4.71完全平方公式(基础)知识讲解

4.71完全平方公式（基础）

【学习目标】

1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.

2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】

要点一、公式法——完全平方公式

两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．

即()2

222a ab b a b ++=+，()2

22

2a ab b a b -+=-.

形如222a ab b ++，22

2a ab b -+的式子叫做完全平方式.

要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2

倍. 右边是两数的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.

（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.

要点二、因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项

（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】

类型一、公式法——完全平方公式

1、 下列各式是完全平方式的是（ ）．

A ．4

1

2

+

-x x

B ．2

1x +

C ．1++xy x

D ．122

-+x x

【思路点拨】完全平方式是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 【答案】A ； 【解析】2

21142x x x ⎛⎫-+

=- ⎪⎝⎭

. 【总结升华】形如2

2

2a ab b ++，2

2

2a ab b -+的式子叫做完全平方式. 举一反三：

【变式】（1）如果多项式2

19

x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为 ；

（2）如果多项式2

4x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值为 .

【答案】（1）2

3

k =±

；（2）4k =±

. 2、分解因式：

（1）21449x x ++； （2）2

9124x x -+； （3）2

14a a ++

； （4）2211

1162

a b ab -+． 【答案与解析】

解：（1）22221449277(7)x x x x x ++=+⋅⋅+=+． （2）22229124(3)2322(32)x x x x x -+=-⋅⋅+=-．

（3）22

22111124222a a a a a ⎛⎫⎛⎫

++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

（4）22

2221111112111162444a b ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫

-+=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应．

举一反三：

【变式】分解因式：

（1）29()12()4a b a b +-++； （2）22

2()()a a b c b c ++++；

（3）2

1025a a --； （4）22

()4()()4()x y x y x y x y +++-+-．

【答案】

解：（1）2

9()12()4a b a b +-++2

2

[3()]23()22a b a b =+-⋅+⋅+

22[3()2](332)a b a b =+-=+-．

（2）222()()a a b c b c ++++22

[()]()a b c a b c =++=++．

（3）()

2210251025a a a a --=--+2

(5)a =--．

（4）22

()4()()4()x y x y x y x y +++-+-

22()2()2()[2()]x y x y x y x y =+++-+- 22[()2()](3)x y x y x y =++-=-．

3、分解因式： （1）

223

4162

x y xy y ++；（2）4224

168a a b b -+；（3）222(3)(1)x x x +--． 【答案与解析】

解：（1）

2234

162

x y xy y ++2

2222()()1624x xy x y y y y =++=+． （2）4224

168a a b b -+222222(4)[(2)(2)](2)(2)a b a b a b a b a b =-=+-=+-． （3）222(3)(1)x x x +--22(31)(31)x x x x x x =++-+-+

2222(41)(21)(41)(1)x x x x x x x =+-++=+-+．

【总结升华】分解因式的一般步骤：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因式的

套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解． 举一反三：

【变式】分解因式：

（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++． （2）22224()4()()x y x y x y +--+-． （3）2

2

44x y xy --+； （4）3

2

2

3

44x y x y xy ++； （5）(

)

()2

2

22221x x x x -+-+；

【答案】

解：（1）原式2

2

[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++

22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．

（2）原式2

2

[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+-

22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．

（3）原式()

()2

2

2

442x y xy x y =-+-=--

（4）原式＝(

)()2

22

442xy x xy y

xy x y ++=+

（5）原式(

)()

2

4

2

211x x x =-+=-

类型二、配方法

4、若x

1，则223x x ++＝________．

【思路点拨】此题不能直接代入求值，先将原式配方后代入比较简便.

【答案】75；

【解析】()2

22

2321212x x x x x ++=+++=++，

将x

1

代入得

2

275+=.

【总结升华】对于数据比较复杂的代入求值问题，要先观察式子的特点，看能不能将式子进行变形，以简便计

算.

举一反三：

【变式】已知x 为任意有理数，则多项式x －1－

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2

x 的值为（ ）． A ．一定为负数 B ．不可能为正数 C ．一定为正数 D ．可能为正数，负数或0 【答案】B ；

提示：x －1－142x ＝2

21111042x x x ⎛⎫⎛⎫

--+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

.

【巩固练习】

一.选择题

1. 将2

24144a a ++因式分解，结果为( ).

A.()()188a a ++

B.()()1212a a +-

C.()2

12a +

D.()2

12a -

2．2

()n

m x y -是下列哪一个多项式分解的结果（ ）

A ．22n

m x

y - B ．2n n m m x x y y -+ C ．222n

n m m x

x y y -+ D ．2n n m m x x y y --

3. 下列各式可以化为完全平方式的是( ).

A.21x x ++

B.221x x +-

C.244a a ++

D.22

a b + 4. 如果2

2

2536a mab b ++可分解为()2

56a b -,那么m 的值为( ).

A.30

B.－30

C.60

D.－60