中考折叠问题解题方法
中考数学折叠知识点总结
中考数学折叠知识点总结一、折叠的基本概念1. 折叠是指将平面图形按照一定的方式对折使其成为一个新的图形的过程。
2. 折痕是指将纸张折叠成新形状所需的折痕线。
3. 折叠时需要确保折线上的点重合，折线上的两个点到折线的距离分别相等。
二、折叠和几何1. 折叠与几何题目密切相关，我们可以通过折叠的方式来解决一些几何题目。
2. 折叠可以用来求解线段的垂直平分线、两点之间的最短距离、平行线的位置关系等问题。
三、折叠的技巧1. 折叠时需要仔细测量折痕的位置，可以使用尺子或折痕工具来辅助。
2. 折叠时需要保持手的稳定，避免折痕偏差，影响折叠结果。
3. 折叠后要仔细检查折线上的点是否重合，以确保折痕的正确性。
四、折纸作图1. 折纸作图是指通过对纸张进行折叠来完成一些几何图形的作图。
2. 折纸作图可以用来完成正多边形、平行四边形、圆等几何图形的作图。
3. 折纸作图可以通过折叠来求解一些几何问题，如平行线的位置关系、角的平分线、两点之间的最短路径等。
五、折纸拼图1. 折纸拼图是指通过折叠纸张来完成一些图形拼图的过程。
2. 折纸拼图可以用来完成一些常见的几何图形，如正方形、长方形、三角形等。
3. 折纸拼图可以通过分析图形的属性和对称关系来完成，需要灵活运用折叠的技巧来完成。
六、折纸数学问题1. 折纸数学问题是指通过折叠纸张来解决一些数学问题的过程。
2. 折纸数学问题可以用来求解一些几何题目，如平行线的位置关系、角的平分线、相似三角形等。
3. 折纸数学问题需要综合运用折叠的技巧和几何知识来完成，可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。
七、折纸的启发1. 折纸可以培养学生的空间想象和创造力，有利于学生的综合能力发展。
2. 折纸可以激发学生对数学的兴趣，通过折叠来解决数学问题，有助于学生更好地理解和应用数学知识。
3. 折纸可以激发学生对数学的好奇心和求知欲，有助于培养学生的数学思维和创新能力。
总结：折叠知识是中考数学的重要知识点，通过对折叠的基本概念、折叠和几何、折叠的技巧、折纸作图、折纸拼图、折纸数学问题和折纸的启发等方面的学习，我们可以更好地掌握折叠知识，提高数学解题的能力和创新思维。
中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析
专题02 中考折叠问题的归类解析【专题综述】折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．【方法解读】一、折叠与平行例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝___．【来源】2013-2014学年江苏省宜兴市和桥学区七年级下学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】95°在△BMN中，∠B=180°-（∠BMN+∠BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．翻折变换（折叠问题）．【解读】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【举一反三】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证：EDB EBD∠=∠；（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．【来源】2015中考真题分项汇编第1期专题4 图形的变换【答案】【解析】试题解析：（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠CDB =∠EBD∴∠EDB=∠EBD(2) ∵∠EDB=∠EBD∴DE=BE由折叠可知：DC=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB∴AE=EF∴∠EAF=∠EFA△BED中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°即2∠EDB+∠DEB=180°同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°∵∠DEB=∠AEF∴∠EDB= ∠EFA∴AF∥BD考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和二、折叠与全等例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。
中考数学中的折叠问题
DC E FD 'C 'B 'D A B C M EF 中考数学中的折叠问题 为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。
几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。
处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。
所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。
即对应角相等，对应线段相等。
有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。
这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。
例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）A 、85°B 、90°C 、95°D 、100°分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。
由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ，''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合，则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11()18022BMC CMC ∠+∠=⨯°= 90°，故选B 。
例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、'D 。
已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（ ）A 、31°B 、28°C 、24°D 、22°分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。
根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。
初中数学中考二轮复习重难突破专题04 折叠问题(含答案)
专题04 折叠问题重点分析在中考，这是必考内容，主要考查形式包括：单纯判断对称图形的识别；利用对称图形的性质求点坐标；利用折叠的对称性性质的相关计算与证明。
难点解读考点：轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′性质对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．真题演练1.如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为，则的长为____，的长为____．【答案】①. ②.【解析】由折叠得，，，设DF=x，则AF=8-x，，由勾股定理得DF=，，过作，过D作DM⊥于M，根据面积法可得，，再由勾股定理求出，根据线段的和差求出，最后由勾股定理求出；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，由折叠得，，设DF=x，则AF=8-x，又Rt中，，即解得，，即DF=∴过作，过D作DM⊥于M，∵∴，解得，∵∴，解得，∴∴∴；故答案为：6；．【点拨】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．2.如图，在中．，点是边上一动点．连接，将沿折叠，点落在处，当点在内部（不含边界）时，长度的取值范围是___________．【答案】【解析】分别求出当落在AC和BC上时的长度即可.【详解】∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，∴，当点落在AC上时，如图，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，∴∠ADB==90°，∵，∴，当点落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，∴∠ABD=∠DBC=45°，∵DH⊥AB，∴∠HDB=∠HBD=45°，∴BH=DH，∵，∴HD=2AH=BH，∵AB=AH+BH=2AH+AH=2，∴，，∴，∴当点在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围为．【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．3.如图，长方形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD=17，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为______．【答案】或【解析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．【详解】如图1，∵折叠，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E=∠D=90°，∵∠AD′B=90°，∴B.D′、E三点共线，又∵ABD′∽△BEC，AD′=BC，∴ABD′≌△BEC，∴BE=AB=17，∵BD′==15，∴DE=D′E=17﹣15=2；如图2，∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∠D″=∠BCE，AD″=BC，∠CBE=∠BAD″，∴△ABD″≌△BEC，∴BE=AB=17，∴DE=D″E=17+15=32．综上所知，DE=2或32．故答案为2或32．【点拨】本题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．4.在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2 cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN 沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．【答案】或2【解析】分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD ∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D.E.N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）．【详解】解：分两种情况，①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，∴CG=CD=1，∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，∵M为AB的中点，∴AM=BM=1，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM，DM＝DM，∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=120°，∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D.E.N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3-x）²+（）² =（x+2）²，解得：x=，即BN=；②当CE=CD时，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（符合题干要求）；综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或2；故答案为或2．【点拨】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，BP=__________________________．【答案】或．【解析】分两种情况探讨：①点B落在矩形对角线BD上，②点B落在矩形对角线AC上，由三角形相似得出比例式，即可得出结果．【详解】①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3∴∠ABC=90°，AC=BD，∴AC=BD==5．根据折叠的性质得：PC⊥BB′，∴∠PBD=∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴，即，解得：BP=．②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示．根据折叠的性质得：BP=B′P，∠B=∠PB′C=90°，∴∠AB′A=90°，∴△APB′∽△ACB，∴，即，解得：BP=．故答案为或．【点拨】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由三角形相似得出比例式是解决问题的关键．6.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为_____．【答案】或10【解析】【详解】试题分析：根据题意，可分为E点在DC上和E在DC的延长线上，两种情况求解即可：如图①，当点E在DC上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，所以FQ=2，设FE=x，则FE=x，QE=4-x，在Rt△EQF中，（4-x）2+22=x2，所以x=．（2）如图②，当，所以FQ=点E在DG的延长线上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，所以FQ=8，设DE=x，则FE=x，QE=x-4，在Rt△EQF中，（x-4）2+82=x2，所以x=10，综上所述，DE=或10.7.如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是________．【答案】或【解析】存在两种情况：当=DC时，连接ED，根据勾股定理可得ED的长，可判断E，A´，D三点共线，根据勾股定理即可得出结论；当=时，证明AEA´F是正方形，于是得出结论．【详解】解：①当=DC时，如图1，连接ED，∵点是的中点，，，四边形是矩形，∴AD=BC=，∠A=90°，∴DE=，∵将沿所在直线翻折，得到，∴A´E=AE=2，A´D=DC=AB=4，∴DE=A´E+A´D=6，∴点E，A´，D三点共线，∵∠A=90°，∴∠FA´E=∠FA´D=90°，设AF=x，则A´F=x，FD=-x，在Rt△FA´D中，，解得x=，∴FD=3；②当=时，如图2，∵=，∴点A´在线段CD的垂直平分线上，∴点A´在线段AB的垂直平分线上，∵点是的中点，∴EA´是AB的垂直平分线，∴∠AEA´=90°，∵将沿所在直线翻折，得到，∴∠A=∠EA´F=90°，AF=FA´，∴四边形AEA´F是正方形，∴AF=AE=2，∴DF=．故答案为或．【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．分类讨论思想的运用是解题的关键．8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE 所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为____或___【答案】3或【解析】△AB′F为直角三角形，应分两种情况进行讨论.当∠AFB′为直角时，利用勾股定理求出B′E，也就是BE的长，便求出AE．当∠AB′F为直角时，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N，构造Rt△B′EF，利用勾股定理便可求出AE.【详解】解：①当B′D⊥AE时，△AB′F为直角三角形，如下图：根据题意，BE=B′E,BD= B′D=BC=. ∠B=∠EB′F∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵在Rt△BDF中，∠B=30°∴DF=BD=∴B′F=B′D-DF=-=∵在Rt△B′EF中，∠EB′F =30°∴EF=B′E,∵B′F===EF,即=EF,∴EF=，则BE=1，∴AE=AB-BE=4-1=3.②当D B′⊥A B′时，△AB′F为直角三角形，如下图：连接AD，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N.根据题意，BE=B′E,BD=CD=B′D=BC=. ∠B=∠EB′F ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵∠AB′F=90°∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°∴Rt△AB′N中，∠AB′N=60°，∠B′AN=30°在Rt△AB′D和Rt△ACD中∴Rt△AB′D≌Rt△ACD（H L）∴AB′=AC=2∴B′N=1,AN=设AE=x,则BE= B′E=4-x∵在Rt△AEN中，∴()2+(4-x+1)2=x2∴x=综上，AE的长为3或.【点拨】本题是一道综合题，涉及到直角三角形全等的判定，30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识.9.如图，在矩形中，，，将点绕点逆时针旋转，点的对应点为.的平分线交于，且.若点落在矩形的边上，则的值为______.【答案】或【解析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD 边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【详解】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC−BE＝a−a＝a．∵∠B′AD＝∠EB′C＝90°−∠AB′D，∠D＝∠C＝90°，∴△ADB′∽△B′CE，∴，即，解得a1＝，a2＝−（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键。
初二数学培优专题(5)——折叠问题(答案详解)
初二数学培优专题（5）
答案 (一)正方形内的十字架结构
【例 1】如图，将边长为 4 的正方形纸片 ABCD 折叠，使得点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点 F
在 AD 边，求折痕 FG 的长；
【解析】连接 AE，由轴对称的性质可知，AE⊥FG（应该是 FG 垂直平分 AE）
这样就可以直接用上面的结论啦！所以由垂直得到相等，所以 FG=AE= 42 22 2 5
在 AD 边，求折痕 FG 的长；
【变式 2】如图,将边长为 A 落在 F 处,折痕为 MN.
的正方形 ABCD 折叠,使点 D 落在 BC 边的中点 E 处,点
(1)求线段 CN 的长;
(2)求以线段 MN 为边长的正方形的面积;
(3)求线段 AM 的长度.
1
初二数学培优专题（5）
（二）折痕垂直于对称点的连线
,即
;
(2)在
中,
,
,
由勾股定理得:
,
如图,过点 M 作
于点 G,则由题意可知
,
.
连接 DE,交 MG 于点 I.
由折叠可知,
在
与
(3)
, ,
. 中,
,
. ;
, .
, (对顶角相等),
.
7
初二数学培优专题（5）
（二）折痕垂直于对称点的连线
结论：折痕上的点到对应点距离相等
【例 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，将矩形折叠使得点 D 与 BC 上的点 E 重合，折 痕分别交 AB、CD 于点 G、F，若 BE=1，求 AG 的长．
（四）折叠中的分类讨论
【例 4】如图，矩形 ABCD 中， AB 3 ， BC 4 ，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把 B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B＇处。当 CEB ' 为直角三角形时，BE 的长为_____ 。
中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题(距离问题)
中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题（距离问题）专题二矩形的折叠中的距离或线段长度问题【典例】在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图例1-1 图例1-2 图例1-3【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'P A的角平分线，与AD的交点即为点Q. 由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形. 所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。
作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A 的落点A '，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ 的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.1、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A ′处，当△A ′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2 【分析】根据△A ′DC 为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A 'D =A 'C ，②A 'D =DC ，③CA '=CD ，分别求得AP 的长，并判断是否符合题意．【解析】①如图，当A ′D =A ′C 时，过A ′作EF ⊥AD ，交DC 于E ，交AB 于F ，则EF 垂直平分CD ，EF 垂直平分AB∴A 'A =A 'B ，由折叠得，AB =A 'B ，∠ABP =∠A 'BP ，∴△ABA '是等边三角形，∴∠ABP =30°，∴AP =2 3333==； ②如图，当A 'D =DC 时，A 'D =2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'D =2+2=4连接BD ，则R t △ABD 中，BD =2222 2425AB AD +=+= ，∴A 'B +A 'D ＜BD （不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD =CA '时，CA '=2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'C =2+2=4，∴点A '落在BC 上的中点处此时，∠ABP =12∠ABA '=45°，∴AP =AB =2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为或2．故选C.【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3 B．32C．2或3 D．3或32【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在R t△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP 与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )A．PGCG =13B．△PBC是等边三角形C．AC＝2AP D．S△B G C＝3S△A G P【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段C G、A G之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，AC，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝√3，BC＝3，∴AC＝2√3，AB＝12∴∠ACB＝30°；由翻折变换的性质得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，B G＝P G，∴G C＝√3B G＝√3P G，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；B G，C G＝3A G，∴S△BC G＝3S△AB G；由射影定理得：B G2＝C G•A G，∴A G＝√33由题意得：S△AB G＝S△A G P，∴S△B G C＝3S△A G P，故选项D正确；故选：A．【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．4、如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．【分析】由矩形的性质和已知条件OP OF =，可判定OEF OBP ∆≅∆,设EF x =，根据全等三角形的性质及矩形的性质可用含x 的式子表示出DF 和AF 的长，在Rt ADF ∆根据勾股定理可求出x 的值，即可确定AF 的值. 【解析】四边形ABCD 是矩形, ∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠= DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的，∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=B E ∴∠=∠，又,FOE POB OP OF ∠=∠= ，∴OEF OBP ∆≅∆（AA S ）,EF BP OE OB ∴==，BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==- ，5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=- 解得67x = 620277AF ∴=+= 故答案为：207【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为__．【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】设BE=x，则：EF=x，AE=3-x在R t△ABC中，由勾股定理得：AC在R t△EBC中，由勾股定理得:EC由折叠可知CF=CB=2，所以：AF=AC-CF-2.【小结】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.6、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【分析】利用勾股定理求出CE ，再证明CF =CE 即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA ′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在R t △BCE 中，EC，∴CF ＝CE＝，∵AB ＝CD ＝6，∴DF＝CD ﹣CF ＝6﹣，当点F在DC 的延长线上时，易知EF ⊥EF′，CF ＝CF ′＝，∴DF ＝CD +CF ′＝，故答案为6﹣或．【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE 的等腰三角形，属于中考常考题型．==7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在R t△A′CD与R t△DBA中，，∴R t△A′CD≌R t△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【解析】连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在R t△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5，故答案为：510、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在R t△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在R t△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中，∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在R t△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在R t△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．13、在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在R t△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在R t△CEG和△FEG中，，∴R t△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在R t△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．。
备战中考--第39讲几何图形折叠问题--(附解析答案)
备战2019 中考初中数学导练学案50 讲第39 讲几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角” 的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1. 常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆. 2. 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州?3 分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD 于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′ B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin ∠ABE=2. （2017 山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F 是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F 重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π -108 B ．108-32 π C．2π D．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ ABC沿AC折叠，使点B 落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）4. （2018·山东青岛· 3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（）A．B．3 2 C． 3 D．3 3D．5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC 上，把这个矩形沿 EF 折叠后，使点 D 恰好落在 BC 边上的 G 点处，若矩形面积为 4 且∠AFG=60°， GE=2BG ， 则折痕 EF 的长为（）A ．1B ．C ． 2D ．、填空题：6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，已知 Rt △ABC 中，∠ B=90°，∠ A=60°， AC=2 +4，点 M 、N 分别在线段 AC.AB 上，将△ANM 沿直线 MN 折叠， 使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当△ DCM 为直角三角形时，折痕 MN 的长为．7. （2018·山东威海· 8 分）如图，将矩形 ABCD （纸片）折叠，使点 B 与 AD 边上的点 K 重合，EG 为折痕；点C 与AD 边上的点 K 重合， FH 为折痕．已知∠ 1=67.5°， ∠2=75°， EF=+1，则 BC 的长．处，点 C 落在点 H 处，已知∠ DGH=3°0，连接8. （2018·湖南省常德 ·3 分）如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 GBG ，则∠ AGB=三、解答与计算题：9. （2018·广东· 7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．10. （2018?山东枣庄?10 分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长．能力篇】、选择题：11. （ 2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形 落在 BC 边的中点 A 1处， BC=8，那么线段 AE 的长度为 （ ）12. （ 2018·四川省攀枝花·3 分）如图，在矩形 ABCD 中， E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩 形 ABCD ，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC ，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点，连结 CP 并延长 CP 交 AD 于 Q 点．给出以下结论：① 四边形 AECF 为平行四边形；② ∠PBA=∠APQ ；③ △FPC 为等腰三角形；④ △APB ≌△EPC ．其中正确结论的个数为（ABC （∠ B=90°）沿 EF 折叠，使点 AD ．7A ．1B ． 2C ．3D ．413.2018·湖北省武汉 3 分）如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 上，将弧 沿 BC 折叠后刚好经过AB 的中点D．若⊙ O的半径为，AB=4，则BC的长是（）C．、填空题：14. （2018 ·辽宁省葫芦岛市）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△ BCE沿BE折叠后得到△ BEF、将BF 延长交AD 于点G ．若=，则且点 F 在矩形ABCD的内部，15. （2018·四川宜宾· 3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△ CBE沿CE折叠，使点B 落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③ （写出所有正确结论的序号）①当E 为线段AB中点时，AF∥CE；②当E 为线段AB中点时，AF=9；5③当A、F、C三点共线时，AE=④当A、F、C三点共线时，△ CEF≌△．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11 分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC 沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD 上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD 的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，① 求证：BP=BF；② 当AD=25，且AE< DE 时，求cos∠ PCB的值；③ 当BP=9 时，求BE?EF的值．17. （2018·广东·7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．18. （2018?江苏盐城? 10 分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、. 将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使. 求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.探究篇】19. （2018 年江苏省泰州市?12 分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE 折叠，使点B 落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E 恰好与点D重合（如图②）1）根据以上操作和发现，求的值；2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H 重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠ HPC=9°0 ；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P 在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20. （2018 年江苏省宿迁）如图，在边长为 1 的正方形ABCD中，动点E、F 分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B 的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，1）当AM= 时，求x 的值；2）随着点M 在边AD上位置的变化，△ PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x 之间的函数表达式，并求出S的最小值.第39 讲几何图形折叠问题疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角” 的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1. 常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆. 2. 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州?3 分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′ B．∠ EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin ∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴ AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠ EBD=∠EDB 正确．∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE ∴sin ∠ABE= ．故选： C ．点评】本题主要用排除法，证明 A ，B ，D 都正确，所以不正确的就是 C ，排除法也是数学 中一种常用的解题方法．2. （2017 山东烟台） 如图 1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形 AOB ．已知 OA=6，取 OA 的中点 C ，过点 C 作 CD ⊥OA 交 于点 D ，点 F 是 上一点．若将 扇形 BOD 沿 OD 翻折，点 B 恰好与点 F 重合，用剪刀沿着线段 BD ，DF ，FA 依次剪下，则剪下 的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ ）．A ．36π -108B ． 108-32 πC ．2πD ．π【考点】 MO ：扇形面积的计算； P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ ODC ∠= BOD=3°0 ，作 DE ⊥OB 可得 DE= OD=3，先根据 S 弓形 BD =S 扇形BOD ﹣ S △ BOD 求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．解答】解：如图，∵ CD ⊥ OA ，∴∠ DCO=∠AOB=9°0 ，D 、∵ sin ∠ABE= ，∴∠ ODC=∠BOD=3°0 ，作 DE ⊥ OB 于点 E ，则 DE= OD=3，则剪下的纸片面积之和为 12×（ 3π﹣ 9）=36π﹣ 108，故答案为： 36π﹣ 108．故选 A3. （2017浙江衢州） 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=4，BC=6，将△ ABC 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处， CE 交 AD 于点 F ，则 DF 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．考点】 PB ：翻折变换（折叠问题） ； LB ：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB ，∠E=∠B=90°，易证 Rt △AEF ≌Rt △ CDF ，即可得到结 论 EF=DF ；易得 FC=FA ，设 FA=x ，则 FC=x ，FD=6﹣ x ，在 Rt △CDF中利用勾股定理得到关于∴S 弓形 BD =S 扇形 BOD ﹣ S △ BOD =×6×3=3π 9，∵OA=OD=OB=，6OC= OA= OD ，x 的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ ABC落在△ ACE的位置，∴AE=AB，∠ E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠ AFE=∠DFC，∵在△ AEF与△ CDF中，，∴△ AEF≌△ CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=，4∵Rt △AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）则FD=6﹣x=实用文档20故选：B ．4. （2018·山东青岛· 3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（）分析】由折叠的性质可知∠ B=∠EAF=45°，所以可求出∠ AFB=90°，再直角三角形的性质解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A 重合，∴∠ B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E 为AB中点，∴EF= 1 AB，EF= 3，22∵∠BAC=90°，AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．D． 3 3可知EF∴AB=AC=3，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF 的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠ DFE=∠ GFE，结合∠ AFG=60°即可得出∠ GFE=60°，进而可得出△ GEF为等边三角形，在Rt △GHE中，通过解含30 度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠ DFE=∠GFE．∵∠ GFE+∠DFE=180°﹣∠ AFG=12°0 ，∴∠GFE=60°．∵AF∥ GE，∠ AFG=60°，∴∠ FGE=∠AFG=60°，∴△ GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠ FGE=60°，∠ FGE+∠HGE=9°0 ，∴∠ HGE=3°0 ．在Rt△GHE中，∠HGE=3°0 ，∴GE=2HE=C，E∴GH= = HE= CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4．EC∵矩形ABCD的面积为4 ，∴4EC? EC=4 ，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠ B=90°，∠ A=60°，AC=2 +4，点M、N分别在线段AC.AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A 的对应点D恰好落在线段BC 上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．解答】解：分两种情况：①如图，当∠ CDM=9°0 时， △CDM 是直角三角形，∵在 Rt△ABC 中，∠ B=90°，∠ A=60°，AC=2 +4 ，∴∠ C=30°，AB= AC= 叠可得：∠ MDN= ∠ A=60°，∴∠ BDN=3°0 ，∴ BN= DN= AN ，∴ BN= AB=，∴∠ ANM= ∠ DNM=6°0 ，∴∠ AMN=6°0 ，∴ AN=MN=DN= AN ， BD\1AB= ，∴ AN=2 ，BN= ，过 N 作 NH ⊥AM 于 H ，则∠ ANH=30° ，∴AH=AN=1 ， HN= ，由折叠可得：∠ AMN= ∠DMN=45° ，∴△ MNH 是等腰直角三角形，∴HM=HN= ，∴ MN= ．，由折 ∵∠ DNB=6°0 AN=2BN= ②如图，当∠ CMD=9°0 时， △CDM 是直角三角形，由题可得： ∠CDM=6°0 ，∠ A= ∠ MDN=6°0 ，∴∠ BDN=6°0 ，∠BND=3°0 ，∴BD= BN故答案为：或．7. （2018·山东威海· 8 分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B 与AD边上的点K 重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠ 1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．【分析】由题意知∠ 3=180°﹣2∠1=45°、∠ 4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF= x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K 作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF= x，∴ x+ x= +1，解得：x=1，∴EK= 、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ + ，∴BC的长为3+ + ．点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8. （2018·湖南省常德·3 分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G 处，点C落在点H处，已知∠ DGH=3°0 ，连接BG，则∠ AGB= 75° ．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠ EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠ EBG=∠EGB．，然后再根据∠ EGH﹣∠ EGB=∠ EBC﹣∠ EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠ AGB=∠ BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠ EGH=∠ABC=90°，∴∠ EBG=∠EGB．∴∠ EGH﹣∠ EGB=∠EBC﹣∠ EBG，即：∠ GBC=∠BGH．又∵ AD∥ BC，∴∠ AGB=∠GBC．∴∠ AGB=∠BGH．∵∠DGH=3°0 ，∴∠ AGH=15°0 ，∴∠ AGB= ∠AGH=7°5 ，故答案为：75【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9. （2018·广东· 7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ ADE≌△ CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠ DEF=∠ EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△ DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ ADE和△ CED中，，∴△ ADE≌△ CED（SSS）．∴∠ DEA=∠EDC ，即∠ DEF=∠EDF ，∴EF=DF ，∴△ DEF 是等腰三角形．点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是： 1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE 、 AE=CD ；（ 2）利用全等三角形的性质找出 ∠DEF=∠EDF ．10. （2018?山东枣庄 ?10 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处， 过点 E 作 EG ∥CD 交 AF 于点 G ，连接 DG ．（1）求证：四边形 EFDG 是菱形；（2）探究线段 EG 、GF 、 AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6， EG=2 ，求 BE 的长．【分析】（ 1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠ DGF=∠DFG ，从而得到 GD=DF ，接下 来依据翻折的性质可证明 DG=GE=DF=E ；F（2）由（ 1）得△ ADE ≌△（2）连接DE，交AF 于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明△ DOF ∽△ ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△ FGH∽△ FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵ GE∥DF，∴∠ EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=G，E DF=EF，∠ DGF=∠EGF，∴∠ DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=E．F∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2= GF?AF．理由：如图1 所示：连接DE，交AF 于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥ DE，OG=OF= GF．∵∠ DOF=∠ADF=90°，∠ OFD=∠ DFA，∴△ DOF∽△ ADF．，即DF2=FO?AF．∵FO= GF，DF=EG，∴EG2= GF?AF．3）如图2 所示：过点G作GH⊥ DC，垂足为H．∵EG2= GF?AF，AG=6，EG=2 ，∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）∵DF=GE=2 ，AF=10，∴AD= =4 ．∵GH⊥ DC，AD⊥ DC，∴GH∥ AD．∴△ FGH∽△ FAD．∴GH=∴BE=AD ﹣ GH=4 ﹣ =【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、 菱形的判定和性质、 相似三角形的性质和判定、 勾股定理的应用， 利用相似三角形的性质得 到DF 2=FO?AF 是解题答问题 （ 2）的关键，依据相似三角形的性质求得 GH 的长是解答问题 （3）的关键．能力篇】、选择题：11. （ 2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形 ABC （∠ B=90°）沿 EF 折叠，使点 A落在 BC 边的中点 A 1处， BC=8，那么线段 AE 的长度为 （ ） ．解答】解： 由折叠的性质可得 AE=A 1E ．∵△ ABC 为等腰直角三角形， BC=8，∴ AB=8．2∵A 1为 BC 的中点， ∴A 1B=4，设 AE=A 1E=x ，则 BE=8﹣ x ．在 Rt △A 1BE 中， 由勾股定理可得 42+（8﹣ x ） 2=x 2，解得 x=5．故答案为： 5．故选 BA ．4B ． 5C ． 6D ．7∴ ，即 = ．12. （2018·四川省攀枝花·3 分）如图，在矩形ABCD中，E 是AB 边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F 点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴ EC 垂直平分BP，∴ EP=EB，∴∠ EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴ AE=EB，∴ AE=EP，∴∠ PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠ PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴ AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ ABP=∠APQ ，故②正确；③∵AF ∥EC ，∴∠ FPC=∠PCE=∠BCE ．∵∠PFC 是钝角，当△BPC 是等边三角形， 即∠BCE=30°时， 才有∠ FPC=∠FCP ，如右图，△PCF 不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC ， AD=BC=P ，C ∠ADF=∠EPC=90°，∴ Rt △EPC ≌△FDA （ HL ）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠ FAD=∠AB P ，当 BP=AD 或△BPC 是等边三角形时，△ APB ≌△ FDA ， ∴△APB ≌△EPC ，故④不正确； 其中正确结论有①②， 2 个．故选 B ．13. （2018·湖北省武汉 ·3 分）如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 上，将弧沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D ．若⊙ O 的半径为 ， AB=4，则 BC 的长是（）②∵∠ APB=90°，∴∠ APQ+∠BPC=90°，由折叠得： BC=PC ，∴∠ BPC=∠PBC ．【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥ CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥ AB，则AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到= ，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2 ．【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥ AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D 为AB的中点，∴OD⊥ AB，∴AD=BD= AB=2，在Rt△OBD中，OD= ( 5)2 22=1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，∴CE=CF+EF=2+1=，3而 BE=BD+DE=2+1=，3∴BC=3 ．故选： B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线， 必连 过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．二、填空题：∵点 E 是 CD 的中点，∴ EC=DE∵将△BCE 沿BE 折叠后得到 △BEF 、且点 F 在矩形 ABCD 的内部， ∴EF=DE ，∠ BFE=90° ．在14. （2018 ·辽宁省葫芦岛市 ） 如图，在矩形 折叠后得到△BEF 、 且点 F 在矩形 ABCD 的内将 BF 延长交 AD 于点 G ．若 = ，则在Rt △OCF 中，CF= ( 5)2 12 =2，ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，将△ BCE 沿BE解答】 解：连接GE ．，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵ = ，∴设 DG=FG=a ，则 AG=7a ，故 AD=BC=8a ，则 BG=BF+FG=9a ，∴ AB=15. （2018·四川宜宾· 3分）如图，在矩形 ABCD 中， AB=3，CB=2，点 E 为线段 AB 上的动点，将△ CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 ①②③ （写出 所有正确结论的序号） ①当 E 为线段 AB 中点时， AF ∥CE ；②当E 为线段 AB 中点时， AF=9；5③当 A 、 F 、C 三点共线时， AE=④当 A 、 F 、 C 三点共线时，△ CEF ≌△ AEF ．=4 a ，故故答案为：考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．分析】分两种情形分别求解即可解决问题；解答】解：如图1 中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠ EAF=∠EFA，∵∠ CEF=∠CEB，∠ BEF=∠ EAF+∠EFA，∴∠ BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥ AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC= = ，∵∠ AME=∠B=90°，∠ EAM=∠ CEB，∴△ CEB∽△ EAM，=，∴AM= ，9∴AF=2AM= ，故②正确，5如图2 中，当A、F、C 共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF= 13 ﹣2，在Rt △ AEF中，∵ AE2=AF2+EF2，∴x =（﹣2）+（3﹣x）∴x=∴AE= ，故③正确，如果，△ CEF≌△ AEF，则∠ EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16.（2018·湖北省宜昌 ·11 分）在矩形 ABCD 中，AB=12，P 是边 AB 上一点，把△PBC沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G ，过点 B 作 BE ⊥CG ，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F ．（1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证： △AEB ≌△DEC ； （2）如图 2，① 求证： BP=BF ；② 当 AD=25，且 AE < DE 时，求 cos ∠ PCB 的值；【分析】（1）先判断出 ∠ A=∠D=90°，AB=DC 再判断出 AE=DE ，即可得出结论；（2） ① 利用折叠的性质，得出 ∠PGC=∠PBC=9°0，∠BPC=∠GPC ，进而判断出 ∠GPF=∠PFB 即可得出结论；② 判断出 △ABE ∽ △DEC ，得出比例式建立方程求解即可得出 AE=9， DE=16，再 判断出 △ECF ∽△GCP ，进而求出 PC ，即可得出结论； ③ 判断出 △GEF ∽ △EAB ，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中， ∠A=∠D=90°，AB=DC ， ∵E 是 AD 中点，∴AE=DE ， 在△ABE 和△DCE 中，三、解答与计算题：③ 当 BP=9 时，求 BE?EF 的值．∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）① 在矩形ABCD，∠ABC=9°0，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90，°∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；② 当AD=25 时，∵∠BEC=90，°∴∠AEB+∠CED=90，°∵∠AEB+∠ABE=90，°∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90 ，° ∴△ABE∽△DEC，∴，∴，设AE=x，∴ DE=25﹣x，∴，∴，∴x=9 或x=16，∵AE<DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，设BP=BF=PG=，y∴，∴y=在Rt△PBC中，PC= ，cos∠PCB= = ；③ 如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90，∵BF∥PG，BF=PG，∴?BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴ BE?EF=AB?GF=12 × 9．=108【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17. （2018·广东·7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ ADE≌△ CED（SSS）；2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠ EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△ DEF是等腰三角形．解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ ADE和△ CED中，，∴△ ADE≌△ CED（SSS）．2）由（1）得△ ADE≌△ CED，∴EF=DF ，∴△ DEF 是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是： （1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE 、 AE=CD ；（ 2）利用全等三角形的性质找出 ∠DEF=∠EDF ．18. （2018?江苏盐城? 10 分）如图，在以线段为直径的 上取一点，连接 、. 将 沿 翻折后得到 .（1）试说明点 在 上；（2）在线段 的延长线上取一点 ，使 . 求证： 为 的切线； （3）在（ 2）的条件下，分别延长线段、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长 . 【答案】（ 1）解：连接 OC ，OD，∴∠ DEA=∠EDC ，即∠ DEF=∠EDF ，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙ O的半径，∴点D在⊙ O上。
2023年中考数学【选择题】讲练必考重点03 几何变换之翻折问题
【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。
几何的翻折问题，本质上考查的是轴对称的性质，常和矩形相结合。
在解题时，首先要明确折叠前后的图形全等，折叠前后的对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点之间的连线，在结合矩形、菱形、三角形等的性质，运用勾股定理，列出方程，求出相应的线段长度。
【2022·江苏连云港·中考母题】如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF ∥EC ；②AB ；③GE DF ；④OC ；⑤△COF ∽△CEG ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④⑤D ．②③④【考点分析】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【思路分析】由折叠的性质知∠FGE =90°，∠GEC =90°，点G 为AD 的中点，点E 为AB 的中点，设AD =BC =2a ，AB =CD =2b ，在Rt △CDG 中，由勾股定理求得b ，然后利用勾股定理再求得DF =FO =【2021·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB C '，B C '交AD 于点E ，连接B D '，若60B ∠=︒，45ACB ∠=︒，AC =B D '的长是（ ）A．1BC D 【考点分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【思路分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC 为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE 得长，进而得出ED 的长，再根据勾股定理可得出B D '；1．（2022·江苏苏州·二模）如图把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 的对应点为B ′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．BC ＝12ACB ．AE ＝CEC ．AD ＝DE D ．∠DAE ＝∠CAB2．（2022·江苏南京·二模）如图，矩形ABCO ，点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标为()2,4-．将△ABC 沿AC 翻折，得到△ADC ，则点D 的坐标是（ ）A．612,55⎛⎫⎪⎝⎭B．65,52⎛⎫⎪⎝⎭C．312,25⎛⎫⎪⎝⎭D．35,22⎛⎫⎪⎝⎭3．（2022·江苏泰州·一模）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝11，EN＝2，则FO的长为（）A B C D4．（2022·江苏宿迁·三模）已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，1∠与2∠的数量关系是（）A．12135∠+∠=︒B．2115∠-∠=︒C．1290∠+∠=︒D．22190∠-∠=︒5．（2022·江苏苏州·二模）如图①，②，③，④，两次折叠等腰三角形纸片ABC，先使AB与AC重合，折痕为AD，展平纸片：再使点A与点C重合，折痕为EF，展平纸片，AD、EF交于点G．若5cmAB AC==，6cmBC，则DG的长为（）A．3cm4B．7cm8C．1cm D．7cm66．（2022·江苏·苏州中学二模）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（）A．85︒B．82.5︒C．65︒D．50︒7．（2022·江苏扬州·二模）如图，在矩形ABCD中，2AB=，BC=E是BC的中点，将ABE△沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan ECF∠的值为（）A B C．23D8．（2022·江苏苏州·模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC 边上的点F处，若3AB=，5BC=，则tan FEC∠的值为（）．A．12B．35C．34D．459．（2022·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y＝kx（k≠0）图象经过点C．且S△BEF＝1，则k的值为（）A．18B．20C．24D．2810．（2022·江苏·江阴市第一初级中学一模）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A=∠1-∠2B．3∠A=2（∠1-∠2）C．3∠A=2∠1-∠2D．∠A=∠1-∠211．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=32，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN 翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（）A B C D12．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级）如图，在ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将BDE 沿DE 翻折，得到B DE '，若点C 恰好在线段B D '上，若90BCD ∠=︒，DC ：3CB '=：2，AB =CE 的长度为（ ）A．B C ．D 13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，将△ACD 沿CD 对折得△A ′CD ．连接BA '，连接AA ′交CD 于点E ，若14cm AB =，4cm BA '=，则CE 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm14．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级）如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将△BDE 沿翻折，得到△B 'DE ，若点C 恰好在线段B 'D 上，若∠BCD ＝90°，DC ：CB '＝3：2，AB ＝CE 的长度为（ ）A．B ．4C ．D ．615．（2022·江苏·九年级专题练习）如图①，AB ＝5，射线AM ∥BN ，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ ∥AB ．设AP ＝x ，QD ＝y ．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点E (9，2)，则cos B 的值等于（ ）A．25B．12C．35D．71016．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（）A B C D17．（2022·江苏南通·九年级）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB 翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°18．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD 上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A ．2B ．74C D ．319．（2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AD =，3BC =．劣弧BC 沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O ．当对角线BD 最大时，则弦AB 的长为（ ）A B ．C ．32D ．【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。
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中考折叠问题解题方法
在中考数学中，折叠问题通常涉及到图形的对称性、重合等概念。
解决折叠问题的方法主要包括以下几个步骤：
理解问题：仔细阅读题目，理解图形的折叠方式，明确题目中的要求和条件。
观察图形：给定图形可能是一个平面图形，通过折叠后形成一个三维立体图形。
观察图形的对称性，找出可以重合的部分。
标记关键点：在图形的关键部位标记点，这有助于分析和计算折叠后的位置。
利用对称性：如果题目中提到折叠是对称的，可以利用对称性质，找到对应部分的重合点。
应用数学知识：有时需要应用一些几何知识，如角度、直线段长度等，计算折叠后的位置。
确定关系：找到折叠后各部分的关系，可以是平行、重合、相交等。
画图解题：在草稿纸上画出图形，通过手动折叠或模拟折叠的方式，帮助理清思路。
检查答案：完成计算后，要检查答案是否符合题目的要求，尤其是对称性和重合性。
以下是一个简单的折叠问题的解题示例：
题目：若正方形纸张上有一只小猫，如图所示。
问折叠后两只小猫是否重合？
（图示一只小猫）
解题步骤：
观察图形，确定折叠轴。
在小猫的关键点标记，如眼睛、鼻子等。
利用对称性，确定折叠后的位置。
画出折叠后的图形。
检查关键点，判断是否重合。
通过以上步骤，可以较为清晰地解决折叠问题。
在实际考试中，应保持冷静，有条理地分析，避免粗心错误。