大型稀疏矩阵的LU分解及特征值求解
2-1 满秩、LU、QR分解
满秩分解反映出关于矩阵A的秩的信息。 应用：当r远小于m和n时，利用满秩分解可以去 除掉A中的冗余信息，节省存储量和运算量。
2. LU分解
设矩阵A∈Rn×n，如果存在上三角矩阵L，下三角 矩阵U，使得A=LU，则称之为A的LU分解。 如果存在单位上三角矩阵L，单位下三角矩阵U， 对角矩阵D，使得A=LDU，则称之为LDU分解。
定理：矩阵A的LDU分解存在唯一(或LU分解存在)
的充要条件是A的顺序主子式Dk≠0。
LU分解的实现过程实际上就是Gauss消去法。
应用：求解线性方程组Ax=b。
3. QR分解
设矩阵A∈Rn×n，且非奇异，则存在正交矩阵Q， 非奇异上三角矩阵R，使得A=QR，称之为QR分 解(QR decomposition)，且此时分解唯一。
QR分解的实现方式：GS/MGS，Givens变换， Hous会怎样？
第二章 矩阵分解
2.1 矩阵的分解 2.2 标准型
2.1 矩阵的分解
1. 满秩分解 2. LU分解 3. QR分解
1. 满秩分解
设矩阵A∈Rm×n，且rankA=r(r≤m,r≤n)， 则存在矩阵分解：
A=FG， 其中F∈Rm×r，且rankF=r(列满秩)， G∈Rr×n，且rankG=r(行满秩)。称为满秩分解。
线性方程组数值解法LU分解法
i1
1 ) y 1 b 1 ; y i b i l ij y j )( i 2 ,..., n )； j1
n
2 ) x n y n / a nm ; x i ( y i u ij x j ) / u ii ( i n 1 ,..., 2 ,1 )； ji1
a(1) i1
a(1) 11
则 (1)行(-li1) (i)行 i 2，3，...,n，其矩阵形式为
1 l2 1 .l.3.1 ln1
1
aa((121111))
01
...
......
...
0 0 ...... 1a(n11)
L1
a(1) ... ... a(1) a(1)
12
a(1) 22
3.2.2 Doolittle分解
此 分 解 在 于 如 何 算 出 L,U 的 各 元 素 ， 以 n 3为 例
a11 a12 a13 1
a
21
a22
a
2
3
l
2
1
1
u11 u12 u13
u 22
u
2
3
Байду номын сангаас
a31 a32 a33 l31 l32 1
u 33
k 1时 ： a1 j u1 j u1 j a1 j ( j 1, 2, 3)
Doolittle分解
计算 l k 1 k ,..., l nk 由于 i k ，于是由
u1k
a ik
[ li1 ...,
l
ik
1
,1
,
0
...
0
]
u kk 0
矩阵特征值分解算法的数值改进
矩阵特征值分解算法的数值改进特征值分解是一种常见的线性代数问题求解方法，广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习等领域。
传统的特征值分解算法在求解过程中存在数值稳定性、精度和计算效率等方面的问题。
为了解决这些问题，数学家们提出了许多数值改进的方法。
本文将介绍几种常用的矩阵特征值分解算法的数值改进方法。
一、康普顿方法康普顿方法是一种针对对称矩阵的特征值分解算法。
该算法通过将对称矩阵转化为三对角矩阵，进而简化了计算过程。
然而，在康普顿方法中，当特征值的数量较大时，计算精度下降的问题仍然存在。
为了解决这一问题，数学家们提出了修正康普顿方法。
修正康普顿方法通过加入平移参数来提高计算的精度，进而改善了数值稳定性和计算效率。
二、隐式QR方法隐式QR方法是一种针对一般矩阵的特征值分解算法。
该算法通过将矩阵转化为上Hessenberg矩阵，进而简化了计算过程。
然而，在隐式QR方法中，计算复杂度随着矩阵维度的增加而增加，导致计算效率低下。
为了提高计算效率，数学家们提出了隐式双步QR方法。
隐式双步QR方法通过对矩阵进行分块处理，减少了计算量，改善了算法的效率。
三、Krylov子空间方法Krylov子空间方法是一种针对大规模稀疏矩阵的特征值分解算法。
该算法通过构造Krylov子空间来逼近矩阵的特征值。
然而，在Krylov 子空间方法中，计算精度与Krylov子空间的维度相关，维度较大时，计算复杂度较高。
为了提高计算精度和效率，数学家们提出了改进的Krylov子空间方法。
改进的Krylov子空间方法通过加速技术和预处理技术，提高了算法的计算精度和效率。
总结起来，矩阵特征值分解算法的数值改进是为了解决传统算法在数值稳定性、计算精度和计算效率等方面存在的问题。
康普顿方法、隐式QR方法和Krylov子空间方法是常用的特征值分解算法的数值改进方法。
通过这些改进，可以提高算法的数值稳定性、计算精度和计算效率，从而更好地应用在实际问题中。
数值分析幂法和反幂法
m =
2.6813
u =
0.8576
0.6934
0.5623
1.0000
index =
1
k =
49
修改M0=1e-3
m =
2.6814
u =
0.8576
0.6934
0.5623
1.0000
index =
0
k =
1001
修改M0=0 %此时为幂法
m =
4.对结果进行解释说明；
采用方法
及结果
说明
对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题将从问题分析，算法设计和流程图，理论依据，程序及结果进行阐述该问题。
一．问题的分析：
求n阶方阵A的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于n阶矩阵A，若存在数 和n维向量x满足
end
n=length(A);
index=0;
k=0;
m1=0;
m0=0;
I=eye(n);
T=A-m0*I;
while k<=it_max
v=T*u;
[vmax,i]=max(abs(v));
m=v(i);
u=v/m;
if abs(m-m1)<ep;
index=1;
break;
end
m=m+m0;
1
16
0
0.3847
[-0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364]
1
16
[1 3 5 7]
0.5
0.3847
[-0.8995 1.0000 0.2726 -0.2364]
矩阵LU分解求逆（学习笔记）
矩阵LU分解求逆（学习笔记）矩阵的一种有效而广泛应用的分解方法是矩阵的LU三角分解，将一个n阶矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
所以首先对矩阵进行三角分解，这里采用Doolittle分解，即分解为一个下三角矩阵（对角元素为1），和一个上三角矩阵的乘积。
再进行相应的处理。
所以，矩阵求逆的算法流程可表述如下：1)进行LU分解；2)对分解后的L阵（下三角矩阵）和U阵（上三角矩阵）进行求逆;3)L阵的逆矩阵和U阵的逆矩阵相乘，即可求得原来矩阵的逆。
即：程序实现如下：#include<stdio.h>#include <string.h>#define N 4void main(){float a[N][N];float L[N][N],U[N][N],out[N][N], out1[N][N];float r[N][N],u[N][N];memset( a , 0 , sizeof(a)); //初始化memset( L , 0 , sizeof(L));memset( U , 0 , sizeof(U));memset( r , 0 , sizeof(r));memset( u , 0 , sizeof(u));int n=N;int k,i,j;int flag=1;float s,t;////////////////////input a matrix////printf("input A=\n");for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)scanf("%f",&a[i][j]);//////////////////figure the input matrix//////////////////////////printf("输入矩阵:\n");for(i=0;i<n;i++){for (j = 0; j < n; j++){printf("%lf ", a[i][j]);}printf("\n");}for(j=0;j<n;j++)a[0][j]=a[0][j]; //计算U矩阵的第一行for(i=1;i<n;i++)a[i][0]=a[i][0]/a[0][0]; //计算L矩阵的第1列for(k=1;k<n;k++){for(j=k;j<n;j++){s=0;for (i=0;i<k;i++)s=s+a[k][i]*a[i][j]; //累加a[k][j]=a[k][j]-s; //计算U矩阵的其他元素}for(i=k+1;i<n;i++){t=0;for(j=0;j<k;j++)t=t+a[i][j]*a[j][k]; //累加a[i][k]=(a[i][k]-t)/a[k][k]; //计算L矩阵的其他元素}}for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){if(i>j){L[i][j]=a[i][j];U[i][j]=0;}//如果i>j，说明行大于列，计算矩阵的下三角部分，得出L的值，U的//为0else{U[i][j]=a[i][j];if(i==j)L[i][j]=1; //否则如果i<j，说明行小于列，计算矩阵的上三角部分，得出U的//值，L的为0elseL[i][j]=0;}}if(U[1][1]*U[2][2]*U[3][3]*U[4][4]==0){flag=0;printf("\n逆矩阵不存在");}if(flag==1){/////////////////////求L和U矩阵的逆for (i=0;i<n;i++) /*求矩阵U的逆 */{u[i][i]=1/U[i][i];//对角元素的值，直接取倒数for (k=i-1;k>=0;k--){s=0;for (j=k+1;j<=i;j++)s=s+U[k][j]*u[j][i];u[k][i]=-s/U[k][k];//迭代计算，按列倒序依次得到每一个值，}}for (i=0;i<n;i++) //求矩阵L的逆{r[i][i]=1; //对角元素的值，直接取倒数，这里为1for (k=i+1;k<n;k++){for (j=i;j<=k-1;j++)r[k][i]=r[k][i]-L[k][j]*r[j][i]; //迭代计算，按列顺序依次得到每一个值}}/////////////////绘制矩阵LU分解后的L和U矩阵///////////////////////printf("\nLU分解后L矩阵:");for(i=0;i<n;i++){printf("\n");for(j=0;j<n;j++)printf(" %lf",L[i][j]);}printf("\nLU分解后U矩阵:");for(i=0;i<n;i++){printf("\n");for(j=0;j<n;j++)printf(" %lf",U[i][j]);}printf("\n");////////绘制L和U矩阵的逆矩阵printf("\nL矩阵的逆矩阵:");for(i=0;i<n;i++){printf("\n");for(j=0;j<n;j++)printf(" %lf",r[i][j]);}printf("\nU矩阵的逆矩阵:");for(i=0;i<n;i++){printf("\n");for(j=0;j<n;j++)printf(" %lf",u[i][j]);}printf("\n");//验证将L和U相乘，得到原矩阵printf("\nL矩阵和U矩阵乘积\n"); for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){out[i][j]=0;}}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<n;k++){out[i][j]+=L[i][k]*U[k][j];}}}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%lf\t",out[i][j]);}printf("\r\n");}//////////将r和u相乘，得到逆矩阵printf("\n原矩阵的逆矩阵:\n");for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){out1[i][j]=0;}}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<n;k++){out1[i][j]+=u[i][k]*r[k][j];}}}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%lf\t",out1[i][j]); }printf("\r\n");}}}。
幂法和反幂法求矩阵特征值课程知识讲解
v (k ) =Au (k 1) ,m =max(v (k ) ), u (k ) = v (k ) / m
k
k
（3）若|
m= k
m k 1 |<
，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值 1 ，u (k) 作为
相应的特征向量）否则置 k=k+1，转（2）
2、反幂法算法
（1）取初始向量 u (0) （例如取 u (0) =(1,1,…1) T ）,置精度要求 ，置 k=1.
要
2.选择合适问题求解的数值计算方法；
求
3.设计程序并进行计算；
4.对结果进行解释说明；
对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题将从问题分析，算 法设计和流程图，理论依据，程序及结果进行阐述该问题。
一．问题的分析：
求 n 阶方阵 A 的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题，如：
采
机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于 n 阶矩阵 A，若存在数 和
按式（1）计算出 m 和 u (k ) 满足 k
lim
k
m
k
=
1
,
lim u (k ) = x1
k
max( x1 )
（二）反幂法算法的理论依据及推导
反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对 幂法的修改，可以给出更快的收敛性。 1、反幂法的迭代格式与收敛性质
设 A 是非奇异矩阵，则零不是特征值，并设特征值为 | 1 |≥| 2 |≥…≥| n1|>| n |
则按 A 1 的特征值绝对值的大小排序，有
| 1 |>| 1 |≥…≥| 1 |
n
n 1
1
数值分析5LU分解法.docx
§ 3 LU 分解法――GaUSS 消去法的变形知识预备：1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积 2 矩阵的乘法3 上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆一、GauSS 消去法的矩阵解释GaUSS 消去法实质上是将矩阵 A 分解为两个三角矩阵相乘。
我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。
A (I)左乘矩阵L 1A ⑴=A ⑺其中第二轮消元：对应于L 2A ⑵=A (3)般地L k A (K ^A (K I)k =1,2, ,n -1其中L 1,即第一轮消元：相当于对-1I -l 21NI )A (2)J1) …a 12 J 1Ta1n IΛ(2)… a 22 a ⑵a2na (I) I 一ai1+¥ ・∙. B -…，li1 一 ⑴a11a(2) •…an2a ⑵a从而二、矩阵的三角分解1、若将A 分解成L?J,即A=L7U,其中L 为单位下三角矩阵，U 为非奇 异上三角矩阵，则称之为对 A 的Doolittle 分解。
当A 的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而 A 存在唯一的Doolittle 分解。
证明：若有两种分解，A=L I Lll ， A=L 2U 2，则必有L 1=L 2，U 1=U>0 因为L I Ul = L 2U2,而且L 1，L 2都是单位下三角矩阵， U,U 2都是可逆上三 角矩阵，所以有4-4L 21L^U 2U 1整个消元过程为 ^ l k 1k1lika (k)4⅛,^k 1,k2,akk,nU 11U mL nl L n ^- L 2L 1A =A (n)记 U - U 22U 2n U nnA=(L n 」L nj L 2L 1) UL n I l U =LU其中L 是单位下三角矩阵，即一1l 21l31l32 1J 【注】消元过程等价于A 分解成回代过程是解上三角方程组的过程。
矩阵的LU分解
矩阵的LU分解
舒阿秀
【期刊名称】《知识文库》
【年(卷),期】2017(000)022
【摘要】<正>矩阵的分解是研究复杂矩阵性质的一种方法,是实现大规模数据分析和处理的一种有效工具,在工程计算中具有重要的实际意义.本文主要对矩阵的LU 分解进行探讨,介绍了具体的分解定理与分解方法,并举例加以说明。
定义1如果存在一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U,使得A=LU,则称A可以做三角分解或者LU分解,并称A=LU为A的三角分解或者LU分解。
【总页数】2页(P195-196)
【作者】舒阿秀
【作者单位】安庆师范大学数学与计算科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.稀疏矩阵LU分解的FPGA实现
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