有理数的加减法(基础)知识讲解
第二章 有理数的运算 考点2 有理数的减法(解析版)
第二章有理数的运算（解析板）2、有理数的减法知识点梳理有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算同步练习一．选择题（共14小题）1．有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则（）A．a+b＜0B．a+b＞0C．a﹣b＝0D．a﹣b＞0【考点】数轴；有理数的加法；有理数的减法．【分析】先根据数轴判断出a、b的正负情况，以及绝对值的大小，然后对各选项分析后利用排除法求解．【解答】解：根据图形可得：a＜﹣1，0＜b＜1，∴|a|＞|b|，A、a+b＜0，故A选项正确；B、a+b＞0，故B选项错误；C、a﹣b＜0，故C选项错误；D、a﹣b＜0，故D选项错误．故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法、减法，根据数轴判断出a、b的情况，以及绝对值的大小是解题的关键．2．某地一天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则该地这天的温差是（）A．10℃B．﹣10℃C．6℃D．﹣6℃【考点】有理数的减法．【分析】根据题意算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：8﹣（﹣2）＝8+2＝10，则该地这天的温差是10℃，故选：A．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．3．比﹣1小2的数是（）A．3B．1C．﹣2D．﹣3【考点】有理数的减法．【分析】根据题意可得算式，再计算即可．【解答】解：﹣1﹣2＝﹣3，故选：D．【点评】此题主要考查了有理数的减法，关键是掌握减去一个数，等于加上这个数的相反数．4．计算﹣﹣（﹣）的结果为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：﹣﹣（﹣）＝＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟记运算法则是解答本题的关键．减去一个数，等于加上这个数的相反数．5．我市2018年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2018年温差列式正确的（）A．（+39）﹣（﹣7）B．（+39）+（+7）C．（+39）+（﹣7）D．（+39）﹣（+7）【考点】有理数的减法．【分析】根据题意列出算式即可．【解答】解：根据题意得：（+39）﹣（﹣7），故选：A．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．若|a|＝3，|b|＝2，且a+b＞0，那么a﹣b的值是（）A．5或1B．1或﹣1C．5或﹣5D．﹣5或﹣1【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴a＝±3，b＝±2；∵a+b＞0，∴a＝3，b＝±2．当a＝3，b＝﹣2时，a﹣b＝5；当a＝3，b＝2时，a﹣b＝1．故a﹣b的值为5或1．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出a、b的值是解答此题的关键．7．﹣3﹣（﹣2）的值是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣5【考点】有理数的减法．【分析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案．【解答】解：﹣3﹣（﹣2）＝﹣3+2＝﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键．8．下列算式正确的是（）A．（﹣14）﹣5＝﹣9B．|6﹣3|＝﹣（6﹣3）C．（﹣3）﹣（﹣3）＝﹣6D．0﹣（﹣4）＝4【考点】有理数的减法．【分析】分别求出每个式子的每一部分的值，再根据结果判断即可．【解答】解：A、（﹣14）﹣5＝（﹣14）+（﹣5）＝﹣14﹣5＝﹣19，故本选项错误；B、|6﹣3|＝3，﹣（6﹣3）＝﹣3，即|6﹣3|和﹣（6﹣3）不相等，故本选项错误；C、（﹣3）﹣（﹣3）＝0，故本选项错误；D、0﹣（﹣4）＝0+（+4）＝4，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算和绝对值，相反数等知识点，主要考查学生的计算能力和辨析能力．9．已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a+b＞0B．a﹣b＞0C．﹣a＞﹣b＞a D．a•b＞0【考点】数轴；有理数的加法；有理数的减法．【分析】根据数轴得出a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可．【解答】解：从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，A、a+b＜0，不正确；B、a﹣b＜0，不正确；C、﹣a＞﹣b＞a，正确；D、a•b＜0，不正确；故选：C．【点评】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大．10．某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（）星期一二三四最高气温10℃12℃11℃9℃最低气温3℃0℃﹣2℃﹣3℃A．星期一B．星期二C．星期三D．星期四【考点】有理数的减法．【分析】用最高温度减去最低温度，结果最大的即为所求；【解答】解：星期一温差10﹣3＝7℃；星期二温差12﹣0＝12℃；星期三温差11﹣（﹣2）＝13℃；星期四温差9﹣（﹣3）＝12℃；故选：C．【点评】本题考查有理数的减法；能够理解题意，准确计算有理数减法是解题的关键．11．已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（）A．3B．﹣3C．﹣13D．13【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】根据绝对值的性质和有理数的加法法则确定b的值，再代入计算可得．【解答】解：∵|b|＝8，∴b＝±8，又∵a＝5，a+b＜0，∴b＝﹣8，则a﹣b＝5﹣（﹣8）＝13，故选：D．【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则和绝对值的性质．12．若a＞0，b＜0，那么a﹣b的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定【考点】有理数的减法．【分析】原式利用有理数的减法法则判断即可．【解答】解：∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，故选：A．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．若x的相反数是5，|y|＝8，且x+y＜0，那么x﹣y的值是（）A．3B．3或﹣13C．﹣3或﹣13D．﹣13【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】由相反数的定义可知x＝﹣5，由绝对值的性质可知y＝±8，由x+y＜0可知x ＝﹣5，y＝﹣8，最后代入计算即可．【解答】解：∵﹣5的相反数是5，∴x＝﹣5．∵|y|＝8，∴y＝±8．∵x+y＜0，∴x＝﹣5，y＝﹣8．∴x﹣y＝﹣5﹣（﹣8）＝﹣5+8＝3．故选：A．【点评】本题主要考查的是有理数的减法、绝对值、相反数，根据题意确定出x、y的值是解题的关键．14．已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，其中结论正确的个数是（）A．4个B．2个C．3个D．1个【考点】数轴；绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】根据图示，可得：a＞0，然后根据a+b＜0，逐项判断即可．【解答】解：∵a＞0，a+b＜0，∴b＜0，∴①符合题意；∵a＞0，a+b＜0，∴b＜0，∴a﹣b＞0，∴②不符合题意；∵a＞0，a+b＜0，∴b＜﹣a＜a＜﹣b，∴③符合题意；∵a＞0，a+b＜0，∴|a|＜|b|，∴④符合题意，∴结论正确的有3个：①、③、④．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．二．填空题（共17小题）15．已知，|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝﹣2c．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c的正负，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：∵|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，∴a为非正数，b为负数，c为非负数，∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，则原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，故答案为：﹣2c【点评】此题考查了有理数的减法，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．16．已知a、b互为相反数，且|a﹣b|＝6，则b﹣1＝2或﹣4．【考点】相反数；绝对值；有理数的减法．【分析】由a、b互为相反数，可得a+b＝0；由于不知a、b的正负，所以要分类讨论b 的正负，才能利用|a﹣b|＝6求b的值，再代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0即a＝﹣b．当b为正数时，∵|a﹣b|＝6，∴b＝3，b﹣1＝2；当b为负数时，∵|a﹣b|＝6，∴b＝﹣3，b﹣1＝﹣4．故答案填2或﹣4．【点评】本题主要考查了代数式求值，涉及到相反数、绝对值的定义，涉及到绝对值时要注意分类讨论思想的运用．17．若|a|＝8，|b|＝5，且a+b＞0，那么a﹣b＝3或13．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可．【解答】解：∵|a|＝8，|b|＝5，∴a＝±8，b＝±5；∵a+b＞0，∴a＝8，b＝±5．当a＝8，b＝5时，a﹣b＝3；当a＝8，b＝﹣5时，a﹣b＝13；故a﹣b的值为3或13．【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出a、b的值是解答此题的关键．18．计算：﹣1﹣2＝﹣3．【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法运算法则，减去一个是等于加上这个数的相反数进行计算．【解答】解：﹣1﹣2＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个是等于加上这个数的相反数是解题的关键．19．已知|x|＝3，|y|＝7，且x+y＞0，则x﹣y的值等于﹣4或﹣10．【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】先根据绝对值的化简法则得出x与y的值，再根据x+y＞0，分类讨论计算即可．【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝7∴x＝3或x＝﹣3；y＝7或y＝﹣7，又∵x+y＞0，∴当x＝3，y＝7时，x﹣y＝3﹣7＝﹣4；故答案为：﹣4或﹣10．【点评】本题考查了有理数的加减法和绝对值的化简，熟练掌握相关运算法则并分类讨论是解题的关键．20．|﹣7﹣3|＝10．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据有理数的减法运算法则和绝对值的性质进行计算即可得解．【解答】解：|﹣7﹣3|＝|﹣10|＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了有理数的减法运算法则和绝对值的性质，是基础题，熟记法则和性质是解题的关键．21．已知|x|＝5，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，则x﹣y＝﹣8或﹣2．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，再根据负数的绝对值等于它的相反数判断出x﹣y＜0，然后求解即可．【解答】解：∵|x|＝5，y2＝9，∴x＝±5，y＝±3，∵|x﹣y|＝y﹣x，∴x﹣y＜0，∴x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8，或x﹣y＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣5+3＝﹣2，综上所述，x﹣y＝﹣8或﹣2．故答案为：﹣8或﹣2．【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，有理数的乘方，熟记运算法则和性质是解题的关键．22．若|a|＝3，|b|＝2，则a﹣b的绝对值为5或1．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，将a、b的值代入求出|a﹣b|的值即可．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴a＝±3，b＝±2，当a＝﹣3，b＝2时，|a﹣b|＝|﹣3﹣2|＝5；当a＝3，b＝2时，|a﹣b|＝|﹣2|＝1；当a＝3，b＝﹣2时，|a﹣b|＝|3+2|＝5；a﹣b的绝对值为5或1．故答案为：5或1．【点评】主要考查了绝对值的性质，要求会灵活运用该性质解题．要牢记以下规律：（1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．（2）|a|＝﹣a时，a≤0；|a|＝a时，a≥0．（3）任何一个非0的数的绝对值都是正数是解题的关键．23．甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、﹣15m和﹣10m，那么最高的地方比最低的地方高35m．【考点】正数和负数；有理数的减法．【分析】根据正负数的意义判断出最高和最低的地方，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：甲地最高的，乙地最低，20﹣（﹣15），＝20+15，＝35（m）．故答案为：35．【点评】本题考查了有理数的减法，正负数的意义，熟记运算法则是解题的关键．24．若a＜0，b＜0，|a|＜|b|，则a﹣b＞0．【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算，结合绝对值的性质确定运算符号，再比较大小．【解答】解：∵a＜0，b＜0，|a|＜|b|∴a﹣b＞0．【点评】本题考查了有理数的减法运算，要会熟练运用法则进行计算，并掌握绝对值的性质及其运用．有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．有理数加法法则：两个数相加，取较大加数的符号，并把绝对值相加．25．某天的最高气温为8℃，最低气温为﹣2℃，则这天的温差是10℃．【考点】有理数的减法．【分析】求这天的温差，即最高温度减去最低温度，再进一步根据有理数的减法法则进行计算．【解答】解：根据题意，得8﹣（﹣2）＝10（℃）．故答案为10．【点评】此题考查了有理数的减法法则，即减去一个数等于加上这个数的相反数．26．|a|＝4，|b|＝6，则|a+b|﹣|a﹣b|＝±8．【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】根据|a|＝4，|b|＝6，可以得到a、b的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝6，∴a＝±4，b＝±6，当a＝4，b＝6时，|a+b|﹣|a﹣b|＝|4+6|﹣|4﹣6|＝10﹣2＝8；当a＝4，b＝﹣6时，|a+b|﹣|a﹣b|＝|4+（﹣6）|﹣|4﹣（﹣6）|＝﹣8；当a＝﹣4，b＝6时，|a+b|﹣|a﹣b|＝|﹣4+6|﹣|﹣4﹣6|＝﹣8；当a＝﹣4，b＝﹣6时，|a+b|﹣|a﹣b|＝|﹣4+（﹣6）|﹣|（﹣4）﹣（﹣6）|＝8；由上可得，|a+b|﹣|a﹣b|＝±8，故答案为：±8．【点评】本题考查有理数的加减法和绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．27．计算：|﹣1|＝．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】首先根据有理数的减法法则，求出﹣1的值是多少；然后根据一个负数的绝对值等于它的相反数，求出|﹣1|的值是多少即可．【解答】解：|﹣1|＝|﹣|＝．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．28．（﹣38）﹣（﹣24）﹣（+65）＝﹣79【考点】有理数的减法．【分析】先去括号，再算加减．【解答】解：（﹣38）﹣（﹣24）﹣（+65）＝﹣38+24﹣65＝（﹣38﹣65）+24＝﹣103+24＝﹣79故答案为：﹣79【点评】本题考查了有理数的加减法．掌握去括号法则和有理数的加减法法则是解决本题的关键．29．在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是1或﹣5．【考点】数轴；有理数的减法．【分析】此题注意考虑两种情况：要求的点在已知点的左侧或右侧．【解答】解：在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5．【点评】注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏掉任一种情况．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的思想．30．若a＜0，b＜0，|a|＞|b|，则a﹣b＜0．（填“＞”“＜”或“＝”）【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据a＜0，b＜0，|a|＞|b|，先判断a、b的符号和它们的绝对值的大小，再把减法转化为加法，根据加法法则确定和的符号．【解答】解：∵a＜0，b＜0，∴﹣b＞0|a|＞|b|，即|a|＞|﹣b|∴a﹣b＝a+（﹣b）＜0【点评】本题考查了有理数的绝对值及有理数的减法．先把减法转化为加法，利用加法法则判断和的符号．31．计算：3﹣|﹣5|＝﹣2．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值表示的数，根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：3﹣|﹣5|＝3﹣5＝3+（﹣5）＝﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题考查了有理数的减法，先求绝对值，再求有理数的减法．三．解答题（共10小题）32．计算：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）．【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法的运算方法，应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）＝﹣（﹣）﹣9﹣12＝1﹣21＝﹣20【点评】此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，注意加法交换律和加法结合律的应用．33．已知|a|＝5，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再判断出a、b的对应情况，然后相加即可得解．【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝3，∴a＝±5，b＝±3，∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a＝﹣5时，b＝3或﹣3，∴a+b＝﹣5+3＝﹣2，或a+b＝﹣5+（﹣3）＝﹣8，所以，a+b的值是﹣2或﹣8．【点评】本题考查了有理数的减法，有理数的加法和绝对值的性质，难点在于确定a、b 的值的对应情况．34．观察下面的等式：﹣1＝﹣|﹣+2|+3；3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3；1﹣1＝﹣|1+2|+3；（﹣）﹣1＝﹣|+2|+3；（﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3回答下列问题：（1）填空：﹣3﹣1＝﹣|5+2|+3；（2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是0；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】（1）根据a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3即可求解；（2）由（1）的规律即可求解；（3）由（1）可得|4﹣a|＝4﹣a，根据非负数的性质即可求解．【解答】解：观察可知：a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3，则（1）﹣3﹣1＝﹣|5+2|+3；（2）已知2﹣1＝﹣|x+2|+3，则x的值是﹣4或0；（3）由a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3，可得|4﹣a|＝4﹣a，则4﹣a≥0，解得a≤4，即y的最大值是4，此时的等式是4﹣1＝﹣|﹣2+2|+3．故答案为：﹣3；0．【点评】考查了有理数的减法，非负数的性质，关键是得到算式的特征是a﹣1＝﹣|2﹣a+2|+3．35．已知|m|＝4，|n|＝6，且|m+n|＝m+n，求m﹣n的值．【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】首先根据绝对值的性质得到m、n的值，然后再根据绝对值的性质确定m、n的值，进而可得m﹣n的值．【解答】解：∵|m|＝4，|n|＝6，∴m＝±4，n＝±6，∵|m+n|＝m+n，∴m+n≥0，∴m＝±4，n＝6，∴当m＝4，n＝6时，m﹣n＝﹣2，当m＝﹣4，n＝6时，m﹣n＝﹣10，综上：m﹣n＝﹣2或﹣10．【点评】此题主要考查了有理数的减法，以及绝对值的性质，关键是掌握绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．36．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＜b，求a﹣b的值．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，注意在条件的限制下a，b的值剩下2组．a ＝3时，b＝5或a＝﹣3时，b＝5，所以a﹣b＝﹣2或a﹣b＝﹣8．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5．∵a＜b，∴当a＝3时，b＝5，则a﹣b＝﹣2．当a＝﹣3时，b＝5，则a﹣b＝﹣8．故a﹣b的值是﹣8或﹣2．【点评】考查了有理数的减法，绝对值，本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个．两个绝对值条件得出的数据有4组，再添上a，b大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错．37．若|a|＝5，|b|＝3，（1）求a+b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】（1）由|a|＝5，|b|＝3可得，a＝±5，b＝±3，可分为4种情况求解；（2）由|a+b|＝a+b可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3，代入计算即可．【解答】解：（1）∵|a|＝5，|b|＝3，∴a＝±5，b＝±3，当a＝5，b＝3时，a+b＝8；当a＝5，b＝﹣3时，a+b＝2；当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b＝﹣8．（2）由|a+b|＝a+b可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3．当a＝5，b＝3时，a﹣b＝2，当a＝5，b＝﹣3时，a﹣b＝8．【点评】此题主要用了分类讨论的方法，各种情况都有考虑，不能遗漏．38．计算题﹣5﹣（﹣3）﹣（﹣4）﹣[﹣（﹣2）]【考点】相反数；有理数的减法．【分析】先去括号，再根据有理数的加减法法则计算即可．【解答】解：原式＝﹣5+3+4﹣2＝（3+4）﹣（5+2）＝7﹣7＝0．【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟记有理数减法法则是解答本题的关键．减去一个数，等于加上这个数的相反数．39．有理数a，b，c位置如图所示：（1）填空：a+b＜0，b﹣1＜0，a﹣c＜0，1﹣c＞0（2）计算：|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|﹣|1﹣c|【考点】绝对值；有理数的加法；有理数的减法．【分析】（1）根据图示，可得：b＜a＜0＜c＜1，据此逐项判断即可．（2）根据绝对值的含义和求法，求出|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|﹣|1﹣c|的值是多少即可．【解答】解：（1）∵b＜a＜0＜c＜1，∴a+b＜0，b﹣1＜0，a﹣c＜0，1﹣c＞0．（2）|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|﹣|1﹣c|＝﹣（a+b）+（b﹣1）+（a﹣c）﹣（1﹣c）＝﹣2故答案为：＜、＜、＜、＞．【点评】此题主要考查了有理数的加减法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．40．若a、b、c是有理数，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝8，且a，b同号，b，c异号，求a﹣b﹣（﹣c）的值．【考点】绝对值；有理数的减法．【分析】根据绝对值的意义，可得到a、b、c取值的可能情况，再根据a，b同号，b，c 异号，确定出a，b，c的值，代入原式计算即可得出结果．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝10，|c|＝8，∴a＝±3，b＝±10，c＝±8，∵a，b同号，b，c异号，∴a＝3，b＝10，c＝﹣8或a＝﹣3，b＝﹣10，c＝8，①当a＝3，b＝10，c＝﹣8时，a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝﹣15；②当a＝﹣3，b＝﹣10，c＝8时，a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝15；综上，a﹣b﹣（﹣c）的值是15或﹣15．【点评】此题考查绝对值、有理数减法的意义及计算法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．41．有一只青蛙，坐在深井底，井深4m，青蛙第一次向上爬了1.2m，又下滑了0.4m；第二次向上爬了1.4m，又下滑了0.5m；第三次向上爬了1.1m，又下滑了0.3m；第四次向上爬了1.2m，又下滑了0.2m…（1）青蛙爬了四次后，距离爬出井口还有多远？（2）青蛙爬了四次之后，一共经过多少路程？（3）若青蛙第五次向上爬的路程与第一次相同，问能否爬出井？【考点】有理数的加法；有理数的减法．【分析】（1）首先把青蛙四次向上爬的路程相加，求出青蛙爬了四次后，一共向上爬的路程是多少；然后用井深减去青蛙爬了四次后，一共向上爬的路程，求出距离爬出井口还有多远即可．（2）把青蛙四次向上爬和下滑的距离相加，求出青蛙第四次之后，一共经过多少路程即可．（3）用青蛙爬了四次后，一共向上爬的路程加上青蛙第五次向上爬的路程，再把它和井深比较大小，判断出能否爬出井即可．【解答】解：（1）1.2﹣0.4+1.4﹣0.5+1.1﹣0.3+1.2﹣0.2＝3.5（m）4﹣3.5＝0.5（m）答：青蛙爬了四次后，离井口还有0.5m．（2）1.2+0.4+1.4+0.5+1.1+0.3+1.2+0.2＝6.3（m）答：青蛙第四次之后，一共经过6.3m．（3）3.5+1.2＝4.7（m）∵4.7＞4，∴能爬出井．答：能爬出井．【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及有理数的减法的运算方法，要熟练掌握。
有理数加减计算
3.计算： .
解：原式= （第一步）
= （第二步）
= .
仔细阅读上面的解题过程，回答：
（1）得到第一步的根据是______________；
（2）把第二步的解法，用一句话概括出来_________________.
4.a，b，c，d在数轴上的对应点如图所示，且|a|=|b|，
（7）任何两个有理数的和都不等于这两个有理数的差．（ ）
（8）若0>a>b，则a－b>0．（ ）
（9）零减去一个负数等于加上这个负数的相反数. （ ）
（10）任何一个负数减去任何一个正数所得的差必定小于零. （ ）
2. 用“>” “<” 或“=”号填空.
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，且 ，则 ；
（2）
（3）
13、用算式表示：温度由—5℃上升8℃后所达到的温度．
课后小结
上课情况：
课后需再巩固的内容：
配合需求
家长
学管师
学科组长审批
教研主任审批
11.检修小组从A地出发，在东西路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，
一天中行驶记录如下（单位：千米）：-4，+7，-9，+8，+6，-4，-3.
（1）求收工时距A地多远？
（2）距A地最远时是哪一次？
（3）若每千米耗油0.3升，从出发到收工时共耗油多少升？
12.用简便方法计算下列各题：
（1）
8.减去一个正数,差一定小于被减数. ( )
9.减去一个负数,差一定大于被减数. ( )
例2 计算
加 法：(1) (2)
(3) (4)
有理数的加减法讲义
初一数学讲义（三）有理数的混合运算姓名成绩知识要点：1、有理数加减混合运算中，减法可以根据减法法则转化成加法，统一成只含有加法运算的和式．例如：（-5）+（-3）-（-7）-（+2）可转化为：（-5）+（-3）+（+7）+（-2）2、在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，如上式可写成：-5-3+7-23、省略加号的和式的读法有两种如-5-3+7-2，其意义表示-5，-3，+7，-2的和，只不过加号省略未写，因此，它可读作“-5，-3，+7，-2的和”；第二种读法是按习惯读作：“负5减3加7减2”。
第一种读法有利于用加法运算律简化运算．4、在运用加法交换律和结合律时，要注意连同前面的符号一起移动，如计算-5-3+7-2时，先交换成-5-3-2+7，再进行结合为（-5-3-2）+7，无论交换加数的位置，还是进行结合，都应连同符号移动，当省略“＋”号的首项移到后面时，应补上“＋”，如5-7+3＝-7+5+3，事实上，代数和中符号应看作数的一部分．5、有理数加减混合运算的步骤（1）把算式中的减法转化成加法；（2）省略加号与括号写成代数和的形式；（3）用加法法则计算，尽可能运用运算律简便计算．例1：把（-36）-（-28）+（+125）+（-4）-（+53）-（-40）写成省略加号的和的形式并把它读出来．例2、计算-8+（-11）-2003.12-9-（-9）-（+2）-（-2003.12）.例3、已知a=13，b=-12.1，c=-10，d=25.1求a-b-（c+d）的值综合练习一、判断题1．一个数的相反数一定比原数小；（）2．如果两个有理数不相等，那么这两个有理数的绝对值也不相等；（）3．|-2.7|>|-2.6|； ( )4.若a+b=0，则a,b互为相反数。
( )二．选择题1．相反数是它本身的数是（）A. 1B. ﹣1C. 0D.不存在2．下列语句中，正确的是（）A.不存在最小的自然数B.不存在最小的正有理数C.存在最大的正有理数D.存在最小的负有理数3．两个数的和是正数，那么这两个数（）A.都是正数B.一正一负C.都是负数D.至少有一个是正数4、下列各式中，等号成立的是（）A、－=6 B、=－6 C、－=－1D、=－3.145、在数轴上表示的数8与－2这两个点之间的距离是（）A、6B、10C、-10 D-66、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是（）A、正数B、非负数C、零D、负数三、填空题1. |－4|－|－2.5|+|－10|＝________;2. 最大的负整数是___ ___;最小的正整数是____________3. 绝对值小于5的整数有______个；绝对值小于6的负整数有_______个4. 数轴三要素是__________,___________,___________5. 若上升6米记作＋6米，那么－8米表示。
7年级数学(BS)复习考点知识讲解与练习4---有理数的加减法
7年级数学（BS ）复习考点知识讲解与练习第4讲 有理数的加减法【考点知识和基础题型】考点知识4. 1 有理数的加法 有理数分为2个部分：符号+数值因此，有理数的计算，我们需要完成2个工作。
（1）判断符号；（2）计算数值 规律：①同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加②异号相加，取绝对值大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数同0相加，结果仍然为0.例1．（2021·山东省初一期末）下列各式运算正确的是（） A ．()()770-+-= B ．111326⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()0101101+-= D ．1101010⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例2．（2021·山东省初一期中）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S 都相等，那么S 的最大值是（ ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．13例3．（2021·靖江外国语学校初一月考）下面结论正确的有（ ）①两个有理数相加，和一定大于每一个加数．②一个正数与一个负数相加得正数． ③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和．④两个正数相加，和为正数．⑤两个负数相加，绝对值相减．⑥正数加负数，其和一定等于0． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个例4．（2021·广东省初一月考）如果a b 、是有理数，则下列各式子成立的是（） A ．如果00a b <<、，那么0a b +>B ．如果00a b <>、，那么0a b +> C ．若00a b ><、，则0a b +<D ．若00a b <>、，且a b >，则0a b +< 例5．（2021·全国初一课时练习）用“＞”或“＜”填空： （1）如果a ＞0，b ＞0，那么a + b 0； （2）如果a ＜0，b ＜0，那么a + b 0；（3）如果a ＞0，b ＜0，|a |＞| b |，那么a + b 0； （4）如果a ＞0，b ＜0，|a |＜| b |，那么a + b 0．考点知识4. 2 有理数的加法运算律 ①加法交换律：a +b =b +a②加法结合律：a +b +c =a +（b +c ）例1．（2021·全国初一单元测试）计算：(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－35)＝[____＋____]＋[____＋____]＝(＋40)＋(－60)＝______.例2．（2021·全国初一课时练习）给下面的计算过程标明运算依据： (＋16)＋(－22)＋(＋34)＋(－78) ＝(＋16)＋(＋34)＋(－22)＋(－78)① ＝[(＋16)＋(＋34)]＋[(－22)＋(－78)]② ＝(＋50)＋(－100)③ ＝－50.④①______________；②______________；③______________；④______________．考点知识4. 3 运用运算律简化计算 1）相反数结合——抵消 2）同号结合——符号易确定3）同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑） 4）凑整数5）同行结合法——分数拆分为整数和分数例1．（2021·全国初一课时练习）计算：1(3)8-＋(－2.16)＋814＋318＋(－3.84)＋(－0.25)＋45．例2．（2021·郑州市第三中学）计算 （1）（﹣63）+17+（﹣23）+68；（2）312+（﹣13）+（﹣312）+213；（3）8(2)(12)18---+-+；（4）331452(1)()4747-++---例3．（2021·全国初一课时练习）计算：（1）44413()()()13171317-+-++-（2）2111(4)(3)6(2)3324-+-++-（3）1625(2)2(7)21321-++-（4） 3152[3()][(3)(3)]8989+-+++-.例4．（2021·全国初一课时练习）计算：511133246565⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 嘉嘉的做法如下：[解]：原式5111(3)(3)(2)(4)6565⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+++-+-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①5111[(3)(3)(2)(4)]6565⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦②5111(4)6655⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++++⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭③…嘉嘉发现自己的做法出错了，请指出从第几步开始错误，并写出正确的解题过程．例5．（2021·全国初一课时练习）阅读下题的计算方法．计算：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：原式＝5231(5)(9)17(3)6342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝5231[(5)(9)17(3)]6342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝0＋54⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－54． 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：522120192018403616332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点知识4. 4 有理数减法的意义有理数减法法则：减一个数，等于加上这个数的相反数a-b=a+（﹣b）例1．（2021·贵州省遵义十一中初一月考）下列结论错误的是（）A．若a＞0，b＜0，则a-b＞0B．a＜b，b＞0，则a-b＜0C．若a＜0，b＜0，则a-（-b）＜0D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a-b＞0 例2．（2021·全国初一课时练习）计算：(1)1.8－(－2.6)；(2)42()()33---；(3)12(2)433--；(4)312－(－2.5)．例3．（2021·浙江初一课时练习）计算下列各题：(1)⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1233．(2)17.52---．(3)⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11123．(4)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++--+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111212424．考点知识4. 5 有理数的加减混合运算1）可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）例：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+42）多重符号化简例：（－2）+（+3）－（+5）－（－4）=－2+3－5+4例1．（2021·陕西省初一月考）计算：（1）232321( 1.75)343⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）711145438248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+--+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（3）121323883535⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（4）11(35)(41)(16)+---+-．例2．（2021·湖北宜昌中考模拟）用较为简便的方法计算下列各题：(1)123⎛⎫+⎪⎝⎭－1103⎛⎫+⎪⎝⎭＋185⎛⎫-⎪⎝⎭－235⎛⎫+⎪⎝⎭；(2)－8 721＋531921－1 279＋4221；(3)－3255⎛⎫--- ⎪⎝⎭＋1142⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4)1135323(5)(1)(3)(10)10464675+----++-例3．（2021·浙江初一课时练习）计算：112－256＋3112－41920＋5130－64142＋7156－87172＋9190.【玩转重难点题型】题型1 有理数加法的应用 性质：有理数加法的运算法则解题技巧：该类题型的实质是有理数加法的计算，通过理解题干意思，列写有理数运算算式，利用有理数加法运算规律进行计算求值。
北师大版 七年级上册 数学 有理数的加减、乘除及乘方运算 讲解及练习(无答案)
有理数的加减、乘除及乘方运算有理数的加减混合运算一、基础知识知识点1 有理数加减法统一成加法的意义1. 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式.如：(－11)－(+7)+(－4)－(－3)=(－11)+(－7)+(－4)+(3)2. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式：如：(－11)+(－7)+(－4)+(+3)=－11－7－4+33. 和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“－11，－7，－4，+3的和”二是按运算意义读作“负11，减7，减4，加3”.例1 把下列各式写成省略加号的和的形式.(1)(－26)－(－7)+(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)+(－12)－(－5).分析：先统一成加法，再省略括号和加号.小结：在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化.知识点2 有理数的加减混合运算的加法和步骤1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法，写成省略加号，括号的代数和.2.利用加法的交换律、结合律简化运算，这里应注意的是：通常把同号(指同正、同负)的结合，整数与整数结合，同分母分数或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个加数能凑整的结合在一起相加；对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律.例2 计算：(－47111)－(－5)+(－4)－(+3)分析：加减混合运算应注意有条理按步骤进行，把同号的数相结合相加，这样可以使计算简便.二、典型题解析(一)基本概念题例1 把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法.(1)－2－(+3)－(－5)+(－4)；(2)(+8)－(－9)+(－12)+(+5).分析：先把加减法统一成加法；再省略括号和加号.小结：（1）和式中第一个加数若是正数，正号也可省略不写；（2）第一种读法中“的和”两字不要漏掉.(二)知识应用题例2 从－50起逐次加2，得到一连串数－48，－46，－41，－44，－40，…，问：(1)第50个整数是什么？(2)你能巧妙地运用规律计算这50个整数的和吗？小结：在求和时，找出互为相反数的数，再计算出其余的数的和，能用简便算法的尽量用简便算法.(三)学科综合题例3 小彬和小丽在一起玩游戏，游戏规则是：(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽取到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字.(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为胜者，小彬抽到了下面的4张卡片：红－13，白7，红－5，白4，小丽抽到了下面的4张卡片：白3.2，白－2.7，红－6，白－2问：获胜的是谁？(四)拓展创新题例4 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为190个埃及分数：你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于－1吗?分析：这是一道阅读理解题，要从90个埃及分数中挑出10个，使它们的和等于－1，不能被题目所举的例子束缚了思维，必须要运用有理数的加减混合运算.(三)培优练习1.下列化简正确的是( )A.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3－2B.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3－2C.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3+2D.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3+22.下列各式中与a－b－c的值不相等的是( )A.a－(b－c)B.a－(b+c)C.(a－b)+(－c)D.(－b)+(a－c)3.负数a减去它的相反数的差的绝对值是( )A.0B.2aC.－2aD.以上都可能4.使等式|－7+x|=|－7|+|x|成立的有理数x是( )A.任意一个正数B.任意一个非正数C.小于1的有理数D.任意一个有理数5.在数轴上，点x表示到原点的距离小于3的那些点，那么|x－3|+|x+3|等于( )A.6B.－2xC.－6 D2x6.填空题(1)小于5而大于－4的所有偶数之和是________；(2)－14的绝对值的相反数与5的相反数的差是________；(3)若|x－3|+|y－2|=0，则x+y=________，x－y=________.7计算①(－1.5)+1.4－(－3.6)－4.3+(－5.2) ②(－1)－1+(－2)－(－3)－(－1)③－12－[10+(－8)－3] ④(－4)－(－2)－{(－5)－[(－7)+(－3)－(－8)]}⑤|－0.1|－|－0.2|+|－0.4|－|－0.2|－|+0.1|+0.48、在数1，2，3，4，……，2003，2004前添加“+”或“－”，然后求代数和，使求得的结果为最小的非负数；9.定义新运算a*b=a+b-1,如3*(-2)=3+(-2)-1=0.请你计算(-1)*(-3)*2=_________.10．定义一种运算☆，其规则为a ☆b =b a 11+，根据这个规则，计算-2☆3的值 .11.已知有理数x 、y 满足|x －2y|=－2|x －4|，求4x 2－3y 的值.12.已知|a|=6，|b|=3，|c|=5，且c ＜0，a+c ＞0，求a+b+c 的值.有理数的乘除及乘方运算一、基础知识点1.有理数的乘法法则：2.有理数的除法法则：3.乘方：4.处理好符号仍然是有理数乘法、除法及乘方运算的关键。
有理数的加减法知识点讲解
仍得 这 个 数 ．
点 拔 两个有理数相加 ， 先看加 数是同号还是异号 ， 再确定所 用法则
以及 和 的 符号 ， 后 计 算 和 的绝 对 值 ， “ 看 ， 定 ，三 算 ” 最 即 一 二 三运 ．
注意 （） １ 一个有理数Ｅ ｆ ＿ ｌ
。：。 ６＋ ． ＋（ ）
点 拔 灵活 运用运算 律 ， 使运算 简化 ， 通常有下 列规律 ： 互 为相 反 ① 数的两数 可先相加 ；② 符 号相同的两数可先相 加；③ 分母相 同的数 可先 相
加 ： 几 个 数 相 加 能 得 整 数 的 可 以先 相 加 ． ④
三有 散 ｊ 法 ： 理 曲Ｅ 刚 Ｉ 法
Ｍ ｅ ａｋｏ ｌｉ ｉ ｎｔ ｌ ｆｋｉ ｎｇｔｍｅ， ｌ ｉ ｕｉｔｙｋｉ ｓｔ ｅ ． ｌ ｗｈｉｅｔｍｅｑ ｅ ｌ ｌ ｈ ｍ ｌ
交 换加 数 的位 置 ， 不 变 ． ｎ＋ 和 即
６
人 们 在 谈论 着 如 何 消磨 时 间 ， 与此 同时 ， 间 也 在不 声 不 响 地 消蚀 人 们 的 生命 。— — 迪 昂 ・ 西考 尔 特 时 鲍
（ １ ） ＋ ６ ＋（１ ） （ １ ） ＋ ４ ＋（ １ ）Ｉ ＋ ） ＋ ６ ］ 一 ５ ＋（１ ） 一 ８ ＝［＋ ５ ＋（ １ ） ＋ ０ －（４ ＋（ ｌ ） ＋ －
［一 ） 一 １ ＋（ １ ） 一 ５ ＋（ １ ） ：（５ ） 一 ９ ＝０ （３ ＋（ １ ） 一 ２ ＋（ １ ） 一 ８ ］ ＋ ９ ＋（５ ） ．
油
… … 一 一
升．
解 （ ） 先 求 已知 ｌ １应 ０个 有 理 数 的 和 ， 再求 出 此 和 的绝 对
2.6有理数的加减混合运算(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《有理数的加减混合运算》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过计算温度变化、购物找零等情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索有理数加减混合运算的奥秘。
3.在实践活动和小组.需要加强对学生表达和沟通能力的培养，提高他们的综合素质。
针对这次教学反思，我将在今后的教学中不断调整和改进，以期提高学生们对有理数加减混合运算的理解和应用能力。同时，我也会关注学生的全面发展，帮助他们成为具有独立思考、良好沟通能力的优秀学生。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了有理数的加减混合运算。回顾整个教学过程，我发现学生们对这一章节的内容表现出了浓厚的兴趣，但也遇到了一些挑战。
首先，我发现通过引入日常生活中的例子来导入新课，极大地激发了学生的好奇心和探究欲。例如，计算购物找零和温度变化等问题，让学生意识到数学与生活息息相关，这有助于提高他们对数学学科的兴趣。
2.6有理数的加减混合运算（教案）
一、教学内容
本节课选自七年级数学教材第二章第六节《有理数的加减混合运算》。教学内容主要包括以下两部分：
1.掌握有理数加减混合运算的法则，能够正确进行计算。
-顺序加减法：a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)
-结合律：a+(b-c) = (a+b)-c，a-(b+c) = a-b-c
-运用加减法解决实际问题
2.能够解决以下类型的题目：
-同号有理数相加减：如3+5，-2-4
-异号有理数相加减：如3-5，-2+4
有理数加减法技巧
有理数加减运算的几个技巧之巴公井开创作小学生进入初中以后，接触了正，负数，很多同学觉得数学的知识增加了很多。
但一开始学习有理数加减混合运算，他们发现很容易犯错误，而且在运算过程中有时手足无措。
在这里给大家介绍有理数加减运算的几个小技巧。
一：用口诀法记忆有理数的加减运算规则。
同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑。
如：12-6+5-7=12+5-6-7=17-13=4。
这个口诀适合比较简单的运算，主要是将正，负数分开，再计算。
但是对较复杂的运算却其实不适合。
下面的方法可以针对性的解决一些问题。
二：化繁为简。
主要是有些异分母的运算。
如：（-2/3）-1/12-（-1/4）=-2/3-1/12+1/4=-8/12-1/12+3/12=-9/12+3/12=-6/12=-1/2等。
三：统一法：在式子中若既有分数又有小数，把小数统一成分数或把分数统一成小数。
如：（-0.5）-（-1/4）+（+2.75）-（+5.5）= -0.5+0.25+2.75-5.5= -3四：凑整数法。
在式子中若既有分数又有小数，有些数相加后能凑出整数，这样做的目的是使得运算简便。
如（1）：（-47/8）-（-51/2）+（-41/4）-（+31/8）=-47/8+51/2-41/4-31/8=-47/8-31/8+51/2-41/4=-8+1.25=-6.25（2）：（-318/37）-（-3.5）-（-118/37）+（-6.5）=-318/37+3.5+118/37-6.5=-318/37+118/37-6.5+3.5=-2-3=-5。
五：凑零法。
在式子中如果有相反数，那么就把它们相加，再运算。
如：（1）：1/2+（-2/3）+4/5+（-1/2）+（-1/3）=1/2+（-1/2）+（-2/3）+（-1/3）+4/5 =0+（-1）+4/5=-1/5（2）：（-18.65）+（-6.15）+18.15+6.15=（-18.65）+18.15+（-6.15）+6.15 =-0.5+0=-0.5有理数的加减混合运算，可依据题目的特点，运用适当的方法技巧，可以简化过程，提高解题速度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有理数的加减法（基础）【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简 算，并会解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.运算律：有理数加法运算律加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b ＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言 (a+b )+c ＝a+(b+c )要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 要点二、有理数的减法1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题】类型一、有理数的加法运算1．计算：(1)(+20)+(+12)；(2)1223⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)121211 23236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．举一反三：【变式1】计算：11 3343⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】11111 3333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【变式2】计算：（1）(+10)+(-11)；（2）⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 -1+-23【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341 -1+-=-1+=-1+=-2 2323666类型二、有理数的减法运算2．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】法一：法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3．计算，能用简便方法的用简便方法计算. （1） 26-18+5-16 ； （2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21） (3) ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432 (4) 113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5）132.2532 1.87584+-+（6）1355354624618-++-【答案与解析】 （1） 26-18+5-16=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法 =(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加 = 31+(-34)=-3（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加=0（3）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432 ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦21111-1+-2+1+-8+733224→同分母的数先加 ()()⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-4+-7+74=3-34（4）113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113.5875573( 1.587)24⎛⎫⎛⎫=++-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→统一成加法11[3.587( 1.587)](57)5324⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→整数、小数、分数分别加312128544⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭（5）132.25321.87584+-+ (2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起 0.55 4.5=-+=（6）1355354624618-++-1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-→整数，分数分别加18273010036-++-=+2936= 【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2)324(83)65()851(43-++-+-+ 【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用4．小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.（单位：cm ） (1) 小虫最后是否回到出发地O ？为什么？ (2) 小虫离开O 点最远时是多少？(3) 在爬行过程中，如果每爬行1 cm 奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？【思路点拨】题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小.【答案与解析】解：（1）(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=(5+10+12)+(-3-8-6-10)=27-27=00表示最后小虫又回到了出发点O答：小虫最后回到了出发地O.（2） (+5)+(-3)＝+2；(+5)+(-3)+(+10)＝+12；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)＝+4；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)＝－2；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)＝+10；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)＝0.因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O点最远时是向右12cm;++-+++-+-+++-=（cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 (3) 531086121054cm，⨯=（粒）由15454答：小虫一共可以得到54粒芝麻.【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．举一反三：【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1) 350-150＝200(分)(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．。