三角函数典型例题分析
高考数学三角函数典型例题
三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由2sin ab A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A CA A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.2 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．(Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴cos B =21.∵0<B <π,∴B =3π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π)设sin A =t ,则t ∈]1,0(.则m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23.3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++CB A .I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形.II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-.4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,43cos=A , (1)求BC cos ,cos 的值; (2)若227=⋅BCBA ,求边AC 的长｡【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C47sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由()169814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BCBA ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=625169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)求)tan(B A +的值;(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==.∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123+==--⨯(Ⅱ)∵180=++C B A ,∴)(180B A C +-= .由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C,∵C 为三角形的内角,∴sin C =∵tan3A =,A 为三角形的内角,∴sin A =, 由正弦定理得:sin sin AB BCC A=∴BC ==6 ．在ABC∆中,已知内角A ．B ．C所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小; (II)如果2b=,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1)//m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3 ∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2a c-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 37 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a=-+ (1)求B CA 2cos 2sin2++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=142sin 2A C++cos2B= 41-(2)由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2, a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号) 故S △ABC 的最大值为3158 ．已知)1(,tan >=a a α,求θθπθπ2tan )2sin()4sin(⋅-+的值｡ 【解析】aa -12;9 ．已知()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ⎛⎫-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)化简()f α(II)若α是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()f α的值｡ 【解析】10．已知函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)1cos 23()2(1cos 2)2x f x x x -=++3132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度, 得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度,就得到3sin(2)62y x π=++的图象｡ 11．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin xx b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡【解析】:(1))34sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=x x x x f ∴当]223,22[34ππππππk k x++∈-时,)(x f 单调递减 解得:]8322,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减｡ (2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx ∴]21,21[34cos -∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ∴0=x时,23)(max =x g 12．已知cos 2sin αα=-,求下列各式的值;(1)2sin cos sin 3cos αααα-+; (2)2sin2sin cos ααα+【解析】:1cos 2sin ,tan 2ααα=-∴=-(1)1212sin cos 2tan 1421sin 3cos tan 3532αααααα⎛⎫⨯-- ⎪--⎝⎭===-++-+ (2)2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos αααααααα++=+ 2222112tan 2tan 322tan 15112ααα⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+(I)求函数()f x 的最大值与最小正周期;(II)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集合｡ 【解析】14．已知向量)1,32(cos --=αm,)1,(sin α=n ,m 与n 为共线向量,且]0,2[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求αααcos sin 2sin -的值.｡【解析】:(Ⅰ) m 与n 为共线向量, 0sin )1(1)32(cos =⨯--⨯-∴αα, 即32cos sin =+αα(Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,972sin -=∴α2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,916)32(2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[πα-∈ ,0cos sin <-∴αα,34cos sin -=-αα 因此,127cos sin 2sin =-ααα15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,030,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060,AC=0.1km ｡试探究图中B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果精确到0.01km,2≈1.414,6≈2.449)【解析】:在ACD ∆中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°, 所以CD=AC=0.1又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,故CB 是CAD ∆底边AD 的中垂线,所以BD=BA 在ABC ∆中,ABCACBCA AB ∠=∠sin sin ,即AB=2062351sin 60sin +=︒︒AC因此,km 33.020623≈+=BD故 B ．D 的距离约为0.33km ｡ 16．已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122x ππ∈,求()f x 的值域. 【解析】： (1)由最低点为2(,2)3M π-得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π,即T π=,222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故(2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+=即2x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m=,求∠DEF 的余弦值｡【解析】:作//DMAC 交BE 于N ,交CF 于M .22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=,2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=在DEF ∆中,由余弦定理,2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯ 18．已知51cos sin =+θθ，),2(ππθ∈， 求（1）sin cos θθ-（2）33sin cos θθ-（3）44sin cos θθ+【解析】：（1）3344791337sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625θθθθθθ-=-=+= 19．已知函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ， 0ω>，πϕ<||）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。
三角函数公式典型例题大全
高中三角函数公式大全以及典型例题2009年07月12日星期日 19:27三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tan(A-B) =cot(A+B) =cot(A-B) =倍角公式tan2A =Sin2A=2SinA?CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)半角公式sin()=cos()=tan()=cot()=tan()==和差化积sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb = 2coscoscosa-cosb = -2sinsintana+tanb=积化和差sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb =[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb =[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb =[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa.sin(-a) = cosa cos(-a) = sinasin(+a) = cosa cos(+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =万能公式sina=cosa=tana=其它公式a?sina+b?cosa=×sin(a+c) [其中tanc=]a?sin(a)-b?cos(a) =×cos(a-c) [其中tan(c)=]1+sin(a) =(sin+cos)2 1-sin(a) = (sin-cos)2其他非重点三角函数csc(a) =sec(a) =公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosαtan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα公式六：±α及±α与α的三角函数值之间的关系：sin（+α）= cosα cos（+α）= -sinα tan（+α）= -cotα cot（+α）= -tanαsin（-α）= cosα cos（-α）= sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanαsin（+α）= -cosα cos（+α）= sinα tan（+α）= -cotαcot（+α）= -tanα sin（-α）= -cosα cos（-α）= -sinαtan（-α）= cotα cot（-α）= tanα(以上k∈Z)正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ三角函数典型例题1 ．设锐角的内角的对边分别为,.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)求的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.(Ⅱ).2 ．在中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．(Ⅰ)求角B的大小;20070316(Ⅱ)设且的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C．即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB=.∵0<B<π,∴B=.(II)=4ksinA+cos2A．=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,)设sinA=t,则t∈.则=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈.∵k>1,∴t=1时,取最大值.依题意得,-2+4k+1=5,∴k=.3 ．在中,角所对的边分别为,.I.试判断△的形状;II.若△的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.,所以此三角形为直角三角形.II.,当且仅当时取等号,此时面积的最大值为.4 ．在中,a、b、c分别是角A． B．C的对边,C=2A,,(1)求的值;(2)若,求边AC的长?【解析】:(1)(2)①又②由①②解得a=4,c=6,即AC边的长为5.5 ．已知在中,,且与是方程的两个根.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若AB,求BC的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程的两根.∴(Ⅱ)∵,∴.由(Ⅰ)知,,∵为三角形的内角,∴∵,为三角形的内角,∴,由正弦定理得:∴.6 ．在中,已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c,向量,,且?(I)求锐角B的大小;(II)如果,求的面积的最大值?【解析】:(1)2sinB(2cos2-1)=-cos2B2sinBcosB=-cos2B tan2B=-∵0<2B<π,∴2B=,∴锐角B=(2)由tan2B=-B=或①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤∴△ABC的面积最大值为②当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)∴ac≤4(2-)∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤ 2-∴△ABC的面积最大值为2-7 ．在中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=+cos2B=(2)由∵b=2,+=ac+4≥2ac,得ac≤, S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为8 ．已知,求的值?【解析】;。
02三角函数诱导公式(含经典例题+答案)
三角函数诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．例1．sin 585°的值为 ( )A ．－2 B.2 C ．－3 D.3例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( )A ．－πB ．－π C.π D.π例3：如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎪⎫⎛-A 3 的值是________． 例5：若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( )例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝31，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23的值为 ( ) A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010解：tan α＝13，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. ( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定解：f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4 ＝5.∴asin α＋bcos β＝－1.∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4 ＝－1＋4＝3.1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．例9：△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.解：∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝223.例10：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π. A ．B ．C ．D ．2.cos （﹣30°）的值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.下列能与sin20°的值相等的是（ ） A ．cos20° B ．sin （﹣20°） C ．sin70° D ．sin160°4.已知，则下列各式中值为的是（ ）A ．B ．sin （π+α）C ．D ．sin （2π﹣α）换元法与诱导公式例11：已知41)3sin(=+απ，则=-)6cos(απ 。
三角函数经典题目(带答案)
三角函数经典题目练习1.已知α1231、已知角2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f3、已知 象限1. 已知π22.设0≤α是 .sin αtan x 若<0___.53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θ________.1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的个实根，且παπ273<<，则ααsin cos +的值 .0)13(22=++-m x x 的两根为()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______（2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________.α )415tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ⎪⎭⎫⎝⎛-θπ23= α终边上P （－4，3），)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+= .已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θθtan 1tan 1_________tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒⋅︒= α∈(0,2π)，若sin α=53，则2cos(α+4π)= . 336cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ65cos =______，)65απ--=_____．.【知二求多】1、已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα= -54,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2αβ=135,且0<β<2π<α<π,则cos 2βα+=____.2已知tan α=43,cos(α+β)=-1411, α、β为锐角，则cos β=______.【方法套路】1、设21sin sin =+βα，31cos cos =+βα，则)cos(βα-=___ .2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则αβαtan )tan(+= .3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα【给值求角】1tan α=71,tan β=31,α,β均为锐角，则α+2β= .2、若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角, 则A+B= .【半角公式】1α是第三象限，2524sin -=α，则tan 2α= . 2、已知01342=+++a ax x （a >1）的两根为αtan ，βtan ，且α,∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π,则2tan βα+=______3若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= . 4、若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,25ππα，则ααsin 1sin 1-++=5x 是第三象限角xx xx x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++++-+=______ 【公式链】1=+++ 89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______六、给值求角 已知31sin -=x ，写出满足下列关系x 取值集合 ]3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________2、1)32tan(--=πx y 定义域为_________【值域】1、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________3、函数x xy sin 2sin 1+-=的值域4、函数xxy cos 1sin 21+-=的值域5、函数x x y sin 2cos -=的值域【解析式】1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直线x ＝π3对称，其中ω∈⎝⎛⎭⎫－12，52.函数f (x )的解析式为________．2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0，2)，⎝⎛⎭⎫x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________4、()()sin f x A x h ωϕ=++(0,0,)2A πωϕ>>< 的图象如图所示，求函数)(x f 的解析式；【性质】1、已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.(0，2] 2、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=3、sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．4、已知函数x a x x f 2cos 2sin )(+=关于x 称，则a =_______5.()2sin()f x x ωϕ=++m 对任意x 有()6f x f π+=若()6f π=3，则m=________【图象】1、为了得到函数sin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+的图像向____移动____2、为了得到函数sin(2)3y x π=-y=cos2x 图像向____移动____个长度单位 3.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ取值为 (A)34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-【综合练习】1、已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x .下结论：①f (x )是周期函数；②f (x )③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时，f (x )当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f (⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是正确的结论序号是________．f(x)=sin(2x+x x 2cos 2)62sin()6+-+ππ）求f(x)的最小值及单调减区间； ）求使f(x)=3的x 的取值集合。
三角函数的图像与性质考点及经典例题讲解
三角函数的图象与性质考纲解读 1.结合y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，进行简单的变换；2.利用y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 在一个周期内的性质，求解简单的三角方程、不等式、周期性等．[基础梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，()π，－1，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )且x ≠k π＋(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫作周期函数，非零常数T 叫作这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．[三基自测]1．函数y ＝12sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案：B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z 答案：D3．f (x )＝cos 2x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[0,1] C ．[－1,0] D ．[0，π]答案：A4．(必修4·习题1.4B 组改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为 __________________． 答案：⎝⎛⎭⎫π8＋k 2π，58π＋k2π，k ∈Z 5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝3cos x －34的最小正周期为__________．答案：2π[考点例题]考点一 有关三角函数的定义域、值域、最值|模型突破角度1 单调性法求三角函数的最值(值域)[例1] 已知函数f (x )＝(cos x －sin x )·sin 2xcos x .(1)求函数f (x )的定义域及最小正周期； (2)当x ∈⎝⎛⎦⎤－π2，0时，求函数f (x )的最值． [解析] (1)由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }．因为f (x )＝(cos x －sin x )·2sin x ·cos xcos x＝2sin x cos x －2sin 2x ＝sin 2x －(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为－π2<x ≤0，所以－3π4<2x ＋π4≤π4.令－3π4<2x ＋π4<－π2，则－π2<x <－3π8；令－π2≤2x ＋π4≤π4，则－3π8≤x ≤0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，－3π8上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－3π8，0上单调递增． 所以当x ＝－3π8时，函数f (x )取得最小值，所以f (x )min ＝－2－1.因为f (0)＝2sin π4－1＝0，f ⎝⎛⎭⎫－π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π＋π4－1＝－2，所以f (x )max ＝0. 所以函数f (x )的最大值为0，最小值为－2－1. [模型解法]角度2 换元法求三角函数的最值(值域)[例2] 已知x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，则函数f (x )＝－cos 2x －sin x sin π6＋cos 2x ＋1716的最小值为__________．[解析] 因为f (x )＝－cos 2x －sin x sin π6＋cos 2x ＋1716，所以f (x )＝2sin 2x －12sin x ＋cos 2x ＋116＝sin 2x －sin x 2＋1716＝⎝⎛⎭⎫sin x －142＋1. 设t ＝sin x ，则y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋1. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以12≤t ≤1.又函数y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋1在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增， 所以当t ＝12时，y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋1取得最小值y min ＝⎝⎛⎭⎫12－142＋1＝1716， 即函数f (x )的最小值为1716.[答案]1716[模型解法][高考类题](2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是__________． 解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：1考点二 三角函数的性质及应用|方法突破命题点1 三角函数的单调性[例3] (1)(2018·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，2π3B.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫2π3，π(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3(3)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，74 C.⎣⎡⎦⎤34，94D.⎣⎡⎦⎤32，74[解析] (1)因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，所以2×π3＋φ＝2k π＋π2， 解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，不妨取φ ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2可得k π＋π3<x <k π＋5π6，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ，结合选项可知当k ＝0时，函数的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π3，5π6. (2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. (3)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，k ∈Z ，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.[答案] (1)B (2)B (3)D [方法提升]1．求三角函数单调区间的方法2.[母题变式]1．若本例(2)的条件改为函数f (x )＝m sin ωx (其中ω>0，m >0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上单调递增，则ω的取值范围是__________．解析：因为ω>0，m >0， 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎡⎦⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z . 因为f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上单调递增，所以⎣⎡⎦⎤－π2，2π3⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω. 所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝⎛⎦⎤0，34. 答案：⎝⎛⎦⎤0，34 2．将本例(3)改为：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 则g (x )的单调递增区间为__________． 解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数g (x )的单调递增区间， 只需求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间． 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .故所给函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2命题点2 三角函数的奇偶性、对称性、周期性[例4] (1)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3(2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2(3)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(4)(2018·湘西自治州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( )A.12 B ．－12C.32D ．－32[解析] (1)由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.(2)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.(3)由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.(4)由题意得2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x －2π)＝sin 2x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π6＝12. [答案] (1)C (2)C (3)B (4)A [方法提升][跟踪训练]3．(2018·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6D ．－π3解析：由已知得f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3为偶函数，由诱导公式可知φ＋π3＝k π.(k ∈Z ) 当k ＝0时，φ＝－π3.答案：D4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：已知函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，则其对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9，故选A.答案：A5．同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π6解析：对于选项A ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的最小正周期T ＝2π12＝4π，故不满足①；对于选项B ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π，k ∈Z 可解得其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z ，故不符合③；对于选项C ，令y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝sin π2＝1，为最大值，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称，且其周期T ＝2π2＝π，具有性质①、②，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得：x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z ，从而当k ＝0时，有函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎝⎛⎭⎫－π6，π3上是增函数，具有性质③，符合题意．对于选项D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的最小正周期T ＝2π12＝4π，故不满足①. 答案：C[真题感悟]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2解析：依题意得，函数f (x )＝sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝2π2＝π，选C.答案：C2．(2017·高考山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．πD ．2π解析：y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π. 答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：由题意知：⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，则ω＝2k ＋1，其中k ∈Z .因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤12×2πω，ω≤12.接下来用排除法．若ω＝11，φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4， f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，若ω＝9，φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减．答案：B。
三角函数经典例题
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数【例1】►已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 答：sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34. 【训练1】 已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24 m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．答：cos θ＝－64，tan θ＝－153或cos θ＝－64，tan θ＝153. 【例2】►(1)已知cos θ·sin θ<0，那么角θ是( )． A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第二或第四象限角 D ．第一或第四象限角(2)已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限． 答案 (1)C (2)二【训练2】 已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，问点P (tan θ，cos θ)在第几象限？答：P (tan θ，cos θ)在第三象限．【例3】►已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？答：(1)l ＝|α|R ＝π3×10＝103π(cm)．（2）当R ＝5 cm ，即α＝105＝2(rad)时，这个扇形的面积最大． 【训练3】 已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，求弧长l . 答：l ＝|α|·R ＝2π3×43＝833π(cm)．【真题探究】► (2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP→的坐标为________．[答案] (2－sin 2,1－cos 2)【试一试】 (2012·北京东城模拟)已知OP →＝(1,0)，点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则OQ →＝( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12答案 A 习题1．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．(2012·南阳模拟)已知锐角α的终边上一点P (sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝( )．A ．80°B ．70°C ．20°D ．10°3．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．4．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角． 5．(13分)如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB为正三角形．(1)求sin ∠COA ；(2)求cos ∠COB .答案：1.A 2.B 3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 4. 四5. (1) sin ∠COA ＝45.(2)cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝3－4310.第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式【例1】►已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15. (1)求tan α的值； (2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．解 (1) tan α＝－43. (2)1cos 2α－sin 2α＝－257. 【训练1】 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．解 (1)sin x －cos x ＝－75. (2) sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝－24175.【例2】►(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________；(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.答案 (1)12 (2)－33【训练2】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________；(2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.答案 (1)－23 (2)12【例3】►设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________. 答案3【训练3】 (1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝________. 答案 (1)－1 (2)32【真题探究】► (2012·辽宁)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )． A ．－1 B ．－22 C.22 D ．1 [答案] A【试一试】 (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ的值为( )． A.15 B.14 C.13 D.12 答案 D习题1．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )．A ．－43B.54C ．－34D.452．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )．A.35B.53 C.45 D.543．(2012·上海)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )．A ．16B ．72C ．86D ．1004．(2012·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π2，则cos α－sin α的值是________．5．(2011·重庆)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．6．(2013·青岛模拟)f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.7．(12分)是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．8．(13分)(2011·天津)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．答案：1.D 2.B 3.C 4. －325. －1426. 27. 存在α＝π4，β＝π6满足条件 8.(1) f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2. (2)α＝π12.。
高中三角函数经典例题
高中数学三角函数经典例题（解析在后面）一、单选题（共20题；共40分）1.已知函数f(x)=cosx ，下列结论不正确的是（ ） A. 函数y=f(x)的最小正周期为2π B. 函数y=f(x)在区间(0，π)内单调递减 C. 函数y=f(x)的图象关于y 轴对称D. 把函数y=f(x)的图象向左平移 π2 个单位长度可得到y=sinx 的图象2.如图,A 、B 两点为山脚下两处水平地面上的观测点,在A 、B 两处观察点观察山顶点P 的仰角分别为 α ,β。
若tanα = 13 ,β=45°,且观察点A 、B 之间的距离比山的高度多100米。
则山的高度为（ ）A. 100米B. 110米C. 120米D. 130米 3.已知 sinα=√55，则 cos2α= （ ）A. −35B. 35 C. −3√55 D. 3√554.将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 π6 个单位长度得到 g(x) 图象，则函数的解析式是（ ）A. g(x)=sin (2x +π3) B. g(x)=sin (2x +π6) C. g(x)=sin (2x −π3) D. g(x)=sin (2x −π6)5.若 α,β 均为第二象限角，满足 sinα=35 ， cosβ=−513，则 cos(α+β)= （ ）A. −3365B. −1665C. 6365D. 33656.已知 tanα=1 ，则1+2cos 2αsin2α= （ ）A. 2B. -2C. 3D. -3 7.要得到 y =sin x2 的图象，只要将函数 y =sin(12x +π4) 的图象（ ）A. 向左平移 π4 单位B. 向右平移 π4 单位 C. 向左平移 π2 单位 D. 向右平移 π2 单位8.要得到函数 y =2sin(2x +π6) 的图像，只需将函数 y =2sin2x 的图像（ ） A. 向左平移 π6 个单位 B. 向右平移 π6 个单位 C. 向左平移 π12 个单位 D. 向右平移 π12 个单位9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π2) 的部分图象如图所示，则 f(π)= （ ）A. 4B. 2√3C. 2D. √3 10.已知角 α 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非法半轴重合，终边经过点 P(1,−2) ，则 sin 2α= （ ）A. −2√55B. −4√55C. 45 D. −4511.数 f(x)=sin(4x +ϕ)(0<ϕ<π2) ，若将 f(x) 的图象向左平移 π12 个单位后所得函数的图象关于 y 轴对称，则 φ= （ ）A. π12 B. π6 C. π4 D. π3 12.sin140°cos10°+cos40°sin350°= （ ） A. 12 B. −12 C. √32D. −√3213.已知 α,β∈(0,π2) ， cosα=17 ， cos(α+β)=−1114 ，则 β= （ ） A. π6 B. 5π12C. π4 D. π314.要得到函数 y =2√3cos 2x +sin2x −√3 的图象，只需将函数 y =2sin2x 的图象（ ）A. 向左平移 π3 个单位 B. 向右平移 π3 个单位 C. 向左平移 π6 个单位 D. 向右平移 π6 个单位 15.若 sin(π6−α)=13，则 cos(2π3+2α)= （ ）A. 13B. −13C. 79D. −7916.函数 y =sin(2x +φ)(0<φ<π2) 图象的一条对称轴在 (π6,π3) 内，则满足此条件的一个 φ 值为（ ）A. π12 B. π6 C. π3 D. 5π617.关于 x 的三角方程 sinx =13 在 [0,2π) 的解集为（ ） A. {arcsin 13} B. {π−arcsin 13}C. {arcsin 13,π−arcsin 13} D. {arcsin 13,−arcsin 13}18.已知 α 满足 tan(α+π4)=13 ，则 tanα= （ ） A. −12B. 12C. 2D. −219.已知 α、β 均为锐角，满足 sinα=√55 , cosβ=3√1010，则 α+β= （ ）A. π6B. π4C. π3D. 3π420.计算 sin95°cos50°−cos95°sin50° 的结果为（ ） A. −√22B. 12C. √22D. √32二、填空题（共20题；共21分）21.函数f(x)=Asin( ωx+ φ)的部分图象如图，其中A>0，ω>0，0< φ< π2．则ω=________ ; tan φ= ________ ．22.若角α满足sinα+2cosα=0，则tan2α＝________；23.计算sin47°cos17°−cos47°sin17°的结果为________．24.角α的终边经过点P(−3,4)，则cos(π2−α)=________.25.函数y=sin(x+φ)，φ∈[0,π]为偶函数，则φ=________.26.若扇形圆心角为120∘，扇形面积为43π，则扇形半径为________.27.已知f(x)=2sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同，则x∈[0,π]时，方程f(x)=1的解是________.28.已知sin(π−α)=35,α∈(π2,π)，则sin2α=________.29.已知函数y=sinx的定义域是[a,b]，值域是[−1,12]，则b−a的最大值是________30.如果tanα=2,则tan(α+π4)=________31.若函数f(x)=sin(x+φ),φ∈(0,π)是偶函数，则φ等于________32.函数f(x)=2−sinxcosx的值域是________33.函数y=arccos(x−1)的定义域是________34.求f(x)=sinx−cos2x+2,x∈[−π6,2π3]的值域________.35.已知函数y=2sin(2x+φ)(0<φ<π2)的一条对称轴为x=π6，则φ的值为________．36.在ΔABC中，tanA+tanB+√3=√3tanA⋅tanB，则C等于________．37.方程cosx=sinπ6的解为x=________．38.弧长等于直径的圆弧所对的圆心角的大小为________弧度．（只写正值）39.若sinα−cosα=12，则sin2α=________．40.若tanθ=−3，则cos2θ=________．三、解答题（共10题；共85分）41.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且∠AOP= π4，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q(a，b)（1）当θ= π6时，求ab的值（2）设θ∈[ π4，π2]，求b-a的取值范围42.在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2=a2+c2−ac. （1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围.43.已知函数f(x)=√3sin2x+cos2x.（1）求y=f(x)的单调递增区间；（2）当x∈[−π6,π3]时，求f(x)的最大值和最小值.44.已知f(x)=acos2x+√3asin2x+2a−5(a∈R,a>0).]上的最大值为3时，求a的值；（1）当函数f(x)在[0,π2（2）在（1）的条件下，若对任意的t∈R，函数y=f(x)，x∈(t,t+b]的图像与直线y=−1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值.并求函数y=f(x)在(0,b]上的单调递减区间.) ，b⃗⃗=(√3 sinx ， cos2x) ，x∈R，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗⃗．45.向量a⃗=(cosx ，−12（Ⅰ）求f(x)的表达式并化简；（Ⅱ）写出f(x)的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数f(x)在区间[0，π]内的草图；（Ⅲ）若方程f(x)−m=0在[0，π]上有两个根α、β，求m的取值范围及α+β的值．46.已知在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A为锐角，且满足3b=5asinB.的值；（1）求sin2A+cos2B+C2，求b,c.（2）若a=√2, ΔABC的面积为3247.如图所示,在平面直角坐标系中,角α与β( 0<β<α<π)的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于P、Q两点,点P的横坐标为−4．5（I ）求sin2α+cos2α1+cos 2α；（Ⅱ）若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√33,求 sinβ ． 48.已知函数 f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2) 的部分图象如图所示：（I ）求 f(x) 的解析式及对称中心坐标；（Ⅱ）将 f(x) 的图象向右平移 π6 个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数 g(x) 的图象,求函数 y =g(x) 在 x ∈[0,7π6]上的单调区间及最值． 49.（1）请直接运用任意角的三角比定义证明： cos(α−π)=−cosα ； （2）求证： 2cos 2(π4−α)=1+sin2α ． 50.设函数 f(x)=1sinx ．（1）请指出函数 y =f(x) 的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明）（2）请以正弦函数 y =sinx 的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明： y =f(x))上单调递减．在区间(0,π2答案解析部分一、单选题 1.【答案】 D【解析】【解答】解：∵函数f (x )=cosx 其最小正周期为2π，故选项A 正确；函数f (x )=cosx 在(0，π)上为减函数，故选项B 正确；函数f (x )=cosx 为偶函数，关于y 轴对称，故选项C 正确；把函数f (x )=cosx 的图象向左平移 π2个单位长度可得cos (x +π2)=−sinx ， 故选项D 不正确。
三角函数的图像和变换以及经典习题和答案
3.4函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换【知识网络】1．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；２．函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226x y π=+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．（１）32； 14π；26x π+；6π （2）函数2sin(2)3y x π=-的对称中心是 ；对称轴方程是；单调增区间是 ． （２）(,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （ ）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 212sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平移4π得cos 2()sin 24y x x π=-+=2sin cos x x =［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴。
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三角函数典型例题分析目录0°～360°间的三角函数.典型例题分析 (3)弧度制.典型例题分析 (3)任意角的三角函数.典型例题分析一 (5)任意角的三角函数.典型例题精析二 (7)同角三角函数的基本关系式.典型例题分析 ............................. 诱导公式.典型例题分析............................................. 用单位圆中的线段表示三角函数值.典型例题分析 ....................... 三角公式总表....................................................... 正弦函数、余弦函数的图象和性质.典型例题分析 (28)函数y=Asin(wx+j)的图象·典型例题分析............................... 正切函数、余切函数的图象和性质·典型例题分析 ....................... 已知三角函数值求角·典型例题分析 ................................... 全章小结........................................................... 高考真题选讲.......................................................0°～360°间的三角函数·典型例题分析例1已知角α的终边经过点P(3a，-4a)(a＜0，0°≤α≤360°)，求解α的四个三角函数．解如图2-2：∵x=3a，y=-4a，a＜0例2求315°的四个三角函数．解如图2-3，在315°角的终边上取一点P(x，y)设OP=r，作PM垂直于x轴，垂足是M，可见∠POM=45°注：对于确定的角α，三角函数值的大小与P点在角α的终边上的位置无关，如在315°的角的终边上取点Q(1，-1)，计算出的结果是一样的．弧度制·典型例题分析角度与弧度的换算要熟练掌握，见下表．例2将下列各角化成2kπ+α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，并确定其所在的象限。
∴它是第二象限的角．注意：用弧度制表示终边相同角2kπ+α(k∈Z)时，是π的偶数倍，而不是π的整数倍．A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限∴sinα＞0，tgα＜0 因此点P(sinα，tgα)在第四象限，故选D．解∵M集合是表示终边在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合．N集合是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合．任意角的三角函数·典型例题分析一例1已知角α的终边上一点P(-15α，8α)(α∈R，且α≠0)，求α的各三角函数值．分析根据三角函数定义来解A．1 B．0 C．2 D．-2例3若sin2α＞0，且cosα＜0，试确定α所在的象限．分析用不等式表示出α，进而求解．解∵sin2α＞0，∴2α在第一或第二象限，即2kπ＜2α＜2kπ+π，k∈Z)当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，有当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)有∴α为第一或第三象限的角又由cosα＜0可知α在第二或第四象限．综上所述,α在第三象限．义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}∴函数y=tgx+ctgx的定义域是说明本例进一步巩固终边落在坐标轴上角的集合及各三角函数值在每一象限的符号，三角函数的定义域．例5计算(1)a2sin(-1350°)+b2tg405°-(a-b)2ctg765°-2abcos(-1080°)分析利用公式1，将任意角的三角函数化为0～2π间(或0°～360°间)的三角函数，进而求值．解(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tg(360°+45°)-(a-b)2ctg(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)=a2sin90°+b2tg45°-(a-b)2ctg45°-2abcos0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0任意角的三角函数·典型例题精析二例1下列说法中，正确的是[]A．第一象限的角是锐角B．锐角是第一象限的角C．小于90°的角是锐角D．0°到90°的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键．【解】第一象限的角可表示为｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)．(90°－α)分别是第几象限角？【分析】由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，的角．(2)因为180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(3)解法一：因为90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，所以－180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)．故－90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)．因此90°－α是第四象限的角．解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限．将－α的终边按逆时针旋转90°，可知90°－α的终边在第四象限内．【说明】①在确定形如α＋k·180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；②确定象限时，α＋kπ与α－kπ是等效的．例3已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是区间[]【分析】解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况．可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断．用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易．【解法一】由正、余弦函数的性质，【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦线和余弦线可看出，当应选(A)．可排除(C)，(D)，得A.【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有AT＞MP，即tanθ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些别的方法，可自己练习．例 4 (1)已知角α终边上一点P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值；【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是三两个象限，因此必须分两种情况讨论．【解】(1)因为x＝3k，y=－4k，例5一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大．【分析】解答本题，需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式．本题是求扇形面积的最大值，因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式，再用配方法求出半径r和已知周长l的关系．【解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为l－2r．所以【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公形的问题中，中心角用弧度表示较方便．本例实际上推导出一个重要公式，即当扇形周长为定值时，怎样选取中心角可使面积得到最大值．本题也可将面积表示为α的函数式，用判别式来解．【分析】第(1)小题因α在第二象限，因此只有一组解；第(2)小题给了正弦函数值，但没有确定角α的象限，因此有两组解；第(3)小题角α可能在四个象限或是轴线角，因此需分两种情况讨论．【解】(3)因为sinα=m(|m|＜1)，所以α可能在四个象限或α的终边在x轴上．例7(1)已知tanα=m，求sinα的值；【分析】(1)已知tanα的值求sinα或cosα，一般可将tanα母都是sinα和cosα的同次式，再转化为关于tanα的式子求值，转化的方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α，这里cosα≠0)，即可根据已知条件求值．【说明】由tanα的值求sinα和cosα的值，有一些书上利用公很容易推出，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问题由现有的关系式和方法均可解决．函数的定义来证明．由左边=右边，所以原式成立．【证法三】(根据三角函数定义)设P(x，y)是角α终边上的任意一点，则左边=左边，故等式成立．例9化简或求值：【分析】解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值．=－sinα－cosα(因为α为第三象限角)．例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表达式；【分析】在(1)中理解函数符号的含义，并将f(sin x)化成f(cos(90°－x))是充分利用已知条件和诱导公式的关键．在(2)中必须正确掌握分段函数求值的方法．【解】(1)f(sin x)＝f(cos(90°－x))＝cos9(90°－x)=cos(2×360°＋90°－9x)＝cos(90°－9x)=sin9x；＝1．同角三角函数的基本关系式·典型例题分析1．已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值．解∵sinα＜0∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)(2)若α在第四象限，则说明在解决此类问题时，要注意：(1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号．(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)．(3)必要时进行讨论．例2 已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．(2)当m=±1时，α的终边在y轴上，tgα无意义．(3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，∵cosα＞0．当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时，∵cosα＜0，说明 (1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况．(2)本题在进行讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的标准，而不按sinα的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？2．三角函数式的化简三角函数式的化简的结果应满足下述要求：(1)函数种类尽可能地少．(2)次数尽可能地低．(3)项数尽可能地少．(4)尽可能地不含分母．(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来．化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简．例3 化简sin2α·tgα+cos2α·ctgα+2sinαcosα=secα·cscα解2 原式=(sin2α·tgα+sinα·cosα)+(cos2α·ctgα+sinαcosα)=tgα·(sin2α+cos2α)+ctgα(sin2α+cos2α)=tgα+ctgα=secα·cscα说明 (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的．(2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用．例4 化简：分析将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简．3．三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的——这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始．例5 求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．分析从复杂的左边开始证得右边．=2cosα-3tgα=右边例6 证明恒等式(1)1+3sin2αsec4α+tg6α=sec6α(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2分析 (1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简证明 (1)右边-左边=sec6α-tg6α-3sin2αsec4α-1=(sec2α-tg2α)(sec4α+sec2α·tg2α+tg2α)-3sin2αsec4α-1=(sec4α-2sec2αtg2α+tg2α)-1=(sec2α-tg2α)2-1=0 ∴等式成立=sin2A+cos2A=1故原式成立在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系．实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用．分析1 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类．分析2 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，进而可以约分，达到化简的目的．说明 (1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类．(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列．=secα+tgα∴等式成立说明以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec2α-tg2α代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”——即证明“左边-右边=0”∴左边=右边诱导公式·典型例题分析例1 求下列三角函数值：解(1)sin(-1200°)=-sin1200°=-sin(3×360°+120°) =-sin120°=-sin(180°-60°)(2)tg945°=tg(2×360°+225°)=tg225°=tg(108°+45°)=tg45°=1例4 求证(1)sin(nπ+α)=(-1)n sinα；(n∈Z) (2)cos(nπ+α)=(-1)n cosα．证明 1°当n为奇数时，设n=2k-1(k∈Z)则(1)sin(nπ+α)=sin[(2k-1)π+α]=sin(-π+α)=-sinα=(-1)n sinα (∵(-1)n=-1)(2)cos(nπ+α)=cos[(2k-1)π+α]=cos(-π+α)=-cosα=(-1)n cosα2°当n为偶数时，设n=2k(k∈Z)，则(1)sin(nπ+α)=sin(2kπ+α)=sinα=(-1)n sinα(∵(-1)n=1)(2)cos(nπ+α)=cos(2kπ+α)=cosα=(-1)n cosα由1°，2°，本题得证．例5 设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在①sin(A+B)-sinC ②cos(A+B)+cosC③tg(A+B)+tgC ④ctg(A+B)-ctgCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个解由已知，A+B+C=π，∴A+B=π-C，故有①sin(A+B)-sinC=sin(π-C)-sinC=sinC-sinC=0为常数．②cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0为常数．③ tg(A+B)+tgC=tg(π-C)+tgC=-tgC+tgC=0为常数．④ctg(A+B)-ctgC=ctg(π-C)-ctgC=-ctgC-ctgC=-2ctgC不是常数．从而选(C)．用单位圆中的线段表示三角函数值·典型例题分析例1 利用三角函数线，求满足下列条件的角或角的范围．P′，则(2)如图2-11，过点(1，-1)和原点作直线交单位圆于点p和p′，则∴满足条件的所有角是三角公式总表⒈L弧长=αR=nπR180S扇=21L R=21R2α=3602Rn⋅π⒉正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a2+c2-2ac B cos c2=a 2+b2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=⒋S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CB A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)⒌同角关系：⑴商的关系：①θtg =x y =θθcos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅===y x ctg ③θθθtg ry⋅==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅===tg x r ⑤θθθctg rx⋅==sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅===ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a （其中辅助角ϕ与点（a,b ）在同一象限，且abtg =ϕ）⒍函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）振幅A ，周期T=ωπ2, 频率f=T1, 相位ϕω+⋅x ，初相ϕ⒎五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,20 求出x 与y ， 依点()y x ,作图sin cos tg ctg -α-αsin +αcos-αtg -αctgπ-α+αsin -αcos -αtg -αctg三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限⒐和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±⑤γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii).1222222=++Ctg B tg C tg A tg B tg A tg ⒑二倍角公式：(含万能公式) ①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +==②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=⒒三倍角公式：①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+︒-︒=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+︒-︒=+-=③)60()60(313323θθθθθθθ+⋅-⋅=--=tg tg tg tg tg tg tg ⒓半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） π+α-αsin -αcos +αtg +αctg 2π-α -αsin +αcos -αtg -αctg 2k π+α +αsin +αcos +αtg +αctgsin con tg ctg απ-2+αcos +αsin +αctg +αtgαπ+2+αcos -αsin -αctg -αtg απ-23 -αcos -αsin +αctg +αtg απ+23 -αcos+αsin -αctg -αtg①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin 2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg⒔积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin ⒕和差化积公式： ①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-⒗最简单的三角方程方程 方程的解集a x =sin 1=a {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π1<a (){}Z k a k x x k∈-+=,arcsin 1|πa x =cos1=a {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π1<a{}Z k a k x x ∈±=,arccos 2|π a tgx ={}Z k arctga k x x ∈+=,|π名称 函数式 定义域 值域 性质 反正弦函数x y arcsin = []1,1-增 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ -arcsinx arcsin(-x)= 奇反余弦函数 x y arccos = []1,1-减 []π,0x x arccos )arccos(-=-π反正切函数arctgx y =R 增⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ arctgx - arctg(-x)= 奇 反余切函数arcctgx y = R 减()π,0arcctgx x arcctg -=-π)(actgx={}+|πx∈=,kZxkarcctga正弦函数、余弦函数的图象和性质·典型例题分析例1 用五点法作下列函数的图象(1)y=2-sinx，x∈[0，2π]描点法作图：例2 求下列函数的定义域和值域．解 (1)要使lgsinx有意义，必须且只须sinx＞0，解之，得 2kπ＜x＜(2k+1)π，k∈Z．又∵0＜sinx≤1，∴-∞＜lgsinx≤0．∴定义域为(2kπ，(2k+1)π)(k∈Z)，值域为(-∞，0]．的取值范围，进而再利用三角函数线或函数图象，求出x的取值范围。