《对数及其运算》教案

《对数及其运算》教案
学习目标
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念;
2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化;
3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.
学习重难点

1.对数的概念
在指数函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯
一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有 唯一确定
的值x和它对应. 幂指数x ,又叫做以a为底y的对数.一般地,对于指数式ab＝N,我们
把“以a为底N的对数b”记作 logaN ,即b＝log
a
N(a>0,a≠1).其中,数a叫做对数的 底

数 ,N叫做 真数 ,读作“b等于以a为底N的对数”.
2.对数logaN(a>0,且a≠1)的性质
(1) 0和负数 没有对数,即N>0;
(2)1的对数为0,即 loga1＝0 ;
(3)底的对数等于1,即 logaa＝1 .
3.常用对数
以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log10N简记作 lg N .
学习过程

[问题情境]对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,
这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的
空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.
探究点一对数的概念
问题1若24＝M,则M等于多少？若2－2＝N,则N等于多少？

答：M＝16,N＝14.

问题2若2x＝16,则x等于多少？若2x＝14,则x等于多少？
答：x的值分别为4,－2.
问题3满足2x＝3的x的值,我们用log23表示,即x＝log23,并叫做“以2为底3的对数”.

那么满足2x＝16,2x＝14,4x＝8的x的值如何表示？

答：分别表示为log216,log214,log48.
小结：在指数函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内
都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一确
定的值x和它对应.幂指数x,又叫做以a为底y的对数.一般地,对于指数式ab＝N,我们把“以a
为底N的对数b”记作logaN,即b＝log
a
N(a>0,a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读

作“b等于以a为底N的对数”.
探究点二对数与指数的关系
问题1当a>0,且a≠1时,若ax＝N,则x＝logaN,反之成立吗？为什么？
答：反之也成立,因为对数表达式x＝logaN不过是指数式ax＝N的另一种表达形式,它们
是同一关系的两种表达形式.
问题2在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中,a,x,N各自的地位有什么不同？
答
a N x
指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数
对数式x＝logaN 对数的底数 真数 对数
问题3若ab＝N,则b＝logaN,二者组合可得什么等式？
答：对数恒等式:a ＝N.
问题4当a>0,且a≠1时,loga(－2),loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？
答：不存在,因为loga(－2),loga0对应的指数式分别为ax＝－2,ax＝0,x的值不存在,由此
能得到的结论是:0和负数没有对数.
问题5根据对数定义,loga1和log
a
a (a>0,a≠1)的值分别是多少？

答：loga1＝0,logaa＝1.∵对任意a>0且a≠1,都有a0＝1, ∴化成对数式为loga1＝0;
∵a1＝a,∴化成对数式为logaa＝1.
小结：对数logaN (a>0,且a≠1)具有下列性质:
(1)0和负数没有对数,即N>0;
(2)1的对数为0,即loga1＝0;
(3)底的对数等于1,即logaa＝1.

例1求log22, log21, log216, log212.
解：因为21＝2,所以log22＝1;
因为20＝1,所以log21＝0;
因为24＝16,所以log216＝4;

因为2－1＝12,所以log212＝－1.
小结：logaN＝x与ax＝N (a>0,且a≠1,N>0)是等价的,表示a,x,N三者之间的同一种关系,
可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a,x,N中的任意两个量,就能求出另一个量.
跟踪训练1将下列指数式写成对数式:
(1)54＝625; (2)2－6＝164; (3)3a＝27; (4)13m＝5.73.

解：(1)log5625＝4; (2)log2164＝－6; (3)log327＝a; (4)log135.73＝m.
例2计算:(1)log927; (2)log4381; (3)log354625.
解：(1)设x＝log927,则9x＝27,32x＝33,∴x＝32.

(2)设x＝log4381,则43x＝81,3 ＝34,∴x＝16.
(3)令x＝log354625,∴354x＝625,5 ＝54,∴x＝3.
小结：要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性
质求解.
跟踪训练2求下列各式中的x的值:

(1)log64x＝－23; (2)logx8＝6; (3)lg 100＝x.

解：(1)x＝(64) －23＝(43) －23＝4－2＝116.
(2)x6＝8,所以x＝(x6) 16＝816＝(23) 16＝212＝2.
(3)10x＝100＝102,于是x＝2.
探究点三常用对数
问题阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？
答：以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log10N
记做lg N.如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用
对数是2”.
例3求lg 10,lg 100,lg 0.01.
解：因为101＝10,所以lg 10＝1;
因为102＝100,所以lg 100＝2;
因为10－2＝0.01,所以lg 0.01＝－2.
小结：由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n (n∈Z)时,lg 10n＝n;当真数不是10
的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用科学计算器求得.
跟踪训练3求下列各式中的x的值:
(1)log2(log5x)＝0;
(2)log3(lg x)＝1;
(3)log(2－1)13＋22＝x.
解：
(1)∵log2(log5x)＝0. ∴log5x＝20＝1,∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1,∴lg x＝31＝3, ∴x＝103＝1 000.

(3)∵log(2－1)13＋22＝x, ∴(2－1)x＝13＋22＝12＋12＝12＋1＝2－1,
∴x＝1.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.若log(x＋1)(x＋1)＝1,则x的取值范围是 (B)
A.x>－1 B.x>－1且x≠0
C.x≠0 D.x∈R
解析：由对数函数的定义可知x＋1≠1，x＋1>0即x>－1且x≠0.

2.已知log12x＝3,则x13＝__12______.

解析：∵log12x＝3,
∴x＝(12)3,
∴x 13 ＝12.
3.已知a12＝49(a>0),则log23a＝__4______.
解析：由a12＝49(a>0),得a＝(49)2＝(23)4,
所以log23a＝log23(23)4＝4.
4.将下列对数式写成指数式:
(1)log 16＝－4;(2)log2128＝7;(3)lg 0.01＝－2.

解：(1)12－4＝16;(2)27＝128; (3)10－2＝0.01.
课堂小结：
1.掌握指数式与对数式的互化ab＝N⇔logaN＝b.
2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,loga1＝0,logaa＝1.
3.对数恒等式有:a logaN
＝N,logaan＝n.
4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N.
5.