定比分点的向量公式及应用

定比分点的向量公式及

应用

Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

定比分点的向量公式及应用

浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙

定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设a OP =1，b OP =2，若

21PP P λ=，则λ

λ

λ+++=

111。 特别地，当1=λ时，即P 为线段21P P 的中点，则有2

1

21+=

。 用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。 一、求定比λ的值：

例1：已知A （1,2），B （1,3-）及直线l ：54-=x y ，直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分AB 的比λ。

解：设),(y x P ，则由PB AP λ=，得

)11,131()1,3(1)1,2(11),(λ

λ

λλλλλ+-++=-+++=

y x ， 又∵P 点在直线l 上，

∴

51)31(411-++=+-λ

λλλ， ∴31=λ。

例2：如图所示，在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且DC k BD =，E 为AD 上的一点，且EA l DE =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段CA 所成的比

λ。

解：∵FA CF λ=，∴

λ

λλ+++=

111， 又EA l DE =，∴BA l l

l +++=111， 而BC k k

DC k BD +=

=1， ∴BA l

l

BC k l k BE ++++=

1)1)(1(，

F

E

D

C

B

A

∵B 、E 、F 共线，∴设BF t BE =，而BA t BC t BF t λ

λλ+++=11 ∴

BA t

BC t BA l l BC k l k λ

λλ+++=++++111)1)(1(

∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=

+++=+l l t k l k t

11)

1)(1(1λλλ，解得k k l )1(+=λ。

二、求直线上点的坐标

例3：已知点)1,1(--A ，)5,2(B ，点C 为直线AB 上一点，且

BC AC 5-=，求C 点的坐标。

分析：先求出C 点分AB 的λ的值，再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。

解：∵BC AC 5-=，∴5==

λ，

利用定比分点的坐标公式有

)4,2

3

()5,2(65)1,1(616561=+--=+=OB OA OC 。

∴C 点的坐标为)4,2

3

(。

例4：已知)3,2(A ，)5,1(-B ，且AB AC 31

=，3=，求点C ，D 的坐

标。

分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C ，D 的坐标。 解：设),(11y x C ，),(22y x D ， ∵AB AC 31=

，∴2

11==CB λ， ∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 2

11111

λλλ+++=

，

∴)311

,1()5,1(31)3,2(32)5,1(21121

)3,2(2111),(11=-⨯+⨯=-⨯++⨯+=y x

同理由AB AD 3=得23

2-==

DB

λ，

∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 2

11111

λλλ+++=

， ∴)9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(2

3123

)3,2(2311

),(22-=-⨯+⨯-=-⨯+-

+⨯-=y x

∴点C 的坐标为)3

11

,1(，D 点的坐标为)9,7(-。

三、证明三点共线

例5：已知点),(c b a A +，),(a c b B +，),(b a c C +，求证：A 、B 、C 三点共线。

证明：设),(/y c C 在上，/C 分的比为λ，则

),(1),(11111/a c b c b a OC +++++=+++=

λλλλλλ )1,1(λ

λλλλ++++++=c c b a b a ∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++++=++=λλλλλ11c c b a y b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧+=--=b a y b c c a λ ∴),(/y c C 与),(b a c C +重合， 由题设知C 在AB 上， ∴A 、B 、C 三点共线。 四、求字母系数范围

例6：已知点)3,3(A ，)5,1(-B ，一次函数1+=kx y 的图象与线段AB 有公共点，求实数k 的取值范围。

解：设),(y x P 为一次函数图象与线段AB 的交点，把P 看作AB 的定比分点，其定比为λ，则有0≥λ，

由定比分点公式有

)153,13()5,1(1)3,3(11111λ

λλλλλλλλλ+++-=-+++=+++=

， 而P 点在函数1+=kx y 图象上，

∴

113153++-⋅=++λ

λλλk ， 解得42

3+-=k k λ，

∴0423≥+-k k ，即32≥k 或4-

2

≥

k 。 例7：若直线2--=ax y 与连接)1,2(-P ，)2,3(Q 两点的线段有公共点，求实数a 的取值范围。

解：当直线过P 点时，23=

a ，直线过Q 点时，3

4-=a ， 当直线与线段PQ 的交点在P 、Q 之间时，设这个交点),(y x M 分PQ 的比为

λ，

由定比分点公式有

)121,132()2,3(1)1,2(11111λ

λ

λλλλλλλλ++++-=++-+=+++=

OQ OP OM ， ∴M 点的坐标为)121,132(

λλ

λλ++++-， 又∵直线过点M ，

∴

2132121-++-⨯-=++λλ

λλa ， ∴4332+-=a a λ，

又∵点M 在线段PQ 上知0>λ，