角为BPC ∠，且1tan 3BPC ∠=．已知地面上三处受灾点,,B C D 共线，且90ADB ∠=，1km BC CD DA ===，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是（ ）A 2kmB ．2kmC 3kmD ．4km【答案】B 【解析】提示：法一：由题意，得BD ⊥面,PAD BD PD ∴⊥．设,PD x =记,PBD PCD ∠α∠β==， ()212tan ,tan ,tan tan 22312xx x x x x x x αβθβα-∴==∴=-===++⋅，解得1x =或2x =，又在Rt PDA △中有1, 2.x x >∴=∴选B ．法二：由题，BD ⊥面,PAD BD PD ∴⊥．设PA x =，则22225,2PB x PC x =+=+．由1tan 3BPC ∠=33cos BPC ∠⇒=PBC 中，由余弦定理得2222310521252x x x x +++-=++23x =，进而21 2.PD x +=∴选B. 故选：B.10．（2022·广西·南宁市东盟中学高三期末（理））已知函数()()2sin (00)2f x x πωϕωϕ=+><<，的最小正周期为π，且它的图象关于直线23x π=对称，则下列说法正确的个数为（ ）①将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到函数2sin y x ω=的图象；②()f x 的图象经过点()01，； ③()f x 的图象的一个对称中心是5012⎛⎫⎪⎝⎭，π；④()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由最小正周期为π，得2ω=；由23x π=为对称轴，得()4 32k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<<， 故k 取1，6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．①()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，错误；②()02sin 16f π==，正确；③52sin 012f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，正确； ④52636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，错误； 故选：C ．11．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期末（理））已知圆C ：()()22232x y -+-=．若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则m 的取值范围是（ ） A ．(),9-∞- B ．(][),91,-∞⋃-+∞ C ．()1,-+∞ D ．[]9,1--【答案】D 【解析】解：根据题意，圆C ：()()22232x y -+-=的圆心为()2,3，半径2r =过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，连接PC ， 若60APB ∠=︒，则30APC ∠=︒，又由CA PA ⊥， 则||2||222PC CA r ===若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，满足60APB ∠=︒， 则有C 到直线l 的距离2211d =≤+ 解可得：91m -≤≤-，即m 的取值范围为[]9,1--， 故选：D ．12．（2022·黑龙江·高三期末（理））已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在(0,)+∞单调递减B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】C 【解析】对于选项A ，当1a =-时，()sin x f x e x =-，(0,)x ∈+∞，()cos 0x f x e x -'=>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故选项A 不正确；对于选项B ，当时，()sin x f x e x =-，(0)1f =，故切点为(0,1) ，()cos x f x e x '=-，所以切线斜率0)0k f ='(=，故直线方程为：10(0)y x -=-，即切线方程为：1y = ，故选项B 不正确；对于选项C ，当1a =时，()+sin x f x e x =，(,0)x π∈-，()+cos x f x e x '=，()sin 0x f x e x ''=->恒成立，所以()f x '单调递增，又3433()cos()044f e πππ-'-=+-<，2()02f e ππ-'-=> 故()f x '存在唯一极值点，不妨设3,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，则0()=0f x '，即00+cos =0x e x ，且003,()0;,()042x x f x x x f x ππ''-<<<<<->， 所以极小值000000()=+sin sin cos =2)(1,0)4xf x e x x x x π=--∈-，故选项C 正确；对于选项D ，对于()+sin x f x e a x =，(,+)x π∈-∞，令()0f x =，即+sin 0x e a x =，当,1x k k π=>-，且Z k ∈， 显然没有零点，故,1x k k π≠>-，且Z k ∈，所以sin x e a x =-则令()sin x e F x x =-，2(cos sin )()sin x e x x F x x -'=，令()=0F x '，解得+,14x k k k Z ππ=≥-∈，，所以3(,)4x ππ∈-- 单调递减，3(,0)4x π∈- 单调递增，有极小值343()240F e ππ-->，于是知(,0)x π∈-时得34()2F x e π- ，所以当342)a e π-∈时，函数无零点，对于条件中任意的0a >均有零点矛盾，故选项D 不正确；故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2022·安徽宣城·高三期末（理））已知向量()2,1a =，()1,b λ=-，若()2a b a +⊥，则a 与b 的夹角的余弦值是______． 【答案】213【解析】()()()24,21,3,2a b λλ+=+-=+，由于()2a b a +⊥，所以()()3,22,16280,8λλλλ+⋅=++=+==-， 则()1,8b =--，所以a 与b 的夹角的余弦值是2213565513a b a b⋅--===⨯⨯⋅.故答案为：21314．（2022·山西·祁县中学高三阶段练习（理））曲线()31()e x f x x mx -=-在点(1(1))f ，处的切线与直线410x y --=垂直，则该切线的方程为__________. 【答案】410x y +-= 【解析】由题意得()321()3e x f x x x mx m ---'=+，则(1)42f m '=-， 所以切线的斜率142k m =-.直线410x y --=的斜率214k =. 因为两直线相互垂直，所以121(42)14k k m =-=-，解得4m =， 则1(1)4k f '==-.所以()31()4e x f x x x -=-，则(1)3f =-， 故该切线的方程为34(1)y x +=--，即410x y +-=. 故答案为：410x y +-=15．（2022·云南昆明·高三期末（理））在ABC 中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC 的面积为__________.33【解析】∴由正弦定理，sin sin6BDAD B π=，sin sin 6DC ADC π=，即1sin sin 6sin AD BD B Bπ=⋅=，1sin sin 6sin AD DC C Cπ=⋅=，而3BC =， ∴113sin sin B C+=， ∵23sin sin sin AB AC BC C B BAC ===∠123sin C =123sin B =， ∴113AC AB +=3AB AC AB +=⋅， 又由余弦定理知：2222cos AC AB AC AB BAC BC +-⋅⋅∠=，∴229AC AB AC AB +-⋅=，即2()39AC AB AC AB +-⋅=，令x AC AB =⋅， ∴24120x x --=，即6x =（2x =-舍去）， ∴133sin 2ABCSAC AB BAC =⋅⋅∠=3316．（2022·四川南充·高三期末（理））已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M 为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题： ①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为24y x =； ②若AM l ⊥于M ，则抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠； ③若3MF FA =，则抛物线C 方程为26y x =；④若OM MA +的最小值为213，则抛物线C 方程为28y x =． 其中所有正确的命题序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】①若△MAF 为正三角形时，122p AM ==，故①正确； ②若AM l ⊥于M ，设 ()00,A x y ，过A 的切线m 方程为:00x ty ty x =-+，代入22y px =得2002220y pty pty x -+-=，()()20024220pt pty x ∆=---=，又202y px =，()200tp y ∴-=， 0y t p=，所以过A 点的切线的斜率为0p k y =，因为00022MF y yk p p p -==---，所以过A 的切线m MF ⊥，又AM AF =, 故抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠，②正确③若3MF FA =，则A M F 、、三点共线，4,12AF MF ==， 由三角形的相似比得12,3164pp ==，故③正确；④设(),0B p -则214,82A p p p ⎛-±- ⎝，O B 、关于准线l 对称，OM BM =，2221482132O p M BM MA A M B p p A ⎛⎫⎛⎫=+≥==++±- ⎪⎪⎝⎭⎭+ ⎝1402p ->,解得4p =，故④正确. 故答案为: ①②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·安徽宣城·高三期末（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．（1）求证：数列{}n S 是等比数列； （2）求数列{}n na 的前n 项和n A ． 【解析】（1）因为n T 为数列{}n S 的前n 项和， 当1n =时，1111122S T S S S +=+==，则11S = 当2n ≥时，1n n n T T S --=2n n S T +=① 112n n S T --+=②，①－②得()122n n S S n -=≥，得()1122n n S n S -=≥ 所以数列{}n S 是首项为1公比为12的等比数列．（2）由（1）可得，数列{}n S 是以11S =为首项，以12为公比的等比数列，所以112n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当1n =时，1111a S T ===，当2n ≥时，1211111222n n n n n n a S S ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然对于1n =不成立，所以11,11,22n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当1n =时，111A a ==当2n ≥时，21111123222n n A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23111112322222nn A n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦上下相减可得2311111111222222n nn A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211142111112122212n n nn n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-⋅=-++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭又1n =时，13121A =⨯-=综上，()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭18．（2022·安徽蚌埠·高三期末（理））第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km 男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8． （1）试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X 的分布列及期望；（2）若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．（参考数据：50.80.32768=，40.80.4096=．） 【解析】（1）因为一轮射击中，共发射5发子弹，脱靶一次罚时1分钟， 所以一轮射击中，被罚时间X 的值可能为0，1，2，3，4，5．()500.80.32768P X ===，()1451C 0.20.80.4096P X ==⨯=，()()22352C 0.20.80.2048P X ==⨯=，()()33253C 0.20.80.0512P X ==⨯=，()()4454C 0.20.80.0064P X ==⨯=，()()5555C 0.20.00032P X ===，所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P0.327680.40960.20480.05120.00640.00032（2）依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为()5514145550.80.2C 0.20.8C 0.20.80.20.0023P =⨯+⨯+⨯⨯=．19．（2022·江西·新余市第一中学高三期末（理））如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,5BC BD BA ===把ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：如图，设PD 的中点为F ，连接AF ．∵ADP △为等边三角形，∴AF PD ⊥．又平面PAD ⊥平面PBD ，平面PAD 平面PBD PD =，∴AF ⊥平面PBD ．∵BD ⊂平面PBD ，∴BD AF ⊥． ∵1,2,5AD BC BD BA ==== ∴222AD BD AB +=，∴BD AD ⊥． 又ADAF A =，∴BD ⊥平面PAD ．又∵PA ⊂平面PAD ，∴PA BD ⊥．（2）由（1）知BD ⊥平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABD ． 设AD 中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABD ，平面PAD 平面ABD AD =，∴PO ⊥平面ABD ． 设AB 中点为O '，连接OO '． ∵//OO BD '，∴OO AD '⊥，故以点O 为坐标原点，OA ，OO '，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则1133,0,0,,2,0,,2,0,222A B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1313,0,,,2,222PA PB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，33,2,2PC ⎛=- ⎝⎭．设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，由130,213202m AP x m PB x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得3,3,x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩取 2z =，则(23,3,2)m =设平面PBC 的法向量为(,,)n a b c =，由1320,233202n PB a b n PC a b ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得0,3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩取4c =-，则(0,3,4)n =--，11cos ,19||||1919m n m n m n ⋅-〈〉===-⨯∴二面角A PB C --的余弦值为1119-20．（2022·四川·成都七中高三期末（理））已知两圆222212:(2)54,:(2)6C x y C x y -+=++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）过点()3,0A 的直线与曲线C 交于,P Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求ARQ 面积的最大值. 【解析】（1）依题意，圆1C 的圆心()12,0C ，半径136r =，圆2C 的圆心()22,0C -，半径26r 设圆M 的半径为r ，则有11MC r r =-，22MC r r =+，因此，121212464MC MC r r C C +=+=>=，于是得点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴长246a =24c =，短半轴长b 有：22220b a c =-=，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：2212420x y +=. （2）显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为3(0)x my m =+≠，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由22356120x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得：22(56)30750m x my ++-=，则1223056my y m +-+=，1227565y y m =-+，点P 关于x 轴的对称点11(,)R x y -，1211|2|||2PQRSy x x =⋅⋅-，111232APRS y x =⋅⋅-，如图，显然1x 与2x 在3的两侧，即21x x -与13x -同号， 于是得()()()1211121133AQRPQRAPRSSSy x x x y x x x =-=---=⋅---121212275||656765||5|5||5302||3|||||||||||m y x y m m m my my y m m ++⋅=≤==⋅-=⋅==， 当且仅当|||65|m m =，即30m =“=”，因此，当30m =时，max(50)3AQR S =所以ARQ 530. 21．（2022·江西·新余市第一中学高三期末（理））已知函数1()ln f x x a x=++. （1）当12a =-时，求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程；（2）当(0,2)a ln ∈，证明：函数()()x g x e f x =存在唯一极值点0x ，且0()0g x >. 【解析】解：（1）当12a =-时，11()ln 2f x x x =+-，22111()x f x x x x -'=-=，f ∴'（2）14=，f （2）ln 2=， ∴函数()f x 在(2，f （2）)处的切线方程为：1ln 2(2)4y x -=-，整理为44ln 220x y -+-=.（2）证明：函数1()()()x x g x e f x e lnx a x==++，(0,)x ∈+∞.221()(ln )x g x e x a x x '=+-+， 设221()ln h x x a x x =+-+， x R ∀∈，0x e >，因此()'g x 与()h x 的符号相同.2233122(1)1()x h x x x x x '-+=-+=，显然，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增.又h （1）02110a a =+-+=+>，11()ln 44ln 2022h a a =+-+=-<.((0,2))a ln ∈，∴存在唯一01(2x ∈，1)，使得0()0h x =.对于()g x ，则有0(0,)x x ∈时，()0g x '<；0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>.∴函数()()x g x e f x =存在唯一极值点0x ，01(2x ∈，1).由0()0h x =，可得：020021ln 0x a x x +-+=，解得020021ln a x x x =--+，0000000222000000111211()(ln ln )()x x x x g x e x x e e x x x x x x -∴=++--=-=， 01(2x ∈，1)，0()0g x ∴>.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（2022·西藏昌都市第三高级中学高三期末（理））在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=. （1）求曲线C 以及直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若||8AB =，求α值. 【解析】 解：（1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ=，22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =， 由题知sin y t α=，代入1cos 2x t α=+整理得2sin 2cos sin 0x y ααα--=. （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--= ()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=- ∴()221212124224cos 4248sin sin sin AB t t t t t t αααα=-+-+== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴=6πα∴=或56π23．（2022·陕西宝鸡·一模（理））关于x 的不等式3ax x -≤的解集为[]1,b ，其中1a >． （1）求实数a ，b 的值； （2）若正数m ，n 满足2m a n +=，求2n m+的最小值． 【解析】（1）依题意，不等式3ax x -≤化为：22(1)690a x ax --+≤，而1a >，则1,b 是方程22(1)690a x ax --+=的二根，且1b >，因此，2680a a -+=且291b a =-，解2680a a -+=得2a =或4a =， 当2a =时，3b =，符合题意，当4a =时，315b =<不符合题意， 所以2a =，3b =. （2）由(1)知，2a =，22m n+=，而0,0m n >>， 则有21221414()()(4)(42)4222n m n mn mn m n m mn mn+=++=++≥+⋅=，当且仅当4mn mn =时取“=”，由422mn mn m n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：1,2m n ==，所以当1,2m n ==时，2n m+取最小值4.。
河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评(四)理科数学试题(含答案解析)
河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四）理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{24}A xx =<<∣，{(6)(3)0}B x x x =--≥∣，则（）A ．2A B∈ B ．3A B∈⋂C ．4A B∈ D ．5A B∈ 2．若复数z 的共轭复数为z ，且(2i)35i z z -+=-+，则z 的虚部为（）A ．2i-B ．2iC ．2-D ．23．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123nn S m =⨯-，m ∈R ，则4S =（）A ．133B ．5C ．173D ．2234．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得30BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，30CD =米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总高度约为（）1.4≈ 1.7≈）A ．13米B ．24米C ．39米D ．45米5．函数3sin ||x xy x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为（）A ．0.9B ．0.7C ．0.6D ．0.37．记不等式组30,10,30x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩的解集为D ，现有下面四个命题：1:(,)p x y D ∀∈，280x y -+≥；2:(,)p x y D ∃∈，240x y -+>；3:(,)p x y D ∀∈，30x y ++>；4:(,)p x y D ∃∈，330x y +-≤．其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，与抛物线的准线交于点M ，且点A 位于第一象限，F 恰好为AM 的中点，AF BM λ=()λ∈R ，则λ=（）A ．32B ．43CD9．任意写出一个正整数m ，并且按照以下的规律进行变换：如果m 是个奇数，则下一步变成31+m ，如果m 是个偶数，则下一步变成12m ，无论m 是怎样一个数字，最终必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列{}1:n a a m =（m 为正整数），131,1,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数时当为偶数时，若72a =，则m 的所有可能取值之和为（）A ．188B ．190C ．192D ．20110．在菱形ABCD 中，5AB =，6AC =，AC 与BD 的交点为G ，点M ，N 分别在线段AD ，CD 上，且13AM MD =，13CN ND =，将MND 沿MN 折叠到MND '△，使GD '=，则三棱锥D ABC '-的外接球的表面积为（）A ．1203π16B ．627π16C ．289π8D ．40π11．设双曲线:E 22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为双曲线E 上在第一象限内的点，线段1F B 与双曲线E 相交于另一点A ，AB 的中点为M ，且2F M AB ⊥，若1230AF F ∠=︒，则双曲线E 的离心率为（）AB ．2CD 12．已知0.618e 1a =-，ln1.618b =，tan 0.618c =，其中e 为自然对数的底数，则（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c>>D ．a c b>>二、填空题13．二项式523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________．14．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，AC 与BD 的交点为M ，N 为边AB 上任意点（包含端点），则MB DN ⋅的最大值为________．15．圆22:280M x y x ++-=与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，点N 满足||2||NA NB =，直线:(0)l y kx m k =+>与圆M 和点N 的轨迹同时相切，则直线l 的斜率为________．16．先将函数()cos f x x =的图象向左平移2π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，所得图象与函数()g x 的图象关于x 轴对称，若函数()g x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，且在ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是________．三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos )sin b a C c A -=．(1)求A ；(2)若ABC D 在线段AC 上，且13AD AC =，求BD 的最小值．18．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．19．某公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用i x 和年销售量(1,2,3,4,5)i y i =，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．51ii u=∑51ii v=∑()()51iii u u v v =--∑()521ii u u =-∑16.1026.020.40 1.60表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．已知b y a x =⋅可以作为年销售量y关于年营销费用x 的回归方程．(1)求y 关于x 的回归方程；(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用-固定成本）参考数据： 4.399e 81≈139≈．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()`121ˆniii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，且点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在㮋圆上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，经过坐标原点O 和点Q 的直线m 与椭圆C 交于M ，N 两点，求四边形AMBN 的面积的取值范围．21．已知函数()2cos sin ()f x mx mx x x m =--∈R ．(1)当1m =时，求()f x 在点()()π,πf 处的切线方程；(2)当0x >时，()0f x >，求实数m 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,1,x t y t =+⎧⎨=-⎩其中t 为参数，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2|sin |2|cos |ρθθ=+，其中θ为参数．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程，并画出曲线C 的简图（无需写出作图过程）；(2)直线:m θα=π0,2α⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭与曲线C 相交于A ，B两点，且||AB =α的值．23．已知函数()2|1||1|4f x x x =++--的最小值为m ．(1)在直角坐标系中画出()y f x =的图象，并求出m 的值；(2)a ，b ，c 均为正数，且1a b c m ++=-+，求222a b c b c a++的最小值．参考答案：1．B【分析】根据二次不等式解法求出集合B ，求出A B ⋂及A B ⋃，根据元素和集合的关系即可逐项判断.【详解】由题可知{6B x x =≥∣或3}x ≤，则{23}A B xx ⋂=<≤∣，{4A B x x ⋃=<∣或6}x ≥，依据选项可知B 正确.故选：B ．2．D【分析】先根据条件求出复数z ，然后可得虚部.【详解】设复数i z a b =+，a ，b ∈R ，则i (2i)(i)a b a b +-+-()(3)i a b b a =-++-35i =-+，即()335a b b a -+=-⎧⎨-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，则12z i =+，故z 的虚部为2.故选：D ．3．B【分析】先根据n S 的定义依次求出123,,a a a ，再由等比数列的定义即可得到关于m 的关系式，解之即可得出答案.【详解】因为123nn S m =⨯-，当1n =时，1123a S m ==-，当2n =时，21243m a S a =+=-，则223a =，当3n =时，312383a m a a S +=+-=，则343a =，因为{}n a 是等比数列，所以322a q a ==，则2113a a q ==，所以2133m -=，解得13m =，则11233n n S =⨯-，则45S =.故选：B.4．C【分析】在Rt △ABC 根据∠ACB 的正切得AB 与BC 的关系，在△BCD 中利用正弦定理列式即可求解．【详解】设AB m =，则tan 60m BC ==︒，在BCD △中，105CBD ∠=︒，由正弦定理得sin105sin 45CD BC=︒︒，因为()sin105sin 4560︒=︒+︒sin 45cos60cos 45sin 60=︒︒+︒︒=，代入数据，解得90m =-9030 1.739≈-⨯=（米），故选：C ．5．A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项B,D ；再利用特殊值即可排除选项C ，进而求解.【详解】函数3sin ()xx xy f x -==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且3sin()3sin ()()x x x xf x x x f x-----+-===-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B,D 选项，只需研究0x >的图象，当π6x =时，πππ33sin 06662-=-<，则π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C 选项.故选：A ．6．B【分析】方法一：根据排列组合结合分类加法法则得出答案；方法二：先求出“书法、舞蹈这两项活动都被选中”的概率，即可根据对立事件的概率求法得出答案.【详解】方法一：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：①都没有被选中，有33C 种情况；②两项活动只有一项被选中，有1223C C 种情况，则所求概率为31232335C C C 70.7C 10P +===，故选B ．方法二：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”的对立事件是“书法、舞蹈这两项活动都被选中”，故所求概率为123235C C 710.7C 10P =-==，故选：B ．7．C【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的关系，再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.【详解】不等式组的解集D 表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题1p 为真命题，依据图（2）知命题2p 为真命题，依据图（3）知命题3p 为假命题，依据图（4）知命题4p 为真命题．所以真命题有3个，故选：C ．8．A【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义，又F 恰好为AM 的中点，可得到比例||||AF BM ，进一步推导得到λ的值.【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义得||||AF AN =，||||BF BE =，因为F 为AM 的中点，所以||||||||1||||||AF BF BM BF BM BM BM +==+，又||||||||BF BE BM BM ==||||1||||2AN AF AM AM ==，所以||||1311||||22AF BF BM BM =+=+=，所以32λ=.故选：A 9．B【分析】列举出1234567a a a a a a a →→→→→→的可能情况，可得出m 的所有可能取值，相加即可得解.【详解】由题意，1234567a a a a a a a →→→→→→的可能情况有：①2142142→→→→→→；②16842142→→→→→→；③2010516842→→→→→→；④310516842→→→→→→；⑤128643216842→→→→→→；⑥21643216842→→→→→→；所以，m 的可能取值集合为{}2,16,20,3,128,21，m 的所有可能取值之和为21620312821190+++++=.故选：B.10．B【分析】设MN 与BD 的交点为H ，连接D H '，证明D G '⊥平面ABC ．设ABC 的外接圆圆心为1O ，AD C ' 的外接圆圆心为2O ，过1O ，2O 分别作平面ABC ，平面AD C '的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥D ABC '-外接球的球心，先求出12,r r ，再求出三棱锥D ABC '-的外接球的半径R 即得解.【详解】如图所示，因为13AM MD =，13CN ND =，所以//MN AC ，设MN 与BD 的交点为H ，连接'D H ，因为5AD CD AB ===，3GA GC ==，所以4DG =，则1GH =，3DH =，所以3D H '=．又GD '=222D G GH D H ''+=，则D G GH '⊥．又D G AC '⊥，AC HG G ⋂=，AC HG ⊂，平面ABC ，故D G '⊥平面ABC ．设ABC 的外接圆圆心为1O ，AD C ' 的外接圆圆心为2O ，过1O ，2O 分别作平面ABC ，平面AD C '的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥D ABC '-外接球的球心，且四边形12O OO G 为矩形．设ABC 的外接圆半径为1r ，在ABC 中，由()2221143r r -+=，解得1258r =，同理可得AD C ' 的外接圆半径28r =，所以28GO =．设三棱锥D ABC '-的外接球半径为R ，则22212R O A GO =+6252627646464=+=，则三棱锥D ABC '-的外接球的表面积26274π16S R π==.故选：B ．11．D【分析】连结连接2AF 、2BF .设2AF =2BF m =，根据双曲线的定义可推得||4AB a =，即2m a =．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得2F M 结合已知条件，即可得出222c a =，从而得出离心率.【详解】如图，连接2AF 、2BF .因为M 为AB 的中点，2F M AB ⊥，所以22AF BF =．设2AF =2BF m =，因为212AF AF a -=，所以12AF m a =-.又因为122BF BF a -=，所以1BF =2m a +，则11||4AB BF AF a =-=．因为M 为AB 的中点，所以||||2AM BM a ==，则1F M m =．设122F F c =，在12Rt F F M △中，2F M =在2Rt AF M △中，2F M =，整理可得22222m a c =+，所以2F M =．当1230AF F ∠=︒时，12sin AF F ∠=212F M F F=122c =，则222c a =，所以离心率为ce a==故选：D ．12．D【分析】构造函数()1tan x f x x =--e ，π04x <<，利用导数判断其单调性即可判断,a c 的大小；ln1.618ln(10.618)b ==+，可构造函数()ln(1)h x x x =+-判断ln1.618b =与0.618的大小，构造函数()tan k x x x =-判断0.618与tan 0.618的大小，从而可判断,b c 的大小.【详解】令()1tan xf x x =--e e cos cos sin cos x x x xx--=，π04x <<，令()e cos x g x x =-cos sin x x -，则()(sin cos )e x g x x x '=-+sin cos x x +-()e 1(cos sin )xx x =--，当π04x <<时，()0g x '>，则()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又(0)110g =-=，所以当04x π<<时，()0g x >，又cos 0x >，所以()0f x >在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，又00.6184π<<，所以(0.618)0f >，即a c >．令()ln(1)h x x x =+-，则1()111x h x x x -=-=++'，当02x π<<时，()0h x '<，所以()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当02x π<<时，()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<．令()tan k x x x =-，则21()10cos k x x '=-≤，()k x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当02x π<<时，()(0)0k x k <=，即tan x x <，所以ln(1)tan x x x +<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立．令0.618x =，则ln(0.6181)0.618tan 0.618+<<，所以c b >．综上所述，a c b >>．故选：D ．【点睛】构造函数比较大小主要方法有：1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小；2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.13．90【分析】由二项式展开式通项公式可求.【详解】由题知()52153C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭1035C 3r r rx -=⋅⋅，当2r =时，4390T x =，故4x 的系数为90．故答案为：90.14．52##2.5【分析】以点A 为坐标原点，AB ，AD的方向为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，设(,0)N m (02)m ≤≤，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以点A 为坐标原点，AB，AD 的方向为x 轴，y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,0)B ，(0,1)D ，设(,0)N m (02)m ≤≤，所以11,2MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(,1)DN m =- ，则MB DN ⋅= 12m +，因为02m ≤≤，所以1522MB DN ≤⋅≤ ，即MB DN ⋅ 的最大值为52．故答案为：52．15【分析】求出A 、B 坐标，设N (x ,y )，求出N 的轨迹圆E 的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率．【详解】对于圆22:280M x y x ++-=，令0y =，得2280x x +-=，解得4x =-或2x =，则()4,0A -，()2,0B ．设(,)N x y ，∵2NANB=，∴2NA NB =，=，整理得22(4)16x y -+=，则点N 的轨迹是圆心为()4,0E ，半径为4R =的圆．又圆M 的方程为22(1)9x y ++=，则圆M 的圆心为(1,0)-，半径为3r =．∵434(1)43-<--<+，∴两圆相交，设直线l 与圆M 和点N 轨迹圆E 切点分别为C ，D ，连接CM ，DE ，过M 作DE 的垂线，垂足为点F ，则四边形CDFM 为矩形，∵5ME =，431EF DE DF R CM =-=-=-=，∴MF =则tan 12EF FME MF∠==，则两圆公切线CD 的斜率即为直线FM 的斜率为12．故答案为：12.16．11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据题目的要求平移伸缩对称变换得到()g x 的解析式，然后结合函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点以及在ππ,1212⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，列出不等式组，即可求得本题答案.【详解】函数()f x 的图象向左平移2π3个单位长度，得到2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的1ω，纵坐标不变，得到2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，因为函数()g x 的图象与2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称，所以2π()cos 3g x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2ππsin 32x ω⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭πsin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为20π3x ≤≤，所以ππ2ππ6636x ωω≤+≤+，又因为π()sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有2个零点，且()sin π0k =，Z k ∈，所以2π2ππ3π36ω≤+<，解得1117<44ω≤，令22πππ2π2π262k x k ω-+≤+≤+，2k ∈Z ，得222π2π2ππ33k k x ωωωω-+≤≤+，2k ∈Z ，令20k =，得()g x 在2ππ,33ωω⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，所以ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2ππ,33ωω⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，所以2ππ312ππ312ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，又0ω>，解得04ω<≤．综上所述，1144ω≤≤，故ω的取值范围是11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．(1)π3A =；【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换化简可推得tan A =（2）由已知可推得9bc =.在ABD △中，由余弦定理可推得2221193c b bc BD =+-，然后根据基本不等式，即可得出BD 的最小值．【详解】（1sin cos )sin sin B A C C A -=，又πA B C ++=]sin()sin cos sin sin A C A C C A +-=，sin A C sin sin C A =．又sin 0C >sin A A =，则tan A =．因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）由（1）知π3A =，则ABC 的面积为1πsin 23S bc ===9bc =．在ABD △中，13AD b =，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2211π2cos 933c b c b =+-⨯⨯⨯221193c b bc =+-≥13bc 133bc ==，当且仅当2219c b =，即b =c =所以BD18．(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中，利用勾股定理证明ED ⊥EO ，再结合ED ⊥MO 即可证明AD ⊥平面MOE ，从而可证明平面MOE ⊥平面MAD ；(2)连接OA ，证明DO OA ⊥，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解二面角的余弦值．【详解】（1）∵AD ⊂平面ABCD ，MO ⊥平面ABCD ，∴MO AD ⊥．∵O 为线段CD 的中点，E 为线段AD 的中点，∴2DO =，DE =∵=45ADC ∠︒，由余弦定理得22222222EO =+-⨯⨯，则222EO DE DO +=，则DE EO ⊥．∵MO EO O ⋂=，,MO EO ⊂平面MOE ，∴AD ⊥平面MOE ，又∵AD ⊂平面MAD ，∴平面MOE ⊥平面MAD ．（2）连接OA ，由(1)知当E 为线段AD 的中点时，AE DE EO ===则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上，故DO OA ⊥．故以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又MC =，则2MO =，∴(0,0,0)O ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，(0,0,2)M ．又3AE DE =，则13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴(0,0,2)OM = ，(2,0,2)DM =- ，(2,2,0)DA =-，13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面MAD 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，，解得1111x z x y =⎧⎨=⎩，，取11x =，则平面MAD 的一个法向量为(1,1,1)m =．设平面MEO 的法向量为()222,,x n y z = ，则2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，，解得22230x y z =-⎧⎨=⎩，，取23x =，则平面MEO 的一个法向量为(3,1,0)n =-．则cos 15m n m n m n⋅⋅==⋅，则二面角D ME O --的余弦值为15．19．(1)1481y x =(2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大【分析】(1)根据题目要求可知，y 关于x 的回归方程为非线性的，设b y a x =⋅，可得ln ln ln y a b x =+，代入已知条件所给的数据，计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式，通过求导来求得最值.【详解】（1）由b y a x =⋅得，ln ln()ln ln b y a x a b x =⋅=+，令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+．由表中数据可得，()()()515210.4ˆ0.251.6iii ii u u v v bu u ==--===-∑∑，则26.0216.1ˆˆ0.25 4.39955cv bu =-=-⨯，所以ˆ 4.3990.25v u =+．即ˆln 4.3990.25ln y x =+14.3994ln e x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，因为 4.399e 81≈，所以14ˆ81y x =，故所求的回归方程为1481y x =．（2）设年收益为W 万元，则144120324120W y x x x =--=--，对()W f x =求导，得34'()811f x x -=-，令348110x --=，解得132433519x =≈⨯=，当(0,351)x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增，当(351,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，因此，当351x =时W 有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大．20．(1)22143x y +=；(2)[6,．【分析】（1）由题得到关于,,a b c 的方程，解方程即得解；（2）设直线l 的方程为1x ky =+，联立椭圆C 的方程得到韦达定理，设线段AB 的中点为()00,Q x y ，求出它的坐标，求出||AB 、点M ，N 到直线l 的距离12,d d，再化简求出S =即得解.【详解】（1）设椭圆右焦点的坐标为(,0)(0)c c >，则12c a =，即2a c =，又222a b c =+，则223b c =，因为点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b +=，即2213144c c +=，解得1c =，则2a =，b =C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知(1,0)F ，因为直线l 的斜率不为0，所以可设直线l 的方程为1x ky =+，代入椭圆C 的方程22143x y +=，消去x 化简得()2234690k y ky ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634ky y k -+=+，122934y y k -=+．设线段AB 的中点为()00,Q x y ，则12023234y y k y k +-==+，200231134kx ky k -=+=+2434k =+，即2243,3434k Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，则直线m 的方程为34k y x =-，代入椭圆C的方程可得x =M ⎛⎫，N ⎛⎫⎝．12||AB y =-===()2212134k k +=+，点M ，N 到直线l的距离分别为1d =2d =，则四边形AMBN 的面积为1211||||22S AB d AB d =⨯⨯+⨯⨯()121|2AB d d =⨯⨯+∣1||2AB =⨯⨯．因为点M ，N 在直线l的两侧，所以1||2S AB =⨯1||2AB =⨯⨯1||2AB =⨯()221211234k k +=⨯+===，因为2110344k <≤+，所以6S ≤<因此，四边形AMBN 的面积的取值范围为[6,．21．(1)4πy x =-(2)[1,)+∞【分析】（1）由导数法求切线；（2）法一：对m 分类讨论，由导数法研究函数单调性及符号即可判断，其中1m ≥时，由作差法说明()2cos sin f x x x x x ≥--，将问题转化为判断()2cos sin g x x x x x =--的符号；法二：不等式等价为sin 2cos xmx x>-，由导数法研究sin ()2cos x g x x =-图象性质，由数形结合判断范围.【详解】（1）因为()2cos sin f x x x x x =--，所以()22cos sin f x x x x '=-+，因为()π4f '=，()π3πf =，所以切线方程为()3π4πy x -=-，即4y x π=-．（2）方法一：i.若1m ≥，由2cos sin (2cos sin )mx mx x x x x x x -----2(1)(1)cos m x m x x =---(1)(2cos )0m x x =--≥，可得()2cos sin f x x x x x ≥--，设()2cos sin g x x x x x =--，则()22cos sin g x x x x '=-+，当(0,]x π∈时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，则()(0)0g x g >=；当(,)x ∈π+∞时，()(1cos )(sin )0g x x x x x =-+->，所以()0g x >，所以()0f x >恒成立，符合题意；ii.若0m ≤，()2cos sin f x mx mx x x =--(1cos )sin mx x mx x =-+-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，不合题意．iii.若01m <<，()2(1)cos sin f x m m x mx x '=-++，设()()h x f x '=，则()(21)sin cos h x m x mx x '=++，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为ππ2022f m ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，(0)0f '<，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()00,x 上单调递减，()(0)0f x f <=，不合题意．综上所述，m 的取值范围为[1,)+∞．方法二：由题知当0m >时，2cos sin 0mx mx x x -->，即(2cos )sin mx x x ->，因为2cos 0x ->，所以sin 2cos x mx x >-．设sin ()2cos x g x x=-，因为(2)()g x g x π+=，所以()g x 为周期函数，且周期为2π．22cos (2cos )sin ()(2cos )x x x g x x --'=-22cos 1(2cos )x x -=-，令()0g x '=，则π2π3x k =+或5π2π3x k =+，k ∈Z ，所以当ππ2π,2π33x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当π5π2,2π33x k k π⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 时，()0g x '<，则()g x 单调递减．当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()h x g x '=，则32sin (1cos )()0(2cos )x x h x x -+'=<-，则()()h x g x '=单调递减，∴()(0)1g x g ''<=.当1m =时，直线y mx =与曲线()y g x =相切，如图，根据图象可知，要使sin 2cos x mx x>-，只需m 1≥，故实数m 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】恒成立问题，一般可通过分离参数法，转化为由导数法研究不含参部分的最值；或者对参数分类讨论，由导数法分别说明.22．(1)20x y +-=，222||2||0x y x y +--=，作图见解析；(2)π12α=或5π12α=．【分析】（1）消去参数t ，即可得出直线的普通方程.根据公式即可求得曲线C 的直角坐标方程.然后根据方程作图即可；（2）设点A 位于第一象限，由图象集合已知条件可推出2sin 2cos A ραα=+，2sin 2cos B ραα=+.由||AB =πsin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.然后根据α的范围，即可得出α的值．【详解】（1）将直线的参数方程消去t ，得普通方程为20x y +-=．曲线C 的极坐标方程为2|sin |2|cos |ρθθ=+，即22|sin |2|cos |ρρθρθ=+，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为222||2||0x y x y +--=．则曲线C的简图如图所示．（2）不妨设点A 位于第一象限，结合图形和直线:0,2m πθαα⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭可知，2sin 2cos A ραα=+，2sin(π)2cos(π)B ραα=-+-+2sin 2cos αα=+，则||4sin 4cos A B AB ρραα=+=+π4α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以πsin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π,444α+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ππ43α+=或π2π43α+=，所以π12α=或5π12α=．23．(1)作图见解析，2m =-(2)3【分析】(1)写出f (x )解析式，按照一次函数图象画法即可画出图象，根据图象即可求出最小值m ；(2)利用基本不等式得22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三式相加即可求得222a b c b c a++的最小值．【详解】（1）由题知()35,1,1,11,33,1,x x f x x x x x --≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩描点(2,1)-，(1,2)--，(1,0)，(2,3)，连线得()y f x =的图象如图所示．通过图象可知，当=1x -时，函数()y f x =的最小值为2-，即2m =-．（2）由(1)知2m =-，13a b c m ++=-+=，22a b a b+≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三个式子相加得2223a b c a b c b c a++≥++=，当且仅当1a b c ===时等式成立，∴222a b c b c a++的最小值为3．。
2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(2)
2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________评卷人得分一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．若集合A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.2．已知复数z=(a-3i)(3+2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7,则a的值为A.1B.0C.2D.-23．函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是A.(0，–2]B.[–2，+∞)C.(–∞，–2]D.[2，+∞)4．以AB为直径的半圆如图所示,其中||=8,O为其所在圆的圆心,OB的垂直平分线与圆弧交于点P,与AB交于点D,Q为PD上一点,若=0,则·=A.9B.15C.-9D.-155．已知lg a+lg b=0,函数f(x)=a x与函数g(x)=-log b x的图像可能是A BC D6．袋子中有四个小球,分别写有“和”“平”“世”“界”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“和”“平”两个字都取到才算完成.用随机模拟的方法估计恰好取三次便完成的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,0,1,2,3代表的字分别为“和”“平”“世”“界”,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,随机模拟产生了以下24组随机数组:由此可以估计,恰好取三次便完成的概率为A. B. C. D.7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE 与平面BB1C1C所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°8．执行如图所示的程序框图,若输入的k=,则输出的S=A. B. C. D.9．已知等差数列的前项和分别为,若,则的值是A. B. C. D.10．若x1,x2∈R,则的最小值是A.1B.2C.3D.411．已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为A.4x-3y-3=0B.3x-4y-3=0C.3x-4y-4=0D.4x-3y-4=012．若a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是A.若a⊥b,b⊥α,α⊥β,则a⊥βB.若α⊥β,a⊥α,b∥β,则a⊥bC.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥bD.若a∥b,a⊥α,b∥β,则α∥β第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为.14．已知{a n}是递增的等差数列,其前n项和为S n,且S2=S7,写出一个满足条件的数列{a n}的通项公式a n= .15．已知数列{a n}的前n项和为S n,a n+2S n=3n,数列{b n}满足(3a n+2-a n+1)(n∈N*),则数列{b n}的前10项和为.16．已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上.若△PF1F2为直角三角形,且tan∠PF1F2=,则双曲线的离心率为.评卷人得分三、解答题(共7题，共70分)17．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(+C)=.(1)求角A;(2)若a=4,△ABC的周长为9,求△ABC的面积.18．如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,BB1⊥底面ABCD,E是棱CC1的中点.(1)求证:AC∥平面B1DE;(2)求证:平面BDD1B1⊥平面B1D E.19．2020年12月10日,首届全国职业技能大赛在广州广交会展馆拉开帷幕,活动为期4天,2 557名参赛选手围绕86个比赛项目展开激烈角逐.大赛组委会秘书长、人社部职业能力建设司司长张立新表示,这次大赛是新中国成立以来规格最高、项目最多、规模最大、水平最高的综合性国家职业技能赛事.为了准备下一届比赛,甲、乙两支代表队各自安排了10名选手参与选拔活动,他们在活动中取得的成绩(单位:分,满分100分)如下:甲代表队:95 95 79 93 86 94 97 88 81 89乙代表队:88 83 95 84 86 97 81 82 85 99(1)分别求甲、乙两支代表队成绩的平均值,并据此判断哪支代表队的成绩更好;(2)甲、乙两支代表队的总负责人计划从这两支队伍得分超过90分的选手中随机选择4名参加强化训练,记参加强化训练的选手来自甲代表队的人数为X,求X的分布列和数学期望.20．已知椭圆的右焦点为,过且与轴垂直的弦长为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过作直线与椭圆交于两点,问在轴上是否存在点,使为定值,若存在,请求出点坐标,若不存在,请说明理由.21．已知函数f(x)=(x-2)e x-x2+ax,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)+(x+1)e x+x2-2ax+a>0恒成立,求a的取值范围.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
辽宁省大连市瓦房店市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题(含答案)
2022—2023学年度第二学期期末质量检测试卷八年级数学2023.7注意事项：1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
2．本试卷共六大题，25小题，满分120分。
考试时间100分钟。
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题四个选项中，只有一个选项正确）1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A ．4，5，6B ．2，3，4C ．3，4，5D ．1，32．已知一次函数的图象经过点，则k 的值为（）A ．1B ．4C ．D ．3．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．下列结论不一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，直线经过点，则关于x 的不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．5．下列运算正确的是（）AB ．CD6．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC 的长为（）6y kx =+(2,2)A -4-1-AB BC ⊥AC BD ⊥AC BD =OA OC=(0)y kx b b =+>(1,0)0kx b +<1x >1x <1x ≥1x ≤=4==2=60B ∠=︒20cm AC =A ．20cmB ．30cmC ．40cmD ．7．某校组织数学学科竞赛选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，具体情况如下表，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（）甲乙丙丁平均分91939391方差32322121A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．点，是一次函数图象上的两点，若，则与的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在矩形ABCO 中，点B 的坐标是，则AC 的长为（）ABC ．3D10．如图，点D ，E ，F 分别是三边的中点，则下列判断：①四边形AEDF 一定是平行四边形；②若AD 平分，则四边形AEDF 是正方形；③若，则四边形AEDF 是菱形；④若，则四边形AEDF 是矩形．()11,A x y ()22,B x y 23y x =--12x x <1y 2y 12y y >12y y <120y y >>12y y =(1,3)ABC △BAC ∠AD BC ⊥90BAC ∠=︒正确的是（）A ．①②③④B ．①④C ．①②④D ．①③④二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11x 的取值范围是__________．12．如图，在中，，，，则__________．13．在中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，，则__________．14．在平面直角坐标系中，将直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，则得到平移后的直线解析式为：__________．15．小明同学参加学校举办三项演讲比赛：内容，语言表达和形象风度三项得分分别为85分、90分、82分，若这三项依次按照60%，30%，10%的百分比确定成绩，则她的成绩为__________．16．如图，在正方形ABCD中，点E 在对角线AC上，且；延长BE 交CD 于点F ，连接DE ，则的度数为__________．三、解答题（本题共4小题，其中17题，19题各9分，18题7分，20题8分，共33分）17．计算：（1）（218．如图，四边形ABCD 是平行四边形，．求证：．19．某跳水训练基地为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图1和图2．Rt ABC △90C ∠=︒30A ∠=︒1BC =AC =ABC △3DE =BC =21y x =+72ABE ∠=︒DEF ∠)22+--DF BE =AE CF =请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次调查的样本容量大小是__________，图1中a 的值为__________；（2）请把条形统计图补充完整；（3）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点．（1）求一次函数的函数解析式；（2）若直线AB 上有一点C ，且的面积为4，直接写出点C 的坐标：__________．四、解答题（本题共2小题，其中21题8分，22题7分，共15分）21．如图，在中，对角线BD 的垂直平分线EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：四边形BEDF 为菱形．22．如图，在四边形ABCD 中，，，，，．求的面积．五、解答题（本题共2小题，23题10分，24题12分，共22分）23．甲、乙两人沿同一条直路走步，都从这条路上的A 处向B 处出发，都以不变的速度同向而行，甲先走1min 后乙再开始行走，如图，甲、乙两人之间的距离S （单位m ）与点甲行走时间x （单位min ）的函数图象．（1）甲的速度是__________m/min ，乙的速度是___________m/min ；（2）__________min；(1,0)A -(0,2)B -BOC △ABCD 90ACB ∠=︒15AB =9BC =5AD =13DC =ACD △a b -=（3）甲出发多少时间：甲、乙两人第一次相距80m ．24．某学校计划在租用6辆客车总费用不超过2300元的限额内组织师生集体外出研学活动，若每位老师带队12名学生，则还剩8名学生没老师带；若每位老师带队13名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4030租金（元/辆）400320（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？六、解答题（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 交y 轴于点，交x 轴于点，若直线交AB 于点D ，交x 轴于点E ，P 是直线上一动点，在点D 的上方，设．（1）直接写出直线AB 的函数解析式：__________；（2）直接写出的面积S 关于n 的函数解析式：__________；（3）当时，延长PA 交x 轴于点C ，以PC 为边在第二象限内求一点F ，使为等腰直角三角形．八年级数学参考答案一、选择题1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D7．C8．A9．D10．D二、填空题11．1213．614．15．86.2分16．三、解答题(0,1)A (3,0)B 1x =1x =(1,)P n APB △2APB S =△PCF △2x ≥26y x =-54︒17．（1）．（2．18．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，即，∴四边形AECF 是平行四边形，∴．19．解：（1）40，20；（2）17岁的人数为：（人），补全条形统计图如下图：（3）这组跳水运动员年龄数据的平均数是：（岁），15岁出现了12次，次数最多，所以众数为15岁；按大小顺序排列，中间两个数都为15岁，则中位数为15岁．20．解：（1）设一次函数的解析式为：，把点，点代入中可得：，解得：，∴一次函数的解析式为：；（2），．四、解答题21．证明：∵EF 垂直平分BD ，∴，，．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴，∴，．在和中，)22+-5334=-+-+9=-4=-+=//AD BC AD BC =//AF EC BE DF =AD DF BC BE -=-AF EC =AE CF =4025%10⨯=(13414615121681710)4015.35⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=y kx b =+(1,0)A -(0,2)B -y kx b =+02k b b -+=⎧⎨=-⎩22k b =-⎧⎨=-⎩22y x =--(4,10)-(4,6)-OB OD =EB ED =FB FD =//AD BC EDO FBO ∠=∠DEO BFO ∠=∠ODE △OBF △DEO BFOEDO FBOOD OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，∴．∴．∴四边形BEDF 为菱形．22．解：在中，，，，∴，∴，∴．∵，，∴，．∵，∴，∴．∴，∴．∴．∴的面积为30．五、解答题23．解（1）60，80；（2）；（3）由（1）知：甲的速度为60m/min ，乙的速度为80m/min ，当甲，乙相距最大距离120m 时，甲到达B 地，设甲从A 地到达B 地共步行x min ，则有，解得，则．∴，∵，设直线AB 的函数解析式为，∴，解得．∴．令，∴，解得，所以甲出发8min ，甲、乙两人第一次相距80m ．24．解：（1）设参加此次研学活动的老师有x 人，学生有y 人，依题意得，，解得：，答：参加此次研学活动的老师有14人，学生有176人；（2）∵租车总辆数为6辆，设租甲型客车m 辆，则乙型客车辆，依题意得：，解得：，∵m 为正整数，∴或2或3或4，∴共有4种租车方案．设租车总费用为w 元，则，∵，∴w 的值随值的增大而增大，当时，w 取得最小值，最小值为．ODE OBF ≌△△DE BF =BE DE BF DF ===ABC △90ACB ∠=︒15AB =9BC =222AC BC AB +=22222159144AC AB BC =-=-=12AC =5AD =13DC =22525AD ==2213169DC ==2216925144DC AD -=-=222DC AD AC -=222DC AD AC =+90DAC ∠=︒DA AC ⊥111253022ACD S AC AD =⋅=⨯⨯=△ACD △2-120806060x x =--9x =9110(min)a =+=(10,20)B (4,0)A y kx b =+1201004k b k b =+⎧⎨=+⎩2080k b =⎧⎨=-⎩2080y x =-80y =802080x =-8x =128136x y x y +=⎧⎨-=⎩14176x y =⎧⎨=⎩(6)m -4030(6)17614400320(6)2300m m m m +-≥+⎧⎨+-≤⎩1 4.75m ≤≤1m =400320(6)801920w m m m =+-=+800>m 1m =80192080119202000w m =+=⨯+=∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2000元．六、解答题25．解：（1）；（2）（3）当时，由（2）得，，解得，∴点，∴．∵，，，∴，设直线AP 的函数的解析式为，∴，解得，∴直线AP 的函数的解析式为．令，则，∴，∴，∴，，∴．∵，∴，①如图，当，时，∴，∴，过点F 作直线于点H ，，∵，∴四边形CEHF 为矩形．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴点．②如图，当，时，∴，113y x =-+312n -2PAB S =△3212n =-2n =(1,2)P 2PE =(1,0)E (3,0)B (0,1)A 2PE =y kx b =+21k b b =+⎧⎨=⎩11k b =⎧⎨=⎩1y x =+0y =01x =+1x =-(1,0)C -1(1)2CE =--=1CO =PE CE =90CEP ∠=︒45ACE EPA ∠=∠=︒90CPF ∠=︒PC PF =45FAP AFP ∠=∠=︒454590FCE FAP ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒FH ⊥1x =90FHP ∠=︒90AEH ∠=︒2FH CE ==180180904545FPH CPF EPA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒90904545PFH FPH ∠=︒-∠=︒-︒=︒PFH FPH ∠=∠2HP FH ==224HE HP PE =+=+=(1,4)F -90FCP ∠=︒CF CP =45CFP CPF ∠=∠=︒过点F 作轴于H ，∴，∵，∴．∴．∴．∵，，∴四边形FHEP 为矩形，∴．，∵，∴．③如图，当，时，令FP 交y 轴于G ，∴，∵，，∴四边形FCEP 为矩形，，∴，∵，∴，∴四边形FCOG 为矩形，∴．∴．综上所述点F 的坐标为或或．FH x ⊥90FHC ∠=︒180180904545HCF FCP ACE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒90904545HFC HCF ∠=︒-∠=︒-︒=︒HFC HCF ∠=∠HC FH =454590FPE CPF EPA ∠=∠+∠=︒+︒=︒90PEC ∠=︒2FH PE ==2114FP HE HC CO OE FH CO OE ==++=++=++=413HO FP OE =-=-=(3,2)F -90CFP ∠=︒CF FP =45FCP FPC ∠=∠=︒454590FCE FCP ACE ∠=∠+∠=︒+︒=︒454590FPE FPC EPA ∠=∠+∠=︒+︒=︒FP PE ⊥2FC PE ==//AO PE FG AO ⊥1FG CO ==(1,2)F -(1,4)-(3,2)-(1,2)-。
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2022年大连市高三双基测试 数学（理科）参考答案及评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依据试题的主要考查内容比
照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步消灭错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题 1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.D 8.C 9.B 10.C 11.D 12.B 二．填空题
13.22yx 14. 15 15.12,12,2nnn 16.34 三．解答题 17.解：
（Ⅰ）由题可得72,2()122122kkkZ，……………………3分 解得2，22()3kkZ，∵||，∴23. ………………………6分 （Ⅱ）∵*222sin()()33nnannN，数列*22{2sin()}()33nnN的周期为3. 前三项依次为0,3,3，…………………………………………………………………9分 ∴32313(32)0(31)33(3)3nnnaaannn*()nN， ∴30123282930()()103Saaaaaa. ………………………………12分
18. （Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，…………………………………………………4分 甲的中位数在区间)3,2[内，乙的中位数在区间[1,2)内，所以甲的中位数
大. ……………………………………………………6分 （Ⅱ） （ⅰ）估量在甲电商购物的消费者中，购物小于3千元的概率为35；…………………8分
（ⅱ）由题可得购物金额小于3千元人数3~(5,)5XB，………………………………10分 ∴3326()53,()55555EXDX.……………………………………………12分 19. （Ⅰ）法一：过E作//EGFD交AP于G，连接CG， 连接AC交BD于O，连接FO. ∵//EGFD，EG面BDF，FD面BDF，
,EGCE面∴//EG面BDF，又EGCEE，//CE面BDF，
CGE,
∴面//CGE面BDF，………………………………3分 又CG面CGE，∴//CG面BDF， 又面BDF面PACFO，CG面PAC， ∴//FOCG. 又O为AC中点，∴F为AG中点，∴1FGGP， ∴E为PD中点，:1:1PEED.…………………6分 法二:
取BC中点G，连接AG，∵ABCD是60ABC的菱形，
∴AGAD，又PA面ABCD，∴分别以AG、AD、AP 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系Axyz如图所示.
则333333(0,3,0),(,,0),(,,0),(0,0,1),(0,0,3),2222DBCFP ∴339(0,3,1),(,,0)22DFDB，…………………………………………………2分 设面BDF的一个法向量(,,)nxyz，
消费金额(单位:千元)
频率组距
0.10.20.15
54320.350.250.050.30.4O1消费金额
(单位:千元)
频率组距
54320.350.250.20.150.10.050.30.4O1
OGE
F
CAD
B
P
GEF
CAD
B
Py
z
x则由00nDFnDB可得30339022yzxy，不妨令3z，则解得3,1xy， ∴(3,1,3)n. ……………………………………………………………………………4分 设(0,3,3)PEPD，则333(,3,33)22CECPPE， ∵//CE面BDF，∴0nCE，即93399022，解得12. ∴:1:1PEED.……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ） 法一: 过点B作BH直线DA交DA延长线于H，过点H作HI直线DF交DF于I，……………………………………………8分 ∵PA面ABCD，∴面PAD面ABCD， ∴BH面PAD，由三垂线定理可得DIIB， ∴BIH是二面角ADFB的平面角. 由题易得3339,,222AHBHHD， 且110HIAFHDDF，∴91020HI， ∴332030tan23910BIH，…………………………………………………10分 ∴二面角ADFB的大小为30arctan3.……………………………………………12分 法二: 接（Ⅰ）法二，明显面PAD的一个法向量(1,0,0)m，………………………8分 ∴39cos,||||13mnmnmn.………………………………………………………10分 ∴二面角ADFB的大小为39arccos13.…………………………………………12分 20.解: （Ⅰ）法一：A点横坐标为c，代入椭圆得22221cyab， 解得22||||byAFa，∴236bca.……………………………………………………2分 即2236acac，设cea，∴23106ee，解得32e.…………………4分 法二：直角12AFF中，1223||2,||6FFcAFc，∴由勾股定理得22211||412AFcc，即
173||6AFc，……………………………………………………………………………2分
∴733432663accc，∴32ca，即32e……………………………4分 （Ⅱ）设00(0,),(0,),(,)MbNbPxy， 则MP方程为00ybyxbx，令0y得到R点横坐标为00bxby；…………………6分 NP方程为00ybyxbx，令0y得到Q点横坐标为00bxby；……………………8分
22220
222
20
222200
()||||4,byabbxb
OROQabyby
∴223,1cb,∴椭圆C的方程为2214xy.………………………………………12分 21. 解：（Ⅰ） 法一：'()xfxea. （1）当0a时，()xfxe，∴0)(xf在xR上恒成立；……………………1分 （2）当0a时，'()0fx可得lnxa，'()0fx可得lnxa.∴()fx在(,ln)a为减函数，在(ln,)a为增函数.∴()(ln)ln2afxfaaaa，
要使得0)(xf在xR上恒成立，必有ln02aaaa，即ae. 综上实数a的取值范围为[0,]e.…………………………………………………………4分
FCAD
B
PHI法二：若0)(xf在xR上恒成立，即1()2xeax. (1) 当12x时，∵0a，0xe，∴原不等式明显成立；…………………………1分
(2)当12x时，有12xeax，设()12xehxx，则21()2'()1()2xexhxx. ∴'()hx在1(,)2上大于0；在11(,)22上小于0. ∴()hx在1(,)2上单调递增；在11(,)22上单调递减. min1()()2hxhe，∴ae. 综上：实数a的取值范围为[0,]e.………………………………………………………4分 （Ⅱ）设()ln(0)2egxexxx，则1'()(0)gxexx， '()0gx，可得1xe；'()0gx，可得10xe. ∴()gx在1(,)e上单调递增；在1(0,)e上单调递减. ……………………………8分 ∴13()()2egxge，∵1.64872e，∴1.6e，∴()2.3gx.…10分 由（Ⅰ）可得2xeeex，∴lnxex的最小值大于2.3，若mxexln对任意0x恒成立，则m的最大值肯定大于2.3.……………………………………………………12分 22．（Ⅰ）证明：由题可知,DABC为⊙O的切线. ∵90DOC，∴90AODBOC；∵90OBC，∴90OCBBOC； ∴AODOCB，∴AOD∽BCO，∴OCBCODOA，…………………………2分 又∵AOOB，∴OCBCODOB，∴RtOCD∽RtBCO，∴OCDBCO， ∴CO是BCD的平分线，∴圆心O到CD的距离等于半径OB，∴CD是⊙O的切线.………………………………5分 （Ⅱ）若DACB，明显可得111CEDE.…………6分 若DACB，不妨设DACB. 过E作EFAB交AB于F，过C作CGAD交AD于G，交EF于H. 由（Ⅰ）可得,DADECBCE，在CGD中， 有EHCEGDCD，即2CECEDECECEDE，化简得111CEDE. 综上：111CEDE.………………………………………………………………………10分 23.解：（Ⅰ）将1C化为一般方程为222()xaya，其极坐标方程为2cosa，由题可得当0时，||1OA，∴12a.……………………………………………2分 将2C化为一般方程为222()xybb，其极坐标方程为2sinb,由题可得当2时，||2OB，∴1b.………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由,ab的值可得1C，2C的方程分别为cos，2sin,
∴222||||||2cos2sincossin2cos21OAOAOB 2sin(2)14，………………………………………………………………………6分
52[,],2sin(2)14444最大值为21，当2,428时取
到.……………………………………………………………………………………………10分 24. （Ⅰ）∵0a，∴115(0)||||2faaaa，即25102aa， 解得2a或102a.…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）13,2111()|2|||,2113,axaxaafxxaxxaxaaaxaxaa, …………………………………………………………………………………………………6分 当2ax时，1()2afxa；当12axa时，1()2afxa；