材料力学专题一梁的内力和内力图
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专题一 梁的内力和内力图
例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。 解：1）求反力
kN 5=A F ，kN 4=B F
2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。
0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F
0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M
3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。
0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F
0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M
4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F
0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=
5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=
【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，
两者计算结果一致。一般取外力比较简单的一段进行分析。②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。
图 1
(a) (b)
(c) (d) (e)
例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。
解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++
==
取C 截面左段研究，, 2
SC C Fl
F F M == 取B -截面左段研究， , SB B
F F M Fl ==
(b) 求A 、B 处约束反力
如图(d)所示，l M F F e B A /==
取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l
++=-=-=
取C 截面左段研究，
, 22e e SC A A e A M M
l F F M M F l +=-=-=-⨯=
取B 截面右段研究，, 0e
SB B B M F F M l
=-=-= (c) 求A 、B 处约束反力 取A +截面右段研究，2
33, 22248
SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-
取
C -截面右段研究，
2
, 22248
SC C l ql l l ql F q M q -
-=⨯==-⨯⨯=-
取C +截面右段研究，2
, 22248
SC C l ql l l ql F q M q +
+=⨯==-⨯⨯=-
取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==
图2 (b) (a) q
B (c) B
图(d)
例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：(a ) 求支反力
0=∑C M ： 0310126=⨯--⋅Ay F ， kN 7=Ay F
0=∑Y ：
010=-+By Ay F F ， kN 3=By F
列内力方程，
⎩⎨
⎧<<-<<=63
kN 330 kN 7)(S x x x F ， ⎩⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=63 30 m kN )6(3m kN 127)(x x x x x M 作剪力图和弯矩图。 (b ) 求支反力
0=∑B M ：02212=⋅+-⋅l
ql ql l F Ay ， F Ay =0 0=∑Y ：0=-⋅-+ql l q F F By Ay ，ql F By 2=
列内力方程
23
0 )(S l x l l
x ql qx x F <<<≤⎩⎨
⎧-= ⎩
⎨
⎧≤≤≤≤---=23 0 )23(2
)(2l x l l x x l ql qx x M
作剪力图和弯矩图。
(b) 图3 (a)
(a) (b) (c)
图4
例4利用内力方程作图4(a)所示 简支梁的剪力图和弯矩图。 解：AC 段有：x x q 5)(=
25.210)(x x F S -=，
（0 510)(x x x M -=， （0≤x ≤2） 其剪力图和弯矩图如图(b)(c)所示。 由于结构是对称的，荷载也是对称的， BC 段与AC 段的F S 图是反对称的，M 图 是对称的，据此特点可方便地作出AC 段 的剪力图和弯矩图。 例5试用剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系判断图5所示各梁的内力图形态，画出剪力图和弯矩图。 解：(a ) 根据微分关系：()()x F x x M S d d = 和 ()()q x x M x x F ==22 S d d d d AC 段：q 为常数，且0 求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。 (b ) 求支反力 0=∑A M ： ()0221 322=⋅⋅-+⋅a q qa a F By ， 3qa F By = 0=∑Y ： 02=⋅-+a q F F By Ay ， 35qa F Ay = (a) (b)q ，F S 图从左到右为向上的斜直线，M 图为向下凹的抛物线。 在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。